PROBABILDADES - 25 de Janeiro de 2021

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Introdução ao estudo de Análise Combinatória
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar conduziu ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Os estudos sobre esta matéria foram iniciados já no século XVI pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois seguiram-se os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal(1623-1662). 
A Análise Combinatória integra tipos de combinações como permutações, arranjos e combinações e com base nela podemos, por exemplo, calcular quantos carros a mais se ganha aumentando uma letra no sistema de placas, saber quantas chances temos de ganhar um prémio na lotaria, etc.
Os conteúdos abordados neste caso são: Factorial, Princípio Fundamental da Contagem, Permutações, Arranjos, Combinações e Binómio de Newton.
Ao contrário do que muitos alunos podem pensar, a Análise Combinatória não é Estatística! Como já se disse, ela ocupa-se com as técnicas de contagem. A sua utilização permite, por exemplo, saber quantos são os resultados possíveis de uma experiência, de quantas formas diferentes uma experiência pode ser realizada, etc. Note-se que, ao realizar uma experiência, apenas se observa um resultado de cada vez. A Análise Combinatória calcula o número de resultados possíveis diferentes que essa experiência pode originar. Por vezes, quando a experiência é muito simples, é imediato saber quantos são os resultados possíveis. Por exemplo, quando se lança um dado vulgar, embora só seja possível observar um resultado, não é difícil perceber, sem recurso a técnicas de contagem, que os resultados possíveis são seis. Mas imagine que a experiência consista no lançamento de dois dados. Quantos serão, neste caso, os resultados possíveis? E se forem lançados dez dados? A contagem do número de resultados possíveis começa então a tornar-se mais difícil. É em casos como estes, em que é necessário saber quantos são os resultados possíveis e em que tal contagem não é óbvia, que o Cálculo Combinatório se revela como sendo uma ferramenta matemática de enorme importância.
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um resultado pode ser obtido em n1 maneiras diferentes; e se, após isso, um segundo resultado pode ser obtido em n2 maneiras diferentes; ...; e, finalmente, se um kº resultado pode ser obtido em nk maneiras diferentes, então, todos os k resultados podem ser obtidos, na ordem especificada, de maneiras diferentes.
Lema 1
Consideremos os conjuntos e 
Podemos formar pares ordenados onde e 
Demonstração
Fixemos o primeiro elemento do par e façamos variar o segundo.
Teremos:
O número total de pares ordenados é então 
Lema 2
O número de pares ordenados tais que , e 
 (para ) é .
Demonstração
Fixemos o primeiro elemento do par e façamos variar o segundo.
Teremos:
O número total de pares é 
O Princípio Fundamental da Contagem consta de duas partes (A e B) ligeiramente diferentes.
Parte (A) do Princípio Fundamental da Contagem
Consideremos r conjuntos 
.............................................
 e 
Então, o número de r-uplas (sequências de r elementos) do tipo 
onde ,, ..., é .
Parte (B) do Princípio Fundamental da Contagem
Consideremos o conjunto A com m elementos. Então, o número de r-uplas ordenadas (sequências com r elementos) formadas com elementos distintos dois a dois de A é:
Ou seja, se , o número de sequências do tipo 
com é 
A Parte (A) e a Parte (B) do Princípio Fundamental da Contagem podem ser feitas através do Princípio da Indução Finita.
	Se um acontecimento é composto de n etapas sucessivas e 
n1 é o número de modos de ocorrência da 1ª etapa,
n2 é o número de modos de ocorrência da 2ª etapa ...............................................................................
nk é o número de modos de ocorrência da kª etapa
então o acontecimento pode ocorrer de n1modos.
Exercício 1
Numa festa há 11 rapazes e 20 moças. Decide-se fazer um sorteio para escolher um casal que dará uma exibição de dança. Quantos são os possíveis resultados do sorteio? Resp.: 220.
Exercício 2
Rui dispõe de 6 calças, 9 camisas e 2 pares de sapatos. Com estas peças, quantos conjuntos diferentes de calças, camisa e sapato pode formar para vestir-se? Resp.: 108.
Exercício 3
Se tivermos 2 caminhos de A até B, 3 caminhos de B a C e 5 de C a D, quantos caminhos diferentes teremos de A a D passando por B e C? Resp.: 30.
Exercício 4
Numa eleição para a directoria de um clube concorrem 3 candidatos a presidente, 2 a vice-presidente, 3 a secretário e 4 a tesoureiro. Qual o número de possíveis desta eleição? Resp.: 72.
Exercício 5
Quantos números de três algarismos distintos podem ser escritos com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Resp.: 210.
Exercício 6
Dez clubes disputam um torneio de futebol onde são atribuídos troféus ao campeão e ao vice. Quantas as possíveis classificações nesses dois primeiros lugares, supondo que haverá só um vice? Resp.: 90.
Exercício 7
De quantos modos podemos colorir num mapa as três províncias da zona centro de Moçambique, dispondo-se de 6 cores e devendo-se usar uma delas para cada província? Resp.: 120.
 
Exercício 8
De quanto modos 5 pessoas podem se colocar sentados num banco de 5 lugares numerados? Resp.: 120.
Exercício 9
Se 6 cavalos disputam num páreo, de quantos modos diferentes podem se classificar? Resp.: 720.
Exercício 10
Os 14 livros que estão numa estante são romances, sendo 8 de autores brasileiros, 3 de autores franceses e 3 de autores ingleses. De quantos modos se pode escolher da estante um conjunto de 3 livros de autores de nacionalidades diferentes? Resp.: 72.
Exercício 11
Um salão de festas tem 10 portas. Pergunta-se: 
a) Quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra? 
 Resp.: 90
b) Quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar no salão e sair dele? 
 Resp.: 100.
Exercício 12
Para o campus de uma mesma universidade existem 6 entradas para veículos motorizados, sendo que todas elas têm trânsito nos dois sentidos. Quantas as maneiras que podem ser escolhidas para um carro entrar e sair? Resp.: 36.
Exercício 13
Quantas placas diferente de automóveis, formadas por duas letras seguidas de quatro algarismos, podem ser feitas com as letras A e B e os algarismos ímpares? Resp.: 2500.
Exercício 14
No sistema de placas de carros com duas letras (tomadas do alfabeto português acrescido das letras k, w e y) seguidas de quatro algarismos, quantos podem ser emplacados? Resp.: 
Exercício 15
Se os números de telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos, sendo que o primeiro dígito nunca é zero, qual o número máximo de telefones que se podem instalar? Resp.: . 
Exercício 16
Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as localidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta de A a B, utilizando rodovia e ferrovia, obrigatoriamente, em qualquer ordem? Resp.: 21.
Exercício 17
Se n é o número de portas de um salão, quantas são as possibilidades de se entrar por uma delas e sair por outra diferente? Resp.: .
Exercício 18
Uma corrida é disputada por n atletas. Quantas são as possibilidades de colocação nos 3 primeiros lugares? Resp.: .
Exercício 19
Uma prova é disputada por n atletas. Não havendo empates ou desclassificações, quantas são as possíveis classificações dos n atletas? Resp.: 
Exercício 20
De Porto Alegre ao Rio os voos podem ser feitos de m maneiras diferentes (por m companhias). Do Rio a Salvador podem ser de n maneiras diferentes (n companhias). De Salvador a Recife podem ser de p maneiras diferentes (p companhias). De quantos modos diferentes uma pessoa pode viajar de Porto Alegre a Recife fazendo escalas no Rio e em Salvador? Resp.: 
Exercício 21
Lançando-se uma moeda três vezes e observando-se a sequência obtida de resultados (cara (K) ou coroa (C) na face superiorda moeda), quantos são os resultados (sequências diferentes) possíveis? Resp.: 8.
Exercício 22
Quantos números de 3 algarismos (distintos ou com repetição) podem ser escritos com sos algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Resp.: 
Exercício 23
Numa determinada cidade os números de telefone são constituídos de seis dígitos. Qual o aumento na quantidade disponível de telefones ao se passar para o sistema de números telefónicos com 7 dígitos, sabendo-se que o primeiro dígito não pode ser zero? 
Resp.: 
2. Arranjos
Dado um conjunto E de n elementos, chamam-se arranjos simples dos n elementos de E, tomados p a p, as sequências formadas de p elementos distintos escolhidos entre os n elementos disponíveis. 
O número de arranjos simples dos n elementos tomados p a p indica-se por , , ou desde que se cumpra a seguinte condição: .
 ou são as fórmulas para o cálculo do número de arranjos simples.
Exercício 24
Quantos são os arranjos simples de 4 elementos tomados 3 a 3? Resp.: 24.
Exercício 25
Calcular o número de arranjos simples de 12 elementos tomados 3 a 3. Resp.: 1320.
Exercício 26
Calcular os números:
a) d) 
b) e) 
c) 
Resp.: a) 60 b) 5 c) 120 d) 30 e) 336
Exercício 27
Sabendo que o número de arranjos simples de n elementos 2 a 2 é 30, determinar n. Resp.: 6.
Exercício 28
Determinar o número x inteiro e de modo que se tenha 
a) 
b) 
Resp.: a) 13 b) 11
Exercício 29
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de três algarismos distintos podem ser escritos? Resp.: 210.
Exercício 30
Sílvia quer usar ao mesmo tempo dois anéis colocando-os em dedos diferentes da mão esquerda (excepto o polegar). De quantos modos poderá fazê-lo?. Resp.: 20.
Exercício 31
Para colorir num mapa as províncias da República de Moçambique dispomos de 13 cores. De quantos modos podemos fazê-lo usando uma cor para cada província? Resp.: 
Exercício 32
De quantos modem ser distribuídos os uniformes, numerados de 1 a 10, para os cinco componentes de uma equipe de básquete? Resp.: 30240.
Exercício 33
Dos números que se escrevem com 3 algarismos distintos do conjunto {1, 2, 3, 4 e 5}, quantos são pares? Resp.: 24.
Exercício 34
Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números ímpares de três algarismos distintos podem ser escritos? Resp.: 36. 
Exercício 35
Dos números naturais que se escrevem no sistema decimal com 4 algarismos distintos, quantos têm o 1 como algarismo das unidade de milhar? Resp.: 504.
Exercício 36 
Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal de numeração? Resp.: 648.
3. Permutações
	
