Matemática Financeira - série não uniformes rendas antecipadas, não homogêneas e diferidas

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Tecnologia em Processos gerenciais
MateMática financeira
SérieS não uniformeS: 
rendaS antecipadaS, 
não homogêneaS e diferidaS
9
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Utilizar o período de carência de rendas não uniformes. 
Calcular a renda antecipada.
COmpetênCias 
Abstração das informações a serem utilizadas para a ela-
boração da tabela.
 Habilidades 
Associar informações ao enunciado da questão; declarar 
as informações relevantes.
MateMática Financeira
SérieS não uniformeS: 
rendaS antecipadaS, 
não homogêneaS 
e diferidaS
ApresentAção
Você já sabe operar a juros simples e compostos, trans-
formar taxas, utilizar HP 12c e o Excel. Agora, precisará 
aplicar todos os seus conhecimentos anteriores para en-
tender o funcionamento das rendas, e deverá elaborar 
tabelas para facilitar o entendimento.
Nessa Unidade de Aprendizagem mostraremos como 
utilizar o período de carência, de rendas não uniformes 
e pagamentos no ato do contrato.
Abordaremos, também, a renda antecipada, em que o 
cliente precisará dispor de determinada quantia na data 
da assinatura do contrato. E o outro tema é o pagamento 
de prestações variáveis. Nesse caso podemos citar que 
você queira comprar um imóvel na planta e queira pa-
gar com parcelas não uniformes, pois sua renda é maior 
em dezembro e janeiro, menor em fevereiro, devido às 
férias e menor, ainda, em outros meses, devido a parti-
culares fatores. 
Vamos lá!
pArA ComeçAr
Você já ouviu falar em carência para começar a pagar 
determinada prestação?
Na publicidade, as instituições financeiras e lojas des-
tacam, sobretudo, as vantagens do crédito às compras, 
com carência (diferimento de capital). Existem lojas, por 
exemplo, que fornecem um prazo de noventa dias para 
o cliente começar a pagar. É um fato interessante quan-
do ocorre a previsão de que o cliente terá um aumento 
do seu rendimento em curto prazo. Mesmo no período 
de carência, a prestação pode alterar-se, com exceção 
do cliente optar por um crédito com taxa fixa. Convém 
mencionar que, com carência, o cliente apenas adia o 
pagamento da dívida e dos juros acumulados.
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atenção
A carência se justifica em operações onde o devedor precisa 
de um fôlego para fins de fluxo de caixa e/ou onde o proje-
to requer maior tempo de maturação para geração de caixa 
operacional. (DI AGUSTINI, 2009, p. 96)
Quando pensar em rendas não uniformes, imediatas e diferidas, deverá 
pensar no período do financiamento, taxa, valor principal.
Imagine se você tivesse que auxiliar a empresa do Sr. X, que apre-
senta um produto à venda que será financiado em 18 vezes iguais de 
R$4.367,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 2,7% ao mês e 
que a primeira prestação deve ser paga no ato da assinatura do contrato. 
Qual seria o valor à vista deste produto, considerando cinco meses para 
começar a pagar a primeira prestação?
O período de carência é de 5 meses.
PV  =  PMT × 
 
