Matemática para Ensino Superior MA14 - 2013 - Listas

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MA14 - Aritmética
Lista 1
Unidades 1 e 2
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
05 a 11 de agosto 2013
Unidade 1
1. Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N ∪ {0},
a) 8|32n + 7 b) 9|10n + 3.4n+2 + 5
2. Mostre que, para todo n ∈ N ∪ {0},
a) 19|32n+1 + 44n+2 b) 17|102n+1 + 72n+1 c) 14|34n+2 + 52n+1
3. Sejam a, b ∈ Z.
a) Se a 6= b, mostre que, para todo n ∈ N, n > 2,
an − bn
a− b
= an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1.
b) Se a + b 6= 0, mostre que, para todo n ∈ N,
a2n+1 + b2n+1
a + b
= a2n − a2n−1b + · · · − ab2n−1 + b2n.
c) Se a + b 6= 0, mostre que para todo n ∈ N,
a2n − b2n
a + b
= a2n−1 − a2n−2b + · · ·+ ab2n−2 − b2n−1.
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Unidade 1 - Continuação
4. Para quais valores de a ∈ N
a) a− 2|a3 + 4?
b) a + 3|a3 − 3?
c) a + 2|a4 + 2?
d) a + 2|a4 + 2a3 + a2 + 1?
5. Mostre que, para todos a, m, n ∈ Z,
m > n > 0 =⇒ a2n + 1|a2m − 1.
6. Mostre, para todo n ∈ N, que n2|(n + 1)n − 1.
7. Mostre, para todo a ∈ Z, que
a) 2|a2 − a b) 3|a3 − a c) 5|a5 − a d) 7|a7 − a
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Unidade 2
1. a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, an é
par, qualquer que seja n ∈ N.
b) Mostre que an ± am é sempre par, quaisquer que sejam
n, m ∈ N.
c) Mostre que, se a e b são ı́mpares, então a2 + b2 é diviśıvel por 2
mas não diviśıvel por 4.
2. Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam
resto igual
a) à metade do quociente? b) ao quociente?
c) ao dobro do quociente? d) ao triplo do quociente?
3. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um,
número do terno abaixo é diviśıvel por 3.
n, n + 10, n + 23
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Unidade 2 - Continuação
4. a) Mostre que, se um número a não é diviśıvel por 3, então a2
deixa resto 1 na divisão por 3.
b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3
divide a2 + b2, então a e b são diviśıveis por 3.
5. O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da
divisão de N por 5?
6. Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido
por 3 e por 4.
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MA14 - Aritmética
Lista 2
Unidades 3 e 4
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
12 a 18 de agosto 2013
Unidade 3
1. Um certo número de três algarismos na base 10 aumenta de 36
se permutarmos os dois algarismos da direita, e diminui de 270 se
permutarmos os dois algarismos da esquerda. O que acontece ao
número se permutarmos os dois algarismos extremos?
2. Critério de divisibilidade por uma potência de 2 Seja dado
um número a, representado na base 10 por a = anan−1 . . . a0.
Usando o fato de que 2k |10k , mostre que 2k divide a se, e somente
se, o número ak−1 . . . a1a0 é diviśıvel por 2
k . Em particular, a é
diviśıvel por 2 se, e somente se, a0 é 0, 2, 4, 6 ou 8; também, a é
diviśıvel por 4 se, e somente se, a1a0 é diviśıvel por 4.
3. Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal,
de modo que os algarismos das centenas a e o das unidades c
difiram de, pelo menos, duas unidades. Considere os números abc
e cba e subtraia o menor do maior, obtendo o número xyz . A
soma de xyz com zyx vale 1 089. Justifique esse fato.
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Unidade 3 - Continuação
4. Seja dado o número 4 783 na base 10; escreva-o nas seguintes
bases: 2, 7, 12 e 15.
5. O número 3 416 está na base 7; escreva-o nas bases 5 e 12.
6. Um número na base 10 escreve-se 37; em que base
escrever-se-á 52?
7. Considere 73 na base 10; em que base ele escrever-se-á 243?
8. Escreva a tabuada na base 5.
Use-a para calcular [132]5 + [413]5 e [23]5 × [342]5.