Sabemos que . 
Se n = p, temos 
Cada um destes arranjos distingue-se dos outros só pela ordem de colocação dos elementos. 
Este arranjos chamam-se permutações dos n elementos. 
Indica-se o número destas permutações por Pn (lê-se permutações de n). 
Então que também se indica (lê-se n factorial)
Exercício 37 
De quantos modos podemos colocar, de forma usual, 6 livros numa estante onde eles cabem exactamente? Resp.: 720.
Exercício 38 
Usando todos os algarismos do conjunto {3, 5, 6, 8}, quantos números inteiros de 4 algarismos dá para escrever? Resp.: 24.
Exercício 39 
De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila indiana? Resp.: 120.
Exercício 40 
Um anagrama de uma palavra é qualquer permutação das suas letras. Escreva todos os anagramas da palavra OCA. 
Exercício 41 
Quantos são os anagramas da palavra ROMA? Resp.: 24.
Exercício 42
Dos anagramas da palavra PERNAMBUCO, quantos começam por PER, nesta ordem? 
Resp.: 5040.
Exercício 43 
Quantos anagramas da palavra PERNAMBUCO começam por P, E e R, em qualquer ordem? Resp.: 30240.
Exercício 44 
De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar num banco de 5 lugares se duas delas querem ficar juntas? Resp.: 48.
Exercício 45 
Das permutações das letras a, b, c, d, e, f, g, h, quantas começam por a, b, c (sucedendo-se em qualquer ordem) e terminam por f?
4. COMBINAÇÕES
Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a1, a2, ..., am}. Chamamos de combinações dos m elementos, tomados r a r, aos subconjuntos de M constituídos de r elementos.
Exemplo 
M = {a, b, c, d}
As combinações dos 4 elementos, tomados dois a dois, são os subconjuntos:
{a, b} {b, c} {c, d}
{a, c} {b, d}
{a, d}
Notemos que {a, b} = {b,a} pois combinação é um conjunto, portanto não depende da ordem dos elementos.
É importante notar a diferença entre uma combinação (conjunto) e uma sequência, pois numa combinação não importa a ordem dos elementos, ao passo que numa sequência importa a ordem dos elementos. 
A própria natureza do problema a ser resolvido nos dirá se os agrupamentos a serem formados dependem ou não da ordem em que figuram os elementos.
Fórmula do número de combinações
Seja M = {a1, a2, ..., am}e indiquemos por ou o número de combinações dos m elementos tomados r a r.
Exercício 46
Deseja-se formar uma comissão de três membros e dispõe-se de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
Resolução
Cada comissão é um subconjunto de 3 elementos (pois dentro de cada comissão não importa a ordem dos elementos). Logo, o número de comissões é: 
Ou, doutra maneira, =120 comissões.
Exercício 47
Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os sete existentes. De quantas isto pode ser feito?
Resolução
Os quatro lugares escolhidos são um subconjunto dos sete existentes, em que não importa a ordem das cadeiras). Logo, esta escolha pode ser feita de maneiras diferentes. 
Exercício 48
Sabendo-se que determine o valor de p.
Resolução
Exercício 49
Calcule p, sabendo-se que 
Resolução
Pois, por definição, 0! = 1 assim como 1! = 1.
Exercício 50
Calcule sabendo-se que .
Resolução
5 . O BINÓMIO DE NEWTON
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727) - nasceu no interior da Inglaterra tendo estudado no Trinity College em Cambridge.
Interessava-se muito por Química mas depois de estudar as obras de importantes matemáticos como Euclides, Oughtred, Kepler, Viéte, Wallis, Galileu, Fermat e Huygens, adquiriu grande conhecimento matemático.
Por ocasião da peste, voltou para casa pois o colégio foi fechado e neste período fez suas principais descobertas: o teorema binomial, o cálculo, a lei de gravitação e a natureza das cores. 
As suas contribuições à Matemática estão reunidas na obra monumental Principia Mathematica, escrita em 1687. 
O teorema binomial foi enunciado pela primeira vez numa carta enviada a Oldenburg, destinada a Leibniz e, a partir daí, os processos infinitos seriam amplamente usados.
Denomina-se Binómio de Newton , a todo o binómio da forma (a + b)n, sendo n um número natural e a e b quaisquer números reais.
Exemplo: 
(3x - 2y)4 onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binómio] .
Exemplos de desenvolvimento de binómios de Newton:
a) (a + b)0 = 1
b) (a + b)1 = a + b
c) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
d) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
e) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
f) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida.
O segundo membro do desenvolvimento de um binómio de grau zero tem um único termo, este termo é 1 
O segundo membro do desenvolvimento do Binómio de Newton
O segundo membro do desenvolvimento de um binómio de grau um tem dois termos (parcelas), a + b. 
Se o expoente do binómio for dois, o segundo membro tem três termos: a2 + 2ab + b2; se o expoente do binómio for três, o segundo membro tem quatro termos: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Generalizando, o desenvolvimento do binómio (a + b)n é um polinómio de n+1 termos.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de 5 até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até 5. 
O expoente do primeiro e último termos são iguais ao expoente do binómio, ou seja, igual a 5. 
Os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (a + b)n são iguais.
A partirdo segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos da seguinte maneira:
Multiplica-se o coeficiente de a pelo seu expoente e divide-se o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento do binómio (a + b)5 ter-se-á: 
; agora divide-se 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu  de 1 para 2).
Fórmula do termo geral de um Binómio de Newton
Qualquer termo Tk+1 do desenvolvimento de (a + b)n , sendo p um número natural, é dado por 
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. 
Este número é também conhecido como Número Combinatório.
Soma dos coeficientes de (a + b)n
A soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n, ou seja, .
Exemplo:
Consideremos o binómio: (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5 
A soma dos coeficientes é 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25
Para obter a soma dos coeficientes de um binómio de Newton, basta fazer a = 1 e b =1, achar a soma e calcular o valor do binómio. Neste caso, teremos (1 + 1)5 = 25 = 32.
Exercícios
Exercício 5.1 
Determine o sétimo termo do binómio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
Resolução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n, onde a = 2x, b = 1 e n = 9. 
Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
Exercício 5.2 
Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Resolução:
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8.
Sabemos que o desenvolvimento do binómio terá 9 termos, porque n = 8. 
Sendo T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8 e T9 os termos do desenvolvimento do binómio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o problema resume-se ao cálculo do T5. Para tal, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. 
Teremos:
T5 = 90720x4y4 é o termo médio procurado. 
Exercício 5.3 
Desenvolvendo o binómio (2x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. 
Qual o valor de n?
Resolução:
Ora, se o desenvolvimento do binómio possui 16 termos, então o expoente do binómio é igual a 15. 
Logo, 3n = 15 de onde se conclui que n = 5.
Exercício 5.4 
Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de:
a) (2x – 3y)12 ?
b) (x –y)50 ?
Resolução:
a) basta fazer x =1 e y =1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
Exercício 5.5 
Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x+1/x)6.
Resolução:
Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. 
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever: 
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p = 3. Substituindo então p por 3, teremos o termo procurado. Temos então:
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
Triângulo Aritmético de Pascal (ou de Tartaglia)
O Triângulo aritmético de Pascal (ou de Tartaglia) é uma tabela onde podemos dispor ordenadamente os coeficientes binomiais:
Isto é, 
A primeira linha contém o coeficiente binomial com n = 0
A segunda linha contém os coeficientes binomiais com n = 1
A terceira linha contém os coeficientes binomiais com n = 2
................................................................................................
A kª linha contém os coeficientes binomiais com n = k
etc.
Podemos também escrever o triângulo de Pascal substituindo cada coeficiente binomial pelo seu valor:
A primeira linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)0
A segunda linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)1
A terceira linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)2.
E assim por diante.
Na construção do triângulo de Pascal, não é necessário calcular os coeficientes binomiais um a um. Basta usarmos algumas das suas propriedades.
Propriedades do triângulo de Pascal
1º) Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1, pois qualquer que seja a linha, o primeiro elemento é , . 
2º) Em cada linha do triângulo, o último elemento vale 1, pois qualquer que seja a linha, o primeiro elemento é , . 
3º) A partir da 3ª linha, cada elemento (com excepção do primeiro e do último) é a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. 
Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel e afirma que:
4º) Numa linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dos extremos, são iguais.
Exercício 5.6
Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .
Soluções: a) F; b) V; c) V; d) V; e) V; f) V
Exercício 5.7
Demonstre que 
Demonstração:
Vamos desenvolver o binómio .
Temos:
Logo, .
Exercício 5.8
Calcule: 
Resolução 1
 é a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binómio de Newton para , isto é, . 
Fazendo a = 1 e b = 1 teremos .
 = 
Resolução 2
 
 
 (é a soma dos coeficientes da 5ª linha, para n = 4, no triângulo de Pascal)
 	 
Exercício 5.9
Calcule:
a) b) c) 
Resolução
a) 
b) 
c) 
Exercício 5.10
Calcule m sabendo que 
Resolução
 
