Resolucao-de-Problemas

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RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS 
Quando um matemático fala de seu trabalho, duas são as 
palavras que não pode deixar de mencionar: 
 
a primeira é problema e corresponde ao "alimento" de que se 
nutre a Matemática; com efeito, para o verdadeiro matemático, 
um grande problema é aquele que torna-se fonte de novas 
idéias e é capaz de fertilizar outros campos da Matemática 
 
 
a segunda palavra é prova; uma companheira inseparável da 
primeira e é quem produz o rigor que dá solidez e consistência 
ao edifício matemático; uma prova matemática é uma sequência 
de raciocínios dedutivos que parte de fatos de veracidade já 
reconhecida, como teoremas e axiomas, e chega até o resultado 
em demonstração; somente provas são capazes de dar 
atestado de veracidade matemática à solução de um problema, 
semelhantemente ao que fazem observações e experimentos 
controlados para o cientista natural. 
 
O valor dos problemas na Matemática 
 
A Matemática é uma ciência onde pouco valor se dá à 
erudição, apenas pela erudição. O valor de um matemático 
é avaliado não pelo que ele sabe mas por sua capacidade 
de aplicar seu conhecimento para resolver problemas. E 
não é para menos: a Matemática vive de problemas. 
 
Infelizmente, a retórica da Resolução de Problemas virou 
um dos modismos do Sistema Escolar nos últimos anos. 
Este modismo chegou a tal ponto que é fácil encontrar as 
atividades mais ridículas rotuladas como resolução de 
problemas matemáticos. 
O que é um problema matemático? 
 
Um problema matemático é toda situação requerendo a 
descoberta de informações matemáticas desconhecidas 
para a pessoa que tenta resolve-lo, e/ou a invenção de 
uma demonstração de um resultado matemático dado. O 
fundamental é que o resolvedor tenha de inventar 
estratégias e criar idéias; ou seja: pode até ocorrer que o 
resolvedor conheça o objetivo a chegar, mas só estará 
enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios 
para atingir tal objetivo. 
Resnick apontou várias características 
dos problemas: 
• sem algoritmização: 
o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em 
boa parte 
• complexos 
precisam de vários pontos de vista 
• exigentes 
a solução só é atingida após intenso trabalho mental; 
embora o caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil 
• exigem lucidêz e paciência 
para na aparente desordem vermos as regularidades, os 
padrões que permitirão a construção do caminho até a 
solução 
• nebulosos 
pode ocorrer que nem todas as informações necessárias 
estejam aparentes; por outro lado, pode ocorrer que 
existam conflitos entre as condições estabelecidas pelo 
problema 
• não há resposta única 
além de normalmente ocorrer de existirem várias 
maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer 
de não existir uma melhor solução e até de não existir 
solução; ao contrário do que a Escola ensina: 
resolver um problema não é o mesmo que achar "a" 
resposta 
A diferença entre problema e exercício 
O exercício é uma atividade de adestramento no 
uso de alguma habilidade / conhecimento 
matemático já conhecido pelo resolvedor, como a 
aplicação de um algorítmo CONHECIDO, de uma 
fórmula CONHECIDA, etc. O exercício envolve 
mera aplicação e o problema necessariamente 
envolve invenção ou/e criação significativa. 
 
 
 
Exemplificando: Tomemos como 
"resolvedor" um aluno de final 
do primeiro grau ( é importante 
apontar a pessoa, pois o que 
pode ser um problema para 
uma pessoa, pode não o ser 
para outra ): 
 
• exercício: 
resolver a equação x 2 - 3x + 1 = 0 ( supõe-se que tal aluno 
conheça a fórmula de Bhaskara ) 
• problema: 
provar a fórmula de Bhaskara (supõe-se que tal aluno nunca 
tenha visto tal demonstração, mas conheça a fórmula) 
 
• problema: ( mais difícil ) 
descobrir, provando, uma fórmula para resolver toda e 
qualquer equação algébrica do segundo grau ( supõe-se que 
tal aluno não conheça a fórmula de Bhaskara ) 
 
• problema: ( mais difícil ) 
descobrir uma fórmula diferente da de Bhaskara e capaz de 
resolver toda e qualquer equação algébrica do segundo grau 
 
O que é um bom problema? 
Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros-texto 
elementares a inclusão de desafios matemáticos dirigidos 
ao leitor. Tipicamente não correspondem diretamente ao 
material em ensino e, assim, muitos pensam que tratam-se 
de problemas. Contudo, o mais adequado seria classificá-
los como charadas ou quebra-cabeças, do tipo que 
apareciam no rodapé dos antigos almanaques, e que 
visam mais o entretenimento. Um bom problema 
matemático além de representar um desafio, tanto ao 
poder dos matemáticos como ao poder da disciplina por 
eles criada, também "mexe" com a Matemática: faz com 
que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que 
possamos resolver outros problemas. Um bom problema 
de matemática é muito mais do que uma charada. 
Um ótimo exemplo é o chamado Problema de Fermat: 
 
Sendo n = 3, 4, 5, ...,mostrar que NÃO 
HÁ nenhuma trinca de inteiros 
positivos x, y e z verificando a 
equação: 
x n + y n = z n 
 
 
Enunciado mais simples é difícil achar, contudo esse 
problema precisou de quase 400 anos de esforços até ser 
resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua grandeza não está na 
dificuldade e também não está na utilidade desse resultado 
(que é praticamente inexistente); ela está no fato que as 
tentativas de resolvê-lo produziram idéias e problemas que 
fertilizam inúmeros campos: Teoria dos Números, Geometria 
Algébrica, etc. 
 
 
Como resolver problemas, segundo G. Polya. 
Procurando organizar um pouco o processo de resolução 
de problemas, o grande matemático George Polya o dividiu 
em quatro etapas, que resumimos abaixo. Antes de 
passarmos a elas, é muito importante enfatizar que Polya 
nunca pretendeu que sua divisão 
• correspondesse à uma sequência de etapas a serem 
percorridas uma depois da outra, sem que nunca seja 
conveniente ou necessário voltar atrás 
• funcionasse como uma poção mágica 
O texto que se segue foi elaborado a partir de um resumo 
de Peter Alfeld ( Department of Mathematics, University of 
Utah ) sobre o livro: G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., 
Princeton University Press, 1957. 
ROTEIRO PARA RESOLVER 
PROBLEMAS 
1).- ENTENDA O PROBLEMA: 
• Primeiro, voce tem de entender o problema: 
• Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as 
condições? 
• É possível satisfazer as condições? Elas são suficientes 
para determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou 
redundantes? Ou contraditórias? 
• Faça uma figura. Outra se necessário. Introduza notação 
adequada. 
• Separe as condições em partes 
 
2.CONSTRUA UMA ESTRATEGIA DE RESOLUCAO 
 
Ache conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja 
conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se 
uma conexão não for achada em tempo razoável. Use isso para 
"bolar" um plano ou estratégia de resolução do problema. Vale a 
pena expandirmos um pouco essas conselhos: 
• V. já encontrou este problema ou algum parecido? 
• V. conhece um problema semelhante? V. conhece 
teoremas ou fórmulas que possam ajudar? 
• Olhe para a incógnita! E tente achar um problema familiar 
e que tenha uma incógnita semelhante 
• Aqui está um problema relacionado com o seu e que V. já 
sabe resolver. V. consegue aproveitá-lo? V. pode usar seu 
resultado? Ou seu método? Deve-se introduzir algum 
elemento auxiliar de modo a viabilizar esses objetivos? 
 
• V. consegue enunciar o problema de uma outra maneira? 
• Se V. não consegue resolver o problema dado, tente 
resolver um problema parecido. V. consegue imaginar um 
caso particular mais acessível? Um caso mais geral e mais 
acessível? V. consegue resolver alguma parte do 
problema? Mantenha apenas parte das condições do 
problema e observe o que ocorre com a incógnita, como 
ela varia agora? V. consegue obter alguma coisa desde os 
dados? V. consegue imaginar outros dados capazesde 
produzir a incóognita? V. consegue alterar a incógnita ou 
os dados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os 
novos dados fiquem mais próximos? 
• V. está levando em conta todos os dados? E todas as 
condições? 
 
3).- EXECUTE A ESTRATEGIA 
 
Frequentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de 
resolução de um problema. Contudo, a maioria dos 
principiantes tendem a pular para essa etapa 
prematuramente, e acabam dando-se mal. Outros 
elaboram estratégias inadequadas e acabam se 
enredando terrivelmente na execução. 
• Execute a estratégia. 
• Ao executar a estratégia, verifique cada passo. V. 
consegue mostrar claramente que cada um deles está 
correto? 
 
4).- REVISE 
• Examine a solução obtida. 
• Verifique o resultado e o argumento 
• V. pode obter a solução de um outro modo? 
• Qual a essência do problema e do método de 
resolução empregado? Em particular, V. consegue 
usar o resultado, ou o método, em algum outro 
problema? 
 