9. Utilize o método do Exemplo 4.10 para calcular 527× 72.
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Unidade 3 - Continuação
10. Escreva:
a) O número 2n − 1 na base 2.
b) O número
bn − 1
b − 1
na base b.
11. Sendo a = [an . . . a1a0]b, mostre que o número
a− (a0 + · · ·+ an) é diviśıvel por b − 1.
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Unidade 4
1. Determine, em cada caso apresentado abaixo, se a posição é
segura ou insegura.
a) | | | |
b) | | | | | | |
c) | | | |
d) | |
2. Determine qual das seguintes situações iniciais no Jogo de Nim
permite ao primeiro jogador traçar uma estratégia vencedora.
a) (12, 14, 15), b) (7, 9, 14), c) (7, 9, 15, 17).
Em tal caso faça uma jogada que lhe será favorável.
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MA14 - Aritmética
Lista 3
Unidades 5 e 6
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
19 a 25 de agosto 2013
Unidade 5
1. Para cada par de números naturais a e b dados abaixo, ache
(a, b) e determine números inteiros m e n tais que
(a, b) = ma + nb.
a) 637 e 3 887 b) 648 e 1 218 c) 551 e 874
d) 7 325 e 8 485.
2. Seja n ∈ N. Mostre que
a) (n, 2n + 1) = 1;
b) (n + 1, n2 + n + 1) = 1;
c) (2n + 1, 9n + 4) = 1;
d) (n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1.
3. Mostre que (a, a2 + na + b)|b, quaisquer que sejam a, b, n ∈ N.
4. Seja dado a ∈ Z \ {−1}.
a) Se m ∈ N, mostre que(
a2m − 1
a + 1
, a + 1
)
= (a + 1, 2m).
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Unidade 5 - Continuação
b) Se m ∈ N ∪ {0}, mostre que(
a2m+1 + 1
a + 1
, a + 1
)
= (a + 1, 2m + 1).
5. Calcule
a)
(
340 − 1
35 − 1
, 35 − 1
)
b)
(
510 − 1
6
, 6
)
c)
(
240 + 1
28 + 1
, 28 + 1
)
d)
(
250 + 1
210 + 1
, 210 + 1
)
.
6. Sejam a e n números naturais com a 6= 1. Mostre que
(a− 1)2|an − 1 ⇐⇒ a− 1|n.
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Unidade 6
1. Sejam a, b, d ∈ Z com d > 0. Mostre que se I (a, b) = dZ,
então d = (a, b).
2. Mostre que
a) se (a, b) = 1, a|c e b|c , então ab|c .
b) se (a, b) = 1, então (ac , b) = (c , b).
c) (ac , b) = 1 se, e somente se, (a, b) = (c , b) = 1.
d) (a, b) = (a, d) = (c , b) = (c , d) = 1 se, e somente se,
(ac , bd) = 1.
e) se (a, b) = 1, então (an, bm) = 1, para todos n, m ∈ N ∪ {0}.
3. Para todos a, b ∈ Z e todo n ∈ N, mostre que
(an, bn) = (a, b)n.
4. a) Mostre que, se n é ı́mpar, então n(n2 − 1) é diviśıvel por 24.
b) Mostre que 24 divide n(n2 − 1)(3n + 2) para todo n ∈ N.
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Unidade 6 - Continuação
5. a) Mostre que n5 − n é diviśıvel por 30.
b) Mostre que n5 e n possuem o mesmo algarismo das unidades.
6. Mostre que se a e b não são ambos nulos, então a|bc se, e
somente se,
a
(a, b)
|c .
7. Sejam a e b dois números inteiros com (a, b) = 1.
a) Mostre que (b + a, b − a) é 1 ou 2.
b) Mostre que (a + b, a2 + b2) é 1 ou 2.
8. Mostre que, se a, b, x , y ∈ Z, com ax + by = (a, b), então,
(x , y) = 1.
9. Sejam a e b dois números naturais com (a, b) = 1. Mostre que
se
a
(a, b)
é par. então
b
(a, b)
é ı́mpar. Vale a rećıproca?
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Unidade 6 - Continução
10. Um prédio possui duas escadarias, uma delas com 780 degraus
e a outra com 700 degraus. Sabendo que os degraus das duas
escadas só estão no mesmo ńıvel quando conduzem a um andar,
descubra quantos andares tem o prédio.
