Aula-1-Ondas-Eletromagneticas-disponibilizada

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Ondas Eletromagnéticas
Física Geral F-428
1
2
Radiação Eletromagnética
&
Ondas Eletromagnéticas 
3
Veremos:
• Radiação eletromagnética é uma forma de energia que se 
propaga no espaço, em meios materiais ou mesmo no 
vácuo;
• No vácuo, ela se propaga na forma de ondas 
eletromagnéticas com uma velocidade bem definida, 
designada c , a velocidade da luz no vácuo;
• Ela é emitida e absorvida por partículas com carga 
elétrica aceleradas;
• Numa onda eletromagnética, temos o campo elétrico 
e o campo magnético que oscilam, e guardam uma 
relação fixa entre si; 
• e são perpendiculares entre si, e também 
perpendiculares à direção em que a onda se propaga.
Ondas Eletromagnéticas:
E

B

E

B

4
•As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do 
campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do 
campo magnético (elétrico). 5
No vácuo!!!!
Um pouco da história.....
• Oersted mostrou que corrente elétrica produz 
campo magnético.
• Faraday mostrou que campos magnéticos 
variáveis no tempo produzem campos elétricos.
• Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis 
no tempo produzem campos magnéticos 
variáveis no tempo (lei da indução de Maxwell).
6
( ) ( )trBtrE ,,

 (reciprocidade)
A equação de onda 
Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra 
vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda com fontes
: 0),(e0),(  trJtr
7
A equação de onda 
8
Aqui u pode ser qualquer uma das componentes de E ou B: Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz.
A equação de onda 
9
0 = 8,85418  10
-12 C2/ N. m2
0 = 4  10
-7 T.m/A
Hoje:
c = 299792458 m/s
James Clerk Maxwell 1862
“A velocidade das ondas transversais em nosso 
meio hipotético, calculada a partir dos 
experimentos eletromagnéticos dos Srs. 
Kolhrausch e Weber, concorda tão exatamente 
com a velocidade da luz, calculada pelos 
experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil 
evitar a inferência de que a luz consiste nas 
ondulações transversais do mesmo meio que é 
a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”.
10
O experimento de Hertz 
(1885-1889)
11
(Descoberta das ondas de rádio)
A confirmação experimental veio 
com Heinrich Hertz
12
Ondas podem ser...
• Unidimensionais;
• Bidimensionais;
• Tridimensionais;
Vamos começar simples....
com as unidimensionais
13
Uma brincadeira... peguemos uma função ...
x
14
y=x2 y=(x-a)
2
y
y=(x-a)2= (x-vt)2
x=0 x=a
No caso de uma função oscilante...
Podemos fazer a função se deslocar no sentido 
positivo ou negativo de x:
sen(kx - t) ou sen(kx +t)
No nosso caso:
15
( )
( )tkxsenBB
tkxsenEE
z
y


−=
−=
max
max
A equação de onda 
2
k


=
16
(onda se propaga na direção x)
Período:
Freqüência:
Comprimento 
de onda:
Velocidade de 
uma onda:
T
1
f
T
=

v f
k

= =
Freqüência 
angular: 2 f =
Número de 
onda:
2
k


=
Ondas eletromagnéticas
17
Ondas eletromagnéticas
(3ª Eq. de Maxwell)
• Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy  −=−=
c
B
E
c
kB
E
z
y
m
m =→==

Bz transverso à direção 
de propagação da onda: 
00
1
c

=
x̂
ẑ
ŷ
18
Usando a forma integral...
19
( )  ( ) 
t
B
x
E
t
B
dx
dt
dB
dx
dt
dΦ
dx
x
E
tx,Etdx,xEd.
dt
dΦ
d.
B
B


−=




==








−+=
−=






xconst
sE
sE
E ainda...
20
( )  ( ) 
t
E
x
B
t
E
dx
dt
dE
dx
dt
dΦ
dx
x
B
tdx,xBtx,Bd.
dt
dΦ
d.
E
E