Acrescentando ao primeiro membro o termo teremos o desenvolvimento do binómio de Newton para , isto é, .
Assim, 
Exercício 5.11
Calcule 
Resolução
Teoria de Probabilidades 
1 – EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS 
Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resultado que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos acaso.
Exemplos de experimentos aleatórios:
a) Lançar uma moeda e observar a face de cima.
b) Lançar um dado e observar o número da face de cima.
c) Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas obtidas.
d) Lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas.
e) De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, seleccionar 10 peças e observar o número de peças defeituosas.
f) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, seleccionar uma bola e observar sua cor.
g) De um baralho de 52 cartas, seleccionar uma carta, e observar seu Ás.
h) Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia, seleccionar 20 pessoas e observar o número de portadores da moléstia.
i) Observar o tempo que um certo aluno gasta para ir “chapa”, de sua casa até a escola.
j) Injectar uma dose de insulina numa pessoa e observar a quantidade de açúcar que diminuíu.
k) Sujeitar uma barra metálica a tracção e observar sua resistência.
 Dê quatro exemplos de outros experimentos aleatórios.
2 – ESPAÇO AMOSTRAL 
Chamamos de espaço amostral, e indicamos por Ω, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Para cada um dos seguintes experimentos aleatórios, indique o espaço amostral
a) Lançar uma moeda e observar a face de cima.
b) Lançar um dado e observar o número da face de cima.
c) Lançar duas moedas e observar as sequências de caras e coroas obtidas.
d) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas brancas(B) e 5 bolas azuis, extrair uma bola e observar sua cor.
e) Lançar uma moeda duas vezes e observar o número de caras.
f) Lançar duas moedas e observar a sequência de caras e coroas.
g) Um lote tem 20 peças. Uma a uma elas são ensaiadas e observa-se o número de defeituosas.
h) Uma moeda é lançada até que o resultado cara (K) ocorra pela primeira vez. Oberserva-se em qual lançamento esse facto ocorre.
i) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.
j) Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e duas brancas (B). Duas bolas são extraídas, sem reposição, e observadas suas cores, na sequência que foram extraídas. 
k) Três pessoas A, B, C são colocadas numa fila e observa-se a disposição das mesmas.
l) Um casal planeia ter 3 filhos. Observa-se a sequência de sexos dos 3 filhos.
m) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados; observa-se os números das faces de cima.
3 – EVENTO (ou ACONTECIMENO) 
Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostral é Ω. Chamamos de evento todo o subconjunto de Ω. Em geral, indica-se um evento por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., X, Y, Z.
Diz-se que um evento A ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido for pertencente a A. Os eventos que possuem um único elemento (# A = 1) são chamados eventos elementares.
Exemplos de eventos:
Uma moeda é lançada 3 vezes, e observa-se a sequência de caras e coroas.
Ω = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); (C, K, C); (C, C, K); (C, C, C)}
 
Eis alguns eventos:
	A: ocorrência de cara (K) no 1º lançamento
	 A = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C)}
	B: ocorrência de exactamente uma coroa
	 B = {(K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)}
	C: ocorrência de, no máximo, duas coroas
	 C = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); (C, K, C); (C, C, K)}
	D: ocorrência de, pelo menos, duas caras
 D = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)}
 
Note que, se # Ω = n, então Ω terá 2n subconjuntos e, portanto, 2n eventos. Entre os ventos, salienta-se o Ø (chamado evento impossível) e o próprio Ω (chamado evento certo). 
Uma moeda e um dado são lançados. Seja 
Ω = {(K, 1); (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6); (C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6)}
 Descreva os eventos:
a) A: ocorre uma cara,
b) B: ocorre um número par
c) C: ocorre o número 3,
d) 
A B
e) 
A C
f) 
B C
g) 
h) 
 
4 – PROBABILIDADES 
1. Considere o espaço amostral Ω = {a1, a2, a3, a4} e a distribuição de probabilidades, tais que:
p1 = p2 = p3 e p4 = 0.1. Calcule:
a) p1, p2 e p3. 
b) Seja A o evento, tal que A = { a1, a3}. Calcule P(A).
c) 
Calcule P().
d) Seja B o evento, tal que B = { a1, a4}. Calcule P(B).
e) 
Calcule P(A B) e P (A B)
2. Seja Ω = {K, C} o espaço amostral do lançamento de uma moeda. É correcta a dostribuição de probabilidades P(K) = 0.1, P(C) = 0.9?
3. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer cara no lançamento desta moeda,
b) ocorrer coroa no lançamento desta moeda. 
4. Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de: 
a) ocorrer número par,
b) ocorrer número maior ou igual a 5.
5. Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par é a mesma, e a probabilidade de observarmos qualquer número ímpar é também a mesma. Porém um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número ímpar. Lançando-se esse dado, qual a probabilidade de:
a) ocorrer um número primo?
b) ocorrer um múltiplo de 3?
c) ocorrer um número menor ou igual a 3? 
Probabilidades em espaço amostral finito
A cada evento de um espaço amostral vamos associar um número real que exprime as “chances” de ocorrência do evento.
Consideremos as seguintes experiências: 
Primeira experiência 
No lançamento de uma moeda perfeita e observação da face superior temos:
 e seus eventos elementares são {K}, {C}. 
É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproximadamente metade deles ocorra cara e na outra metade ocorra coroa. Um modo de exprimir estas chances através de números é dizer que a probabilidade de ocorrer cara é e a probabilidade de ocorrer coroa também é . 
 e 
Segunda experiência
Um dado não tem face gravada com 4 pontos e tem duas faces com 6 pontos.
Este dado é lançado e vai-se observar o número da face superior.
Temos 
 É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, o número 6 ocorra duas vezes mais frequente que cada um dos outros, ao passo que 1, 2, 3 e 5 sejam resultados “igualmente frequentes” entre si. 
Vamos associar a cada evento um número real que exprime as suas “chances” de ocorrência. 
 e . 
Exercício 1
No lançamento de uma moeda com , quais as atribuições de probabilidades entre as seguintes são aceitáveis? 
a) P({K}) = 0.5 e P({C}) = 0.5
b) P({K}) = 0.36 e P({C}) = 0.64
c) P({K}) = 0.98 e P({C}) = 0.2
d) P({K}) = 0 e P({C}) = 1
Resp.: a), b), d).
Exercício 2
Uma experiência tem espaço amostral de 3 elementos . Quais atribuições de probabilidades entre as seguintes são aceitáveis?
a) , e ; 
b) e ; 
c) e ;
d);
e), e .
Resp.: a), c), d), e).
Exercício 3
Duas moedas equilibradas são lançadas e observa-se o par ordenado de resultados. Atribuir probabilidades aos eventos elementares do espaço amostral 
Resp.: ==== 
Exercício 4
Na experiência de lançar uma moeda três vezes e observar a sucessão de resultados da face superior, descreva, na linguagem de conjuntos, o espaço amostral. Se a moeda é equilibrada, qual a probabilidade do evento elementar E = {(K, C, K)}? Resp.: .
Exercício 5 
Uma moeda é “viciada” de modo que a probabilidade de sair cara é o triplo da probabilidade de sair coroa. Quais as probabilidades dos eventos simples de ?
Resp.:; .
Exercício 6 
Uma moeda é defeituosa de modo que num lançamento a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Quais são estas probabilidades? Resp.: ; .
Exercício 7 
Três atletas e disputam um prémio. Sabe-se que as “chances” de vencer são o dobro das de e tem o triplo das “chances” de . Calcular a probabilidade de cada um vencer. 
Resp.: ; ; .
Exercício 8 
Exactamente três atletas participam de uma prova. Sabe-se que dois deles têm a mesma probabilidade de vencer e esta probabilidade é o dobro da probabilidade de o 3º vencer. Quais as probabilidades de cada um? Resp.: ; ;
Exercício 9 
Um dado é construído de tal modo que num lançamento a probabilidade de sair cada número é proporcional a esse número. Nestas condições: 
a) qual o evento elementar mais provável, qual o menos provável e quais as suas probabilidades?
b) qual é a probabilidade de num lançamento dado ocorrer número par?
Resp.: a) {6} e {1}; ; b) 
Exercício 10 
Numa urna estão três bolas brancas e duas bolas pretas indistinguíveis, a não ser pela cor. Dar o espaço amostral e a distribuição de probabilidades pela experiência de retirar uma bola e examinar sua cor. Resp.: ; ; .
Exercício 11 
Três moedas equilibradas são lançadas e observa-se o número de caras. Ω = {0, 1, 2, 3}:
a) 
qual a probabilidade de ocorrência de 0 (isto é, nenhuma cara)? Resp.: . 
b) 
qual a probabilidade de ocorrência do 3 (isto é, de 3 caras)? Resp.: .
c) 
qual a probabilidade de ocorrência do 1? Resp.: .
d) 
qual a probabilidade de sair pelo menos duas caras? .
Probabilidades em espaço amostral equiprovável
Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando os seus eventos elementares ocorrem com qa mesma probabilidade. 
No lançamento de uma moeda (honesta), o espaço amostral é equiprovável, isto é,
 e 
No lançamento de um dado (perfeito), o espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é equiprovável.
# Ω = 6 (número de elementos de Ω)
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 
Num espaço equiprovável Ω, a probabilidadede qualquer evento A pode ser obtida directamente como o quociente do número de elementos de A pelo número de elementos de Ω. 
Também podemos dizer que num espaço equiprovável Ω, a probabilidade de qualquer evento A ser é o quociente do número de caso favoráveis à ocorrência de A pelo número total de casos possíveis. 
Exercício 12 
Numa urna estão 100 bolas. Se uma bola é retirada ao acaso, qual a probabilidade de: 
a) ter número par? Resp.: 0.5.
b) ter número múltiplo de 10? Resp.: 0.1.
c) ter múltiplo de 3? Resp.: Resp.: 0.33
Exercício 13 
Lançando um dado duas vezes, vamos observar os pares ordenados de números das faces superiores. Qual a probabilidade de: 
a) 
ocorrência de números iguais nos dois dados? Resp.: ;
b) 
ocorrência de números iguais soma igual a 8? Resp.: ;
c) 
ocorrência de números com soma igual a 12? Resp.: .
d) ocorrência de números com soma menor ou igual a 12? Resp.: 1.
e) 
ocorrncia do número 3 em pelo menos um dado? Resp.: 
Exercício 14 
Lançando-se dois dados, qual a probabilidade de serem obtidos números nas faces superiores cujo produto seja ímpar? Resp.: .
Exercício 15
Uma urna contém 9 bolas numeradas de 1 a 9. sorteiam-se com reposição duas bolas. Qual a probabilidade de que o número da segunda seja maior do que o da primeira? Resp.: .
Exercício 16
De um baralho comum de 52 cartas retiramos duas cartas duma vez. Qual a probabilidade de sairem dois ases? Resp.: .
Exercício 17
Retirando-se simultaneamente duas cartas de um baralho de 52 cartas, a probabilidade de que sejam duas cartas de paus é maior ou menor que 5%? Resp.: maior.
Exercício 18
O segredo de um cofre é uma sequência de 3 dígitos distintos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Uma pessoa que esqueceu o segredo (lembra-se apenas que eram 3 dígitos diferentes) que abrir o cofre na base de tentativas. Qual a probabilidade de acertar logo na primeira tentativa? Resp.: .
Eventos mutuamente exclusivos
Se A e B são dois eventos de um espaço amostral Ω e tais que A e B não têm elementos comuns, isto é, , dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos. 
 
