2_Estática dos Pontos Materiais no Espaço

Prévia do material em texto

ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 
10 
X
Y
Z
A
O
C
B
F
x
F
F
z
F
y
F
h
θ
y
φ
θ
X
θ
Z
FFF
k
j
i
 
N(x2,y2,z2)
M(x
1
,y
1
,z
1
)
F
λλλλ
2. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS NO ESPAÇO 
2.1 COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO 
A Fig (2.1) representa a decomposição de uma força F no espaço. Esta força é 
representada por suas componentes vetoriais Fx, Fy e Fz, que são orientadas nas direções dos 
eixos X, Y e Z. Logo pode-se escrever zyx FFFF ++= ou kjiF zyx FFF ++= utilizando-se 
os vetores unitários. Neste caso, Fx, Fy e Fz são as componentes escalares de F. 
As projeções F nos eixos de 
referência são dadas por 
yy FF θcos⋅= 
yh FF θsen⋅= 
φθφ sensensen ⋅=⋅= yhz FFF 
φθφ cossencos ⋅=⋅= yhx FFF 
O módulo do vetor F é obtido 
fazendo-se 
222
zyx FFFF ++= 
Os ângulos θx, θy e θz 
representados na Fig 2.1 são os 
ângulos diretores da força F. 
Figura 2.1 – Decomposição de uma força no espaço. 
Para os cossenos diretores é válida a relação 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ . 
Emprega-se o conceito dos cossenos diretores para se escrever a força F como 
( )zyxF θθθ cos,cos,cos=F , em que ( )zyx θθθ cos,cos,cos é o vetor unitário que indica a 
direção e sentido de F. 
No caso da reta de ação da força F ser definida por dois pontos M e N, Fig. 2.2, deve-se 
definir o vetor unitário λλλλ como 
( )
d
ddd
MN
zyx ,,
=
MN
 em que dx = (x2 – x1), dy = (y2 – y1) e dz = (z2 – z1) e d é a distância entre 
os pontos M e N. 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Representação da reta suporte 
de uma força por dois pontos. 
 
 
 
 
ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 
11 
Y
Z
X
F
8
0
30
(m)
40
A
B
 
Exemplo 2.1 O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um 
parafuso fixo no ponto A conforme ilustrado na Fig. 2.3. Sabendo que a força no cabo é de 
2500 N, determine as componentes da força que atua sobre o parafuso, bem como os ângulos 
diretores da força. 
 (B-A) = (-40, 80, 30) 
( ) m 3,94308040 222 =++−=AB 
( ) ( )318,0;848,0;424,0
3,94
30,80,40
−=
−
=λ 
( ) N 318,0;848,0;424,02500 −== λF F 
A partir desta expressão obtém-se 
facilmente as componentes da força e seus 
ângulos diretores fazendo-se 
°≈=−= 1151,115)424,0arccos(xθ 
N 10602500424,0 −=⋅−=xF 
°== 32)848,0arccos(yθ 
N 21202500848,0 =⋅=yF 
°≈== 715,71)318,0arccos(zθ 
N 7952500318,0 =⋅=zF 
Figura 2.3 - 
Este problema pode ser facilmente resolvido com o uso da calculadora HP 48G ou 
modelo superior. Para isto basta indicar que (-40, 80 , 30) é um vetor, o que é feito 
pressionando-se as teclas e [x] (o símbolo [] indica uma tecla). Com isto deve aparecer 
na parte inferior da pilha dois colchetes: []. Depois basta digitar os números com os 
correspondentes sinais. Entre cada número deve-se pressionar a tecla [SPC] para deixar um 
espaço entre eles (-40 [SPC] 80 [SPC] 30). Fornecidos os três números pressiona-se [Enter] 
para que o vetor ocupe a primeira posição da pilha. Depois pressiona-se [Enter] novamente 
para copiar o vetor para a segunda posição da pilha. A seguir pressiona-se a tecla [MTH] e 
depois a tecla [A] que seleciona o modo de operação com vetores (VECTR). Esta operação 
fica mais clara quando se observa a parte inferior da tela. Seleciona-se a operação ABS 
através da tecla [A]. Imediatamente o módulo do vetor passa a ocupar a primeira posição da 
planilha. Depois basta dividir o vetor pelo módulo pressionando-se a tecla de divisão. Para 
obter as projeções da força basta multiplicar o vetor resultante por 2500. 
Para maiores detalhes sobre a operação da calculadora sugere-se uma consulta ao 
manual desta. 
 
 
 
2.2 EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO 
A condição de equilíbrio de uma partícula no espaço também vem da Primeira Lei de 
Newton ou seja ( ) kjikji0F 000 ++=++→= ∑∑ zyx FFF , o que resulta em : 
0,0,0 === ∑∑∑ zyx FFF . 
 
 
 
ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 
12 
2.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) O tripé ABCD, figura (1), e o tambor E estão instalados para elevar uma carga de 3 tf 
( kgf 1000 tf1 = ) de um poço de uma mina. Determinar os esforços nos pés do tripé 
durante o levantamento uniforme da carga, considerando que o triângulo ABC é equilátero 
e os ângulos formados pelos pés e o cabo DE com o plano horizontal são iguais a 60°. 
 