−=




==








−+−=
=


00
00






xconst
sB
sB
cktkxEctxkEtxE 00y =−=−=  ;)sin()(sin),( 
Ondas eletromagnéticas planas
21
Os campos em um ponto distante P....
22
Os campos no ponto distante P:
23
Ondas planas...
• As expressões para Ey e Bz nos dão as 
componentes respectivas para cada x e cada t.
• Agora os valores de Ey e Bz dependem apenas de x
e não dependem das coordenadas y e z do ponto no 
espaço. Isso significa que todos os pontos com o 
mesmo x terão as mesmas componentes dos 
campos.
• Portanto, em todos os pontos do plano que 
corresponde a um dado x, os campos serão iguais. 
24
( )
( )tkxsenBB
tkxsenEE
z
y


−=
−=
max
max
Para ajudar você a imaginar uma onda plana...
25
Uma pergunta....
• E se a propagação da onda fosse na 
direção y?
• Se a propagação fosse na direção z?
• Se a propagação fosse numa direção 
qualquer ?
26
Outra pergunta...
• Por quê escolhemos a função seno?
• Não poderíamos escolher a função 
cosseno?
• E se a onda seguisse uma função mais 
complicada?
27
• Em geral, qualquer função periódica pode ser escrita como uma
série (soma) possivelmente infinita de funções seno e cosseno:
uma série de Fourier:
Ex.: Onda quadrada
28
Outro exemplo:
29
Por essa razão...
• Já que as equações de onda são lineares 
nos campos (implicando que somas de 
soluções são solução),
• E qualquer função periódica pode ser 
escrita como uma soma de funções senos 
e cossenos,
• Então podemos simplificar e estudar 
apenas as soluções senoidais..
30
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
As densidades de energia elétrica e magnética 
2
0
0
2
2
2
1
2
),(como E
c
E
tru
c
E
B
B


===

0
2
2
0
2
),(e
2
1
),(


B
truEtru
BE
==

A densidade total de energia armazenada no campo de radiação 
2
0
),(),(),( Etrutrutru
BE
=+=

00
1

=c
31
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
x
z
y
k

0
E

0
B

danad ˆ=

tc=
U
Definindo
BES


0
1

0
E

0
B
 S

|| SI

=
S

(vetor de Poynting) :
 ==
A
danS
dt
dU
P ˆ

IBE 0|| =

ta
U
I



Potência transmitida:
32
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
Como )(sin),(
22
0
2 trkEtrE −=

A média temporal da densidade de energia é dada por 
2
00
2
1
0
22
00
2
0
2
1
)(sin
1
Edttrk
T
EEu
T
 =−==
=

  

Intensidade da radiação: definida pela média
2
00
2
1
Eccuc
V
U
ta
U
ta
U
I ==


=




=





x
z
y
k̂
0
E

0
B

ad

tc=
U
33
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
x
z
y
k

0
E

0
B

ad

tc=
U
Como:
ktrk
c
E
BE ˆ)(sin 2
2
0 −=

2
000
2
0
2
1
2
|| Ec
c
E
BE ==

2
00
2
1
Ec
ta
U
I =



IBE 0|| =

)sin(),( 0 trkEtrE −=

34
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia
Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos
 =
A
f
danSP ˆ

Emissão isotrópica:
SrSnS == ˆˆ

24 R
P
SI
f

==
Ondas eletromagnéticas esféricas
SRPf
24=
35
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
x
z
y
k

0
E

0
B

dansd ˆ=

tc=
U
0
E

0
B
 S

O mesmo elemento que transporta 
a energia também transporta o 
momento linear 
U
k
c
U
p ˆ

=

Densidade de momento linear ( ):
k
c
S
k
c
u
V
p ˆ||ˆ
2

==

BE
c
S 


== 02p 
cuIS ==

BES


0
1

p

36
Momento linear transferido para um 
objeto em que incide a radiação
k
c
U
p
a
ˆ=

Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
k
c
U
p
r
ˆ2

=

no caso de absorção
total da radiação
no caso de reflexão
total da radiação 
(colisão elástica)
p

p

p

−
k̂
Obs.: ppppp otransferidrefletido

−=−=−−= 2)()(
k
c
U
p ˆ

=

37
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear : Pressão de radiação
tIAU =
c
I
A
F
essãoPr
c
IA
t
p
F aabs
a
a ===