Probabilidade da união de dois eventos
· 
Se tem-se 
· 
Se tem-se 
Probabilidade do evento complementar
Seja A um evento de Ω e o seu complementar em Ω. Sabemos que e . Então . Assim, concluimos que 
Probabilidade condicional
Exercício 1
Na caixa I existem 3 bolas vermelhas e 2 azuis. Na caixa II existem 2 bolas vermelhas e 8 azuis. Escolhe-se aleatoriamente uma das caixas e dela retira-se aleatoriamente uma bola. Sabendo-se que a bola seleccionada é azul, determine a probabilidade de que ela tenha sido seleccionada da caixa II.
Exercício 2
Dois dados não viciados d1 e d2 são lançados.
a) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 6, se a face observada em d1 foi 2?
b) Qual a probabilidade do dado d1 apresentar face 2, se a soma dos pontos foi 6?
c) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor que 7, sabendo-se que pelo menos um dado apareceu o resultado 2?
d) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4?
e) Qual a probabilidade do máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos for menor ou igual a 9?
Exercício 3
Numa cidade olímpica 400 atletas foram classificados segundo o sexo e o estado civil, de acordo com a tabela.
	
	Solteiro (S)
	Casado (C)
	Divorciado (D)
	Viúvo(V)
	Total
	Masculino
	50
	60
	40
	30
	 180
	Feminino
	150
	40
	10
	20
	 220
	 Total
	200
	100
	50
	50
	
a) Qual a probabilidade da pessoa escolhida ser solteira sabendo que é do sexo masculino?
b) Qual a probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo feminino sabendo que é divorciada?
c) Qual a probabilidade da pessoa escolhida ser divorciada sabendo que é do sexo feminino?
Exercício 4
Uma caixa contém 40 bolas iguais ao tacto. Todas as bolas se podem abrir e algumas contêm dentro a indicação de um prémio surpresa. Estas bolas estão classificadas conforme a tabela seguinte:
	
	Brancas
	Vermelhas
	Com surpresa
	6
	4
	Sem surpresa
	11
	19
Extrai-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de que a bola extraída:
a) Seja branca, sabendo que tem surpresa?
b) Não tenha surpresa, dado que é branca?
Exercício 5
As famílias de uma deteminada cidade escolhem para passar tempos de lazer uma das seguintes actividades: ir à praia, ir ao teatro ou ficar em casa.
Durante o último ano verificou-se que escolhiam aquelas actividades, respectivamente, 50%, 30% e 20% das famílias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as férias está ligada à actividade escolhida: 0.4, 0.6 e 0.5, conforme se tenha ido à praia, ao teatro ou ficado em casa, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de uma família da cidade descansar durante as férias?
b) Sabendo que determinada família descansou durante as ferias qual é a probabilidade da actividade escolhida ter sido o Teatro? 
Exercício 6
Um armazenista recebe lotes de vinho apenas dos produtores A, B, C e D de modo que 20% dos lotes são fornecidos por A, 40% por B e 25% por C. Após a recepção, os lotes são examinados e classificados em duas categorias (primeira e segunda), de acordo com a qualidade do vinho. Dos registos anteriores sabe-se que entre os lotes fornecidos por cada produtor a proporção dos de segunda categoria é de 40% para A, 70% para B, 60% para C e 60% para D. Em dado momento, existe no armazém um lote não identificado que, depois de analisado, se verifica pertencer à primeira categoria. Qual é a origem mais provável desse lote.
– Distribuições Discretas de Probabilidade – 
I. Distribuição Uniforme 
Exercício 1.1
Considere a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado perfeito. Seja a variável aleatória X que representa o número inscrito na face voltada para cima. 
a) Descreva a função de probabilidade da variável aleatória X.
b) Determine a função de distribuição da variável aleatória X.
c) Determine a esperança matemática e a variância da variável aleatória X. (Resp.: 3.5; 2.92)
Exercício 1.2
Uma empresa produtora de energia eléctrica pretende construir no próximo ano uma nova central térmica. 
Ao planear a sua estratégia de produção, conclui que é igualmente provável que a procura seja de 100000, 110000, 120000 ou 130000 kilowatts. 
a) Descreva a distribuição de probabilidade da procura de energia eléctrica em kilowatts.
b) Faça a representação gráfica da função de probabilidade f(x). 
Exercício 1.3
Uma empresa importadora de cafés estudou o lançamento de um novo lote de café de qualidade superior, e está disposta a comercializá-lo em 5 composições diferentes, A, B, C, D e E, se as preferências dos consumidores se revelarem diferenciadas. 
A recolha de uma amostra aleatória de 1000 consumidores potenciais a quem foram oferecidas 5 chávenas de café – sem identificar a composição – forneceu os seguintes resultados: 
	Composição preferida 
	Número de consumidosres
	A
	200
	B
	200
	C
	200
	D
	200
	E
	200
Considera que esta distribuição empírica tem algo a ver com a distribuição uniforme? 
a) Justifique a sua resposta. 
b) Considere a variável aleatória X – composição preferida por um certo consumidor. Descreva a função de probabilidade da variável aleatória X.
 
Exercício 1.4
O Martins resolveu calcular a altura média dos 20 estudantes da sua turma. Após as medições obteve os seguintes resultados:
	Altura (cm)
	145
	146
	150
	155
	156
	Número de alunos
	4
	4
	4
	4
	4
Considere X a variável aleatória que mede altura média de um aluno da turma do Martins.
a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória X.
b) Determine a altura média dos 20 estudantes da turma do Martins. (Resp.: 150.4 cm).
II. Distribuição de Bernoulli 
Exercício 2.1
Uma caixa tem 10 bolas pretas e 10 bolas brancas. Extrai-se aleatoriamente uma bola da caixa. 
Ao extrair uma bola da caixa, designe por sucesso o resultado, «bola preta» e insucesso, «bola branca». 
a) Se forem feitas duas extracções com reposição,qual é a probabilidade do acontecimento associado ao sucesso, na primeira e na segunda extracção? (Resp.: 0.5)
b) Se forem feitas duas extracções sem reposição, qual é a probabilidade de sair bola preta na segunda extracção? (Resp.: depende da bola que foi retirada na primeira extracção).
Exercício 2.2
Admita que os 30 alunos de uma turma vivem às distâncias da escola especificadas no seguinte quadro:
	Distância
	ni
	fi
	Até 1 km
	15
	