11. Calcule (1 116, 984, 855).
12. Mostre que se três números inteiros são tais que dois deles são
coprimos, então eles são coprimos. Mostre que não vale a
rećıproca; isto é, exiba três números inteiros coprimos mas que não
são dois a dois coprimos.
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MA14 - Aritmética
Lista 4
Unidades 7 e 8
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 7
1. Calcule o mmc dos pares de números:
a) 38, 46; b) 35, 75; c) 235, 740.
2. a) Mostre que [ca, cb] = |c | [a, b].
b) Se m é um múltiplo comum positivo de a e b, mostre que
m = [a, b] ⇐⇒
(m
a
,
m
b
)
= 1.
c) Se r e s não são nulos e ra = sb > 0, mostre que
ra
(r , s)
=
sb
(r , s)
= [a, b].
3. Sejam a, b, c três números naturais. Mostreque
abc = [a, b, c](ab, ac , bc).
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Unidade 7 - Continuação
4. Seja n ∈ N; calcule [n2 + 1, n + 1].
5. Mostre que
a) (a, b) = [a, b] ⇐⇒ a = b, ∀a, b ∈ N.
b) [an, bn] = [a, b]n, ∀a, b ∈ Z, ∀n ∈ N.
6. Sejam a, b ∈ Z ambos não nulos. Considere o conjunto
M(a, b) = aZ ∩ bZ
= {x ∈ Z; ∃m, n ∈ Z tais que x = ma e x = nb}.
a) Mostre que [a, b] = min (M(a, b) ∩ N).
b) Mostre que M(a, b) = [a, b]Z.
7. Sejam d ,m ∈ N. Mostre que uma condição necessária e
suficiente para que existam a, b ∈ Z tais que (a, b) = d e
[a, b] = m é que d |m.
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Unidade 7 - Continuação
8. Sejam a1, . . . , an ∈ Z \ {0}. Mostre que
(ai , aj) = 1, i 6= j ⇐⇒ [a1, . . . , an] = |a1 · · · an|.
9. Mostre que
[a1, a2, . . . , an−1, an] = [[a1, a2, . . . , an−1], an].
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Unidade 8
1. Resolva em Z as equações:
a) 90X + 28Y = 22 b) 50X − 56Y = 74
c) 40X − 65Y = 135 d) 8X − 13Y = 23
2. Para quais valores de c em N a equação 10X + 14Y = c não
possui soluções em N ∪ {0}?
3. Resolva em N ∪ {0} as equações:
a) 16X + 7Y = 601 b) 30X + 17Y = 201
c) 47X + 29Y = 1288 d) 8X + 13Y = 23
4. Dispondo de R$100, 00, quais são as quantias que se podem
gastar comprando selos de R$5, 00 e de R$7, 00?
5. Determine os múltiplos naturais de 11 e de 9 cuja soma é igual
a
a) 79 b) 80 c) 270
6. Determine o menor inteiro positivo que tem restos 11 e 35
quando dividido, respectivamente, por 37 e 48.
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Unidade 8 - Continuação
7. Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés.
Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a
diferença entre esses dois números é a menor posśıvel?
8. Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau.
Subindo a mesma escada de três em três degraus, sobram dois
degraus. Determine quantos degraus possui a escada, sabendo que
o seu número é múltiplo de 7 e está compreendido entre 40 e 100.
9. (ENC 2002) Em certo páıs, as cédulas são de $4 e $7. Com
elas, é posśıvel pagar, sem troco, qualquer quantia inteira
a) a partir de $11, inclusive.
b) a partir de $18, inclusive.
c) ı́mpar, a partir de $7, inclusive.
d) que seja $1 maior do que um múltiplo de $3.
e) que seja $1 menor do que um múltiplo de $5.
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Unidade 8 - Continuação
10. De quantas maneiras pode-se comprar selos de R$3, 00 e de
R$5, 00 de modo que se gaste R$50, 00?
11. Sejam a1, a2, . . . , an, c ∈ Z. Mostre que a equação
a1X1 + a2X2 + · · ·+ anXn = c
possui soluções inteiras se, e somente se, (a1, a2, . . . , an)|c .
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MA14 - Aritmética
Lista 5
Unidades 10 e 11
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
9 a 15 de setembro 2013
Unidade 10
1. Sejam a, m, n ∈ N, a > 1. Mostre que an − 1|am − 1 se, e
somente se, n|m.
