Sistemas Estocásticos e Random Walks

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Sistemas aleatórios
Random walks e parentes
próximos
Sistemas aleatórios
Agora: sistemas estocásticos
⇒ Grande número de graus de liberdade
⇒ Descrição estatística
Até agora: sistemas determinísticos
⇒ Equação diferencial + cc
Líquido, spins, difusão
Já sabem!
Décima Terceira Aula: 
Números aleatórios
Geração de distribuições não-uniformes
Met Comp I – Érica 
Décima Quarta Aula: 
Método de Monte-Carlo: Resolução de 
Integrais
Café com creme
Não !!!
1 gota de creme numa xícara de café
~1023 moléculas de “creme”
~1023 equações de movimento
Método de euler
Como espalha?
Café com creme
Random walk
1 gota de creme numa xícara de café
Modelo
Como espalha?
Do mais simples para o mais 
complicado ...
Random walk 1 dimensão 
�
Random walk 2 dimensões
�
Self-avoiding walks Difusão
Passo constante
Passo aleatório
Random Walk – Passeio aleatório
Movimento browniano
difusão
Random Walk 1d 
Passos de 
tamanho 1X0=0
Programa
x=0
Para i=1 até Npassos
r=random
se (r<0.5) x=x+1
se (r>=0.5) x=x-1
<x(i)>=<x(i)>+x
<x2(i)>=<x2(i)>+x*x
Random Walk 1d 
0 20 40 60 80 100
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
 
 
x
passo
3 realizações 
diferentes
10 realizações diferentes
0 20 40 60 80 100
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
 
 
<
x
>
t
< >→→→→ Média sobre
realizações
Aumentando o número de 
realizações
0 20 40 60 80 100
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
 
 
<
x
>
t
0 20 40 60 80 100
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
 
 
<
x
>
t
<x>~0
Flutuações!
100 10.000
Calculando <x2>
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
 
 
<
x
2
>
t
<x2>=2Dt
<x2>=2dDt
Em d dimensões
100
Comparando com uma partícula
livre
Random walk <x2>=2Dt
Livre x=x0+vt <x
2>~t2
Mais devagar
Difusão anômala
Lim t →∞ <x
2> ~ tµ
0 < µ < 1 subdifusão
µ =1 difusão normal
µ > 1 Superdifusão
µ = 2 Regime balístico 
10.000 realizações diferentes
D=1/2
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
 
 
<
x
2
>
t
Não é surpreendente
∑
=
=
n
i
in sx
1
Xn é a posição depois de n
passos
Si =+-1 Si é o deslocamento
para o i-ésimo passo:
Não é surpreendente
0
1
== ∑
=
n
i
in sx
Si =+-1
Com igual 
probabilidade 
<Si >=0
Fazendo o mesmo para x2
Como os passos são 
independentes entre si∑ ∑
= =






=
n
i
n
j
jin ssx
1 1
2
SiSj=+-1 
com igual 
probabilidade
para i≠j
<SiSj>=0 
para i≠j
Para um número grande de rw
Lembrando que
Si2=1
como n=t
nsx
n
i
in =><>=< ∑
=1
22
<x2>=2Dt
com D=1/2
Desvio padrão de x2
∑
=
><>=<
n
lkji
lkjin ssssx
1,,,
4
( ) 224222 nnnn xxxx −=−=σ
Não nulo quando i,j,k e l são iguais ou
quando são iguais aos pares
nsx
n
i
in =><>=< ∑
=1
22
( ) 224222 nnnn xxxx −=−=σ
nnsssx
n
i
n
i ij
jiin 233
2
1 1
2244 −=