	De 1 km a 5 km
	10
	
	Mais que 5 km
	5
	
Seja a experiência aleatória a seguinte: «escolher um aluno ao acaso e verificar se esse aluno vive a mais do que 5 km da escola». 
Seja, agora, a variável aleatória 
a) Represente numa tabela a função de probabilidade da variável aleatória X.
b) Especifique por uma expressão a função de probabilidade da variável aleatória X.
Exercício 2.3
Considere as experiências aleatórias que a seguir se descrevem:
a) lançamento de uma moeda equilibrada, com o objectivo de ver qual a face voltada para cima;
b) nascimento de um rapaz ou rapariga.
Justifique que são provas de Bernoulli.
Exercício 2.4
Com o fim de se analisar a quantidade de precipitação que se faz sentir numa cidade moçambicana, em que as condições atmosféricas são consideradas estáveis, é feito um registo.
Assim, cada dia é classificado em duas categorias, conforme se tenha registado, ou não, precipitação. Esta análise foi feita para:
1. O dia 1 de Novembro, durante doze anos consecutivos;
2. O primeiro dia de cada mês, durante o ano;
3. Os primeiros doze dias de Novembro.
Em qual destes três casos estamos perante uma sucessão de 12 provas de Bernoulli? Porquê? 
(Resp.: primeiro caso).
III. Distribuição Binomial 
Exercício 3.1
O gerente de uma fábrica de pronto a vestir precisa de fornecer uma encomenda de 300 pares de calças. Por não ter essa quantidade de calças em perfeitas condições, resolveu juntar algumas com defeito. Mas concretamente, na encomenda vão 3% de pares de calças com defeito. O comprador seleccionou, para controlar a encomenda, uma amostra aleatória com 5 pares de calças. 
Calcule a probabilidade de que, pelo menos, uma calça da amostra seja defeituosa. 
(Resp.:).
 Exercício 3.2
Um aparelho de detecção de intrusos está montado num cofre forte de um banco. Esse detector utiliza três células sensíveis ao movimento, que actuam independentemente umas das outras. Qualquer uma pode activar o sistema de alarme. A probabilidade de cada célula activar o sistema de alarme é igual a 0.8. 
Pretendendo estudar a eficácia do aparelho de detecção de movimento, considere-se a variável aleatória X que conta o número de células que activam o sistema de alarme quando se presencia um movimento. 
a) Qual a função de probabilidade de X? 
(Resp.: ).
b) Qual é a probabilidade de que o sistema de alarme funcione quando há intruso? 
(Resp.: .
c) Qual é a probabilidade de que o alarme funcione activado pelas três células?
(Resp.: ).
Exercício 3.3
Uma firma de vendas por correio envia cartas anunciando um determinado produto aos possíveis clientes. A percentagem de respostas a essas cartas, é em geral, 10%. Supondo que um prédio tem 20 moradores e que todos receberam uma carta, 
1) Determine a probabilidade de:
a) 
Ninguém responder a essas cartas; (Resp.: ) 
b) 
Duas e só duas dessas cartas terem resposta; (Resp.: )
c) 
A maiorias das cartas terem resposta; (Resp.: )
d) 
Responderem menos de 20% das pessoas contactadas; (Resp.: )
2) diga se a firma pode esperar que os habitantes desse prédio venham a ser receptivos. 
(Resp.: )
Exercício 3.4
Num lote de 100 peças produzidas por uma máquina, 90 são perfeitas. Extraem-se desse lote, aleatoriamente, 5 peças, sendo analisadas uma a uma. Considere a variável aleatória X representando o número de peças defeituosas recolhidas na amostra e determine:
a) 
A função de probabilidade de X; (Resp.: )
b) A probabilidade de se obterem, no máximo, duas peças defeituosas na amostra; 
(Resp.: )
c) 
O número esperado de peças defeituosas na amostra; (Resp.: )
d) 
A variância de X. (Resp.: ).
IV. Distribuição Geométrica e distribuição Binomial Negativa
Exercício 4.1
Para investigar o efeito de medicamento em pessoas com uma determinada deficiência cardíaca, uma equipe de médicos resolveu entrevistar um conjunto de pessoas até encontrar uma com essa deficiência.
Sabendo que na população em estudo a percentagem de pessoas com essa deficiência é igual a 1% calcule a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada nas condições pretendidas, ser a quarta entrevistada. (Resp.: ).
Exercício 4.2
Numa firma de vendas, a probabilidade de que um possível cliente faça uma compra quando procurado por um vendedor é de 0.6 e no arquivo de clientes dessa firma existe um número muito grande de fichas de possíveis clientes. Se um vendedor for seleccionado, no arquivo de fichas de clientes, aleatoriamente, a fim de os contactar, qual a probabilidade de que:
a) 
A primeira compra seja efectuada pelo segundo cliente contactado? (Resp.: ).
b) Aeja necessário contactar pelo menos 3 clientes antes da primeira compra ser efectuada? 
(Resp.: ).
Exercício 4.3
O Manuel resolve lançar sucessivamente uma moeda equilibrada até à obtenção de uma primeira cara. Qual será o número médio de lançamentos necessários que o Manuel espera ter de realizar? 
(Resp.: ).
Exercício 4.4
1. Num campeonato de pesca salmão, é sabido que o número de peixes pescados, em média, até se obter um salmão é igual a 5. considere a variável aleatória, X, que representa o número de peixes pescados até à obtenção de um salmão e suponha que a população de salmão no local onde se realiza o campeonato é muito elevada.
a) Qual a distribuição da variável aleatória X? 
b) 
Calcule . (Resp.: ) 
2. 
Cada concorrente terminará a sua participação no campeonato assim que tiver 8 salmões. Determine o número de peixes que cada concorrente espera ter de apanhar até terminar a sua participação. ; 
Exercício 4.5
1. 
O João emprestou uns livros ao António que, para lhos devolver, se desloca à casa do João. A probabilidade de encontrar o João em casa é . 
a) 
Qual a probabilidade de o António ter de ir mais de 3 vezes à casa do João, para lhe devolver, directamente, os livros? (Resp.: ) 
b) 
Qual a probabilidade de lhos devolver na terceira vez, se na segunda vez o João não estava em casa? (Resp.: )
c) 
Quantas deslocações se espera que o António faça para devolver os livros? (Resp.: 
2. Suponha que o João também emprestou livros à Maria e que solicita aos dois amigos a devolução dos mesmos. Para tal ambos vão à casa do João, separadamente, para fazer a devolução. Qual a probabilidade de que sejam necessárias, no total (no conjunto dos dois), quatro idas à casa do João para os dois amigos lhe entregarem, pessoalmente, os livros? 
(Resp.: )
Exercício 4.6
A probabilidade de, no lançamento de um foguete, o seu motor explodir é 0.4. Suponha-se que se vão lançando foguetes sem qualquer restrição quanto ao seu número. 
a) Qual a probabilidade do primeiro motor que explodir seja no segundo lançamento feito? 
(Resp.: )
b) 
Qual a probabilidade de que seja necessário lançar, pelo menos, 4 foguetes antes do primeiro explodir? (Resp.: )
c) 
Calcule o valor médio e a variância do número de lançamentos que se tem de efectuar até o primeiro foguete explodir. (Resp.: e )
d) Qual a probabilidade do terceiro foguete explodir:
i) no quinto lançamento?
(Resp.: )
ii) antes do quinto lançamento?
(Resp.: )
Exercício 4.7
O Jorge aposta com o Ricardo que após fazer 10 lançamentos de um dado equilibrado obtém quatro vezes a face 6. 
Determine a probabilidade de o Jorge ganhar a aposta.
(Resp.: )
Exercício 4.8
Lança-se, sucessivamente, ao ar uma moeda viciada para a qual a probabilidade de sair cara é .
a) Determine a probabilidade de que seja necessário efectuar:
i) cinco lançamentos para se obterem duas caras; 
 (Resp.: )
ii) oito lançamentos para se obterem cinco caras.
 (Resp.: )
b) Calcule o valor médio e a variância do número de lançamentos que devem ser efectuados para seobterem cinco caras. 
(Resp.: e )
V. Distribuição Hipergeométrica
Exercício 5.1
Num baralho de 52 cartas, extraem-se, simultaneamente, 10. Qual a probabilidade de saírem três damas?
(Resp.: )
Exercício 5.2
Uma caixa contém 12 fichas: 6 brancas e 6 amarelas. Extraem-se 4 fichas de uma só vez. Qual a probabilidade de que:
a) Sejam todas amarelas;
(Resp.:)
b) Pelo menos duas sejam amarelas;
(Resp.:)
c) Seja uma amarela e as outras brancas.
(Resp.:)
Exercício 5.3
Uma empresa de computadores ofereceu 3 computadores para serem sorteados por 3 dos 12 estudantes, 8 rapazes e 4 raparigas, de um curso de estatística. Sabendo que qualquer dos estudantes pode ser premiado, calcule a probabilidade de serem:
a) Três alunas a ganhar os computadores;
(Resp.:)
b) No máximo uma aluna a ganhar um dos computadores.
(Resp.:)
Exercício 5.4
Uma caixa contém 40 componentes electrónicas das quais 8 são defeituosas. Suponha que foram seleccionadas, aleatoriamente sem reposição, 20 componentes. 
a) Determine a função de probabilidade do número de componentes defeituosas no conjunto das 20 seleccionadas.
b) Calcule a probabilidade de no conjunto das seleccionadas:
i) Não haver mais do que duas componentes defeituosas;
(Resp.:)
 ii) Haver pelo menos uma componente defeituosa;
(Resp.:)
c) Calcule o valor médio e a variância do número de componentes defeituosas na amostra seleccionadas.
(Resp.: e )
VI. Distribuição de Poisson
Exercício 6.1
Num centro comercial existe um grande número de caixas multibanco. Após observação concluiu-se que o número de caixas que ficam fora de serviço por semana pode ser estudado através de uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro .
c) Calcule a probabilidade de que, numa determinada semana, tenham ficado fora de serviço, exactamente:
i) uma caixa multibanco; 
(Resp.:)
ii) três caixas multibanco.
(Resp.:)
d) Calcule a probabilidade de que, neste centro comercial, ficarem fora de serviço, durante uma semana, mais de três caixas multibanco.
(Resp.:)
e) Qual o número esperado de caixas multibanco fora de serviço em 7 semanas?
(Resp.:)
Exercício 6.2
Numa fábrica têxtil, verificou-se que após a produção de 520 m2 de um tecido, este apresentava 390 imperfeições, dispostas de forma aleatória. 
Admitindo que a distribuição das imperfeições por metro quadrado de tecido é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, qual a probabilidade de os primeiros quatro metros quadrados de tecido não apresentem qualquer imperfeição? 
(Resp.:)
Exercício 6.3
Se e são, respectivamente, o valor médio e o desvio padrão de X, calcule:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
.
Respostas:
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 =
Exercício 6.4
Sabe-se que o número médio de chamadas telefónicas recebidas numa central entre as 10 e as 11 horas é 1.8 por minuto e que a variável aleatória que representa esse número de chamadas segue uma distribuição de Poisson. 
Calcule a probabilidade de que, entre as 10h53mn e as 10h54mn,
a) não se receba qualquer chamada; 
(Resp.: )
b) se recebam só duas chamadas; 
(Resp.: )
c) se recebam, pelo menos, duas chamadas. 
(Resp.: )
Exercício 6.5
Observou-se que as embalagens de certa marca de cerveja são retiradas de uma prateleira de supermercado à média de 10 por hora, com uma distribuição de Poisson. 
Qual a probabilidade de que, pelo menos, uma embalagem seja retirada nos primeiros seis minutos de observação? 
(Resp.: )
Exercício 6.6
O número de imperfeições, por metro quadrado, num plástico é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro O plástico é embalado em rolos de 30 metros de comprimento e um metro de largura. 
Para transportar os rolos estes são colocados em grupos de 10 e colocados em caixas de cartão.
Qual a probabilidade de um rolo ter 10 imperfeições?
(Resp.: )
Exercício 6.7
Calcule a função geradora de momentos de uma variável aleatória X com distribuição:
a) Geométrica;
b) Poisson
e obtenha em cada caso E(X) e Var(X).
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Chama-se aleatória à variável que, em resultado de uma prova, assume um e somente um valor possível, anteriormente desconhecido e dependente de causas aleatórias que não podem ser levadas em consideração antecipadamente (Gmurman, 1983:68).
5. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Chama-se discreta (descontínua) à variável aleatória que assume valores possíveis discretos com probabilidades determinadas. O número de valores possíveis de uma variável aleatótia discreta pode ser finito ou infinito. Para a determinação de uma variável aleatória não é suficiente enumerar todos os seus valores possíveis, é, ainda, necessário indicar suas probabilidades.
Denomina-se lei de distribuição de uma variável aleatória discreta à correspondência entre os valores possíveis e suas probabilidades; esta lei pode ser determinada tabularmente, analiticamente (como fórmula) e graficamente.
Na determinação tabular da lei de distribuição de um variável aleatória discreta, a primeira linha contém os valores possíveis e a segunda, suas probabilidades:
	X
	x1
	x2
	...
	xn
	P
	p1
	p2
	...
	pn
Levando em consideração que, numa prova, a variável aleatória assume um e somente um valor possível, deduzimos que os acontecimentos X = x1, X = x2, ..., X = xn formam um grupo completo; consequentemente, a soma das probabilidades da segunda linha da tabela é igual à unidade:
p1 + p2 + ...+ pn = 1
Exercício 1.1
(Lei de distribuição)
Numa lotaria foram emitidos 100 bilhetes. Sorteia-se um prémio de 50 dólares e dez de 1 dólar. Achar a lei de distribuição da variável aleatória X, ou seja, o valor do prémio possível para o possuidor de um bilhete de lotaria 
 Resp.: 
	X
	50
	1
	0
	P
	0.01
	0.1
	0.89
Exercício 1.2 
(Distribuição Binomial)
Lança-se uma moeda duas vezes. Escrever, em forma de tabela, a lei de distribuição da variável aleatória X, isto é, o número de saídas de cara.
 Resp.: 
	X
	2
	1
	0
	P
	0.25
	0.5
	0.25
Exercício 1.3
(Distribuição de Poisson)
Uma fábrica enviou para o depósito 5000 peças de boa qualidade. A probabilidade de que a caminho uma peça avarie é igual a 0.0002. Achar a probabilidade de que cheguem 3 peças avariadas ao depósito.
Resp.: . 
Exercício 1.4
(Distribuição geométrica)
De um canhão fazem-se disparos ao alvo, até que ocorra o primeiro acerto. A probabilidade de acerto no alvo é p = 0.6. Achar a probabilidade de que o acerto ocorra no terceiro disparo. Resp.: p = 0.096.
Exercício 1.5
(Distribuição hipergeométrica)
Entre 50 peças há 20 pintadas. Achar a probabilidade de que entre 5 peças tiradas ao acaso haja exactamente 3 pintadas. 
Resp.: P(X = 3) = 0.234
Exercício 1.6
Os valores possíveis de uma variável aleatória são: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. São conhecidas as probabilidades dos dois primeiros valores possíveis: p1 = 0.4, p2 = 0.15. Achar a probalidade de x3.
Resp.: p3 = 0.45.
Exercício 1.7
Um dado foi lançado 3 vezes. Escrever a lei de distribuição do número de saídas do seis.
 Resp.: 
	X
	3
	2
	1
	0
	
