Algebra e Geometria dos numeros complexos

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VARIÁVEIS
COMPLEXAS
Tiago Loyo Silveira
 
Álgebra e geometria dos 
números complexos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar a álgebra dos números complexos.
  Efetuar as operações algébricas dos números complexos.
  Definir a geometria dos números complexos.
Introdução
O advento da unidade imaginária i possibilitou não apenas a representação 
algébrica de um número complexo, mas também a representação de 
raízes negativas de uma forma geométrica. Com isso, mais aplicações 
para os números complexos surgiram. Foi possível, por exemplo, que 
polinômios de raízes não reais fossem representados no plano cartesiano. 
A álgebra moderna também incorporou os números complexos para 
representar vetores.
Neste capítulo, você verá mais sobre as características algébricas e 
geométricas de um número complexo. Avançaremos em nossos estudos 
pelas operações com os números complexos e as suas representações 
geométricas.
Álgebra dos números complexos
Sejam m e n números reais, podemos escrever m e n na forma de pares orde-
nados (m, 0) e (n, 0). Observe que as operações abaixo entre os números reais 
m e n são fechadas, ou seja, conservam o resultado no conjunto dos reais.
Igualdade:
(m, 0) = (n, 0) se, e somente se, m = n
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Adição:
(m, 0) + (n, 0) + (m + n, 0 + 0) = (m + n, 0)
Multiplicação:
(m, 0).(n, 0) = (m.n – 0.0, m.0 + 0.n) = (m.n, 0)
Nas operações descritas acima, todas as coordenadas y nos pares ordenados 
são iguais a zero. Portanto, os números (m, 0) e (n, 0) podem ser representados 
no eixo das abscissas, que é a reta real, ou seja, os números (m, 0) e (n, 0) 
podem ser escritos simplesmente como m e n, respectivamente.
No entanto, se um par ordenado possui coordenada y ≠ 0, não pode ser 
representado no eixo das abscissas. Portanto, na forma algébrica a + bi, onde 
o coeficiente a representa a parte real, b a parte imaginária e i a unidade 
imaginária, com b ≠ 0, esse número será um complexo.
Operações com números complexos
Potências da unidade imaginária
A defi nição do comportamento das potências de i comtempla as potências 
dos complexos z = a + bi, uma vez que temos uma potência de um binômio, 
no que se segue. Observe:
, já que todo número elevado a zero é igual a 1;
, já que todo número elevado a 1 é igual a si mesmo;
, já que por definição, ;
;
;
;
;
;
.
[...]
Sendo , de um modo geral, temos:
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Ou seja, as potências , sendo , são obtidas por meio dos restos da 
divisão por 4, sendo possível apenas os resultados 1, i, -1, -i. Veja o exemplo 
abaixo.
Qual é o resultado de ?
Solução:
Adição e subtração
Sejam os números complexos e . A adição e sub-
tração são feitas entre as partes reais e as partes imaginárias separadamente. 
Dessa forma, temos:
Multiplicação
Sejam os números complexos e . O produto entre 
números complexos atende a defi nição de produto entre pares ordenados. 
Dessa forma, temos:
Outra maneira de realizar o produto é utilizando a propriedade distributiva 
e as propriedades de potência da unidade imaginária. Assim, temos:
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Acompanhe o exemplo abaixo.
(4 – i).(3 + i) = (4.3 – (– 1).1) + (4.1 + (–1).3)i = (12 + 1) + (4 – 3)i = 13 + i
Divisão
Para defi nir a divisão dos complexos, antes precisamos defi nir o conjugado de 
um número complexo. Seja um número complexo. Dizemos que 
a − bi é o conjugado de . Representamos com . Os conjugados possuem 
as propriedades a seguir.
O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados:
O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados:
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real 
não negativo.
, 
que é um número real positivo.
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é denominado 
norma de um número complexo. Portanto, dizemos que um número complexo 
z = a + bi foi normalizado, se ele foi escrito na forma:
.
Sejam dois números complexos e , sendo . Obter o quociente 
da divisão de por significa encontrar um número complexo , tal que 
. Dessa forma, escrevendo na sua forma algébrica, temos:
Veja o exemplo abaixo.
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Da igualdade de complexos, temos que:
Portanto, e .
Uma outra maneira de realizar a divisão de complexos e , sem precisar 
do uso de sistemas, é multiplicar e pelo conjugado de . Considere 
o exemplo abaixo.
Geometria dos números complexos
Dois eixos ordenados, centrados e perpendiculares na origem (0,0) defi nem o 
plano cartesiano. De forma semelhante, defi niremos um plano para representar 
os números complexos. Para todos os fi ns, é similar ao plano cartesiano, mas 
o eixo x será chamado de eixo real (Re) e vai representar a coordenada real 
de um número complexo, e o eixo y será chamado de eixo imaginário (Im), 
representando a coordenada imaginária de um número complexo.
O plano de representação dos números complexos é chamado de plano de 
Argand-Gauss. Dessa forma, cada número complexo z = a + bi representa um 
ponto P nesse plano. O plano de Argand-Gauss, ou plano complexo, também é 
muito utilizado para representar vetores bidimensionais. O ponto P é chamado 
de afixo do número complexo z.