1 - (1 + i ) - n
i  
(1 + i )c - 1
  ⇒  PV  =  4.367 × 
 
1 - (1 + 0,027 )-18
0,027  
(1 + 0,027)5 - 1
  ⇒
⇒  PV  =  53.929,32
Dica
Para auxiliá-lo, tente pensar que o valor à vista é identificado, 
considerando as prestações, com a taxa acima mencionada. 
Na sequência, considere o valor presente como o futuro, e 
determine o valor futuro considerando a carência. Depois, leia 
novamente o enunciado e identifique os valores solicitados!
Vamos aos fundamentos da Unidade.
FundAmentos
Vamos considerar uma série de pagamentos variáveis com termos ven-
cidos. O valor presente é calculado pela soma dos valores atualizados de 
cada um de seus termos a uma mesma taxa i. O valor futuro pode ser 
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determinado pelo somatório dos montantes de cada termo, ou capitali-
zando o valor presente para a data futura. O fluxo de caixa é o seguinte:
PV PMT1 PMT2 PMT3 PMTn - 1 PMTn
Vamos considerar que o Sr. X recebeu uma proposta de compra de um 
equipamento para sua empresa com uma série de seis pagamentos men-
sais, consecutivos, de R$ 2.200,00, R$ 3.500,00, R$ 950,00, R$ 4.550,00, 
R$ 3.200,00 e a última de R$ 1.900,00. Porém, ele possui um valor a rece-
ber na data de hoje e precisa saber qual o valor que pagaria à vista pelo 
equipamento, sabendo que a taxa mensal é de 1,45%.
  PV  = 
PMT1
1 + i
 +  PMT2
(1 + i )2
 +  PMT3
(1 + i )3
 +  PMT4
(1 + i )4
 +  PMT5
(1 + i )5
 +  PMT6
(1 + i )6
    = 
2.200
1 + 0,0145
 +  3.500
(1 + 0,0145)2
 +  950
(1 + 0,0145)3
 +  4.550
(1 + 0,0145)4
 +  3.200
(1 + 0,0145)5
 +  1.900
(1 + 0,0145)6
    =  15.495,00, conforme Tabela 1
Para calcularmos o valor futuro, caso o Sr. X tivesse, também, a opção de 
pagar tudo no final dos seis meses, utilizaremos a seguinte fórmula: 
FV  =  PV (1 + i )n  ⇒  FV  =  15.495 (1 + 0,0145)6  ⇒  16.892,88
n i pv pmt fv
6 1,45 15.495 0 16.892,88
atenção
Na série de pagamentos antecipados, os mesmos ocorrem 
no início de cada período unitário. A primeira prestação é 
sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na 
data do contrato da operação que implique pagamentos ou 
recebimentos de prestações!
Figura 1. Fluxo de 
caixa de uma série de 
pagamentos variáveis.
Fonte: Autor.
Tabela 1. Dados da 
compra do Sr. X.
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Passo a passo do cálculo, usando a HP-12C, da compra do Sr. X.
teclaS na hp-12c viSor obServação
f REG 0,00 Limpa os registradores.
1,45 i 1,45 Insere a taxa mensal.
2.200 CHS FV -2.200,00 Valor do primeiro pagamento.
1 n 1,00 Prazo do primeiro pagamento.
PV 2.168,56 Valor atualizado do primeiro pagamento.
3.500 CHS FV -3.500,00 Valor do segundo pagamento.
2 n 2,00 Prazo do segundo pagamento.
PV 3.400,66 Valor atualizado do segundo pagamento.
5.569,22 Valor presente dos dois primeiros pagamentos.
950 CHS FV -950,00 Valor do terceiro pagamento.
3 n 3,00 Prazo do terceiro pagamento.
PV 909,85 Valor atualizado do terceiro pagamento.
6.479,07 Valor presente dos três primeiros pagamentos.
4.550 CHS FV -4.550,00 Valor do quarto pagamento.
4 n 4,00 Prazo do quarto pagamento.
PV 4.295,39 Valor atualizado do quarto pagamento.
10.774,46 Valor presente dos quatro primeiros pagamentos.
3.200 CHS FV -3.200,00 Valor do quinto pagamento.
5 n 5,00 Prazo do quinto pagamento.
PV 2.977,76 Valor atualizado do quinto pagamento.
13.752,22 Valor presente dos cinco primeiros pagamentos.
1.900 CHS FV -1.900,00 Valor do sexto pagamento.
6 n 6,00 Prazo do sexto pagamento.
PV 1.742,77 Valor atualizado do sexto pagamento.
15.495,00 Valor presente dos seis pagamentos.
Tabela 2. Passo a 
passo do cálculo, 
usando a HP 12c, 
da compra do Sr. X.
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série de pagamentOs anteCipadOs
Segundo Di Agustini et al (2009, p. 97) “parcela antecipada ocorre quando 
não existe intervalo de tempo entre o início da operação (data de libera-
ção do recurso para o devedor) e o início de pagamento pelo devedor”. 
Na empresa do Sr. X, há um produto financiado em 18 vezes iguais de 
R$4.367,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 2,7% ao mês e 
que a primeira prestação deve ser paga no ato da assinatura do contrato. 
Qual é o valor à vista deste produto? Na UA 8 você encontrará a dedução 
da fórmula abaixo mencionada.
  PV  =  PMT   
 
(1 + i ) n  - 1
i (1 + i ) n  
 × (1 + i ) 
 
    =  4.367   
 
(1 + 0,027)18  - 1
0,027 (1 + 0,027)18  
 × (1 + 0,027 ) 
    =  63.277,25
Passo a passo do cálculo, usando a HP 12c, do produto financiado do Sr. X. 
teclaS na hp 12c viSor obServação
f REG 0,00 Apaga os dados registrados.
g BEG 0,00 BEGIN
Primeira prestação a ser 
considerada no ponto “zero”.
18 n 18,00 BEGIN Insere o número de períodos.
4.367 CHS PMT -4.367,00 BEGIN Valor das parcelas.
2,7 i 2,70 BEGIN Insere a taxa.
PV63.277,25 BEGIN Valor à vista do produto.
conceito
Para resolver a série uniforme de pagamentos antecipados 
no Excel, basta inserir o valor 1 na célula tipo, que se refere 
ao primeiro pagamento no ato do contrato.
série UnifOrme de rendas diferidas
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após um 
certo prazo, o qual é, também, denominado período de carência.
Tabela 3. Passo a 
passo do cálculo, 
usando a HP 12c, 
do produto 
financiado do Sr. X.
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Segundo Di Agustini et al (2009, p. 94) “o período diferido ou de carên-
cia ocorre quando o credor concede ao devedor um prazo de não paga-
mento (grace period)”. 
Na empresa do Sr. X há uma outra alternativa para a venda do produto, 
um período de carência. O produto será financiado em 18 vezes iguais de 
R$4.367,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 2,7% ao mês e que 
a primeira prestação deve ser paga no ato da assinatura do contrato. Qual 
é o valor à vista deste produto? O período de carência é de cinco meses.
PV  =  PMT × 
 
