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As aventuras de Radix 
Série Matemática na Escola 
Objetivos 
1. Apresentar a Geometria não-Euclidiana; 
2. Apresentar a Geometria da Esfera; 
3. Diferenciar a Geometria Euclidiana da não-
Euclidiana. 
 
As aventuras de 
Radix 
 
Série 
Matemática na Escola 
Conteúdos 
Geometria esférica. 
Duração 
Aprox. 10 minutos. 
Objetivos 
1. Apresentar a Geometria não-
Euclidiana; 
2. Apresentar a Geometria da 
Esfera; 
3. Diferenciar a Geometria 
Euclidiana da não-Euclidiana. 
 
Sinopse 
O programa aborda a geometria 
da Esfera, que é um exemplo de 
geometria não-Euclidiana. 
Nelson, ao escrever mais umas 
das aventuras do super-herói 
Radix, se depara com a seguinte 
pergunta: Como Radix poderá 
cumprir a missão de evitar o 
desmatamento no Planeta Terra? 
Para terminar a aventura do 
Radix, o cartunista Nelson pedirá 
ajuda ao seu amigo Mario, que 
trabalha na área de 
monitoramento por satélite. 
Material relacionado 
Áudios: Tamanho da Terra; 
Vídeos: Herança de famila. 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 3/12 
Introdução 
Sobre a série 
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do 
ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os 
programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de 
um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os 
programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao 
conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem 
informações interdisciplinares. 
Sobre o programa 
O programa aborda conceitos da geometria da Esfera. Nelson, o 
criador do super-herói Radix, ao escrever mais uma das aventuras do 
herói no espaço sideral se depara com a seguinte questão: Como o 
herói Radix poderá cumprir a missão de evitar o desmatamento no 
planeta Terra? Nelson conversa com o seu amigo Mario, que trabalha 
no centro de Monitoramento por satélite, para dirimir suas dúvidas de 
como o Radix poderá proteger as florestas na superfície do planeta 
Terra do desmatamento. 
 
Figura 1: Monitoramento por satélite. 
 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 4/12 
Mario explica que algumas das atribuições da área de monitoramento 
remoto por satélite são a aquisição, a organização e a disseminação de 
informações técnico-científicas sobre a superfície do planeta Terra 
para a gestão territorial. O monitoramento por satélite pode ser 
utilizado como uma ferramenta tecnológica tanto para o 
geoprocessamento na agricultura como para evitar crimes contra o 
desmatamento de florestas, como a Amazônia. O Brasil é dono de uma 
das biodiversidades mais ricas do mundo e, portanto, o 
monitoramento por satélite é muito útil para a proteção dos biomas 
brasileiros, como por exemplo, vegetação, ecossistemas, cerrado, 
pantanal, caatinga, campos, mata atlântica e o pantanal. 
No vídeo, a inserção “olha o curta” explica que o lançamento de 
satélites no Brasil é feito pelo Centro de Lançamento de Alcântara, 
instituição federal criada em 1989, no município de Alcântara, a 408 
km de São Luís, no estado do Maranhão, localizado na latitude 2°18’ 
sul da região Nordeste do Brasil. A sua proximidade estratégica com a 
linha do Equador permite uma economia significativa de combustível 
durante o lançamento de foguetes que colocam os satélites em órbita. 
 
 
 
 
 
Figura 2: Centro de Lançamento de Alcântara. 
Nelson continua curioso sobre o monitoramento por satélite e faz a 
seguinte pergunta ao Mario: O que é necessário para manter o satélite 
em órbita terrestre? 
 
 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 5/12 
 
Figura 3: Se a aceleração do foguete for menor do que a aceleração 
gravitacional, o foguete cai de volta na Terra. 
 
Figura 4: Se a aceleração do foguete for maior do que a aceleração 
gravitacional, o foguete escapa para o espaço sideral. 
Primeiramente o Mario explica que o foguete é o responsável por levar 
o satélite até o espaço. Ele continua explicando que o planeta Terra, 
que tem uma forma esférica, exerce uma força, que é chamada 
Gravidade, e que é necessário que o satélite a supere. O Mario conclui 
dizendo que o satélite precisa atingir uma posição (altura) específica 
para então se desprender do foguete e entrar em órbita ao redor do 
planeta Terra. Ele ainda acrescenta que se a altura do satélite não 
estiver correta, a força gravitacional poderá ser menor e o satélite 
cairá. Por outro lado, se a força gravitacional for maior, o satélite não 
ficará em órbita terrestre e vai para o espaço, se afastando cada vez 
mais do planeta terra. 
As órbitas dos satélites podem ser consideradas como “retas” em uma 
superfície esférica. Mario exemplifica este fato à luz da definição da 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 6/12 
geometria Euclidiana de que a reta é a menor distância entre dois 
pontos. 
 
