Ótica Geométrica - Lentes Espessas e Aberrações

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Aula 6Aula 6
Ótica geométrica (complementos)Ótica geométrica (complementos)
Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);
Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book)
-Desenho e Fabricação Óptica – S. C. Zílio (e-book)
-Internet
-Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journal
of Physics, etc...
Na aula anterior estudamos a teoria paraxial aplicada a sistemas de lentes esféricas 
e delgadas. Duas aproximações foram realizadas:
1- todas as lentes eram delgadas;
2- A teoria de primeira ordem era suficiente para a sua análise;
Sistemas óticos reais que exigem precisão, no entanto, não são compatíveis com 
estes pressupostos.estes pressupostos.
LENTES ESPESSASLENTES ESPESSAS
Foco objeto
Plano
principal 
objeto
Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto 
de lentes delgadas
Fo
H1
V1
LENTES ESPESSASLENTES ESPESSAS
Plano 
principal 
imagem
Foco imagem
Veremos que uma lente espessa pode ser encarada como um conjunto 
de lentes delgadas
H2
Fi
V2
OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)OS SEIS PONTOS CARDINAIS (2 focais, 2 principais e 2 nodais)
Pontos principais objeto e imagem
H2
Fi
H1
Fo
Pontos focais 
PONTOS NODAIS PONTOS NODAIS 
N2N1 O
Centro ótico
Numa lente imersa num meio único, 
normalmente o ar, os pontos nodais 
(N1 e N2 ) e os pontos principais (H1
e H2 ) coincidem
Nas lentes simétricas, os planos principais se distribuem simetricamente
Regra útil: para lentes de vidro no ar, a 
separação H1 H2 é aproximadamente igual
a um terço da espessura V1 V2
A lente plástica plana de um retroprojetor pode ser usada para figuras cômicas
Formulação MatricialFormulação Matricial
Ideal para descrever sistemas com muitos elementos óticos
Y
θe
YYi
θi
Ye
Ye = S11 Yi + S12 θi
θe = S21 Yi + S22 θi
ie
i
i
e
e
RSR
Y
SS
SSY
=












=





θθ 2221
1211
innn RSSSR 11....−=
Ex. Matriz S para uma lente positiva
s
s’
f
fd
d’
s
objeto
imagem
Na aproximação paraxial, d e d’ são muito menores do que f
Para o raio 1: Yi = Ye = +d’ , θi ≈ d’/f, θe = 0
Para o raio 2 :Yi = Ye = -d , θi =0, θe ≈ d’/f
s
s’














=

















=





f
d
d
SS
SSd
Y
SS
SSY
i
i
e
e
'
'
0
'
2221
1211
2221
1211
θθ
raio 1
raio 1
f
fd
d’
s
objeto
imagem
θi
raio 2





−






=






−
0
'
2221
1211 d
SS
SS
f
d
d
raio 2








−= 1
1
01
f
S
Temos, então:
aberraçõesaberrações
−+−=
!5!3
53 θθ
θθsen
Teoria de terceira ordem
Paraxial ou 
primeira ordem
Os desvios em relação à teoria de primeira ordem dão origem às aberrações 
primárias.
Aberração esféricaAberração esférica: consiste na dependência da distância focal com a 
abertura para raios não paraxiais.
h
C F
R
Aberração esférica longitudinal
Foco paraxial
R














