Sobreposição e Análise de Ondas

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Aula 7Aula 7
Sobreposição de ondasSobreposição de ondas
Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);
Óptica moderna – Fundamentos e Aplicações S. C. Zílio (e-book)
-Internet
-Artigos RBEF, The Physics Teacher, Physics Education, American Journal of Physics, European Journal
of Physics, etc...
Os fenômenos de polarização, interferência e difração, que serão 
estudados nos próximos encontros, têm uma base conceitual comum 
pois abordam, na sua essência, aspectos diversos do mesmo processo.
Um dos aspectos mais importantes da equação de onda é a sua 
linearidade. Se ψi (i =1,2,....) é solução, qualquer combinação linear 
destas funções também será solução.
Esta propriedade é conhecida como principio da superposição. 
MESMA DIREÇÃO E MESMA FREQUÊNCIAMESMA DIREÇÃO E MESMA FREQUÊNCIA
ADIÇÃO DE AMPLITUDES COMPLEXAS ADIÇÃO DE AMPLITUDES COMPLEXAS 
Uma amplitude complexa é descrita através do seu módulo e da sua fase
Eo ∠ α
Considere-se duas perturbações descritas por: 
E1 = E01 sen(ωt + α1) → E01 ∠ α1
E2 = E02 sen(ωt + α2) → E02 ∠ α2
I
E02
R
E01
E1 α1
ωt
E02
E2
α2
I
E
E02 = E012 + E022 + 2E01 E02 cos(α2 - α1)
R
E01E1 α1
ωt
E02
E2
α2
E0
α
E
I
E = E0 ∠α = Re(E) + i Im(E)
E0 = [Re(E)2 + Im(E)2 ]1/2 
α = tg-1 [Re(E) ÷Im(E)}
E0
Im(E)
R
Re (E)
α
Duas ondas na mesma direção
ONDAS ESTACIONÁRIASONDAS ESTACIONÁRIAS
ONDAS COM MESMA FREQUÊNCIA EM SENTIDOS OPOSTOSONDAS COM MESMA FREQUÊNCIA EM SENTIDOS OPOSTOS
E1 = E0 sen(kx +ωt )
E2 = E0 sen(kx - ωt )
E = E0 {sen(kx +ωt )+ sen(kx - ωt )}E = E0 {sen(kx +ωt )+ sen(kx - ωt )}
senα+ senβ = 2 sen[1/2 (α+β)] cos[1/2 (α-β)]
E = 2E0 sen(kx) cos (ωt) → onda estacionária
Ondas em sentidos opostos – onda estacionária
ADIÇÃO DE ONDAS DE FREQUÊNCIAS DIFERENTES (BATIMENTOS)ADIÇÃO DE ONDAS DE FREQUÊNCIAS DIFERENTES (BATIMENTOS)
E1 = E0 cos(k1x - ω1t )
E2 = E0 cos(k2x - ω2t )
E = E0 {cos(k1 x - ω1t)+ cos(k2x - ω2t )}
cosα+ cosβ = 2 cos[1/2 (α+β)] cos[1/2 (α-β)]
E = 2E0 cos[1/2(k1 – k2)x – (ω1 - ω2)t] cos[1/2(k1 + k2)x – (ω1 + ω2)t]E = 2E0 cos[1/2(k1 – k2)x – (ω1 - ω2)t] cos[1/2(k1 + k2)x – (ω1 + ω2)t]
<ω> = (ω1 + ω2)/2 ωm =(ω1 - ω2)/2
<k> = (k1 + k2)/2 km = (k1 - k2)/2 
E = 2E0 cos[kmx – ωmt] cos[ <k>x – <ω>t ]
E 0(x,t)
A perturbação pode ser considerada como uma onda que se propaga com uma 
amplitude variável no tempo.
batimentos
A PARTÍCULA LIVREA PARTÍCULA LIVRE
fase
vtxik
v
EE
v
p
E
k
v
E
kp
Aetx
2
22
),( )(
===
==
=
=
= −
ω
ω
ψ
h
h
faseclássica v
p
E
m
E
v 2
22
===
∆x =∞
dkekAtx
dxAdx
tkxi∫
∫∫
∞+
∞−
−
+∞
∞−
+∞
∞−
=
∞+==
)(
2
1
),( )(
2*
π
ψ
ψψ
ω
Não normalizável→ a partícula livre não pode existir com energia bem definida!
dxexkA
dkekAx
ikx
ikx
∫
∫
∞+
∞−
−
∞+
∞−
∞−
=
=
)0,(
2
1
)(
)(
2
1
)0,(
ψ
π
π
ψ
∆p
Região acessível
Região proibida
∆x∆p=ħ/2
∆x∆p≥ħ/2
∆x
x
ψ (x)
∆x
p
A(p)
∆p
p
x
p
Trajetória clássica
p
x
∆x
∆p Trajetória quântica
ONDAS PERIÓDICS NÃO HARMÔNICAS ONDAS PERIÓDICS NÃO HARMÔNICAS –– ANÁLISE DE FOURIERANÁLISE DE FOURIER
As ondas senóidais puras não têm significado físico.
Teorema de Fourier: “qualquer função f(x), de período λ pode ser 
representada como a soma de funções harmônicas de comprimentos de 
onda iguais a submúltiplos de λ (λ , λ/2, λ/3, etc..) 
∑∑
∞∞A
∫
∫
∑∑
=
=
++=
∞
=
∞
=
λ
λ
λ
λ
0
0
11
0
)()(
2
)cos()(
2
)()cos(
2
)(
dxmkxsenxfB
dxmkxxfA
mkxsenBmkxA
A
xf
m
m
m
m
m
m
ONDAS NÃO PERIÓDICAS – INTEGRAIS DE FOURIER
LARGURAS DE BANDAS ÓTICASLARGURAS DE BANDAS ÓTICAS
Lâmpada de vapor de sódioLâmpada de vapor de sódio
Espectro de raias 
Largura de banda ∆ν
Estados estacionários : ∆E = 0
Meta estado : ∆E ≠ 0 → ∆t ≅ ħ/∆E
E2
Estados estacionários : ∆E = 0
∆t = ∞
E1
Efóton = hν = E2 – E1
“Principio da incerteza” : ∆E∆t≅ħ
As transições atômicas responsáveis pela geração de luz ocorrem durante 
intervalos de tempo da ordem de 10-8 - 10-9 s
tempo
∆t
frequência
∆ν
FLUORESCÊNCIA xFLUORESCÊNCIA x FOSFORESCÊNCIAFOSFORESCÊNCIA
Singleto↑↓
Tripleto ↑↑
Fóton UV Singleto↑↓
a
b
so
rç
ã
o
flu
o
re
sc
ê
n
ci
a
Tripleto ↑↑
Fóton visível
Fóton visível
FluorescênciaFluorescência
fosforescênciafosforescência
fosforescênciafosforescência
Tempo de coerência: ∆t ~1/∆ν
Comprimento de coerência: ∆x = c∆t
(distância ao longo da qual uma onda se pode considerar senoidal (fase 
constante)
Lasers → alguns metros ≤ ∆x ~ 100.000 m ou até mais