Solução: 
Para se resolver este problema deve-se notar que as 
3 barras, que formam o tripé, bem como o cabo, que sustenta 
o peso P, concorrem ao ponto D ou seja temos um problema 
no qual todas as forças concorrem ao mesmo ponto. Logo 
este exercício pode ser resolvido aplicando apenas a 
condição de equilíbrio de uma partícula. Portanto as 
equações que empregaremos são: 
0 , 0 , 0 === ∑∑∑ zyx FFF 
Segundo o texto, todas as barras do tripé fazem um 
ângulo de 60° com a horizontal. O mesmo vale para o cabo 
ED. Logo a equação 0 =∑ zF nos permite escrever 
F F FBD AD CDsen sen sen sen60 60 60 3 60 3 0
o o o o+ + − − = 
ou 
F F FBD AD CD+ + = 6 46, (1) 
Pode-se notar na expressão acima que não basta 
considerarmos apenas o peso de 3 tf. Temos que levar em 
conta também a tensão no cabo. Neste sentido é importante 
salientar que a tensão no cabo é igual ao peso porque se 
considera a polia como perfeita ou seja sem atrito. 
Continuando a solução, vamos fazer um diagrama de corpo livre no plano horizontal das forças que 
atuam em D. Pelo diagrama podemos escrever as duas equações de equilíbrio restantes. 
 
F F Fx BD AD∑ = → − + =0 60 60 60 60 0 cos sen cos sen
o o o o 
 
ou 
 
F FAD BD= (2) 
 
Este resultado representa a simetria do tripé em relação ao eixo y. 
F F F Fy CD BD AD∑ = → − − + + =0 3 60 60 60 60 60 60 0 cos cos cos cos cos cos
o o o o o o (3) 
 
Empregando-se em (3) o resultado (2) e operando-se fica 
 
3 ou 060cos23 −==+−− BDCDBDCD FFFF
o
 (4) 
 
Substituindo-se (4) em (1) obtém-se 
 
2 3 6 46 315 015F F F FBD BD BD CD+ − = = =, , , logo tf , tf 
 
 
y
x
A
C
B
D
E
y
P
z
D
E
A C
Figura (1)
 
D FCD cos60
o
3 60cos o
FBD cos60
o
FAD cos60
o
x
y
 
ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 
13 
A
C
D
B
P
4620 N
X
Y
Z
0,6
0,7
(m)
1
,1
2
5
0,65
0,
45
2) Uma caixa está suspensa por 3 cabos como ilustrado na figura (2). Determine o peso da 
caixa sabendo que a força no cabo AD é de 4620 N. 
 
Solução: O primeiro passo é obter as coordenadas 
dos pontos de interesse. 
A( 0; -1,125; 0), B( 0,7; 0; 0), 
C( 0; 0; -0,6) e D( -0,65; 0; 0,45). 
 
Depois deve-se definir os vetores com as direções 
dos cabos e com os sentidos das forças: 
 
(D – A) = (-0,65; 1,125; 0,45) 
 (C – A) = (0; 1,125; -0,6) 
 (B – A) = (0,7; 1,125; 0) 
Para cada um dos 3 vetores acima definidos deve-se 
calcular o correspondente versor, o que pode ser 
feito facilmente aplicando-se a calculadora HP. 
Como resultado desta operação obtém-se 
( )327,0;818,0;473,0λAD −= , ( )471,0;882,0;0 −=ACλ e ( )0;849,0;528,0=ABλ 
Escrevendo-se todas as forças envolvidas no problema em notação vetorial obtém-se 
( ) ( )N 1512,3780,2184327,0;818,0;473,04620 −=−⋅=ADF 
( )471,0;882,0;0 −= ACAC FF 
( )0;849,0;528,0ABAB F=F 
jP P−= 
Escrevendo-se agora as equações de equilíbrio pode-se resolver o problema. 
 
N 4,41360528,021840 =→=+−→=∑ ABABX FFF 
N 2,32100471,015120 =→=−→=∑ ACACZ FFF 
N 101230849,0882,037800 =→=−++→=∑ PPFFF ABACY 
2.4 EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) O cabo de sustentação de uma torre, figura (1), está ancorado por meio de um parafuso em 
A. A tração no cabo é de 3000 N. Determine as componentes da força F que atua sobre o 
parafuso e os ângulos que definem a direção da força. 
A
B
Z
Y
X
30 m
40 m
35o
Figura (1)
 
ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 
14 
ENG 1156 – MECÂNICA – TRABALHO 1 
Os trabalhos devem ser desenvolvidos em folhaA4 branca a caneta e sem rasuras, ou 
podem ser desenvolvidos em editor de texto. Neste caso, o trabalho pode ser entregue em 
arquivo (formato .rtf, pdf ou .doc) ou impresso em folha A4 branca. Trabalhos fora destas 
condições não serão avaliados. 
 
1) A grua BAC, figura (1), levanta uma carga de 2,5 kN por meio de uma corrente que passa 
pelas polias A e D. Determine as forças que atuam nas barras BA e AC. 
 
2) Um recipiente pende de um cabo único que passa através de um anel, sem atrito, e é atado 
aos pontos fixos B e C. Duas forças, H = Hi e Q = Qk, são aplicadas ao anel a fim de que o 
recipiente permaneça na posição ilustrada. Sabendo que o peso do recipiente é de 376 N, 
determine os módulos de H e Q. 
 
 
 
 
A
C
B
376 N
X
Y
Z
240
150
(mm)
4
0
0
130
16
0
B
P
A
C
D
30°
30°
60°
ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 
15 
3) Uma carga de 1000 kgf está suspendida no ponto D conforme figura (3). As uniões das 
barras nos pontos A, B, C e D são articuladas. Determinar as reações dos apoios A, B e C. 
 
 
 
Z
Y
X
C
A
B
15 30
45
45
1000 Kgf
D
Figura (7)