P
	
	
	
	
Exercício 1.8
Estabelecer a lei de distribuição de probabilidade do número de ocorrências de um acontecimento A em três provas independentes, se a probabilidade de que o acontecimento ocorra em cada prova é igual a 0.6. 
 Resp.: 
	X
	0
	1
	2
	3
	 P
	
	
	
	
Exercício 1.9
Uma fiadeira atende 1000 fusos. A probabilidade de que um fio se corte num fuso durante um minuto é igual a 0.004. Achar a probabilidade de que durante um minuto ocorram cortes em cinco fusos.
Resp.: .
Exercício 1.10
Achar a média de erros numa página de um manuscrito, se a probabilidade de que a página contenha pelo menos um erro é igual a 0.95. Supõe-se que o número de erros esteja distribuído pela lei de Poisson.
Resp.: λ = 3.
Exercício 1.11
A mesa telefónica de uma repartição atende a 100 pessoas. A probabilidade de que durante um minuto uma pessoa chame à mesa é igual a 0.02. qualdos dois acontecimentos é o mais provável: durante um minuto chamarão 3 pessoas; chamarão 4 pessoas?
Resp.: ; . É mais provável o primeiro acontecimento: em um minuto chamarão três pessoas.
Exercício 1.12
Um original de um volume de 1000 páginas dactilografadas contém 1000 erros. Achar a probabilidade de que uma página tomada ao acaso contenha:
a) pelo menos um erro;
b) exactamengte dois erros;
c) não menos de dois erros.
Supõe-se que o número de erros esteja distribuído pela lei de Poisson.
Resp.: a) 
	b) 
	c) 
Exercício 1.13
Lança-se um dado até a primeira saída de 6. Achar a probabilidade de que a primeira saída ocorra no segundo lançamento.
Resp.: 
Exercício 1.14
Numa partida de 12 peças tem-se 8 padronizadas. Achar a probabilidade de que entre 5 peças, extraídas ao acaso, haja 3 padronizadas.
Resp.: .
6. ESPERANÇA MATEMÁTICA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
Chama-se esperança matemática de uma variável aleatória discreta à soma dos produtos de todos os seus valores possíveis por suas probabilidades (Gmurman, 1983). 
Suponhamos que uma variável aleatória X pode assumir apenas certos valores x1, x2, ... xn cujas probabilidades são respectivamente iguais a p1, p2, ..., pn. Neste caso, a esperança matemática da variável aleatória X determina-se pela igualdade: .
Se a variável aleatória discreta X assume valores num conjunto enumerável, então, por definição, ao se admitir que a série do segundo membro é absolutamente convergente.
O sentido probabilístico de esperança matemática de uma variável aleatória é o de média aritmética dos valores observados da variável aleatória.
; então, .
Propriedades da esperança matemática
P1. A esperança matemática de uma constante é igual à própria constante: ;
P2. Um multiplicador constante pode ser tirado para fora do sinal de esperança matemática: 
P3. A esperança matemática do produto de duas variáveis aleatórias independentes (X e Y)é igual ao produto de suas esperanças matemáticas: 
Corolário
A esperança matemática do produto de diversas variáveis aleatórias (X, Y, Z) mutuamente independentes é igual ao produto de suas esperanças matemáticas: 
 
P4. A esperança matemática da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das esperanças matemáticas das parcelas: 
Corolário
A esperança matemática do produto de diversas variáveis aleatórias (X, Y, Z) mutuamente independentes é igual ao produto de suas esperanças matemáticas:
Teorema 
A esperança matemática do número de ocorrências de um acontecimento A em n provas independentes é igual ao produto do número de provas pela probabilidade de que o acontecimento ocorra em cada prova: .
Exercício 2.1
Achar a esperança matemática da variável aleatória X, sendo conhecida a sua lei de distribuição:
	X
	3
	5
	2
	 P
	0.1
	0.6
	0.3
Resp.: 
Exercício 2.2
Achar a esperança matemática do número de ocorrências de um acontecimento A numa prova, se a probabilidade do acontecimento A é igual a p.
Resp.: .
Exercício 2.3
As variáveis aleatórias independentes X e Y estão dadas pelas seguintes leis de distribuição:
	X
	5
	2
	4
	
	Y
	7
	9
	 P
	0.6
	0.1
	0.3
	
	 P
	0.8
	0.2
 
Achar a esperança matemática da variável XY.
Resp.: 32.56
Exercício 2.4
Fazem-se 3 disparos, com probabilidades de acerto no alvo iguais a ; e . Achar a esperança matemática do número total de acertos.
Resp.: .
Exercício 2.5
Achar a esperança matemática da soma do número de pontos que podem sair ao se lançarem dois dados.
Resp.: 
Exercício 2.6
A probabilidade de acerto no alvo, ao disparar-se um canhão, é p = 0.6. Achar a esperança matemática do número total de acertos, se forem realizados 10 disparos.
Resp.: 
Exercício 2.7
A probabilidade de falha de uma peça no decorrer da prova de controlo de qualidade é igual a 0.2. Achar a esperança matemática do número de peças que falharão, se forem controladas 10 peças.
Resp.: 
Exercício 2.8
Achar a esperança matemática da soma do número de bilhetes de lotaria premiados entre 20 bilhetes, sendo que a probabilidade de que um bilhete saia premiado é igual a 0.3.
Resp.: 
7. VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
Variáveis aleatórias podem ter idênticas esperanças matemáticas, porém diferentes valores possíveis. Portanto, torna-se conveniente introduzir uma característica de dispersão de variáveis aleatórias: a variância, a qual serve para quantificar a dispersão de uma variável aleatória em torno da esperança matemática. 
Chama-se variância de uma variável aleatória discreta à esperança matemática do quadrado do desvio da variável aleatória em relação à sua esperança matemática. 
Teorema
A variância é igual à diferença entre a esperança matemática do quadrado da variável aleatória X e o quadrado de sua esperança matemática: .
Exercício 3.1
Achar a variância da variável aleatória X dada pela seguinte lei de distribuição:
	X
	1
	2
	5
	 P
	0.3
	0.5
	0.2
Resp.: Var (X) = 2.01
Exercício 3.2
Comparar as variâncias das veriáveis aleatórias dadas pelas leis de distribuição:
	X
	-1
	1
	2
	3
	
	Y
	-1
	1
	2
	3
	 P
	0.48
	0.01
	0.09
	0.42
	
	 P
	0.19
	0.51
	0.25
	0.05
Resp.: ; 
 , logo 
Propriedades da variância
P1. A variância de uma constante é igual zero. 
P2. Um multiplicador constante pode ser tirado para fora do sinal de variância, elevado ao quadrado: 
P3. A variância da soma de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma das variâncias destas variáveis: 
Corolário 1
A variância da soma de diversas variáveis aleatórias mutuamente independentes é igual a soma das variâncias destas variáveis: 
Corolário 2
A variância da soma de uma constante e de uma variável aleatória é igual à variância da variável aleatória: 
 
P4. A variância da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias: 
Exercício 3.3
Efectuam-se 10 provas independentes, em cada uma das quais a probabilidade de que ocorra um acontecimento é igual a 0.6. Achar a variância da variável aleatória X, ou seja, do número de ocorrências do acontecimento nessas provas.
Resp.: 
Exercício 3.4
A variável aleatória X assume apenas dois valores: e , cada um dos quais com a probabilidade 0.5. Achar a variância desta variável.
Resp.: 
Exercício 3.5
Uma variável aleatória está dada pela lei de distribuição:
	X
	2
	4
	8
	 P
	0.1
	0.5
	0.4
Achar o desvio padrão desta variável. Resp.: 
– Distribuições Contínuas de Probabilidade –
Exercício 1
O processo de empacotamento de uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que uma média de µ = 13.0 kg de cereal é colocada em cada saco. É claro que nem todos os sacos têm 13.0 kg devido a fontes aleatórias de variabilidade. O desvio padrão do peso líquido é kg, e sabe-se que a distribuição dos pesos segue uma distribuição normal. Determine a probabilidade de que:
a) um saco escolhido ao acaso contenha entre 13.0 e 13.2 kg de cereal. (Resp.: 0.4772)
b) O peso exceda 13.25 kg. (Resp.: 0.0062)
c) O peso do cereal esteja entre 12.9 e 13.1 kg. (Resp.: 0.6826)
d) O peso do cereal esteja entre 12.8 e 13.1 kg. (Resp.: 0.8185)
 