 
 
 
 
Figura 5: Satélites em órbita terrestre. 
No vídeo, o amigo Mario utiliza uma miniatura do globo terrestre (que 
exibe uma geometria Esférica) para mostrar que se escolhermos dois 
pontos “geográficos”, por exemplo, Manaus e o Pólo Norte, e se um 
elástico for esticado entre esses dois pontos e depois solto, o mesmo 
voltará à posição inicial. Na geometria Esférica não-Euclidiana, o lugar 
geométrico formado pelo elástico será uma “reta” curva. 
O Mario então explica ao Nelson que os meridianos terrestres e o 
equador são outros exemplos de retas desse tipo, i.e., curvas de 
menor distância na geometria Esférica. Estas curvas têm o nome de 
geodésicas. 
Relembrando a história da aventura do herói, Nelson percebe porque 
os foguetes dos personagens Radix e do vilão Capitão Bum colidem: 
algumas regras da geometria plana (Euclidiana) não são válidas na 
geometria Esférica (não-Euclidiana). 
 
 
 
 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 7/12 
O Nelson compreende que na geometria plana duas retas paralelas 
não se cortam, mas na geometria Esférica isto é possível. Ou seja, 
dado um par de geodésicas em um plano da geometria Esférica pode-
se demonstrar que existirá sempre pelo menos um ponto de 
intersecção. 
Assim, para que Nelson possa continuar a escrever a aventura sem 
colocar o super-herói Radix em perigo de morte, é necessário 
“extrapolar” a geometria Euclidiana. As naves do herói Radix e do vilão 
Capitão Bum estão em uma geometria Esférica (superfície da Terra), 
portanto o Nelson não poderia considerar a definição da geometria 
Euclidiana de que retas paralelas não têm ponto em comum. 
Após refletir um pouco o escritor Nelson compreende que a Geometria 
Euclidiana é para superfícies planas e que para situações geométricas 
sobre uma superfície curva, como por exemplo, a superfície da Terra, 
a geometria Euclidiana não é apropriada. Ele entende que a geometria 
Esférica (não-Euclidiana) é a geometria adequada para utilizar na 
aventura do herói Radix. 
DA GEOMETRIA DE EUCLIDES ÀS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS 
A obra prima “Os Elementos”, que foi escrita por Euclides por volta do 
ano 300 a.C., e que é formada por 13 volumes, forneceu um modelo 
para o desenvolvimento rigoroso das idéias matemáticas que é 
utilizado até os dias de hoje, por meio de um sistema de definições, 
postulados e axiomas, e é conhecida como geometria Euclidiana. 
Lembramos a seguir os cinco famosos postulados de Euclides, que 
podem ser encontrados no volume I, da obra Os Elementos: 
1º. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une; 
2º. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para 
construir uma reta; 
3º. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se 
construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à 
distância dada; 
4º. Todos os ângulos retos são iguais; 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 8/12 
5º. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos 
dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois 
retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, 
cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos. 
O quinto postulado de Euclides foi objeto de polêmicapor não possuir 
o mesmo grau de rigor que os quatro primeiros. Na tentativa de 
demonstrá-lo, vários matemáticos renomados, entre eles Gauss, 
Bolyai, Lobachevski e Riemann, começaram a se interessar pela 
existência de uma geometria que não fosse aquela descrita por 
Euclides. A geometria de Euclides é adequada para superfícies planas, 
e essa teoria não pode ser aplicada às superfícies curvas. Esse 
processo culminou com a descoberta das Geometrias não-Euclidianas. 
Exemplo de Geometria não-Euclidiana: A 
geometria Esférica foi descoberta pelo 
matemático alemão Georg Friedrich 
Bernhard Riemann (1826-1866). Ele 
considerava que as retas (da geometria 
Esférica) seriam círculos máximos da 
superfície esférica, e que tais círculos 
máximos se interceptariam em dois pontos. 
Nesta geometria a reta não é mais infinita 
como na geometria Euclidiana, mas sim 
ilimitada. Riemann estabeleceu como um de 
seus axiomas que na geometria Esférica não 
existem paralelas a uma reta dada, indo 
contra o quinto postulado de Euclides. 
Sugestões de atividades 
Antes da execução 
Com o objetivo de desenvolver conceitos básicos de geometria 
Esférica, além de comparar a geometria Euclidiana com a geometria 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 9/12 
não-Euclidiana, sugerimos ao professor algumas atividades1 para 
realizar com os alunos em sala de aula. 
Atividade 1 
“Um jovem caçador saiu de sua fazenda e andou 10 Km ao sul. Depois 
virou ao oeste e andou mais 10 Km. Então virou ao norte e andou 
novamente por mais 10 Km. Ele ficou espantado, pois descobriu que 
tinha retornado novamente a sua fazenda.” 
a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem 
caçador. 
b) De acordo com a história descrita acima é possível que o jovem 
caçador volte ao ponto de partida? Escreva suas conclusões. 
c) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem 
caçador. 
d) Analisando o caminho desenhado na bola, é possível para o jovem 
caçador voltar ao mesmo ponto de partida? Justifique sua resposta. 
Mensagem ao professor: É importante chamar a atenção dos alunos 
para eles perceberem que, em uma superfície plana, o jovem caçador 
não retornaria ao ponto de partida. Na superfície esférica é possível. 
Durante a execução 
No momento em que o vídeo estiver em torno dos 7 minutos, se o 
professor julgar conveniente, sugerimos parar o vídeo e propor as 
seguintes questões aos alunos: Em qual geometria estão as naves do 
super-herói Radix e do vilão Capitão Bum? O que poderia acontecer 
com as naves do super-herói Radix e do vilão Capitão Bum ao serem 
lançadas no mesmo momento e na mesma velocidade ao espaço? 
Igualmente, quando o vídeo estiver em 8min e 48segundos, sugerimos 
que o professor pare o vídeo e reforce a idéia com os alunos de que as 
 