2. Sejam n, m ∈ N com n|m e m
n
ı́mpar. Se a ∈ N, mostre que
(am + 1, an + 1) = an + 1.
3. Sejam a, m, n ∈ N, com m > n. Mostre que(
a2
m − 1, a2n + 1
)
= a2
n
+ 1.
4. Calcule
a) (5202 + 1, 574 + 1)
b) (36497 + 1, 36210 + 1)
c) (3144 − 1, 378 + 1)
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Unidade 10 - Continuação
5. Seja (Mn)n a sequência definida por Mn = 2n − 1. Mostre que
a) 3|Mn se, e somente se, n é par.
b) 5|Mn se, e somente se, n é múltiplo de 4.
c) 9|Mn se, e somente se, n é múltiplo de 6.
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Unidade 11
1. Mostre que, se na sequência de Fibonacci existir um termo
diviśıvel por um número natural m, então, existem infinitos tais
termos.
2. Na sequência de Fibonacci, mostre que
a) um é par se, e somente se, m é diviśıvel por 3.
b) um é diviśıvel por 5 se, e somente se, m é diviśıvel por 5.
c) um é diviśıvel por 13 se, e somente se, m é diviśıvel por 7.
3. Na sequência de Fibonacci, mostre que
a) um é diviśıvel por 21 sempre que m for diviśıvel por 8.
b) um é diviśıvel por 8 sempre que m for diviśıvel por 6.
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MA14 - Aritmética
Lista 6
Unidades 12 e 13
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 12
1. Ache os posśıveis valores de n,m ∈ N ∪ {0} de modo que o
número 9m10n tenha:
a) 27 divisores b) 243 divisores.
2. Qual é a forma geral dos números naturais que admitem:
a) um só divisor além de 1 e dele próprio?
b) um número primo de divisores?
3. Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Mostre que, se ab é um
quadrado, então a e b são quadrados. Generalize para ab uma
potência r -ésima.
4. Seja m ∈ N. Pode o número m(m + 1) ser a sétima potência
de um número natural? (Generalize.)
5. (ENC-2002) Qual é o menor valor do número natural n que
torna n! diviśıvel por 1000?
6. Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou
iguais a n divide o seu produto se, e somente se, n + 1 é composto.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 6 - Unidades 12 e 13 slide 2/5
Unidade 12 - Continuação
7. Usando a caracterização de mdc e mmc de dois números
naturais a e b através da fatoração em primos desses números,
prove que
(a, b)[a, b] = ab.
8. Mostre que todo número primo p > 2 escreve-se de modo
único como diferença de dois quadrados.
9. Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade:
Se p divide o produto de dois números naturais quaisquer, então p
divide um dos fatores.
Mostre que p é necessariamente primo.
10. Mostre que, se n e m são dois números naturais não nulos
tais que (n,m) = 1, então d(nm) = d(n)d(m).
11. Mostre que, se n é composto, então o n-ésimo número de
Fibonacci un é composto.
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Unidade 13
1. Mostre que 42|a7 − a para todo número natural a.
2. Ache o resto da divisão de 12p−1 por p quando p é primo.
3. Mostre que, para todo n ∈ N, é natural o número
3
5
n5 +
2
3
n3 +
11
15
n.
4. Mostre que, para todo n ∈ N, 15|3n5 + 5n3 + 7n.
5. Seja n ∈ N. Mostre que
a) Se 5 6 | n, 5 6 | n − 1, 5 6 | n + 1, então 5|n2 + 1.
b) Se 7 6 | n, 7 6 | n − 1, 7 6 | n3 + 1, então 7|n2 + n + 1.
6. Sejam a ∈ N. Mostre que 7|a18 − 1, se (a, 7) = 1. Generalize.
7. Um terno de primos é dito de primos trigêmeos se for da forma
p, p + 2 e p + 4. Mostre que 3, 5 e 7 é o único terno de primos
trigêmeos.
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Unidade 13 - Continuação
8. Mostre que a12 − b12 é diviśıvel por 13, se a e b são primos
com 13. Mostre também que é diviśıvel por 91, se a e b são
primos com 91.