=
Pressão de radiação 
na absorção total
p

c
I
A
F
ressãoP
c
IA
t
p
F rref
r
r
22
===


=
Pressão de radiação 
na reflexão total
p

p

−
k
c
U
p
a
ˆ=

k
c
U
p
r
ˆ2

=

38
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
Polarização linear:
Direção do campo elétrico ),( trE

39
Onda linearmente polarizadaOndas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
)sin(),(
0
trkEtrE −=

ytkzE
xtkzEtrE
ˆ)cos(
ˆ)sin(),(
0
0


−+
−=

Polarização linear Polarização circular
2
0
22 ),(),( EtrEtrE yx =+

40
41
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
42
Em uma onda não polarizada a 
direção instantânea do vetor 
polarização varia com o tempo. 
Pode-se produzir uma onda não-
polarizada superpondo duas 
ondas linearmente polarizadas em 
direções perpendiculares e com 
amplitudes variando 
aleatoriamente (ao acaso). 
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
ondas com E em diferentes direções, 
mas todas elas saindo do papel 
com a mesma amplitude; ou superpondo
duas ondas polarizadas ⊥.
43
Polarização circular
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação
Polarização elíptica
ytkzExtkzEtrE
yx ˆ)cos(ˆ)sin(),( 00  −+−=

1
),(),(
2
0
2
2
0
2
=+
y
y
x
x
E
trE
E
trE

x
E
y
E
44
fios metálicos
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material 
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz 
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada. 
Exemplo:
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/
eixo de polarização
45
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/
46
Você quer testar seus óculos de sol?
As lentes contêm cristais longos, alinhados em uma direção, 
que absorvem luz que neles incide // à direção do 
alinhamento e deixa passar luz polarizada ⊥ ao alinhamento.
47
Uma analogia mecânica
48
Ondas eletromagnéticas 
Ao invés de examinar o que está acontecendo 
microscopicamente com as moléculas do filtro 
ou material polarizador, vamos definir:
eixo de polarização  direção de 
polarização
de modo que a componente do E // a essa 
direção é transmitida e a componente do E ⊥
a essa direção é absorvida!
49
Exemplo: 
luz não-polarizada fica polarizada ao passar pelo polarizador:
Apenas a componente da luz na direção de 
polarização do filtro consegue atravessá-lo:
I = ½ I0
(regra da metade)
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
Polarizadores
ANTES: Intensidade da radiação incidente não-polarizada 
(ex.: luz natural)
DEPOIS: Intensidade da 
radiação polarizada ao 
longo de :ŷ
 ===




2
0
0202
0
2
cos
2
cos
I
d
I
II


50
51
Outro exemplo: 
se a luz que incide 
no filtro já for polarizada:
apenas a componente na direção de polarização (y) é transmitida!
Considerando que Ey= E cos, a intensidade da luz transmitida será
I = I0 cos
2 
(lei de Malus, ou do cosseno ao quadrado)
z
y
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores
Intensidade de uma componente
da radiação incidente:
)(
2
1
2
1 2
0
2
||00
2
000 ⊥
+== EEcEcI 


sin
cos
00
0||0
EE
EE
=
=
⊥
Intensidade da radiação 
polarizada ao longo de :
2
0
cosII =
ŷ
yExEE ˆˆ 0//00