−+





++
−
=+
2
2
2
121221 11
2
11
2 iiooio sRs
n
Rss
n
h
R
nn
s
n
s
n
Termo adicional 
Coma:Coma: aberração primária monocromática, que degrada a imagem de 
objetos pontuais não axiais. A origem do coma reside no fato de que os 
“planos” principais só são realmente planos na região paraxial, sendo de fato 
superfícies curvas. 
Plano
principal 
objeto
Fo
Foco objeto
H1
V1
A distância focal efetiva varia quando se consideram raios que atravessam a 
lente em posições não axiais. Quando a imagem se forma sobre o eixo ótico, 
esta situação é irrelevante; no entanto, para feixes de raios oblíquos e imagens 
não axiais, o coma torna-se bem visível.
Ótica da partículas carregadasÓtica da partículas carregadas
Refração de um feixe de partículas 
d
E = 0 E = 0
θr
v2y = v1y
v2x
V1 V1 V2 V2
θi
θr
E = (V2 –V1)/d
v1x
v1y
Supondo que o elétron foi acelerado a partir do repouso 
q(V1 –Vo )= ½ mv12
senvsenv θθ =
d
E = 0 E = 0
θi
θr
v2y = v1y
v2x
Quando cruza a superfície equipotencial, a 
componente tangencial de sua velocidade 
(vosenθi) não mudará, mas a componente 
normal (vocosθi) mudará para vocos(θr). 
Então 
ri senvsenv θθ 21 =
V1 V1 V2 V2
E = (V2 –V1)/d
v1x
v1y
2
1
2
1
2
1
)(
)(
n
n
VV
VV
v
v
sen
sen
o
o
r
i =
−
−
==
θ
θ
Analogia com lentes óticas
+
+
-
-
+
+ +
+
+
+
-
-
+
+ +
+
Ótica de partículas em campos axialmente simétricos Ótica de partículas em campos axialmente simétricos 
Na ausência de campos magnéticos, a equação do movimento de uma partícula 
carregada e escrita como 
x
q
dt
xd
m
∂
∂
=
φ
2
2
x
q
dt
xd
m
∂
∂
=
φ
2
2
x
q
dt
xd
m
∂
∂
=
φ
2
2
Na ausência de fontes, a equação de Lapace pode ser escrita como
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
φφφ
De modo geral, não há solução analítica para a maioria dos casos, mas pode-se 
resolver numericamente. A maioria das lentes eletrostáticas, sao feitas por campos 
elétricos com simetria axial, obtidas por tubos ou aberturas cilíndricas. 
Lente eletrostática consistindo de dois tubos cilindricos. a) 
representação esquemática, b) o potencial e sua segunda 
derivada, c) analogia com a ótica geométrica. 
Solução numérica: Método da relaxação
2 2
2
2 2
U U U
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
∂ ∆ ( , ) ( , )2 2Ux y Ux xx y−+∆ ∆−U
U
x x
∂ ∆
≈
∂ ∆
( , ) ( , )2 2Ux y Ux xx y
x
−
=
+∆ ∆
∆
−
Segunda derivada
2
2
U
x
∂
∂
( 2, ) ( 2, )U x x y U x x y
x x
∂ + ∆ − −∆ =  ∂ ∆ 
Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:
1
( 2, ) ( 2, )U x x y U x x y
x x x
∂ ∂ = + ∆ − −∆ ∆ ∂ ∂ 
( 2, )U x x y
x
∂
+ ∆
∂
Vamos calcular o primeiro termo da expressão acima:
1
( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , ))
4
U x y U x y U x y U x y U x y= + ∆ + + ∆ + −∆ + −∆
(x,y+∆)
(x,y) (x+∆,y)(x-∆,y)
(x,y-∆)
Representação de uma lente espessa
F2
P
objeto
imagem
Plano de referência
P2
P1
F2
P
objeto
imagem
Plano de referência
P2
P1
Plano principal
F1
f1
f2
F1 F2
Q
F1
f1
f2
F1 F2
Q
Plano principal
A partícula entrando na lente paralela ao eixo ótico segue uma linha reta até o 
plano principal P2, onde a trajetória é refratada de tal modo que passa pelo ponto 
focal F2.
A partícula passando pelo ponto focal F1 segue uma linha reta até o plano 
principal P1e é então refratada de tal modo que deixa a lente paralela ao eixo 
ótico.
Trajetórias paralelas na entrada, se cruzam no ponto focal F2. 
Algumas relações úteis podem ser obtidas a partir da lente espessa:
2121 ))(( ffFQFP =−−
2
2
1
1 )(
)( f
FQ
fP
f
M
−
−=
−
−=
magnificação linear (r2/r1). 
Geometria de lentes
D
0.1 D
V1 V2
V1 V2 V3
D
D
0.1 D
V1 V2
V1 V2 V3
D
0.1 D
0.1 D
V1 V2
0.1 D
V3 V4
D
D
0.1 D
0.1 D
V1 V2
0.1 D
V3 V4
D
D
Programas de simulação
Lente einzel
12
16
 
 
Q
/D
 100 eV
 90 eV
 80 eV
 70 eV
12 14 16 18 20 22 24 26
4
8
Q
/D
P/D
2121 ))(( ffFQFP =−−