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MA14 - Aritmética
Lista 7
Unidades 15 e 16
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 15
Problemas 1.1 a 1.7 do Caṕıtulo 8, Seção 1.
Unidade 16
Problemas 2.1 a 2.6 do Caṕıtulo 8, Seção 2.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 7 - Unidades 15 e 16 slide 2/2
MA14 - Aritmética
Lista 8
Unidades 17 e 18
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 17 - Caṕıtulo 8, Seção 3
8.3.1 Ache a decomposição em fatores primos de 50! e determine
com quantos zeros termina esse número.
8.3.2 a) Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 1000!.
b) Determine com quantos zeros termina o número 1000!.
c) Ache a maior potência de 104 que divide 1000!.
d) Ache o menor número natural n tal que 57|n!.
8.3.3(Profmat 2011) É posśıvel repartir exatamente
(
2357
528
)
objetos entre 49 pessoas?
8.3.4 Mostre que não há nenhum número natural n tal que 37
seja a maior potência de 3 que divida n!.
8.3.5 Mostre que, se m, n ∈ N são tais que (m, n) = 1, então,
(m + n − 1)!
m!n!
∈ N.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 2/7
8.3.6 a) Mostre que, para todo n ∈ N, tem-se que 2n 6 | n!.
b) Mostre que 2n−1 | n! se, e somente se, existem ∈ N tal que
n = 2m.
c) Determine todos os números naturais n tais que 2n−2 | n!.
d) Se r ∈ N, determine todos os números naturais n tais que
2n−r | n!.
8.3.7 Sejam n,m ∈ N; mostre que (nm)! é diviśıvel por
[(n!)m, (m!)n].
8.3.8 Para todo n ∈ N, mostre que (n!)(n−1)! divide (n!)!.
8.3.9 Seja m, n ∈ N, com n > m > 1. Mostre que é inteiro o
número
(n,m)
n
(
n
m
)
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 3/7
Exerćıcios Suplementares
8.S.1 Mostre que 2n divide (2n)!. Mostre que, geralmente, o
produto de 2n números naturais consecutivos é diviśıvel por 2n.
8.S.2 Mostre que 2n|(n + 1)(n + 2) · · · (2n), mas
2n+1 6 | (n + 1)(n + 2) · · · (2n).
8.S.3 Mostre que n!2n3n divide (3n)!.
8.S.4 Se 1 6 r 6 pn com Ep(r) = k , mostre que
(
pn
r
)
é diviśıvel
por pn−k , mas não por pn−k+1.
8.S.5 Mostre que
21000|1001× 1002× · · · × 2000,
mas que
21001 6 | 1001× 1002× · · · × 2000.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 4/7
Unidade 18 - Caṕıtulo 9, Seção 1
9.1.1 Sejam a, p ∈ N, com p primo. Mostre que, se
a2 ≡ 1 mod p, então a ≡ 1 mod p ou a ≡ −1 mod p.
9.1.2 Ache o resto da divisão
a) de 710 por 51 b) de 2100 por 11
c) de 521 por 127 d) de 14256 por 17
e) de (116 + 1717)21 por 8 f) de 1316 − 225515 por 3
g) de 1! + 2! + · · ·+ (1010)! por 40.
9.1.3(ENC 98) O resto da divisão de 1212 por 5 é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
9.1.4 Para todo n ∈ N, mostre que
a) 1016n − 1 é diviśıvel por 70; b) 198n − 1 é diviśıvel por 17.
9.1.5 Determine o resto da divisão por 7 do número
a) 1010 + 1010
2
+ 1010
3
+ · · ·+ 1010100 b) 17 + 27 + · · ·+ 1007
c) 16 + 26 + · · ·+ 1006 d) 22225555 + 55552222
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 5/7
9.1.6 Determine o resto da divisão por 4 do número
a) 1 + 2 + 22 + · · ·+ 219 b) 15 + 25 + · · ·+ 1005
9.1.7 Determine o algarismo das unidades do número 99
9
.
9.1.8 Ache os algarismos das centenas e das unidades do número
7999999.