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Figura 1. Plano de Argand-Gauss.
Módulo de um número complexo
A distância de um ponto P até a origem do plano é denominada módulo de um 
número complexo. Representamos por ou pela letra grega (rô).
Sendo , o módulo de um número complexo é dado por:
Figura 2. Módulo de um número complexo.
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O módulo do número complexo z = 5 +12i será:
Figura 3. Módulo de um número complexo.
Argumento de um número complexo
Sendo o módulo de um número complexo a distância entre a origem e um 
ponto P, então, se as coordenadas de P variam de forma que seja constante, 
então teríamos uma circunferência centrada na origem. Dessa forma, um 
número complexo pode ser representado ou parametrizado de acordo com 
o ângulo formado entre e o eixo real. Essa abertura recebe o nome de 
argumento de um número complexo, indicada por arg (z), com medida no 
intervalo . O argumento terá sentido anti-horário com o seu 
sentido positivo.
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Figura 4. Argumento de um número complexo.
Portanto, as coordenadas de um número complexo podem ser dadas em 
função do arco .
Qual é o argumento do número complexo z = −1 + i?
Solução:
Temos que 
Dessa forma, o arco com e é o arco de 135º ou .
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Forma trigonométrica de um número complexo
Como consequência do que vimos até aqui, os números complexos podem ser 
apresentados, além da sua forma algébrica, em uma forma trigonométrica. 
Das razões trigonométricas abaixo, temos que:
Aplicando as relações obtidas vindas do plano de Argand-Gauss na forma 
algébrica z = a + bi, obtemos:
, com 
A forma trigonométrica, também chamada de polar, possui aplicações 
diversas, além de facilitar os cálculos de potências de números complexos.
Figura 5. Representação de uma circunferência de 
raio |z|.
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Potenciação de um número complexo
Apesar de ser uma operação com número complexo, deixamos para descrevê-
-la somente agora, pois a forma trigonométrica nos facilitará sobremaneira 
nesse processo.
Para elevar um número complexo z ≠ 0 a um expoente , escrevemos 
z na sua forma trigonométrica.Elevamos o módulo ao expoente n, e os 
argumentos serão multiplicados por n. Dessa forma, temos:
Essa fórmula é denominada 1ª Lei de De Moivre, em homenagem ao 
matemático francês Abraham de Moivre. Se z = 0, então, qualquer que seja 
n, teremos .
Moivre formulou ainda, fórmulas para o produto, quociente e para raízes, todas utili-
zando sua forma polar (MAPLI, 2018; FÓRMULA, 2017):
https://goo.gl/BB4aXi
https://goo.gl/zpq7ui
Veja mais sobre o plano complexo e as suas peculiaridades (PLANO, 2016):
https://goo.gl/nFThNv
Assista a uma aula sobre produto de números complexos (O MATEMÁTICO, 2014):
https://goo.gl/pMoN5g
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https://goo.gl/BB4aXi
https://goo.gl/zpq7ui
https://goo.gl/nFThNv
https://goo.gl/pMoN5g
1. Para que (6 – 3i).(k + 6i) seja um 
número real, o valor de k deverá ser:
a) k = 0.
b) k= -12.
c) k= 12.
d) k = 18.
e) k = -18.
2. Sendo i a unidade imaginária 
do conjunto dos números 
complexos, o valor da expressão 
 é:
a) 1024i.
b) 0.
c) -512i.
d) 512i.
e) -1024i.
3. Observe o plano de Argand-Gauss 
representado abaixo, onde A é afixo 
do número complexo z = a + bi. 
Qual é a diferença entre z e ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Sendo , unidade 
imaginária do conjunto dos 
números complexos, qual o valor 
da expressão ?
a) 2i.
b) i.
c) –2i.
d) –i.
e) 0.
5. Qual o argumento do número 
complexo ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
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FÓRMULA DE DE MOIVRE. Wikipédia, Flórida, 2017. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre>. Acesso em: 21 fev. 2018. 
MAPLI. Fórmulas de De Moivre. Matika, Jundiaí, 2018. Disponível em: <http://www.
matika.com.br/numeros-complexos/formulas-de-de-moivre>. Acesso em: 21 fev. 2018.
O MATEMÁTICO. Grings - Aula 5 - Produto de Números Complexos. YouTube, 2014. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ilNv7lVXpAY>. Acesso em: 21 
fev. 2018.
PLANO COMPLEXO. Wikipédia, Flórida, 2016. Disponível em: <https://pt.wikipedia.
org/wiki/Plano_complexo>. Acesso em: 21 fev. 2018.
Leituras recomendadas
BARRETO FILHO, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula: volume único. São Paulo: 
FTD, 2005.
IEZZI, G. et al. Matemática: volume único. 6. ed. São Paulo: Atual, 2015. 
RIGONATTO, M. Plano de Argand-Gauss. Brasil Escola, Goiânia, 2018. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm>. Acesso em: 
21 fev. 2018.
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https://pt.wikipedia/
http://matika.com.br/numeros-complexos/formulas-de-de-moivre
https://www.youtube.com/watch?v=ilNv7lVXpAY
https://pt.wikipedia/
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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