+>=< ∑ ∑ ∑
= = ≠
nnn 222 2 ≈−=σ
nxn ~~
2σ
A separação entre dois andarilhos 
cresce com n
Histogramas
10.000 realizações
bin=2
t=10 passos
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
 
 
p
ro
b
ab
il
id
ad
e
x
Histogramas
10.000 realizações
bin=2
t=100 passos
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
 
 
p
ro
b
ab
il
id
ad
e
x
Difusão
Na próxima 
aula ...
Tamanhos de passo aleatórios
Passos de 
tamanho 
(0,1]
X0=0
Programa
x=0.d0
Para i=1 até Npassos
r=random
rb=random
se (rb<0.5) x=x+(1-r)
se (rb>=0.5) x=x-(1-r)
<x(i)>=<x(i)>+x
<x2(i)>=<x2(i)>+x*x
500 realizações diferentes
D=1/2
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
 
 
<
x
2
>
t
D<1/2
Também não é surpreendente
∑
=
=
n
i
in sx
1
Xn é a posição depois de n
passos
-1=<Si =<1 Si é o deslocamento
para o i-ésimo passo:
Calculando xn2
∑ ∑
= =






=
n
i
n
j
jin ssx
1 1
2
Como os passos são 
independentes entre si
SiSj=+-(0,1) 
com igual 
probabilidade
para i≠j
0=∑
≠
n
ji
jiss
Para um número grande
de rw
Calculando xn2
><>=< ∑
=
n
i
in sx
1
22
Lembrando que
Si2 está distribuído 
uniformemente no 
intervalo(0,1]
∫∫ ==>=<
1
0
2
1
0
22
3
1
)( dyydyyPysi
constante
Substituindo si2
6
1
=D
como n = t
<x2>=2Dt
33
1
1
2 n
x
n
i
n =>=< ∑
=
De acordo com o 
gráfico!
Random Walk 2d 
Passos de 
tamanho 1
RandomWalk
Programa
x=0, Y=0
Para i=1 até Npassos
r=random
rb=random
se (rb<0.5) 
se (rb>=0.5) 
<r(i)>=<r(i)>+sqrt(x*x+y*y)
<r2(i)>=<r2(i)>+x*x+y*y
se (r<0.5) x=x-1 
se (r>=0.5) x=x+1
se (r<0.5) y=y-1 
se (r>=0.5) y=y+1
500 realizações diferentes
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
 
 
<
r2
>
t
<x2> ~ t
10.000 realizações diferentes
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
 
 
<
r2
>
t
D=1/6
<x2>=2dDt
Self-avoiding Walk - SAW
Passos de 
tamanho 1
Self-avoiding Walk - SAW
Random walk: cada passo é
completamente independente de 
todos os anteriores
Na natureza nem sempre é assim:
polímeros
SAW
Blocos de construção
Porém: não é permitido superpor
Iguais a RW
Self-avoiding Walk - SAW
Self-avoiding Walk - SAW
Interrompe o 
crescimento
Growing SAWs ou
Kinetic SAWs
simulação
Problema!
Problema: probabilidades
diferentes
Escolher o próximo
passo entre
TODAS as direções
e parar se 
interceptar
simulação
Solução
SAW
RW
SAW
Cresce mais rápido
Expoente de Flory
<r2> ~ t2ν
RW <r2>~t, ν =0.5
� ν = 0.735
livre <r2>~t2, ν =1
� ν = 0.661
SAW em mais dimensões
2D ν=3/4=0.75
3D ν=3/5=0.6
4D α=0.575
D cresce
⇒ ν → 0.5
⇒ RW
Solução: parar e 
recomeçar ao
interceptar
simulação
Enumeração X simulação
Para um dado n 
(pequeno!) enumerar
todos os possíveis
SAWs
enumeração
Custo
computacional
alto
Método da enumeração
Método da enumeração
nnr
r
n
n ν
ν
2
1~
1
1~
2
2
2
1
+




 +
+
ν = 0.735
Próxima aula
Random walks e 
difusão
Referência
Computational Physics
N. J. Giordano e H. Nakanishi
Fundamentals of Statistical and 
Thermal Physics
Federick Reif