9.1.9 Mostre, para todo n ∈ N, que
a) 102n ≡ 1 mod 11 b) 102n+1 ≡ −1 mod 11
9.1.10(ENC 2000) Se x2 ≡ 1 mod 5, então,
(A) x ≡ 1 mod 5 (B) x ≡ 2 mod 5 (C) x ≡ 4 mod 5
(D) x ≡ 1 mod 5 ou x ≡ 4 mod 5
(E) x ≡ 2 mod 5 ou x ≡ 4 mod 5
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 8 - Unidades 17 e 18 slide 6/7
9.1.11 Suponha que m = pα11 · · · pαrr . Mostre que
a ≡ b mod m ⇐⇒ a ≡ b mod pαii , i = 1, . . . , r .
9.1.12 Ache o menor número natural que deixa restos 5, 4, 3 e 2
quando dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.
9.1.13 Mostre que a soma dos quadrados de quatro números
naturais consecutivos nunca pode ser um quadrado.
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MA14 - Aritmética
Lista 9
Unidades 19 e 20
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 19 - Caṕıtulo 9, Seção 2
9.2.1 a) Usando o fato de que 100 é diviśıvel por 4, 25 e 100,
ache critérios de divisibilidade por 4, 25 e 100.
b) Considerando que 1000 é diviśıvel por 8, 125 e 1000, ache
critérios de divisibilidade por 8, 125 e 1000.
9.2.2 Mostre que um número natural na base 10 é diviśıvel por 6
se, e somente se, a soma do algarismo da unidade com o
quádruplo de cada um dos outros algarismos é diviśıvel por 6.
9.2.3 Usando o fato de que
103 ≡ −1 mod 7, 103 ≡ −1 mod 11, 103 ≡ −1 mod 13,
prove o seguinte critério de divisibilidade por 7, 11 e 13:
Um número natural n = nr . . . n2n1n0, escrito na base 10, é
diviśıvel por 7, 11 ou 13, se, e somente se,
n2n1n0 − n5n4n3 + n8n7n6 − n11n10n9 + · · · ≡ 0 mod 7,
n2n1n0 − n5n4n3 + n8n7n6 − n11n10n9 + · · · ≡ 0 mod 11
e
n2n1n0 − n5n4n3 + n8n7n6 − n11n10n9 + · · · ≡ 0 mod 13.
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9.2.4 Analisando a tabela do Exemplo 2.14 (do livro texto),
determine os números de Fibonacci que são diviśıveis por 8, por
11, por 13 ou por 16.
9.2.5 Mostre que um número da forma an = 2n−1(2n − 1) para
n > 2 é congruente a 1 módulo 9. Conclua que todo número
perfeito par maior do que 6, assim como a soma de seus
algarismos, é da forma 9k + 1.
Sugestão. Utilize as fórmulas do Problema 8.2.3 e indução.
9.2.6 Mostre que se n > 2, então o número de Fermat Fn tem
algarismo da unidade igual a 7.
9.2.7 a) Mostre que para todo n > 1 tem-se que Fn ≡ 5 mod 12.
b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado
ou um cubo.
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9.2.8 Seja a ∈ N com a > 1. Considere a sequência
α(a, n) =
an − 1
a− 1
.
a) Mostre que α(a, n) ≡ 0 mod (a− 1) se, e somente se, a− 1|n.
b) Mostre que α(a, n) ≡ 0 mod (a + 1) se, e somente se, n é par.
c) Enuncie esses resultados para a = 10.
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Unidade 20 - Caṕıtulo 10, Seções 1 e 2
10.1.1 Ache o resto da divisão de
a) 560 por 26 b) 3100 por 10.
10.1.2 Mostre que, se m > 2, então ϕ(m) é par.
10.1.3 Mostre que, se p é um número primo, então, para todo
a ∈ Z e para todo k ∈ N, tem-se que
ak(p−1)+1 ≡ a mod p.
10.1.4 a) Mostre que ∑
(i ,m) = 1
1 6 i < m
i =
1
2
m ϕ(m).
b) Mostre que, se m1, . . . ,mϕ(m) é um sistema reduzido de
reśıduos módulo m, então m divide m1 + · · ·+ mϕ(m).
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10.1.5 Resolva em m ∈ N as equações
a) ϕ(m) = 12 b) ϕ(m) = 8
c) ϕ(m) = 16 d) ϕ(m) = 24
10.1.6 Supondo que (a,m) = (a− 1,m) = 1, mostre que
1 + a + a2 + · · ·+ aϕ(m)−1 ≡ 0 mod m.