Exercício 2
O tempo necessário, numa oficina, para o conserto de transmissão de um certo tipo de automóvel é normalmente distribuído com média µ = 45 minutos e desvio padrão minutos. O mecânico planeia começar o conserto do carro de um cliente 10 minutos após o carro ter sido deixado na oficina, comunicando ao cliente que o carro estará pronto num tempo de uma hora.
a) Qual a probabilidade de que o mecânico esteja enganado? (Resp.: 0.26595)
b) Qual a previsão de tempo de trabalho para que haja 90% de probabilidade de que o conserto da transmissão se efectue dentro do tempo previsto? (Resp.: 55.28 minutos)
c) Qual a previsão de tempo de trabalho para que haja uma probabilidade de 30% de que o conserto se efectue dentro do tempo previsto? (Resp.: 40.8 minutos)
Exercício 3
Uma compota de frutas pode ser classificada em “açúcar puro” se contiver entre 420g e 520g de açúcar por cada quilogramade compota. Um fabricante verifica uma amostra de frascos de um quilograma de compota e descobre que o peso médio de açúcar, por quilograma de compota, é de 465g com desvio padrão de 30g.
Sabendo que a quantidade de açúcar pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal, calcule a percentagem esperada de produção desse fabricante, que deve ser classificada como “açúcar puro”. (Resp.: 0.8996)
Exercício 4
A participação regular dos atletas de um colégio em provas de atletismo permitiu concluir que no lançamento do disco os resultados seguem uma distribuição normal, sendo o lançamento médio igual a 17 metros com o desvio padrão de 2 metros. O colégio vai participar em provas eliminatórias para um campeonato internacional que exige, no lançamento do disco, este seja lançado a mais de 18.5 metros. Qual a probabilidade de os atletas do Colégio conseguirem ultrapassar os mínimos exigidos? 
(Resp.: 0.2266)
Exercício 5
A pluviosidade anual, medida em cm3/m2, numa determinada região tem sido estudada e revelou um comportamento distribucional normal com média 65 cm3/m2 sendo possível concluir que em 14.2% dos anos estudados choveu mais do que 85 cm3/m2. Qual o desvio padrão da variável aleatória que mede a pluviosidade anual nessa região? (Resp.: 19.23) 
Exercício 6
Uma variável aleatória X tem distribuição normal. Sabe-se que:
 e . Determine . (Resp.: 0.2483)
Exercício 7
O valor das vendas de certa empresa, contabilizada em meticais, é uma variável aleatória com distribuição . Atendendo a que a probabilidade de as vendas serem inferiores a 65000Mt é 0.1587 e que a probabilidade de as vendas serem inferiores a 115000Mt é 0,9332, pretende-se determinar o valor médio das vendas e o respectivo desvio padrão. 
(Resp.: MtMt).
Exercício 8
Junto da baía de Zalala, na Zambézia, estão plantadas vários tipos de coqueiros. Suponhamos que o comprimento da folha de um coqueiro, de determinada espécie, segue uma distribuição normal. Sabemos, também, que 68% dessas folhas têm um comprimento, centrado no comprimento médio, entre 2 e 2.5 metros.
a) 
Determine o valor médio e o desvio padrão da variável aleatória X que representa o comprimento da folha de coqueiro de espécie A. (Resp.: =2.25; =0.25).
b) A Eunice encontra uma folha de coqueiro junto da praia que se parece com a espécie A mas, com apenas 1.75 metros. Ela pretende saber qual a probabilidade dessa folha de palmeira ser, efectivamente, da espécie A. (Resp.: 0.0228).
Exercício 9
Sendo , calcule . (Resp.: 0.1536).
Exercício 10
O estudo em laboratório da temperatura de um determinado tipo de barras metálicas, indica que esta é normalmente distribuída, com temperatura média de 20ºC e desvio padrão de 3,33ºC. Sabe-se que estas barras só podem ser utilizadas se a temperatura estiver entre 21.11ºC e 26.66ºC. 
a) Determine a probabilidade de uma barra, escolhida ao acaso, ser utilizada. 
(Resp.: 0.3479).
b) 
Suponhamos ainda que o comprimento destas barras, X’, também segue uma distribuição normal, com valor médio 66 cm e com desvio padrão de 5 cm, isto é: . Calcule, num lote de 800, o número médio de barras com comprimento:
(i) 
entre 65 cm e 70 cm; (Resp.: )
(ii) 
com mais de 72 cm. (Resp.: )
Exercício 11
Seja X uma variável aleatória, com distribuição normal de parâmetros e . 
Determine tais que
a) 
 (Resp.: b = 41.4)
b) 
	(Resp.: a = 80.04
Exercício 12
Suponhamos que . Calcule a de modo que . 
(Resp.: ).
	Teorema
Se Xi, i = 1, 2, ..., n são variáveis aleatórias independentes, com distribuição normal de parâmetros, respectivamente,e , então, tem distribuição normal de parâmetros e , isto é, 
Exercício 13
Uma pessoa encontra-se no Bairro de Laulane e precisa de se deslocar para a cidade da Matola. Geralmente utiliza dois meios de transporte, primeiro o transporte T1 (o vulgo chapa) e depois o transporte T2 (o vulgo TPM). A duração, em minutos, quer no chapa, quer no TPM tem um comportamento segundo uma distribuição normal. A duração média da viagem de chapa é de 27 minutos com variância 25 (minutos)2 e a duração média do TPM é de 30 minutos com variância 4 (minutos)2. Supõe-se que a duração da viagem no chapa é independente da duração da viagem no TPM. Calcule a probabilidade de que a viagem (nos meios de transporte indicados)dure mais de uma hora. (Resp.: 0.2877).
Exercício 14
Uma aeronave das Linhas Aéreas de Moçambique (LAM) consegue deslocar-se se a sua carga não exceder as 8 toneladas. A aeronave transporta 20 pessoas, cada uma com a sua bagagem, e transporta, e transporta, ainda, outra espécie de carga. Sabe-se que o peso dos passageiros é uma variável aleatória com distribuição normal , o peso da bagagem é uma variável aleatória com distribuição normal e o peso da outra espécie de carga é também uma variável aleatória com distribuição normal .
Não tendo havido conttrolo de pesos, e supondo independência dos mesmos, qual é a probabilidade de a aeronave poder não levantar voo por excesso de carga? (Resp.: 0).
Exercício 15
Uma máquina é usada para encher sacos de açúcar. O peso de cada saco é uma variável aleatória que tem distribuição normal com valor médio 1.03 kg e desvio parão 0.05 kg.
a) Determine a percentagem de sacos que se espera que tenham peso superio a 1.05 kg. 
(Resp.: 34.46%)
b) Os sacos de açúcar são agrupados em lotes de 20 sacos e cada lote é pesado. Um lote é rejeitado se pesa menos do que 20.1 kg. Determine a probabilidade de que um lote seja rejeitado. (Resp.: 0.0125)
c) Calcule a probabilidade de, num lote, haver quanto muito 18 sacos com peso inferior a 1.05kg. (Resp.: 1)
d) Calcule a probabilidade de que, num lote, haja pelo menos 2 sacos com peso superior 1.05 kg. (Resp.: 0.9976).
e) Se se comprar um lote com 20 sacos, qual o número médio esperado de pacotes com mais de 1 kg? (Resp.: 15).
Exercício 16
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal . Considere o intervalo em R: . Determine a de modo que . (Resp.: 7.88).
Exercício 17
Uma variável aleatória X tem distribuição normal e sabe-se que a sua variãncia é igual a 9.
Considere os acontecimentos: e , onderepresenta a média da variável aleatória X. 
a) Estude a independ~encia de A e B. 
(Resp.: A e B não são independentes). 
b) 
Calcule 
(Resp.: 0.3174).
Distribuição exponencial
X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro , onde é um parâmetro real positivo se admitir como função densidade 
Exercício 1
A duração, em minutos, de uma conversa telefónica é descrita por uma variável aleatória, com função densidade 
 onde .
a) calcule o valor de k.
b) Calcule a probabilidade de a duração de uma chamada telefónica ser entre 5 e 10 minutos.
 Resp.: a) ; 
 b) 
Exercício 2
A duração média de uma certa componente electrónica é igual a 50 horas. Sendo X a variável aleatória que conta a duração da componente em centenas de horas, suponha-se que ela tem uma distribuição exponencial. 
a) 
calcule o valor de ;
b) sabendo que uma destas componentes já trabalhou 100 horas (1 centena de horas), calcule a probabilidade de trabalhar mais de 150 horas (centena e meia de horas).
 Resp.: a) ; 
 b) 
Definição
Diz-se que uma variável aleatória, que só toma valores em R+, tem «falta de memória», quando e .
Exercício 3
Designando por T a variável aleatória que conta o intervalo de tempo que decorre entre duas chamadas, medido em minutos, na central telefónica duma escola, suponhamos que a sua função densidade de probabilidade é:
isto é, segue uma distribuição exponencial, com valor médio 2, ou seja, .
A telefonista recebe um recado para o professor de Matemática da escola e demora três minutos para o entregar e voltar à central telefónica.
Qual a probabilidade de que o telefone não toque na sua ausência?
Resp.: 
Distribuição Gama
Uma variável aleatória, X, que só assume valores positivos diz-se ter distribuição gama com parâmetros se admitir como função densidade
e escreve-se, simbolicamente, 
chama-se função gama e,por definição, é . A função integranda do integral não está definida para . 
Mostra-se que e . 
Exercício 4
Calcule .
Exercício 5
Defina a função densidade de uma variável aleatória X que segue a distribuição gama de parâmetros . 
Distribuição Qui-Quadrado
Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padronizada: . Diz-se que a variável aleatória, que assume os valores no intervalo , tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade: . A sua função densidade de probabilidade é dada por 
Exercício 6
Sejam X uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (). 
Mostre que 
a) E(X) = n
b) Var(X) = 2n
c) 
Exercício 7
Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição Qui-Quadrado com n1 e n2 graus de liberdade respectivamente. 
Mostre que a função geradora de momentos de Z = X1 + X2 é 
Exercício 8
Seja X uma variável aleatória com distribuição Qui-Quadrado com 15 graus de liberdade. Determine . Resp.: 0.05
Exercício 9
Seja X uma variável aleatória com distribuição Qui-Quadrado com 26 graus de liberdade. Determine de tal modo que. Resp.: 25.3364
Exercício 10
A figura seguinte mostra o gráfico da distribuição Qui-Quadrado com 5 graus de liberdade. 
Determine os valores de e para os quais: 
a) 
a área sombreada à direita é igual a 0.05. (Resp.: )
b) 
a área total sombreada é igual a 0.05. (Resp.: considerando as áreas sombreadas iguais, tem-se e )
c) 
a área sombreada à esquerda é igual a 0.10. (Resp.: )
d) 
a área sombreada à direita é igual a 0.01. (Resp.: )
Exercício 11
Determine os valores depara os quais a área da cauda direita da distribuição qui-quadrado é 0.05, se o número de graus de liberdade, n, é igual a
a) 15; 
b) 21;
c) 50.
 (Resp.: a) 25; b) 32.7; c) 67.5)
Exercício 12
Teorema de Fisher
	
