p1calculo2-2013-per1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Matemática
1a Prova de Cálculo II - MAA- 2013/01
1a Questão: (3,0 pontos) Determine se cada sequência abaixo converge(e, neste caso, para qual
valor) ou diverge:
(a)
{
4n3
(2n+1)(2n+3)
}
(b)
{
1√
n
− 1√
n+2
}
(c)
{
1√
n2+2n−
√
n2+n
}
.
2a Questão: (4,0 pontos) Determine se cada série abaixo converge(e, neste caso, para qual valor)
ou diverge:
(a)
∞∑
n=1
4n3
(2n+ 1)(2n+ 3)
(b)
∞∑
n=1
(
1√
n
− 1√
n+ 2
)
(c)
∞∑
n=1
(
1√
n2 + 2n−
√
n2 + n
)
(d)
∞∑
n=1
(
4n3
(2n+ 1)(2n+ 3)
+
1√
n
− 1√
n+ 2
)
.
3a Questão: (3,0 pontos) Seja f(x) = Ln(x) e considere sua série de Taylor com centro em a = 1,
dada por
∞∑
n=0
(−1)n
(n+ 1)
(x− 1)n+1.
(a) Determine o raio R e o intervalo de convergência I da série de Taylor de f (verificar os
extremos!);
(b) Assumindo que a série de Taylor de f converge para f em I, determine um valor aproximado
para Ln(2), tal que o erro estimado |E| < 0.2;
(c) Determine o polinômio de Taylor de f , com centro a = 1 e ordem 2 e utilize-o para obter
um valor aproximado para Ln(23). Obtenha o erro estimado de Lagrange desta aproximação;
(d) Justifique (usando somente propriedades de séries de potëncias e algum dos lembretes abaixo)
porque a série de Taylor de f converge para f .
f(x) série de MacLaurin de f(x)
1
1−x
∞∑
n=0
xn, se |x| < 1
ex
∞∑
n=0
xn
n!
, ∀x ∈ IR
sen (x)
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
, ∀x ∈ IR
f(x) série de MacLaurin de f(x)
(1 + x)α
∞∑
n=0
(
α
n
)
xn, se |x| ≤ 1, quando α > 0;
se x ∈ (−1, 1], quando −1 < α ≤ 0;
se |x| < 1, para os outros valores de α ̸= 0,
onde
(
α
0
)
= 1 e
(
α
n
)
= α(α−1)...(α−(n−1))n! , se n ∈ IN
cos(x)
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
, ∀x ∈ IR
a série geométrica
∞∑
n=1
Aqn−1 converge para A1−q , quando |q| < 1
a série
∞∑
n=1
1
nα
converge se α > 1 e diverge se α ≤ 1