10.1.7 Mostre que, se ϕ(m) = 2r , para algum r ∈ N, então m é
um produto de uma potência de 2 e de primos de Fermat distintos.
Essa equação aparece na resolução dada por Gauss do problema
clássico da construtibilidade com régua e compasso dos poĺıgonos
regulares inscritos numa circunferência.
10.1.8 Supondo que (m, n) = 1, mostre que
mϕ(n) + nϕ(m) ≡ 1 mod nm.
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10.1.9 Sejam a,m ∈ Z, com m > 1, tais que (a,m) = 1. Mostre
que, se n1 ≡ n2 mod ϕ(m), então an1 ≡ an2 mod m.
10.1.10 Mostre que 2730|n13 − n, para todo n ∈ Z.
10.1.11 Sejam a ∈ Z e n, r ∈ N, com (r , n) = 1. Mostre que no
conjunto
{a, a + r , . . . , a + (n − 1)r },
há exatamente ϕ(n) números primos com n.
10.1.12 Quais são os posśıveis restos da divisão de a100, onde
a ∈ Z, quando dividido por 125?
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10.2.1 Mostre que o número primo p é o menor inteiro maior do
que 1 que divide o número (p − 1)! + 1.
10.2.2 Mostre que, se p > 2 é um número primo, então
a) p|(p − 2)!− 1 b) p|(p − 3)!− (p − 1)/2
10.2.3 Seja p > 3 um número primo.
a) Mostre que p! e (p − 1)!− 1 são primos entre si.
b) Prove que, se n ∈ N e n ≡ (p − 1)!− 1 mod p!, então os p − 2
inteiros que precedem n e os p inteiros que sucedem n são
compostos.
10.2.4 Seja p um número primo e a ∈ N. Mostre que
a) ap + (p − 1)!a ≡ 0 mod p b) (p − 1)!ap + a ≡ 0 mod p
10.2.5 Seja p um número primo tal que p ≡ 3 mod 4. Mostre que[(
p − 1
2
)
!
]2
≡ 1 mod p.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 9 - Unidades 19 e 20 slide 8/9
10.2.6 Seja p um número primo ı́mpar e seja
N = 1 · 3 · 5 · · · (p − 2). Mostre que N ≡ 1 mod p ou
N ≡ −1 mod p.
10.2.7 Seja p um número primo ı́mpar. Mostre que
a) 1232 · · · (p − 2)2 ≡ 2242 · · · (p − 1)2 mod p;
b) se p ≡ 1 mod 4, então 2242 · · · (p − 1)2 ≡ −1 mod p;
c) se p ≡ 3 mod 4, então 2242 · · · (p − 1)2 ≡ 1 mod p.
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MA14 - Aritmética
Lista 10
Unidades 21 e 22
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 21 - Caṕıtulo 11, Seções 1 e 2
11.1.1 Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9
quando dividido por 26? E quando dividido por 25?
11.1.2 Resolva, quando posśıvel, as congruências:
a) 3X ≡ 5 mod 7; b) 6X ≡ 21 mod 18;
c) 12X ≡ 36 mod 28; d) 12X ≡ −36 mod 28;
e) 151X ≡ 11 mod 245.
11.1.3 Seja p um número primo e seja a um número inteiro tal
que p 6 | a. Mostre que a única solução módulo p da congruência
aX ≡ b mod p é x = ap−2b.11.1.4 Sejam a,m ∈ Z, com m > 2 e (a,m) = 1. Mostre que a
única solução módulo m da congruência aX ≡ b mod m é
x = aϕ(m)−1b.
11.1.5 Mostre que a congruência X 2 + 1 ≡ 0 mod 7 não possui
soluções. Conclua que a equação X 2 − 7Y 2 − 14X + 7Y − 6 = 0
não admite soluções inteiras.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 2/7
11.2.1 Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4
quando divididos por 3, 4 e 5, respectivamente.
11.2.2 Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5
quando dividido por 5, 7 e 9, respectivamente.
11.2.3 Dispomos de uma quantia de x reais menor do que 3 000.
Se distribuirmos essa quantia entre 11 pessoas, sobra R$1, 00; se a
distribuirmos entre 12 pessoas, sobram R$2, 00 e se a distribuirmos
entre 13 pessoas, sobram R$3, 00. De quantos reais dispomos?