A importância de revisar a resolução 
1.- A revisão é a última etapa da resolução, segundo Polya 
 
Conforme vimos em texto anterior, Polya dividiu o processo de 
resolução de problemas matemáticos em quatro etapas: 
entendimento do problema, invenção de estratégia de 
resolução, execução e revisão. Poderíamos dizer que Polya 
pretendia duas coisas nessa última etapa: 
 
• uma depuração da resolução 
• uma abstração da resolução 
 
Antes de passarmos a detalhes, observemos que na Escola 
existem ao menos caricaturas das três primeiras etapas de 
Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os 
professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a 
mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade 
de testar, frustação dos alunos, etc. 
2.- Revise para depurar a resolução 
 O objetivo é verificar a argumentação usada, procurando 
simplificá-la. Pode-se chegar ao extremo de buscar outras 
maneiras de resolver o problema, possivelmente mais 
simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao 
resolvedor. 
 
Há uma crítica generalizada aos matemáticos 
pesquisadores por publicarem demonstrações muito 
artificiais ou abstratas e que certamente não representam 
a maneira como o resultado em demonstração foi 
descoberto. Contudo, é inegável que a revisão de 
depuração é muito proveitosa. 
3.- Revise para abstrair a resolução 
Agora, o objetivo é refletir no processo de resolução 
procurando descobrir a essência do problema e do método 
de resolução empregado. Tendo-se sucesso nessa 
empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais 
gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa 
a possibilidade de aumento do "poder de fogo" do 
resolvedor. 
 
Feito por matemático talentoso, esse trabalho de 
depuração representa a possibilidade de fertilização da 
Matemática. 
 Níveis de capacidade de resolução de problemas 
Mesmo que uma pessoa tenha extenso conhecimento de um certo 
assunto matemático, estando aí incluídos um extenso 
conhecimento de algorítmos e até mesmo de heurísticas, isso não 
é bastante para garantir que ela tenha uma capacidade minimal de 
resolver problemas sobre esse assunto. 
 
Em Matemática, diferentemente do que ocorre em muitas 
disciplinas, muito mais importante que erudição e treinamento são: 
uma intuição cultivada, capaz de fazer ressonar as 
informações dadas no problema com conhecimentos e 
experiências do resolvedor 
 
uma profundidade intelectual do resolvedor que seja capaz 
de relacionar itens conceitualmente e/ou proceduralmente 
muito distantes entre sí 
 
Em outras palavras: para uma dada pessoa, além de muito da sua 
capacidade de resolver problemas ser determinada genéticamente, 
a realização plena de seu potencial passa por uma orientação 
adequada e experiente. 
Níveis no desenvolvimento do resolvedor de 
problemas 
 
M. G. Kantowski, em 1980, a partir de longas observações, 
dividiu o continuum das capacidades pessoais de 
resolução de problemas matemáticos em quatro estágios. 
Novamente, a dotação genética e a qualidade da 
orientação didática determinarão quão longe uma dada 
pessoa conseguirá ir nesse continuum. 
Ampliando os estágios de Kantowski para cinco, e usando 
nossa terminologia, teremos como estágios ou níveis de 
capacitação de resolvedor: 
• inerte: a pessoa tem nenhum ou quase nenhum 
entendimento do que seja resolver um problema 
matemático; em particular, não é capaz de atinar por 
onde começar. O máximo que se consegue fazer nesse 
estágio é reproduzir procedimentos de resolução muito 
simples e que foram exaustivamente explicados e 
exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estágio está 
restrita ao mundo dos exercícios, e é necessário que 
esses sejam bastante exemplificados. 
• imitador: com pouca explicação e exemplificação, torna-
se capaz de fazer exercícios mas ainda não é capaz de 
resolver verdadeiros problemas; é capaz de participar 
produtivamente em grupos que estejam discutindo a 
resolução de problemas de tipo novo, contudo é incapaz 
de trabalhar sozinho 
• capaz: atingiu a capacidade de resolver problemas, mas 
esses devem ser variantes relativamente simples de 
problemas que aprendeu ou já resolveu 
• avançado: além de demonstrar uma capacidade superior 
de resolução, através da velocidade de resolução, da 
variedade e da maior complexidade dos problemas que é 
capaz de enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de 
conceber processos de resolução diferentes dos que 
tinha aprendido 
• artista: a pessoa não só atingiu uma proficiência superior 
de inventar novos processos de resolução como 
preocupa-se em explorar caminhos alternativos, 
buscando resoluções mais elegantes ou poderosas 
PROBLEMA 1 
Achar duas funções lineares, y=f( x ) e y=g( x ), tais que a 
função produto y=f( x )g( x ) tangencie cada uma delas, 
como em: 
PROBLEMA 2 
Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles (AB = AC) 
e o ângulo BAC mede 100 graus. Prolonga-se AB até um 
ponto D de modo que AD = BC. 
Qual o valor do ângulo BCD?