+= ⊥
eixo de
polarização
2
||00
2
1
EcI =
52
Visualização através de um polarizador:
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores
53
54
Resumo da aula
• Ondas eletromagnéticas consistem de campos 
elétricos e magnéticos oscilantes;
• Os campos variáveis criam um ao outro 
reciprocamente, mantendo a propagação da onda 
autossustentável: um E variável cria B e um B
variável cria um E;
• E e B são perpendiculares à direção de 
propagação da onda (ondas transversais) e E é 
perpendicular a B;
• Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo 
com velocidade c.
55c = 299 792 458 m/s (exato)!
Resumo da aula
• A direção de E  B dá a direção de propagação 
da onda (lembre da regra da mão direita!);
• Ondas eletromagnéticas transportam energia (S) 
e momento p (e, portanto, exercem pressão P);
• Ondas eletromagnéticas podem ser polarizadas 
(linear, circular, elíptica) ou não-polarizadas;
• Certos materiais polarizadores deixam passar 
apenas a componente do campo elétrico 
paralela ao eixo de polarização.
56
Ondas eletromagnéticas 
Problema 1 (Cap.33; Ex.4)
Um certo laser de hélio-neônio emite luz
vermelha em uma faixa estreita de comprimentos
de onda em torno de 632,8 nm, com uma
“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em
unidades de frequência, da luz emitida?
57
Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de
comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100
nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?
nm)0050,08,632(
2
=

=


HzGHzm
m
sm
f 5,71075,01010
)108,632(
/103 1092
229
8
=


= −−
−






=→−=−=→== −
222
1 cf
c
f
c
d
df
c
c
f
!1074083,4
)108,632(
103 14
9
8
Hzf 


=
−mas:
Note que:





=

→=
f
ff
f
z
f
ff H10)004,0083,474(
2
12=

=
58
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma
potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção 
de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor. 
Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as 
extremidades da antena receptora.
Ondas eletromagnéticas 
Problema 2
59
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média 
de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está 
a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal 
entre as extremidades da antena receptora. 
kWP
d
P
ItkxEE
f
f
m
4
4
;)(sen
2
=
=−=


f
d = 4 km
E
B
x
y
L = 
0,65 m
2/1
00
2
)()(... 







====  

c
P
d
L
LdEdydEmef
f
m
L
mL
mVV
mFsm
W
m
m
L 80080,0
)/1085,8()/103(2
104
104
65,0
2/1
128
3
3
=









−

;
2
)(
2
1
2/1
2
0
2
0 







=→=
dc
P
dEEcI
f
mm

 mF /1085,8 120
−
60
Problema 3 (Cap.33; Ex.16)
Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de 
onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz é 
posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa dB/dt com a 
qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição 
do detector?
sT
t
B
max
/1044,3 6=

c = 2,998 10
8 m/s
Ondas eletromagnéticas 
Problema 4 (Cap.33; Ex.27)
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg
(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de
qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um
laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá
após transcorrer um dia, por causa do momento linear
associado à luz do laser?
62
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta),
está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta
ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após
transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?
m
xvv ˆ=

luzn pp

−=
dt
dp
F
dt
pd
F luzn
n
n =→=

mc
P
ama
c
P
Fn =→==
x
c
U
pluz ˆ−=

c
P
dt
dU
dt
dpluz ==
c
1
attvvatvtv =→=+= )(0se;)( 00
skgmkWP 86400606024dia1;1500;10 ====
!/109,1
/1031500
8640010 3
8
4
sm
smkg
sW
t
mc
P
v −


==
63
Problema 5 (Cap.33; Ex.30)
Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente, 
0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica fazendo 
com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso 
da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa específica de 
19,0 g/cm3. (a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa? (b) 
Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por 
que o equilíbrio da esfera seria instável?
Ondas eletromagnéticas 
Problema 6 (Cap.33; Ex.37)
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois
filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização
da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são
 para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da
intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto
vale  ?
65
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de doisfiltros polarizadores. Em
relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos
filtros são  para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade
incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale  ?
 90
0
I2
I0
I1
E
1,0
0
2 =
I
I
dado:
  1,0sencossen90sencos90coscos 2222
0
2 ==+= 
I
I
)90(coscos)90(cos;cos 220
2
12
2
01  −=−== IIIII
 2224 cos;01,001,0coscos ==+−→=+− xxx
=

=
−
=
2
775,01
2
4,011
x
→=→
→=→
4,703354,0cos1125,0
6,199421,0cos8875,0
22
11


66