11.2.4 Um macaco, ao subir uma escada de dois em dois degraus,
deixa de sobra um degrau; ao subir de três em três degraus,
sobram dois degraus; e ao subir de cinco em cinco degraus, sobram
três degraus. Quantos degraus possui a escada, sabendo que o
número de degraus está entre 150 e 200 ?
11.2.5 Resolva o sistema:
3X ≡ 1 mod 7, 5X ≡ 2 mod 11, 4X ≡ 3 mod 13.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 3/7
11.2.6 Levando em consideração que 2275 = 25× 13× 7, resolva
a congruência 3X ≡ 11 mod 2275.
11.2.7 Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 5 mod 6.
11.2.8 Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 2 mod 6.
11.2.9 (Yi Shing, aprox. 700d.C.) Ache os inteiros que deixam
restos 1, 2, 5 e 5 quando divididos respectivamente por 2, 3, 6 e 12.
11.2.10 Sejam F1, . . . ,Fn os n primeiros números de Fermat.
Mostre que existe um número natural N tal que Fi divide
N + i − 1 para i = 1, . . . , n.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 4/7
Unidade 22 - Caṕıtulo 11, Seção 3
11.3.1 Seja {a1, . . . , am} um sistema completo de reśıduos
módulo m.
a) Mostre que se a é um inteiro, então {a1 + a, . . . , am + a} é um
sistema completo de reśıduos módulo m.
b) Se (a,m) = 1, então {a · a1, . . . , a · am} é um sistema completo
de reśıduos módulo m. Mostre que vale a rećıproca.
c) Se p é primo e a um inteiro que não é múltiplo de p, mostre que
ap−1 ≡ 1 mod p (Pequeno Teorema de Fermat).
d) Mostre que se (r ,m) = 1, então {a, a + r , . . . , a + (m − 1)r} é
um sistema completo de reśıduos módulo m.
Sugestão. (para c) Considere os dois sistemas completos de
reśıduos mod p: {0, 1, . . . , p − 1} e {0, a · 1, . . . , a(p − 1)} e note
que
1 · · · (p − 1) ≡ ap−1 · 1 · · · (p − 1) mod p.
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11.3.2 Construa as tabelas da adição e da multiplicação para Z6 e
Z7 .
11.3.3 Ache os elementos invert́ıveis de Z6, Z7, Z8 e Z9 .
11.3.4 Ache os inversos de
a) [5] em Z6 b) [3], [4] e [5] em Z7
c) [3], [5], e [7] em Z8 d) [5], [4] e [8] em Z9
e) [1 951] em Z2 431 f) [3], [5] e [7] em Z8
11.3.5 a) Seja {a1, . . . , aϕ(m)} um sistema reduzido de reśıduos
módulo m. Mostre que se (a,m) = 1, então {a · a1, . . . , a · aϕ(m)}
é um sistema reduzido de reśıduos módulo m.
b) Utilize o item anterior para dar uma outra demonstração do
Teorema de Euler.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 6/7
11.3.6 Considere Zm para m > 2. Mostre que
(a) Zm tem um número par de elementos invert́ıveis;
(b) se [a] é invert́ıvel, então −[a] é invert́ıvel e [a] 6= −[a].
(c) Mostre que a soma dos elementos invert́ıveis de Zm é igual a
[0].
(d) Mostre que a soma de todos os elementos de um sistema
reduzido qualquer de reśıduos módulo m é sempre múltiplo de m.
11.3.7 (Enade 2008) No anel dos inteiros módulo 12, R = Z12,
(A) não há divisores de zero.
(B) todo elemento não nulo é invert́ıvel.
(C) o subconjunto dos elementos invert́ıveis forma um subanel de
R.
(D) a multiplicação não é comutativa.
(E) há exatamente quatro elementos invert́ıveis.
PROFMAT - SBM Aritmética - Lista 10 - Unidades 21 e 22 slide 7/7
	MA14 Lista Unidades 1 e 2
	MA14 Lista Unidades 3 e 4
	MA14 Lista 3
	MA14 Lista 4
	MA14 Lista 5
	MA14 Lista 6
	MA14 Lista 7
	MA14 Lista 8 nova
	MA14 Lista 9
	MA14 Lista 10