1 - (1 + i )-n
i  
(1 + i )c - 1
  ⇒  PV  =  4.367 × 
 
1 - (1 + 0,027 )-18
0,027  
(1 + 0,027)5 - 1
  ⇒
⇒  PV  =  53.929,32
teclaS na hp-12c viSor obServação
f REG 0,00 Apaga os dados registrados.
g END 0,00
Primeira prestação a ser 
considerada no ponto “zero”.
4.367 CHS PMT -4.367,00 Valor das parcelas.
18 n 18,00 Período do financiamento.
2,7 i 2,70 Insere a taxa.
PV 61.613,68 Valor à vista do produto, desconsiderando a carência.
CHS FV -61.613,68 O valor à vista passa a ser o valor futuro.
0 PMT 0,00 Na carência não ocorrem prestações.
5 n 5,00 Período de carência.
PV 53.929,32 Valor à vista do produto considerando a carência.
Dica
Renda é a soma dos rendimentos pagos aos fatores de 
produção para obter o produto num determinado período, 
composto por aluguéis, lucros, salários e juros. 
Tabela 4. Passo a 
passo do cálculo, 
usando a HP-12C, 
da alternativa de 
venda do Sr. X.
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PaPo técnico
Nesta Unidade, apresentamos um exemplo utilizando a for-
ma algébrica, a HP 12C e o Excel. Você deve compreender 
as maneiras de operar com rendas e aplicá-las conforme sua 
necessidade!
antena 
pArAbóliCA
No Programa de Financiamento Estudantil (FIES) ocorre 
o sistema de pagamento de rendas diferidas. Para solici-
tar o FIES, o estudante deve estar regularmente matricu-
lado em um curso superior de graduação não gratuito, 
oferecido por uma Instituição cadastrada no Programa e 
que tenha avaliação positiva nos processos de conduzi-
dos pelo MEC.
Pela lei 12.202/2010, publicada no DOU em 14/1/2010, 
os contratos de FIES, assinados a partir do primeiro se-
mestre 2010, passam a contar com prazo de carência de 
18 meses a partir do término do prazo de utilização bem 
como o prazo de amortização será de até três vezes o 
prazo de utilização.
Dessa forma um contrato FIES passa a ter três fases 
distintas:
1. Prazo de utilização: Prazo contado a partir do pri-
meiro mês de ingresso no FIES até o último mês do 
prazo de utilização (considera-se os semestres sus-
pensos ou encerrados sem início de amortização). 
Nessa fase o estudante paga a cada 3 (três) meses 
prestações de juros de até R$ 50,00, nos meses 
março, junho, setembro e dezembro;
2. Prazo de carência: O prazo de carência é opcional 
e pode ser de até 18 meses imediatamente subse-
quentes ao prazo de utilização. Nessa fase as pres-
tações têm a mesma regra do prazo de utilização;
3. Prazo de amortização: Imediatamente subse-
qüentes ao prazo de carência até 3 vezes o prazo 
de utilização mais 12 meses (o simulador adota 
exatamente 3 (três vezes). Nessa fase o sistema 
calcula a prestação pela tabela PRICE em função do 
saldo devedor do contrato no dia da mudança para 
essa fase, da taxa de juros e do prazo dessa fase.
1. Disponível em: 
https://www3.
caixa.gov.br/fies/
asp/Simulador/
Simulador.asp
https://www3.caixa.gov.br/fies/asp/Simulador/Simulador.asp
https://www3.caixa.gov.br/fies/asp/Simulador/Simulador.asp
https://www3.caixa.gov.br/fies/asp/Simulador/Simulador.asp
https://www3.caixa.gov.br/fies/asp/Simulador/Simulador.asp
Durante as fases prazo de utilização e prazo de carên-
cia, os juros excedentes ao valor da prestação são incor-
porados ao saldo devedor do contrato no mês da sua 
apuração (cálculo).
LeMbre-se
As formas dos pagamentos parcelados 
são descritos em contratos previamente 
acordados.
e AgorA, José?
Agora que você já conhece o sistema de rendas ante-
cipadas, variáveis e diferidas, chegou a hora de apren-
der sobre o Sistema Price de Financiamento. Na próxima 
Unidade você entenderá como funciona a amortização 
de cada parcela uniforme. É um sistema bastante utiliza-
do para financiamentos de curto prazo. 
Ótimos estudos!
AtividAdes
Siga para a área de atividades e realize o proposto para 
verificar sua compreensão sobre os temas estudados.
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reFerênCiAs
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Apli-
cada: método algébrico, HP-12C, Micro-
soft Excel. 2ª ed. São Paulo: Cengage Lear-
ning, 2008.
DI AGUSTINI, C. A. eT Al, Matemática aplicada à 
Gestão de Negócios. Rio de Janeiro: editora 
FGV, 2009.
GUeRRA, F. Matemática Financeira através 
da HP-12C. 2ª ed. Florianópolis: Editora da 
UFSC, 2001.
PUCCINI, A. l. Matemática Financeira objetiva 
e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2004.