Seja X uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, . Então, quando .
Determine o valor depara o qual a área da cauda esquerda da distribuição qui-quadrado é 0.95, se o número de graus de liberdade, n, é igual a
a) 50;
b) 100.
Sugestão
Para , podemos usar o facto de que tem distribuição muito próxima da distribuição normal com média zero e variância 1. 
Então, se Z(p=0.95) é o nogésimo quinto percentil da distribuição normal padronizada, podemos escrever, com alto grau de aproximação que ou 
Note que é um valor obtido da consulta da tabela da distribuição normal padronizada.
(Resp.: a) = 69.2; b) = 124.3)
Exercício 13
Considere a variável aleatória X com distribuição . Qual o valor de 
(Resp.:= 0.1131)
 
(Sugestão de resolução: )
Exercício 14
Uma variável aleatória X tem diastribuição qui-quadrado com 150 grau de liberdade. Determine o valor de tal que: 
a) 
b) 
Exercício 15
Uma variável aleatória X tem diastribuição qui-quadrado com 250 grau de liberdade. Determine o valor de tal que: 
a) 
b) 
Exercício 16
Se uma variável aleatória U segue a distribuição Qui-Quadrado com 7 graus de liberdade, como indica a figura seguinte, 
determinee tais que
Distribuição t de Student
A distribuição t é uma distribuição de probabilidade teórica. É simétrica, tem a forma de sino, e semelhante à curva normal padronizada. Difere da curva normal padronizada, porém, nisso tem um parâmetro adicional, os chamados graus de liberdade que mudam sua forma. 
Graus de liberdade 
Graus de liberdade, normalmente simbolizados por gl, são um parâmetro da distribuição t que pode ser qualquer número real maior que zero. Fixando o valor de gl definimos uma situação particular da família de distribuições t. Uma distribuição t com um gl menor tem mais área nas caudas da distribuição que uma distribuição com um gl maior.
O efeito dos g1raus de liberdade na distribuição t está ilustrado nas três distribuições t mostradas na figura abaixo.
Relação com a curva normal 
Pode-se observar ainda que a distribuição t é muito semelhante à curva normal. À medida em que aumentam os gl, a distribuição t aproxima-se da distribuição normal padronizada (média = 0, desvio-padrão = 1). A curva normal padronizada é um caso particular da distribuição t quando gl tende ao infinito. Para os propósitos práticos, os valores da distribuição t aproximam-se dos valores da distribuição normal padronizada relativamente depressa, tal que quando gl = 30 esses valores são quase idênticos. 
Note-se que quanto menor o número de gl, mais aplainada (platocurtica) é a forma da distribuição, resultando em maior área nas caudas da distribuição.
Se n é grande () o gráfico de f(t) se aproxima da distribuição normal padronizada. 
A distribuição t é simétrica, isto é, ; por exemplo, . 
Sejam Y e Z variáveis aleatórias independentes, Y sendo normalmente distribuída com média zero e variância 1 e Z tendo distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (gl = n). 
Então, a variável aleatória tem distribuição t com n graus de liberdade. 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória que segue a distribuição t de Student é a seguinte: 
Para a distribuição t, temos média e variância para .
Exercício 17
A figura seguinte exibe o gráfico da distribuição t de Student com 9 graus de liberdade. 
Determine o valor de t1 para o qual 
a) a área sombreada à direita é 0.05.
b) a área total sombreada é 0.05.
c) a área total não-sombreada é 0.99.
d) a área sombreada à esquerda é 0.01.
e) a área à esquerda de t1 é 0.90.
(Resp.: a) 1.83; b) 2.26; c) 3.25; d) -2.82; e) 1.38 )
Exercício 18
Determine os valores de t para os quais a área da cáuda direita da distribuição t é 0.05, se o número de graus de liberdade n é igual a 
a) 16;
b) 27;
c) 200.
(Resp.: a) 1.75; b) 1.70; c) 1.645 )
Exercício 19
Para uma distribuição t de Student com 15 graus de liberdade, determine o valor de t1 tal que
a) a área conjunta à direita de t1 e à esquerda de - t1 seja 0.01;
b) a área entre - t1 e t1 seja 0.95.
(Resp.: a) 2.95; b) 2.13)
4
[
]
)
1
(
...
)
2
(
)
1
(
-
-
×
×
-
×
-
×
=
p
n
n
n
n
A
n
p
)!
(
!
p
n
n
A
n
p
-
=
5
3
A
6
2
A
5
1
A
{
}
n
b
b
b
B
,...,
,
2
1
=
8
3
A
5
5
A
2
³
x
156
2
=
x
A
110
2
=
x
A
13
10
A
[
]
1
2
3
...
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2
(
)
1
(
)
1
(
...
)
2
(
)
1
(
×
×
×
×
-
×
-
×
=
-
-
×
×
-
×
-
×
=
n
n
n
n
n
n
n
n
A
n
n
1
2
...
)
2
(
)
1
(
×
×
×
-
×
-
×
=
n
n
n
P
n
!
n
P
n
=
r
m
C
,
n
m
×
÷
ø
ö
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è
æ
m
r
m
r
r
m
r
m
r
m
C
m
r
r
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£
N
Î
"
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
;
,
)!
(
!
!
,
10
=
m
3
=
r
120
)!
3
10
(
!
3
!
10
10
3
3
,
10
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
C
1
2
3
8
9
10
3
3
3
,
10
3
,
10
×
×
×
×
=
=
8
7
6
factores
P
A
C
7
=
m
4
=
r
35
)!
4
7
(
!
4
!
7
7
4
4
,
7
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
C
2
1
,
8
2
,
8
=
+
+
p
p
C
C
)
,
(
j
i
b
a
[
]
[
]
2
!
)
1
(
8
)!
1
(
!
8
!
)
2
(
8
)!
2
(
!
8
2
1
,
8
2
,
8
=
+
-
+
+
-
+
Û
=
+
+
p
p
p
p
C
C
p
p
[
]
[
]
2
!
)
1
(
8
)!
1
(
!
8
!
)
2
(
8
)!
2
(
!
8
=
+
-
+
¸
+
-
+
Û
p
p
p
p
[
]
[
]
2
!
8
!
)
1
(
8
)!
1
(
!
)
2
(
8
)!
2
(
!
8
=
+
-
+
´
+
-
+
Û
p
p
p
p
[
]
[
]
[
]
2
!
8
)
1
(
8
!
)
2
(
8
)!
1
(
!
)
2
(
8
)!
1
(
)
2
(
!
8
=
+
-
×
+
-
×
+
´
+
-
+
×
+
Û
p
p
p
p
p
p
2
2
)
1
(
8
=
+
+
-
Û
p
p
)
2
(
2
1
8
+
×
=
-
-
Û
p
p
3
3
=
Û
p
1
=
Û
p
m
p
o
e
m
C
A
p
m
p
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£
£
"
=
,
,
A
a
i
Î
p
m
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C
A
,
,
=
!
,
,
p
A
A
p
m
p
m
=
Û
p
m
p
m
A
A
p
,
,
!
=
Û
1
!
=
Û
p
0
=
Û
p
Ú
1
=
p
3
,
m
A
84
3
,
=
m
C
B
b
j
Î
?
3
,
=
m
A
84
3
,
=
m
C
84
!
3
3
,
=
Û
m
A
84
!
3
3
,
×
=
Û
m
A
84
6
84
1
2
3
3
×
=
×
×
×
=
Û
,
m
A
504
3
,
=
Û
m
A
20
4
5
=
´
)!
(
!
!
,
1
p
n
p
n
C
onde
b
a
T
p
n
n
p
p
p
n
n
p
p
-
=
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ç
è
æ
=
-
+
n
n
n
n
i
n
n
n
p
n
p
2
...
...
1
0
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
å
=
3
3
3
6
6
9
9
6
1
6
672
8
84
1
)
2
(
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6
9
(
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6
!
9
1
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2
(
x
x
x
x
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×
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×
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ï
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b
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pares
n
b
a
b
a
b
a
pares
n
b
a
b
a
b
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linhas
m
n
m
m
m
n
n
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,
(
),
,
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.
.
.
)
,
(
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,
(
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,
(
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,
(
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,
(
),
,
(
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
4
4
4
4
4
4
8
8
4
5
1
4
90720
81
16
)!
4
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4
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)
2
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y
x
y
x
y
x
T
T
=
×
×
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×
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ç