1 Adaptadas do livro Convite às Geometrias Não-Euclidianas de Lázaro Coutinho. 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 10/12 
naves do herói Radix e do vilão Capitão Bum estão em uma geometria 
Esférica (superfície da Terra), e, portanto o Nelson não poderia 
considerar a definição da geometria Euclidiana de que retas paralelas 
não se cortam. 
Estas paradas podem ocorrer na primeira vez, ou se for apropriado na 
segunda vez que o vídeo passar. Isto é, na primeira vez passar o vídeo 
sem interrupção e depois voltar a estes momentos. 
Depois da execução 
Com o objetivo de diferenciar a reta na superfície plana e na esférica e, 
além disso, mostrar que não existem retas paralelas na superfície 
esférica, sugerimos ao professor as seguintes atividades2 a serem 
realizadas em sala de aula com os alunos. 
Atividade 2 
“Retornando a história do jovem caçador, imagine agora a seguinte 
situação: suponha que o jovem tenha saído de sua fazenda e 
caminhado em linha reta sem jamais parar”. 
a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem 
caçador. 
b) De acordo com o caminho percorrido desenhado na folha de papel é 
possível que o jovem caçador volte ao ponto de partida? Escreva suas 
conclusões. 
c) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem 
caçador. 
d) De acordo com o caminho percorrido desenhado na bola de isopor, 
é possível que o jovem caçador volte ao ponto de partida? Escreva suas 
conclusões. 
 
2 Adaptadas do livro Convite às Geometrias não-Euclidianas de Lázaro Coutinho. 
 
 
VÍDEO 
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Atividade 3 
“No dia seguinte, o jovem caçador decidiu fazer o trajeto de sua 
fazenda até a floresta, mas agora caminhando paralelamente ao seu 
cavalo”. 
 a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem 
caçador e pelo seu cavalo. 
b) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem 
caçador e pelo seu cavalo. 
c) É possível traçar retas paralelas para representar o caminho 
percorrido pelo caçador e pelo cavalo na folha de papel e na bola de 
isopor? Justifique sua resposta. 
Como sugestão, o professor pode aproveitar o momento em que 
estiver aplicando as atividades propostas e relembrar as idéias básicas 
dos cinco postulados de Euclides e incentivar uma pesquisa em grupo 
sobre a história do desenvolvimento das geometrias não-Euclidianas, 
especialmente da geometria Esférica. 
Sugestões de leitura 
BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana – 10ª Edição, Coleção do 
Professor de Matemática, SBM, 2006. 
 
BOYER, Carl Benjamin, História da Matemática, 2º ed. Editora Edgard 
Blucher Ltda. P 359. 
 
COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não-Euclidianas. Rio de 
Janeiro, 2ª ed. Interciência, 2001. 
 
DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática 
Elementar: Geometria espacial, posição e métrica. 
 
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: UNICAMP, 
1995 
 
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; 
MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol 
 
VÍDEO 
As aventuras de Radix 12/12 
2,Coleção do Professor de Matemática, (3a Edição). Rio de Janeiro: SBM, 
2000. 
 
THOMAZ, Mara Lucia. FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Não-
Euclidiana / Geometria Esférica. Artigo apresentado durante o 
Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE 
2007/2008. 
 
Ficha técnica 
Autora Sandra Abreu 
Revisão Samuel Rocha de Oliveira 
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva 
Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 
Universidade Estadual de Campinas 
Reitor Fernando Ferreira Costa 
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca 
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Diretor Jayme Vaz Jr. 
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira