Cap-04---Slides

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EA611 – Circuitos II
Caṕıtulo 4
Representação de sistemas de energia elétrica
Carlos A. Castro
DSE/FEEC/UNICAMP
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 1 / 201
Introdução
Em geral os circuitos elétricos utilizados na geração, transmissão e
distribuição de energia elétrica são considerados circuitos trifásicos
equilibrados
Na prática existem desequiĺıbrios, especialmente no ńıvel de
distribuição, mas estes são suficientemente pequenos, podendo ser
desprezados em certos estudos
Neste caso, os cálculos para circuitos deste tipo podem ser feitos
somente para uma fase, e os resultados para as outras fases são
obtidos considerando-se as defasagens apropriadas
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Introdução
� Exemplo
Uma fonte de tensão trifásica equilibrada de 220 V de linha alimenta uma
carga em estrela com impedâncias de 22∠30◦ Ω por fase, conforme
mostra a figura abaixo. Obtenha as correntes de linha.
+
−
∼
∼
∼
a
b
c
n
Z
Z
Z
chave aberta
A
B
C
N 127 V
ÎA
ÎB
ÎC
ÎN
Fonte Carga
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Introdução
Considerando a sequência de fases ABC e a tensão da fase a como
referência angular, as tensões do circuito são:
V̂AN = 127∠0
◦ V V̂AB = 220∠30
◦ V
V̂BN = 127∠ − 120◦ V V̂BC = 220∠ − 90◦ V
V̂CN = 127∠120
◦ V V̂CA = 220∠150
◦ V
Como a carga é equilibrada, não há necessidade de fio neutro, pois não
haveria corrente por ele caso a chave do fio neutro estivesse fechada.
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Introdução
Pode-se verificar este fato através do cálculo da tensão entre o neutro da
fonte (N) e o neutro da carga (n) pelo método do deslocamento do neutro:
V̂nN =
YA V̂AN + YB V̂BN + YC V̂CN
YA + YB + YC
Como YA = YB = YC = Y = 1/Z , chega-se a:
V̂nN =
(
V̂AN + V̂BN + V̂CN
)
3
= 0
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Introdução
As correntes de linha valem:
ÎA = V̂AN/Z = 5,77∠ − 30◦ A
ÎB = V̂BN/Z = 5,77∠ − 150◦ A
ÎC = V̂CN/Z = 5,77∠90
◦ A
As correntes têm o mesmo valor eficaz e apresentam uma defasagem de
120◦ entre si.
Desta forma, pode-se tomar apenas uma das fases, por exemplo a fase a, e
os cálculos são feitos somente para esta fase.
As correntes das outras fases são obtidas considerando-se as caracteŕısticas
dos circuitos equilibrados.
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Introdução
A figura abaixo mostra somente a fase a do circuito, e a corrente para esta
fase vale:
ÎA = −ÎN =
V̂AN
Z
{
IA = VAN/Z
∠
(
ÎA
)
= ∠
(
V̂AN
)
− ∠ (Z )
∼
a
n
Z
chave fechada
A
N
ÎA
ÎN
Fonte Carga
Para as outras fases:
IC = IB = IA
∠
(
ÎB
)
= ∠
(
ÎA
)
− 120◦
∠
(
ÎC
)
= ∠
(
ÎA
)
+ 120◦
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Introdução
Na figura anterior é representado o fio neutro e, de acordo com esta
representação, a corrente ÎA passa por ele.
No entanto, sabe-se que para um circuito equilibrado a corrente de neutro
é nula.
Evidentemente, pode-se fazer a mesma representação para as fases b e c ,
e, para cada uma delas, a corrente que passará pelo neutro será a corrente
de fase correspondente.
Para o circuito completo, a corrente pelo fio neutro será igual ao negativo
da soma das três correntes relativas às três fases1, sendo igual a zero.
Esta análise corresponde a uma aplicação do prinćıpio da superposição aos
circuitos trifásicos.
1
Para chegar a esta conclusão, basta aplicar a lei das correntes de Kirchhoff ao ponto neutro da carga do circuito completo,
considerando que a chave esteja fechada.
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Introdução
Diagrama fasorial para o circuito2:
ÎA
ÎB
ÎC
V̂AN
V̂BN
V̂CN
30◦
120◦
Escalas:
V: 1 � – 12,5 V
I : 1 � – 1 A
�
2
Os diagramas para cada uma das três fases são semelhantes, devendo-se considerar as defasagens de 120◦ . As defasagens
entre as tensões e correntes de cada fase são as mesmas.
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Introdução
O exemplo anterior mostrou que, para fins de cálculo, um circuito
trifásico equilibrado pode ser considerado como um sistema
monofásico, composto por uma das três fases e retorno de corrente
pelo neutro
Se a carga estiver conectada em triângulo (ou ∆), pode-se executar
procedimento semelhante, considerando-se a equivalência Y-∆ vista
anteriormente
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Introdução
� Exemplo
Considere o circuito mostrado a seguir, em que a carga está conectada em
triângulo (∆). A tensão de linha aplicada é de 220 V e as impedâncias das
fases valem 42∠30◦ Ω. Calcule as correntes de linha.
ÎAB
ÎA
ÎBC
ÎB
ÎCA
ÎC
A
B
C
Z∆
Z∆
Z∆
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Introdução
Considerando sequência de fases ABC e a tensão da fase a como referência
angular:
V̂AN = 127 ∠0
◦ V V̂AB = 220 ∠30
◦ V
V̂BN = 127 ∠− 120◦ V V̂BC = 220 ∠− 90◦ V
V̂CN = 127 ∠120
◦ V V̂CA = 220 ∠150
◦ V
As correntes de fase valem:
ÎAB = V̂AB/Z∆ = 5,24 ∠0
◦ A
ÎBC = V̂BC/Z∆ = 5,24 ∠− 120◦ A
ÎCA = V̂CA/Z∆ = 5,24 ∠120
◦ A
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Introdução
Correntes de linha:
ÎA = ÎAB − ÎCA = ÎAB ·
√
3 ∠− 30◦ = 9,08 ∠− 30◦ A
ÎB = ÎBC − ÎAB = 9,08 ∠− 150◦ A
ÎC = ÎCA − ÎBC = 9,08 ∠90◦ A
Este problema pode ser resolvido de outra forma, lembrando da
equivalência Y-∆. A figura a seguir mostra um circuito com carga em Y:
ÎA
ÎB
ÎC
A
B
C
ZY
ZY
ZY
n
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Introdução
O circuito em Y será equivalente ao circuito em ∆ se:
ZY =
Z∆
3
= 14 ∠30◦ Ω
Então, a corrente de linha vale:
ÎA =
V̂AN
ZY
= 9,08 ∠− 30◦ A
As correntes de linha das outras fases têm o mesmo valor eficaz e são
defasadas de 120◦ em relação a ÎA, conforme já discutido anteriormente.
�
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Diagrama unifilar
Verificou-se que é posśıvel fazer a representação simplificada de um
circuito trifásico equilibrado através de um circuito monofásico (uma
das fases) com retorno de corrente pelo neutro
Pode-se simplificar ainda mais a representação através do diagrama
unifilar, para o qual o fio neutro não é representado
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Diagrama unifilar
� Exemplo
Um circuito trifásico equilibrado é mostrado a seguir, em que uma fonte
alimenta uma carga através de uma linha de transmissão:
N
∼
∼
∼
Fonte
A
B
C
ZL
ZL
ZL
Linha de
transmissão
a
b
c
Zc
Zc
Zc n
Carga
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Diagrama unifilar
As especificações de seus componentes são as seguintes:
Linha: R = 1 Ω, X = 10 Ω ⇒ impedância de cada condutor
Carga: |S3φ| = 120 kVA ⇒ potência aparente trifásica nominal
fp = 80% atrasado ⇒ fator de potência nominal
VL = 13,8 kV ⇒ tensão de linha nominal
Determine a tensão fornecida pela fonte para que a tensão na carga seja
13,8 kV.
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Diagrama unifilar
Representação do circuito trifásico por um circuito monofásico com
retorno de corrente pelo neutro:
N
∼
∼
∼
Fonte
A
B
C
ZL
ZL
ZL
Linha de
transmissão
a
b
c
Zc
Zc
Zc n
Carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 18 / 201
Diagrama unifilar
Representação do circuito trifásico por um circuito monofásico com
retorno de corrente pelo neutro:
N
∼
Fonte
A ZL
Linha de
transmissão
a Zc
n
Carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 19 / 201
Diagrama unifilar
As especificações para o circuito monofásico são:
Linha: R = 1 Ω, X = 10 Ω ⇒ impedância do condutor
Carga: |S1φ| = 120/3 kVA ⇒potência aparente nominal
de uma fase
fp = 80% atrasado ⇒ fator de potência nominal
VF = 13,8/
√
3 kV ⇒ tensão de fase nominal
em que o subscrito 1φ representa uma grandeza por fase.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 20 / 201
Diagrama unifilar
Circuito representado por um diagrama unifilar:
1 + j 10 Ω
120 kVA
0,8 atrasado
13,8 kV
∼
No diagrama unifilar está representada uma fase do circuito trifásico
excluindo-se a representação do neutro.
No entanto, os valores atribúıdos às tensões, correntes e potências são os
normalmente atribúıdos aos circuitos trifásicos (tensões e correntes de
linha, potências trifásicas).
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Diagrama unifilar
Na carga, tem-se:
|S3φ| =
√
3 · VL · IL → IL =
120√
3 · 13,8
= 5,02 A
Se V̂F = 13,8/
√
3∠0◦ kV (referência angular) e:
φ = cos−1 (0,8) = 36,87◦
pode-se obter o fasor da corrente de linha:
ÎL = 5,02∠ − 36,87◦ A
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Diagrama unifilar
Tensão da fonte:
V̂ fonteF = V̂F + ZL · ÎL =
13,8 · 103√
3
+ (1 + j 10) · 5,02∠ − 36,87◦
=
13,86√
3
∠0,27◦ kV
ou seja, para se ter 13,8 kV na carga, é preciso ajustar a tensão de linha
da fonte para 13,86 kV.
O diagrama unifilar é uma forma concisa de se representar de maneira
completa um circuito trifásico equilibrado.
�
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Diagrama unifilar
� Exerćıcio
Considere o circuito de distribuição primária a seguir. Obtenha o circuito
equivalente monofásico, a corrente de linha de cada carga, e a corrente de
linha e a tensão fornecidas pela subestação. Repita o exerćıcio para a
carga 2 conectada em ∆.
Subestação
Linha
13,8 kV
z = 0,05 + j 0,3 Ω/km
ℓ = 50 km
S1 = 400 kVA
P2 = 200 kW
Q2 = −100 kvar
fp1 = 0,85 ind.
Resp.: 16,735∠− 31,79◦ A ; 9,355∠26,57◦ A ; 23,061∠− 11,59◦ A ; 14,03 kV.
�
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Transformadores: aspectos básicos
Os primeiros sistemas comerciais de fornecimento de energia elétrica
foram constrúıdos basicamente para alimentar circuitos de iluminação,
e funcionavam com corrente cont́ınua
Como as tensões de fornecimento eram baixas (da ordem de 120 V),
altas correntes eram necessárias para suprir grandes quantidades de
potência
Em consequência, as perdas de potência ativa na transmissão
(proporcionais ao quadrado da corrente) eram muito grandes, assim
como as quedas de tensão
Assim, a tendência foi a de se construir pequenas centrais de geração
distribúıdas entre os pontos de carga que, em função da pequena
potência gerada, eram ineficientes e caras
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Transformadores: aspectos básicos
A posterior utilização de corrente alternada na geração, transmissão e
distribuição de energia elétrica resultou em grande avanço na
operação eficiente dos sistemas elétricos
Os geradores elétricos, que fornecem tensões relativamente baixas (da
ordem de 15 a 25 kV), são ligados a transformadores, que são
equipamentos eletromagnéticos que transformam um ńıvel de tensão
em outro
The Transformers: Superheroes of Electrical Inventions [Link]
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 26 / 201
http://spectrum.ieee.org/energy/the-smarter-grid/the-transformers-superheroes-of-electrical-inventions
Transformadores: aspectos básicos
alta tensão
baixa tensão
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Transformadores: aspectos básicos
A tensão de sáıda de um transformador elevador ligado a um gerador
pode ser de várias centenas de kV
Se a tensão é maior, a mesma potência pode ser transmitida com
correntes menores, diminuindo as perdas e quedas de tensão
Consequentemente, pode-se ter centrais geradoras de maior porte e a
transmissão pode ser feita a distâncias maiores
Nos pontos de consumo, são ligados transformadores abaixadores, que
reduzem as tensões para ńıveis compat́ıveis com os equipamentos dos
consumidores
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Transformadores: aspectos básicos
Transformador elementar, composto por duas bobinas, com N1 e N2
espiras:
i
i
i
V
V
fluxo enlaçadofluxo disperso
N1 N2
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Transformadores: aspectos básicos
Se uma corrente alternada i circula pela bobina 1, é gerado um
campo magnético alternado
O volt́ımetro conectado à bobina 2 acusará uma tensão, que é
proporcional ao número de espiras N2 e à taxa de variação do fluxo
enlaçado ou fluxo concatenado com ela
Esta tensão induzida na bobina vale:
v2(t) = N2 ·
d
dt
λ(t)
em que λ é o fluxo concatenado com a bobina 2, e corresponde a
uma parcela do fluxo total φ gerado pela bobina 1
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Transformadores: aspectos básicos
Esta relação entre tensão induzida e fluxo magnético é conhecida
como lei de Faraday
O fluxo disperso não contribui para a indução de tensão
Em função desta caracteŕıstica de funcionamento, o transformador é
usado para transformar ńıveis de tensão em um circuito, através do
ajuste do número de espiras das bobinas
Por exemplo, pode-se usar um aparelho projetado para operar em
127 V em uma cidade cuja tensão seja 220 V, bastando para isso
conectar um transformador entre a tomada e o aparelho que faça a
transformação adequada de tensão
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 31 / 201
Transformadores: aspectos básicos
O circuito transformador elementar mostrado anteriormente é um
circuito com acoplamento magnético, ou seja, não há ligação f́ısica
(elétrica) entre as duas bobinas mas energia pode ser transferida
entre elas
Se o volt́ımetro for substitúıdo por uma resistência, poder-se-á
observar a existência de corrente por ela e, portanto, de dissipação de
potência
i
i
R P
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 32 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Circuito envolvendo um transformador ideal:
i1(t)
v1(t)
i2(t)
v2(t)∼ N1 N2 Z
Fonte Carga
núcleo ferromagnético
chave
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 33 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Duas bobinas são enroladas nas pernas de um núcleo de material
ferromagnético
De um lado conecta-se uma fonte de tensão alternada e do outro uma
carga de impedância Z
O lado em que a fonte é conectada é comumente chamado de
primário, sendo o lado da carga chamado de secundário
Costuma-se também denominar de lados de alta tensão e baixa
tensão, independentemente do lado em que fonte e carga são
conectadas
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 34 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
As principais caracteŕısticas do transformador ideal são:
o fluxo magnético produzido pelo enrolamento primário é totalmente
confinado no núcleo ferromagnético e enlaçado pelo enrolamento
secundário. Portanto, não há fluxo disperso
as perdas no núcleo são despreźıveis;
as resistências dos enrolamentos primário e secundário são despreźıveis.
Logo, não há perdas ôhmicas (r · I 2) nos enrolamentos;
a permeabilidade do núcleo ferromagnético apresenta um valor muito
grande, e a corrente necessária para produzir fluxo é despreźıvel. Em
termos gerais, o fluxo é diretamente proporcional à permeabilidade do
núcleo e à corrente pelo enrolamento. Para um mesmo fluxo gerado,
quanto maior for a permeabilidade, menor será a corrente
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 35 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Se uma tensão alternada v1(t) é aplicada à bobina 1 (N1 espiras),
estabelece-se um campo magnético φ que, pelo fato do transformador
ser ideal, ficatotalmente confinado no núcleo (o que equivale a dizer
que se considera que o material do núcleo tem uma permeabilidade
infinita)
No transformador ideal não há fluxo disperso, e o fluxo concatenado λ
é igual a φ. As linhas de campo magnético são enlaçadas pela bobina
2 (N2 espiras) e uma tensão v2(t) é induzida em seus terminais
Aplicando-se a lei de Faraday ao primário, pode-se estabelecer uma
relação entre a tensão aplicada e o fluxo no núcleo:
v1(t) = N1 ·
d
dt
φ(t) (1)
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Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Poder-se-ia representar o efeito do aquecimento do enrolamento
primário devido à passagem de corrente por ele somando-se ao
membro da direita da equação (1) o termo r · i1(t), onde r é uma
resistência associada a esse fenômeno f́ısico
No entanto, este termo é desprezado no caso do transformador ideal,
para o qual não se considera a existência de perdas de potência
A relação entre a tensão induzida no secundário e o fluxo no núcleo é:
v2(t) = N2 ·
d
dt
φ(t) (2)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 37 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Dividindo-se a equação (1) pela equação (2) termo a termo, obtém-se
a relação entre a tensão aplicada ao primário e a tensão induzida no
secundário:
v1(t)
v2(t)
=
N1
N2
A relação entre os fasores de tensão se mantém:
V̂1
V̂2
=
N1
N2
(3)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 38 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Se uma carga Z é conectada ao secundário do transformador, através
do fechamento da chave, circulará uma corrente i2(t) pela carga
(tensão v2(t) aplicada em uma impedância Z ), e potência é fornecida
à carga
Se a carga e o enrolamento secundário não estão fisicamente ligados
à fonte, então a energia é transmitida através do acoplamento
magnético entre os dois enrolamentos
Assim, é requerida potência da fonte para alimentar uma carga que
não está fisicamente ligada a ela
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 39 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Assumindo que no transformador ideal não há perda de potência,
toda a potência fornecida pela fonte é entregue à carga. Assim:
fonte carga
S1 S2
S1 = S2
V̂1 · Î ∗1 = V̂2 · Î ∗2
(
Î1
Î2
)∗
=
V̂2
V̂1
=
N2
N1
→ Î1
Î2
=
N2
N1
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 40 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
� Exemplo
Obtenha o valor da corrente fornecida pela fonte para o circuito mostrado
abaixo.
220 V
Î1
V̂1
Î2
V̂2
Fonte Trafo Carga
220 : 110 V
Z2 = 300 Ω∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 41 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Chama-se relação de transformação à relação entre as tensões nominais
dos lados de alta e baixa tensões do transformador. Neste exemplo, as
tensões nominais são 220 V e 110 V, respectivamente. Assim, a relação de
transformação, a, vale:
a =
220
110
= 2 =
N1
N2
Considerando a tensão da fonte como referência angular, ou seja,
V̂1 = 220∠0
◦ V, pode-se calcular a tensão fornecida à carga:
V̂2 =
N2
N1
· V̂1 =
V̂1
a
= 110∠0◦ V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 42 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
A corrente no secundário vale:
Î2 =
V̂2
Z2
= 366,67∠0◦ mA
Finalmente, a corrente fornecida pela fonte vale:
Î1 =
Î2
a
= 183,33∠0◦ mA
Portanto, a fonte fornece 183,33 mA ao circuito.
As potências calculadas no primário e no secundário são:
|S1| = V1 · I1 = 40,33 VA
|S2| = V2 · I2 = 40,33 VA
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 43 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Conceito de impedância refletida – considere o seguinte circuito:
220 V
Î1
V̂1
Î2
V̂2
Fonte Trafo Carga
220 : 110 V
Z2 = 300 Ω∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 44 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Conceito de impedância refletida – conjunto carga + transformador:
220 V
Î1
V̂1
Î2
V̂2
Fonte Trafo Carga
220 : 110 V
Z2 = 300 Ω∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 45 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
Conceito de impedância refletida – o circuito modificado fica:
220 V
Î1
V̂1
Fonte Circuito equivalente
Trafo + Z2
Z1∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 46 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
A impedância Z1, que é a impedância vista pela fonte, vale:
Z1 =
V̂1
Î1
(4)
Reescrevendo a equação (4) em função das grandezas do secundário,
chega-se a:
Z1 =
a · V̂2
Î2/a
= a2 · V̂2
Î2
=
(
N1
N2
)2
· Z2 → Z1 =
(
N1
N2
)2
· Z2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 47 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador ideal
A impedância Z1 é a impedância refletida do lado de baixa tensão no lado
de alta tensão. Neste exemplo, Z1 vale:
Z1 = (2)
2 · 300 = 1,2 kΩ
De fato:
Z1 =
V̂1
Î1
=
220∠0◦
183,33∠0◦
= 1,2 kΩ
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 48 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
O autotransformador se caracteriza pela existência de conexão elétrica
entre os lados de alta e baixa tensões
Pode ser utilizado somente quando não é necessário o isolamento
elétrico entre os dois enrolamentos
O autotransformador apresenta algumas vantagens em relação ao
transformador quanto à potência transmitida e à eficiência
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 49 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Transformador:
N1
N1
N2
N2
Î1
Î1 Î2
Î2
V̂1
V̂1 V̂2
V̂2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 50 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Autotransformador:
N1
N1
N2
N2
Î1
Î1
Î1 + Î2
Î1 + Î2
V̂1 + V̂2
V̂1 + V̂2
Î2
Î2
V̂1
V̂1 V̂2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 51 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
As tensões e correntes em cada enrolamento individualmente não
mudam nos dois casos
Para o transformador:
S1 = V̂1 · Î ∗1
S2 = V̂2 · Î ∗2 → S1 = S2 = ST → potência nominal
do transformador
Para o autotransformador:
Se = V̂1 ·
(
Î ∗1 + Î
∗
2
)
→ potência de entrada
Ss =
(
V̂1 + V̂2
)
· Î ∗2 → potência de sáıda
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 52 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Desenvolvendo a equação para a potência de sáıda Ss :
Ss =
(
V̂1 + V̂2
)
· Î ∗2 = V̂1 · Î ∗2 + V̂2 · Î ∗2
Da expressão da potência de entrada Se :
V̂1 · Î ∗2 = Se − V̂1 · Î ∗1
que, substitúıda na expressão de Ss fornece:
Ss =
(
Se − V̂1 · Î ∗1
)
+ V̂2 · Î ∗2 = Se
A transferência de potência entre os dois lados do autotransformador
se mantém, como no caso do transformador
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 53 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Analisando-se ainda a expressão para a potência Ss :
Ss =
(
V̂1 + V̂2
)
· Î ∗2 =
(
N1
N2
· V̂2 + V̂2
)
· Î ∗2 =
(
N1
N2
+ 1
)
· V̂2 · Î ∗2
=
(
N1
N2
+ 1
)
· S2 =
(
N1
N2
+ 1
)
· ST
Assim, a ligação como autotransformador torna maior a capacidade
de potência do equipamento de um fator de (N1/N2) + 1
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 54 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
A potência de sáıda pode ser dividida em dois termos:
Ss =
(
N1
N2
+ 1
)
· ST =
N1
N2
· ST + ST
O termo ST corresponde à parcela de potência transmitida pelos
campos magnéticos (efeito transformador). O termo (N1/N2) · ST
corresponde à parcela de potência transmitidaeletricamente, devido à
ligação f́ısica dos enrolamentos
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 55 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Uma outra caracteŕıstica importante do autotransformador diz
respeito à sua eficiência, quando comparada à do transformador
Em geral, a eficiência de um dispositivo pode ser definida como:
η =
potência de sáıda
potência de entrada
=
potência de entrada− perdas
potência de entrada
= 1− perdas
potência de entrada
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 56 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Se os enrolamentos são os mesmos e o núcleo é o mesmo, então, as
perdas são as mesmas nos dois casos
Como para o autotransformador a potência de entrada é maior que
para o transformador, conclui-se que a eficiência do
autotransformador é maior que a do transformador
Finalmente, a relação de transformação para o autotransformador é:
a′ =
V1
V1 + V2
=
a · V2
a · V2 + V2
=
a
a + 1
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 57 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
� Exemplo
Dispõe-se dos seguintes equipamentos:
Fonte variável de 1,5 kV, 40 kVA
Trafo de 30 kVA, 1,5/13,8 kV
Carga resistiva de 30 kW, 15 kV
Obtenha o circuito para alimentação da carga com tensão nominal e calcule:
1 A corrente e tensão fornecidas pela fonte, para tensão e potência nominais
na carga.
2 A potência fornecida pela fonte.
3 A parcela da potência entregue à carga que é transmitida devido à ligação
elétrica dos enrolamentos.
4 A variação percentual de capacidade do trafo na ligação como autotrafo.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 58 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
O circuito para alimentação da carga é mostrado abaixo. É feita uma
ligação de autotransformador, onde a fonte é conectada à bobina de baixa
tensão:
−
−
+
−
+
+
∼ V̂f
Îf
Î1
Î2 V̂2
V̂c Sc
(1,5)
(13,8)
Fonte Autotrafo Carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 59 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
As condições na carga são:
V̂c = 15∠0
◦ kV
Sc = 30∠0
◦ kVA
Nova relação de transformação para a configuração autotransformador:
a′ =
1,5
(1,5 + 13,8)
=
1,5
15,3
Tensão fornecida pela fonte:
V̂f = a
′ · V̂c → V̂f = 1,4706∠0◦ kV
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 60 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Corrente na carga:
Îc =
(
Sc
V̂c
)∗
= 2∠0◦ A = Î2
Tensão no enrolamento de 13,8 kV:
V̂2 =
(
13,8
1,5
)
· V̂f = 13,5295∠0◦ kV
Potência complexa no enrolamento de 13,8 kV (igual à potência complexa
do enrolamento de 1,5 kV:
S2 = V̂2 · Î ∗2 = 27,0590∠0◦ kVA = S1
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 61 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Corrente no enrolamento de 1,5 kV:
Î1 =
(
S1
V̂f
)∗
=
(
S2
V̂f
)∗
= 18,4∠0◦ A
Corrente fornecida pela fonte:
Îf = Î1 + Î2 = 20,4∠0
◦ A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 62 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
A potência complexa fornecida pela fonte é igual à potência complexa
consumida pela carga, ou seja, 30∠0◦ kVA.
Pode-se também calculá-la por:
Sf = V̂f · Î ∗f = 30∠0◦ kVA
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 63 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
Se Sc é a potência consumida pela carga e S2 é a parcela transmitida por
efeito transformador, então a parcela de potência transmitida devido à
ligação elétrica é igual à diferença entre Sc e S2:
Sel = Sc − S2 = 2,941∠0◦ kVA
ou, de outra forma:
Sel =
N1
N2
· S2 = 2,941∠0◦ kVA
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 64 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Autotransformador
A relação entre as potências do autotransformador e do transformador é:
Sc =
(
N1
N2
+ 1
)
· S2 =
(
1,5
13,8
+ 1
)
· S2 = 1, 1087 · S2
Assim, a capacidade do autotransformador aumentou de 10,87% em
relação à conexão como transformador.
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 65 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Na prática, a operação de um transformador revela algumas
caracteŕısticas deste que não são previstas no modelo do
transformador ideal
Alguns exemplos destas diferenças:
Se é aplicada tensão no primário de um transformador ideal, será
induzida uma tensão no secundário. Se o secundário estiver em vazio
(secundário em aberto, sem carga conectada a ele), obviamente não
haverá corrente circulando no secundário
Como a relação entre as correntes do primário e secundário é dada
simplesmente pela relação de espiras, conclui-se que a corrente no
primário também será nula
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 66 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
No entanto, na prática observa-se o aparecimento de uma corrente no
primário do transformador real
O enrolamento primário de um transformador real é uma bobina que,
portanto, apresenta uma impedância. Logo, deve haver uma corrente
no primário devido à aplicação de tensão, mesmo que o secundário
esteja em aberto
A tensão no secundário de um transformador real cai com o aumento
da carga (aumento da corrente no secundário), mesmo que a tensão no
primário seja mantida constante, indicando que a relação entre as
tensões do primário e secundário não é constante e igual à relação de
espiras, mas varia de acordo com a carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 67 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Tanto os enrolamentos como o núcleo de um transformador real
apresentam aquecimento quando sob operação cont́ınua
Este fato demonstra que parte da potência de entrada do
transformador é dissipada no próprio equipamento, fato que não é
previsto pelo modelo do transformador ideal. Em outras palavras, o
transformador real apresenta uma eficiência menor que 100%, e a
potência de sáıda (entregue à carga) é menor que a potência de
entrada (fornecida pela fonte)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 68 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Assim, é necessária a obtenção de um modelo apropriado para a
análise de um transformador real que leve em conta todos os
fenômenos f́ısicos envolvidos na sua operação
As principais caracteŕısticas que diferenciam um transformador real de
um transformador ideal são:
A permeabilidade magnética do núcleo não é infinita. Assim, a corrente
necessária para estabelecer um fluxo no núcleo não é despreźıvel
O fluxo magnético não fica totalmente confinado no núcleo, existindo
um fluxo disperso, que não contribui para a indução de tensão no
secundário
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 69 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
As bobinas têm resistência, o que implica em perdas ôhmicas (perdas
de potência ativa) nos enrolamentos
O fluxo variável no núcleo provoca perdas por histerese e por correntes
parasitas
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 70 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Circuito equivalente do transformador real: associar a um
transformador ideal resistências e reatâncias correspondentes a cada
fenômeno f́ısico que ocorre na operação do transformador real
+
−
+
−
+ +
− −
V̂1Ê1 Ê2 V̂2
Î1
Î ′1
Î2
Îϕ
Îm În
x1r1 x2r2
bm gn
N1 : N2
Ideal
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 71 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Parâmetros do circuito equivalente:
r1, r2 – resistências que levam em conta as perdas ôhmicas dos
enrolamentos
x1, x2 – reatâncias que levam em conta a dispersão de fluxo
gn – condutância associada às perdas de potência no núcleo
bm – susceptância que leva em conta a magnetização do núcleo
Para o transformador ideal:
+
−
+
−
+ +
− −
V̂1 Ê1 Ê2 V̂2
Î1
Î ′1
Î2
Îϕ
Îm În
x1r1 x2r2
bm gn
N1 : N2
Ideal
Ê1
Ê2
=
Î2
Î ′1
=
N1
N2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 72 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Se é aplicada tensão ao primário, circula pelo enrolamento uma
corrente Îϕ, chamada de corrente de excitação, composta pela
corrente de perdas no núcleo În, e pela corrente de magnetização Îm
A corrente Îϕ existe mesmo com o secundário em aberto (sem carga
conectada ao secundário)
Neste caso, o transformador opera com um baixo fator de potência,
devido à caracteŕıstica fortemente indutiva do ramo de excitação
(ramo shunt)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 73 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
É posśıvel eliminar o transformador ideal do circuito equivalente
refletindo-se os parâmetros r2 e x2 para o primário:
+
−
+
−
V̂1 a V̂2
Î1 Î2/a
Îϕ
Îm În
x1r1 a2 x2a
2 r2
bm gn
a =
N1
N2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 74 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
� Exemplo
Um transformador de 220/110 V, 1 kVA, alimenta uma carga resistiva de
110 V nas condições nominais. Seus parâmetros de circuito equivalente
são:
r1 = 0,5 Ω r2 = 0,125 Ω gn = 1 mS
x1 = 2 Ω x2 = 0,5 Ω bm = −2 mS
Calcule a tensão no primário.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 75 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Circuito equivalente para o transformador, já com os parâmetros do
secundário refletidos para o primário:
+
−
+
−
V̂1
Ê1
a V̂2
Î1 Î2/a
Îϕ
Îm În
x1r1 a2 x2a
2 r2
bm gn CargaFonte
Trafo
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 76 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Relação de transformação:
a =
220
110
= 2
Tomando a tensão do secundário como referência angular
(V̂2 = 110∠0
◦ V), e considerando S2 = 1∠0
◦ kVA (carga resistiva),
pode-se calcular a corrente do secundário:
Î2 =
(
S2
V̂2
)∗
= 9,09∠0◦ A
Refletindo a tensão e a corrente do secundário para o primário:
+
−
+
−
V̂1
Ê1
a V̂2
Î1 Î2/a
Îϕ
Îm În
x1r1 a2 x2a
2 r2
bm gn CargaFonte
Trafo
Î ′2 =
(
Î2/a
)
= 4,54∠0◦ A
V̂ ′2 = a · V̂2 = 220∠0◦ V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 77 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Tensão Ê1 sobre o ramo de excitação:
+
−
+
−
V̂1
Ê1
a V̂2
Î1 Î2/a
Îϕ
Îm În
x1r1 a2 x2a
2 r2
bm gn CargaFonte
Trafo
Ê1 = V̂
′
2 + (0,5 + j 2) · Î ′2
= 220 + 2,06∠75,96◦ · 4,54∠0◦
= 222,45∠2,33◦ V
Admitância de excitação:
Yϕ = gn + j bm = 1− j 2 = 2,24∠ − 63,43◦ mS
Corrente de excitação:
Îϕ = Yϕ · Ê1 = 0,50∠− 61,09◦ A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 78 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Corrente fornecida pela fonte:
+
−
+
−
V̂1
Ê1
a V̂2
Î1 Î2/a
Îϕ
Îm În
x1r1 a2 x2a
2 r2
bm gn CargaFonte
Trafo
Î1 = Îϕ + Î
′
2 = 4,80∠ − 5,26◦ A
Tensão fornecida pela fonte:
V̂1 = Ê1 + (0,5 + j 2) · Î1 = 226,28∠4,67◦ V
que é maior que 220V, em função da consideração de todos os fenômenos
f́ısicos envolvidos na operação de um transformador real.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 79 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Diagramas fasoriais para os circuitos primário e secundário:
V̂1
Î1
Primário
V̂2
Î2
Secundário
5,26◦
4,67◦
O transformador é um elemento indutivo, devido ao atraso da corrente do
primário em relação à tensão, apesar da carga ser resistiva.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 80 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
+
−
+
−
V̂1
Ê1
a V̂2
Î1 Î2/a
Îϕ
Îm În
x1r1 a2 x2a
2 r2
bm gn CargaFonte
Trafo
resistivoindutivo
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 81 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Potência complexa fornecida pela fonte:
S1 = V̂1 · Î ∗1 = 1,09∠9,93◦ kVA
que é maior que a potência consumida pela carga, indicando a presença de
perdas. O ângulo de 9,93◦ resulta em um fator de potência de 0,985
atrasado na fonte.
Eficiência do transformador:
η =
S2
S1
· 100% = 1,0
1,09
· 100% = 91,74%
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 82 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Perdas ôhmicas nos enrolamentos (perdas no cobre):
PCu = r1 · I 21 + r2 · I 22 = 21,85 W
Perdas de potência no núcleo (perdas no ferro):
PFe = gn · E 21 = 49,48 W
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 83 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
� Exemplo
Foram realizados os ensaios de laboratório necessários para a obtenção dos
parâmetros do circuito equivalente de um transformador de 1 kVA,
220/110 V. As medições são mostradas na tabela abaixo e foram feitas no
lado de alta tensão do transformador. Obtenha os parâmetros do circuito
equivalente do transformador.
Ensaio Tensão (V) Corrente (A) Potência (W)
Circuito aberto 220 0,50 50
Curto-circuito 5 4,54 10
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 84 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
O ensaio de circuito aberto consiste na aplicação de tensão nominal em
um dos enrolamentos, mantendo-se o outro enrolamento em aberto,
conforme mostra a figura a seguir.
∼
A W
V
Trafo
220 V 110 V
gn bm
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 85 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Em seguida, mede-se os valores indicados pelos medidores.
Nota-se que a tensão medida (220 V) corresponde à tensão nominal do
lado de alta tensão.
Ao contrário do que é feito neste exemplo, na prática o ensaio de circuito
aberto é normalmente realizado no lado de baixa tensão.
Como o secundário (lado de baixa tensão) está em aberto, não há corrente
por ele e, portanto, ele não é representado.
Nas condições do ensaio, a corrente medida deve ser pequena, pois a
impedância do ramo paralelo (ramo de excitação) é alta.
Desprezam-se as quedas de tensão na resistência e reatância de dispersão
do primário.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 86 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
A potência medida pelo watt́ımetro é praticamente igual à potência
consumida na condutânciagn, e representa as chamadas perdas ferro.
Parâmetros gn e bm:
|Yϕ| =
I
V
=
0,5
220
= 2,2727 mS
gn =
P
V 2
=
50
(220)2
= 1,0331 mS
bm = −
√
|Yϕ|2 − g2n = −
√
(2,2727)2 − (1,0331)2 = −2,0243 mS
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 87 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
O ensaio de curto-circuito consiste na aplicação de uma tensão em um dos
enrolamentos tal que a corrente resultante seja a corrente nominal do
transformador, quando o outro enrolamento está curto-circuitado. O
circuito para este ensaio é:
∼
A W
V
Trafo
220 V 110 V
req xeq
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 88 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
Corrente nominal do enrolamento de alta tensão:
Inominal =
S
V
=
1 · 103
220
= 4,54 A
que é o valor mostrado na tabela. O ensaio de curto-circuito é
normalmente executado no lado de alta tensão.
Como a tensão é muito baixa, a corrente pelo ramo de excitação é muito
pequena, e este pode ser desprezado. Os parâmetros série são então
agrupados, tais que:
req = r1 + a
2 · r2
xeq = x1 + a
2 · x2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 89 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador real – caracteŕısticas de operação e circuito equivalente
A potência medida pelo watt́ımetro é praticamente a potência dissipada
nos enrolamentos (req · I 2) e representa as chamadas perdas cobre. Os
parâmetros req e xeq são calculados por:
|Z | = V
I
=
5
4,54
= 1,1013 Ω
req =
P
I 2
=
10
(4,54)2
= 0,4852 Ω
xeq =
√
|Z |2 − r2eq =
√
(1,1013)2 − (0,4852)2 = 0,9887 Ω
Em geral assume-se que:
r1 = a
2 · r2 = req/2
x1 = a
2 · x2 = xeq/2
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 90 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Modelos simplificados de transformadores reais
Os transformadores utilizados em sistemas de energia elétrica
apresentam caracteŕısticas próprias que permitem simplificações no
seu circuito equivalente
A corrente de excitação dos transformadores é tipicamente da ordem
de 5% da corrente nominal
Assim, pode-se desprezar o ramo paralelo do circuito equivalente do
transformador quando este opera em torno das suas condições
nominais
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 91 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Modelos simplificados de transformadores reais
O circuito equivalente resultante é bastante simples, sendo formado
apenas por uma impedância do tipo RL:
+
−
+
−
V̂1 a V̂2
Î1
req xeq
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 92 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Modelos simplificados de transformadores reais
Para transformadores de potência nominal a partir de algumas
centenas de kVA, observa-se ainda que req é muito menor que xeq.
Assim, pode-se desprezar também a resistência, pois as perdas de
potência ativa nos enrolamentos são despreźıveis em relação à
potência nominal do transformador
Circuito equivalente simplificado final:
+
−
+
−
V̂1 a V̂2
Î1
xeq
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 93 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Modelos simplificados de transformadores reais
� Exerćıcio
Repita a resolução do exemplo do slide 75 utilizando o modelo simplificado
do transformador mostrado no slide 93. Compare os resultados das
resoluções completa e simplificada.
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 94 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Considere três transformadores monofásicos idênticos ao mostrado a
seguir, para o qual a relação de transformação vale:
100 V 50 V
N1 : N2
a1φ =
V1
V2
=
100
50
= 2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 95 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Eles podem ser conectados de maneira conveniente resultando em um
transformador trifásico
Uma das ligações posśıveis é a ligação Y-Y:
A
AB
B
C
CN
N
a
ab
b
c
cn
n
50 V
50 V
50 V
100 V
100 V
100 V
11
1
22
2
33
3
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 96 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Considerando a sequência de fases ABC e a fase a como referência
angular, as tensões do primário são:
V̂AN = 100∠0
◦ V V̂AB = 100
√
3∠30◦ V
V̂BN = 100∠ − 120◦ V V̂BC = 100
√
3∠− 90◦ V
V̂CN = 100∠120
◦ V V̂CA = 100
√
3∠150◦ V
Pode-se obter as tensões de fase e de linha no secundário,
considerando cada transformador individualmente. Para o
transformador 1 tem-se:
V̂an =
V̂AN
a1φ
= 50∠0◦ V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 97 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
As demais tensões de fase são obtidas considerando-se as defasagens
apropriadas
A tensão de linha entre as fases a e b vale:
V̂ab = 50
√
3∠30◦ V
A relação de transformação para um transformador trifásico é definida
como a relação entre as tensões de linha do primário e secundário.
Então, para a ligação Y-Y:
a3φ =
V̂AB
V̂ab
= 2 = a1φ
que neste caso é igual à relação de transformação para cada
transformador monofásico
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 98 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Outra ligação posśıvel é a Y-∆:
A
B
C
N
a
b
c
11
22
33
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 99 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Suponha que definições das tensões no primário são as mesmas do
caso da ligação Y-Y
Tomando o transformador 1 e observando a ligação feita, nota-se que
ao enrolamento do primário é aplicada uma tensão de fase, enquanto
que no enrolamento secundário a tensão induzida é uma tensão de
linha
A relação entre as tensões nos enrolamentos primário e secundário é a
própria relação de transformação do transformador monofásico:
V̂AN
V̂ab
= 2 → V̂ab = 50∠0◦ V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 100 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
A relação de transformação para a ligação Y-∆ é:
a3φ =
V̂AB
V̂ab
= 2
√
3∠30◦ = a1φ
√
3∠30◦
ou seja, além da relação de valores eficazes de a1φ
√
3, existe uma
defasagem de 30◦ entre as tensões de linha
Outras ligações são posśıveis, como a ∆-Y ou a ∆-∆, e seus modos
de operação podem ser deduzidos a partir das ligações descritas
anteriormente
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 101 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Os transformadores utilizados na prática também podem ter seus
enrolamentos montados em um mesmo núcleo, e seu funcionamento é
idêntico ao banco trifásico de transformadores
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 102 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
Como o transformador é um equipamento que tem as três fases
idênticas, também pode ser representado através de diagrama unifilar:
Gerador Linha Carga
∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 103 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
� Exemplo
Representações:
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 104 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
� Exerćıcio
Uma carga composta de três resistores em ∆ é conectada a um banco trifásico
∆-Y composto de três transformadores monofásicos que têm relação de espiras
5 : 1.
1 Esboce o diagrama elétrico das ligações do banco trifásico a uma rede
elétrica e à carga, e obtenha as relações de espiras e de transformação.
2 Se a corrente na impedância da carga é de 8 A, qual é o valor da corrente de
linha no primário?
3 Se atensão de linha no primário é de 220 V, qual é o valor da tensão na
impedância da carga?
Resp.: 4,8; A; 76,2; V.
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 105 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
� Exerćıcio
Dispõe-se de uma rede elétrica trifásica 6,6 kV e de três transformadores
monofásicos 3800/220 V. Desenhe um diagrama elétrico, indicando as
ligações dos transformadores à rede elétrica e a três lâmpadas de
200 W/127 V conectadas em Y. Obtenha as magnitudes de todas as
tensões e correntes, a relação de transformação e a relação de espiras.
Indique estes valores no diagrama elétrico.
Resp.: 1,57; A; 0,91; A; 0,053; A.
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 106 / 201
Transformadores: aspectos básicos – Transformador trifásico
� Exerćıcio
Dispõe-se de uma rede elétrica trifásica 6,6 kV e de três transformadores
monofásicos 3800/220 V. Desenhe um diagrama elétrico, indicando as
ligações dos transformadores à rede elétrica e a três lâmpadas de
200 W/220 V conectadas em Y. Obtenha as magnitudes de todas as
tensões e correntes, a relação de transformação e a relação de espiras.
Indique estes valores no diagrama elétrico.
Resp.: 0,91; A; 0,053; A.
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 107 / 201
Especificações de equipamentos em sistemas de energia elétrica
Descrição limitada aos equipamentos básicos utilizados em sistemas
de energia elétrica e que têm interesse imediato nesta disciplina
Máquinas Śıncronas: utilizadas para fornecer as tensões alternadas ao
circuito (gerador śıncrono), ou para fornecer ou consumir reativos do
circuito (compensador śıncrono)
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 108 / 201
Especificações de equipamentos em sistemas de energia elétrica
Um circuito equivalente para uma máquina śıncrona pode ser:
+
−
+
−
Îc Êg V̂t
Îa
r
∼
xs
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 109 / 201
Especificações de equipamentos em sistemas de energia elétrica
Ic – corrente de campo, que é uma corrente cont́ınua
aplicada no enrolamento de rotor (parte móvel) da
máquina. Quando o rotor é posto a girar, esta cor-
rente cria um campo magnético variável no interior da
máquina
Eg – tensão gerada, que é induzida em enrolamentos situados
no estator (parte fixa) da máquina, devido à variação
do campo produzido por Ic
Vt – tensão terminal, ou seja, tensão dispońıvel para conexão
com o restante do circuito
Ia – corrente de armadura (estator), fornecida à carga
r – resistência de armadura, associada à perda ôhmica de
potência nos enrolamentos da máquina. Para máquinas
de grande porte, pode ser desprezada
xs – reatância śıncrona, que representa a dispersão de fluxo
e o efeito desmagnetizante da carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 110 / 201
Especificações de equipamentos em sistemas de energia elétrica
As especificações básicas para a máquina śıncrona são:
Potência aparente trifásica nominal
Tensão de linha nominal
Impedância (ou somente a reatância)
Transformadores: de acordo com a descrição dos transformadores
feita anteriormente, as especificações são as seguintes:
Potência aparente trifásica nominal
Tensões de linha dos lados de alta e baixa tensões
Reatância de dispersão
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 111 / 201
Especificações de equipamentos em sistemas de energia elétrica
Motores: são fornecidos os seguintes dados:
Potência ativa nominal dispońıvel no eixo
Rendimento
Tensão de linha nominal
Fator de potência para operação nominal
Cargas: são especificados os seguintes valores:
Potência aparente trifásica nominal
Tensão de linha nominal
Fator de potência para operação nominal
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 112 / 201
Especificações de equipamentos em sistemas de energia elétrica
Linhas de Transmissão: é fornecida a impedância série da linha,
conforme já utilizado em exerćıcios anteriores
Pode-se ter modelos mais completos (e complexos) para a linha de
transmissão, dependendo da aplicação
Exemplo de um diagrama unifilar contendo vários dos equipamentos
descritos3:
∼ M
100 kVA
13,8 kV
x = 8%
100 kVA
13,8 : 69 kV
x = 5%
100 kVA
69 : 11,9 kV
x = 6%
10 + j 50 Ω
10 HP/90%
0,85 atrasado
11,9 kV
3
Reatâncias dos equipamentos expressas em termos percentuais.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 113 / 201
Sistema por unidade (pu)
Os sistemas elétricos de potência apresentam diferentes ńıveis de
tensão de operação, seja no ńıvel de transmissão, de sub-transmissão
ou distribuição
No caso da transmissão existem alguma tensões t́ıpicas, como
765 kV, 500 kV, 440 kV, 345 kV e 230 kV
As mudanças (ou transformações) de tensão são feitas por
transformadores, como visto anteriormente
Com a mudança da tensão para uma mesma potência transmitida
haverá também a mudança da corrente
Ocorrerá também uma mudança da impedância vista de um
barramento, o que irá tornar a análise mais elaborada
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 114 / 201
Sistema por unidade (pu)
A análise dos sistemas com diferentes ńıveis de tensão é complexa
Além disto, não é trivial identificar se os valores de tensão em
unidades f́ısicas encontram-se dentro de faixas aceitáveis de operação
Considera-se que a tensão de um sistema em operação normal deve
ficar situada na faixa de, por exemplo, 95% ≤ V ≤ 105%
Ainda é posśıvel que a tensão em algumas barras tenha uma variação
maior, de 90% a 110%
Esses valores são estabelecidos em normas espećıficas
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 115 / 201
Sistema por unidade (pu)
Ao invés de trabalhar com valores em percentagem, em sistemas
elétricos de potência utiliza-se o sistema por unidade, onde as várias
grandezas f́ısicas como potência, tensão, corrente, impedâncias são
descritas como frações decimais de grandezas base
Desta forma, as faixas acima seriam de 0,95 pu a 1,05 pu para a
tensão normal de operação e de 0,90 pu a 1,10 pu para algumas barras
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 116 / 201
Sistema por unidade (pu)
Evitar o uso de unidades f́ısicas simplifica a análise, uma vez que um
engenheiro consegue identificar rapidamente uma operação incorreta
sem precisar saber qual a tensão de linha ou de fase em volts naquele
barramento
O sistema por unidade facilita a análise de circuitos que incluirem
transformadores
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 117 / 201
Sistema por unidade (pu)
Considere o seguinte circuito:
+
−
+
−
V̂f
Î
1∠80◦ Ω
10∠30◦ Ω220∠0◦ V∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 118 / 201
Sistema por unidade (pu)
A tensão da fonte pode ser obtida por:
+
−
+
−
V̂f
Î
1∠80◦ Ω
10∠30◦ Ω220∠0◦ V∼
Î = (220∠0◦/10∠30◦) = 22∠ − 30◦ A
V̂f = 220∠0
◦ + 1∠80◦ · 22∠ − 30◦
= 234,7∠4,1◦ V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 119 / 201
Sistema por unidade (pu)
A informação de que a tensão na fonte é 234,7 V não tem grande
significado em si, a menos que se saiba que a sua tensão nominal é
220 V
Áı sim se pode concluir que a fonte está operando 6,7% acima de
suas especificações
Normalmente prefere-se trabalhar com a informação de que a tensão
na fonte é de 106,7% ou 1,067 por unidade ou simplesmente pu
Com esse valor, pode-se concluir imediatamente a violação das
especificações da fonte sem que seja necessário o conhecimento das
mesmas
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 120 / 201
Sistema por unidade (pu)
Define-se como valor por unidade (pu) de uma grandeza elétrica a
relação entre o valor real da grandeza e um valor de base predefinido:
valor em pu =
valor real
valor de baseNo caso do circuito exemplo, o valor real da tensão da fonte é
234,7 V e o valor de base é o seu valor de tensão nominal 220 V,
resultando em uma tensão 1,067 pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 121 / 201
Sistema por unidade (pu)
Desta forma, correntes, tensões, potências e impedâncias podem ser
representadas em pu
Na análise de circuitos de corrente alternada há quatro grandezas
elétricas fundamentais:
Tensão
Corrente
Impedância
Potência
Elas são dependentes umas das outras. Então, dadas duas delas, as
outras duas podem ser calculadas.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 122 / 201
Sistema por unidade (pu)
Considere o gerador monofásico:
∼
Gerador
1 kVA
220 V
x = 5%
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 123 / 201
Sistema por unidade (pu)
É posśıvel definir uma potência de base igual ao seu valor nominal,
isto é, Sb = 1 kVA
Assim, se nos cálculos do circuito for obtida uma potência de 0,95 pu,
conclui-se que a máquina está operando abaixo de sua capacidade
nominal
Pode-se definir também uma tensão de base igual a 220 V (Vb)
Corrente de base:
Ib =
Sb
Vb
= 4, 54 A
Impedância de base:
Zb =
V 2b
Sb
= 48,4 Ω
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 124 / 201
Sistema por unidade (pu)
Sempre são definidos dois valores de base (por exemplo, potência
aparente e tensão)
Os outros dois (corrente e impedância) ficam automaticamente
determinados, devido à dependência entre as grandezas
Os valores de tensão e potência de base definidos acima coincidiram
com os valores nominais do gerador
Isto não é obrigatório, podendo ser escolhidas quaisquer bases. Na
prática, no entanto, as bases são escolhidas da maneira mostrada
acima
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 125 / 201
Sistema por unidade (pu)
Os fatores que levam a esta escolha são os seguintes:
Um valor em pu é útil quando implicitamente se refere a um valor
importante do ponto de vista f́ısico, como por exemplo o valor nominal
correspondente ao equipamento
Se a base fosse outra que não a nominal, não haveria meio de se saber
se a grandeza em pu representa a operação acima ou abaixo das
especificações, a menos que fossem fornecidos dados adicionais, o que
faz o sistema pu perder sua principal utilidade
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 126 / 201
Sistema por unidade (pu)
Os fabricantes de equipamentos fornecem algumas especificações em
pu (ou em valores percentuais), com base nos valores nominais dos
mesmos
Para o gerador exemplo a reatância é fornecida em termos percentuais,
calculada para uma base de 220 V, 1 kVA
Uma reatância de 5% equivale a 0,05 pu. Isto significa que a reatância
em ohms é dada por:
Xohms = xpu · Zb = 0,05 · 48,4 = 2,42 Ω
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 127 / 201
Sistema por unidade (pu)
Gerador exemplo com sua reatância representada em ohms e em pu:
∼ ∼
Gerador Gerador
j 2,42 Ω j 0,05 pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 128 / 201
Sistema por unidade (pu)
� Exemplo
Considere o circuito a seguir. Se a tensão na carga é 220 V, calcule a
tensão da fonte.
Carga
900 W / 0,90 indutivo
220 V
Fonte
1 kVA
220 V
Î
j 10 Ω
∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 129 / 201
Sistema por unidade (pu)
Valores de base a potência aparente e a tensão da fonte:
Sb = 1 kVA
Vb = 220 V
Corrente de base:
Ib =
Sb
Vb
= 4,54 A
Impedância de base:
Zb =
V 2b
Sb
= 48,4 Ω
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 130 / 201
Sistema por unidade (pu)
Impedância da linha em pu4:
zℓ =
Zℓ
Zb
=
j 10
48,4
= j 0,21 = 0,21∠90◦ pu
Na carga:
v̂c =
220∠0◦
220
= 1,0∠0◦ pu
pc =
900
1000
= 0,90 pu
e:
|sc | = (pc/fp) = 1,0 pu
ϕc = cos
−1 (0,90) = 25,84◦
}
sc = 1,0∠25,84
◦ pu
4As grandezas expressas em letras minúsculas indicam que os valores estão em pu.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 131 / 201
Sistema por unidade (pu)
Corrente na carga:
ı̂c =
(
sc
v̂c
)∗
= 1,0∠ − 25,84◦ pu
ou, em ampères:
Îc = ı̂c · Ib = 4,54∠ − 25,84◦ A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 132 / 201
Sistema por unidade (pu)
Tensão da fonte:
v̂f = v̂c + zℓ · ı̂c = 1,108∠9,82◦ pu
ou em volts:
V̂f = v̂f · Vb = 243,8∠9,82◦ V
onde se nota que a tensão da fonte está 10,8% acima do seu valor nominal.
Potência fornecida pela fonte:
sf = v̂f · ı̂∗c = 1,108∠35,66◦ pu
ou em volt-ampères:
Sf = sf · Sb = V̂f · Î ∗c = 1108∠35,66◦ VA
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 133 / 201
Sistema por unidade (pu)
A transformação das grandezas de um circuito em por unidade
permite a eliminação dos transformadores do circuito. A figura a
seguir mostra um circuito com transformador.
+
−
+
−
Área 1 Área 2
V̂1 V̂2
100 kVA
138 : 13,8 kV
138 kV
13,8 kV
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 134 / 201
Sistema por unidade (pu)
O circuito pode ser dividido em duas áreas, cada uma correspondendo
a um lado do transformador e com sua base própria
Pode-se definir os seguintes valores de base:
Área 1: Sb1 = 100 kVA → potência nominal do trafo
Vb1 = 138 kV → tensão nominal do lado de alta tensão
Área 2: Sb2 = 100 kVA → potência nominal do trafo
Vb2 = 13,8 kV → tensão nominal do lado de baixa tensão
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 135 / 201
Sistema por unidade (pu)
A potência de base é a mesma para as duas áreas e igual à potência
nominal do transformador
A escolha se deve ao fato de que, se as perdas forem desprezadas, a
potência consumida pela carga no secundário é igual à potência
fornecida pela fonte no primário
As tensões de base são iguais às tensões nominais dos respectivos
lados do transformador
Uma tensão V2 de, por exemplo, 13 kV, vale em pu:
v2 =
V2
Vb2
=
13
13,8
= 0,942 pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 136 / 201
Sistema por unidade (pu)
A tensão V1 pode ser obtida aplicando-se a relação de transformação:
V1 =
N1
N2
· V2 =
138
13,8
· 13 = 130 kV
ou, em pu:
v1 =
V1
Vb1
=
130
138
= 0,942 pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 137 / 201
Sistema por unidade (pu)
Os valores em pu das tensões dos lados de alta e baixa do
transformador são iguais, mostrando que o trafo pode ser eliminado,
visto que a relação de transformação em pu é unitária
+
−
+
−
+
−
+
−
0,942 pu0,942 pu 0,942 pu0,942 pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 138 / 201
Sistema por unidade (pu)
Impedâncias de base:
Zb1 =
V 2b1
Sb1
Zb2 =
V 2b2
Sb2
Se uma impedância Z2 é conectada no lado de baixa tensão do
transformador, seu valor em pu será:
z2 =
Z2
Zb2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 139 / 201
Sistema por unidade (pu)
O valor da impedância vista pelo lado de alta tensão em pu será:
z1 =
Z1
Zb1
=
(
N1
N2
)2
· Z2
︸ ︷︷ ︸
Z1
· Sb1
V 2b1
︸︷︷︸
1/Zb1
=
(
N1
N2
)2
· Z2 · Sb2 ·
(
N2
N1
)2
· 1
V 2b2
= Z2 ·
Sb2
V 2b2
= z2
Como z1 = z2, constata-se mais uma vez a eliminação do trafo
quando se trabalha com pu. Entre as especificações do trafo, é
fornecida a impedância em pu, não sendo necessário especificar o lado
que foi considerado nos cálculos
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 140 / 201
Sistema por unidade (pu)
� Exemplo
Considere o circuito mostrado na figura a seguir. Calcule a tensão interna
da fonte V̂f e a potência fornecida pela fonte (nos terminais de sáıda da
mesma).
−
+
∼
j 0,1 Ω
V̂f
Área 1 Área 2 Área 3
T1 T2
50 : 220 V
1,5 kVA1,5 kVA
1 Ω j 5 Ω
220 : 110 V
Vc = 110 V Zc = 10∠30
◦ Ω
Gerador Trafo 1 Trafo 2Linha Carga
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 141 / 201
Sistema por unidade (pu)
Será considerada como referência angular a tensão da carga
V̂c = 110∠0
◦ V.
Correntena carga: Îc = V̂c/Zc = 11∠ − 30◦ A
Corrente na linha: Îℓ = (110/220) · Îc = 5,5∠− 30◦ A
Tensão no lado de alta de T2: V̂ ′c = 220∠0
◦ V
Tensão no lado de alta de T1: V̂ ′′f = V̂
′
c + Zℓ · Îℓ = 239,44∠5,05◦ V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 142 / 201
Sistema por unidade (pu)
Tensão no lado de baixa de T1: V̂ ′f = (50/220) · V̂ ′′f = 54,42∠5,05◦ V
(tensão nos terminais da fonte)
Corrente fornecida pela fonte: Îf = (220/50) · Îl = 24,2∠ − 30◦ A
Tensão interna da fonte: V̂f = V̂
′
f + j 0,1 · Îf = 55,84∠7,08◦ V
Potência fornecida pela fonte: Sf = V̂
′
f · Î ∗f = 1316,96∠35,05◦ VA
(em seus terminais)
Pf = 1078,13 W
Qf = 756,32 vAr
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 143 / 201
Sistema por unidade (pu)
Para a realização do mesmo cálculo em por unidade, o circuito é dividido
em três áreas, cujos valores de base são:
Área 1: Sb = 1,5 kVA → Zb1 = 1,6667 Ω
Vb1 = 50 V
Área 2: Sb = 1,5 kVA → Zb2 = 32,2667 Ω
Vb2 = 220 V
Área 3: Sb = 1,5 kVA → Zb3 = 8,0667 Ω
Vb3 = 110 V
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 144 / 201
Sistema por unidade (pu)
As impedâncias do circuito em pu valem:
Impedância da carga: zc = Zc/Zb3 = 1,2397∠30
◦ pu
Impedância da linha: zℓ = Zℓ/Zb2 = 0,1580∠78,69
◦ pu
Impedância da fonte: zf = Zf /Zb1 = 0,06∠90
◦ pu
A tensão na carga é tomada como referência:
v̂c =
V̂c
Vb3
= 1∠0◦ pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 145 / 201
Sistema por unidade (pu)
Circuito em pu:
−
++
−
∼
j 0,06
v̂f v̂
′
f
0,0310 j 0,1549
1∠0◦ 1,0736 + j 0,6198
ı̂f
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 146 / 201
Sistema por unidade (pu)
ı̂f =
1∠0◦
1,2397∠30◦
= 0,8066∠ − 30◦ pu
v̂f = 1∠0
◦ + 0,8066∠ − 30◦ · (0,0310 + j 0,1549 + j 0,06)
= 1,1168∠7,08◦ pu
v̂ ′f = 1∠0
◦ + 0,8066∠ − 30◦ · (0,0310 + j 0,1549)
= 1,0883∠5,04◦ pu
sf = v̂
′
f · ı̂∗f = 0,8778∠35,04◦ pu
Sf = sf · Sb = 1316,73∠35,04◦ VA
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 147 / 201
Sistema por unidade (pu)
A utilização do sistema pu em circuitos trifásicos não apresenta
dificuldades adicionais, visto que um circuito trifásico equilibrado pode
ser representado por um circuito monofásico (uma das fases do Y)
Algumas das grandezas consideradas para um circuito trifásico são:
Tensão de fase (fase-neutro) – Vf
Potência aparente por fase – Sf
Corrente de linha – Iℓ
Tensão de linha (fase-fase) – Vℓ
Potência aparente trifásica – S3φ
em que:
S3φ = 3 · Sf Vℓ =
√
3 · Vf
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 148 / 201
Sistema por unidade (pu)
Assim, se for escolhida a base:
Sbf – potência aparente por fase de base
V bf – tensão de fase de base
tem-se, consequentemente:
Sb3φ = 3 · Sbf → potência aparente trifásica de base
V bℓ =
√
3 · V bf → tensão de linha da base
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 149 / 201
Sistema por unidade (pu)
Logo:
I bℓ =
Sbf
V bf
=
Sb3φ
3
·
√
3
V bℓ
→ I bℓ =
Sb3φ√
3 · V bℓ
Z b =
(
V bf
)2
Sbf
=
(
V bℓ√
3
)2
· 3
Sb3φ
→ Z b =
(
V bℓ
)2
Sb3φ
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 150 / 201
Sistema por unidade (pu)
� Exemplo
Considere o diagrama unifilar a seguir, no qual o motor é alimentado com
tensão nominal. Represente o motor por uma impedância em por unidade.
M
50HP / 90%
fp 0,85
13,8 kV
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 151 / 201
Sistema por unidade (pu)
O motor deve então ser representado por:
−
+
zmv̂m
ı̂m
50HP / 90%
fp 0,85
13,8 kV
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 152 / 201
Sistema por unidade (pu)
Opção 1 – pensar no circuito 1Φ
correspondente
50/3HP / 90%
fp 0,85
13,8/
√
3 kV
Potência do motor (1Φ):
Sm =
(50/3) · 746
0,9 · 0,85 ∠ cos
−1 0,85
= 16252,723∠31,79◦ VA
Opção 2 – pensar no circuito 3Φ
direto
50HP / 90%
fp 0,85
13,8 kV
Potência do motor (3Φ):
Sm =
50 · 746
0,9 · 0,85 ∠ cos
−1 0,85
= 48758,170∠31,79◦ VA
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 153 / 201
Sistema por unidade (pu)
Tensão no motor (1Φ):
V̂m = 13,8/
√
3∠0◦ kV
Base (1Φ):
Sb = 20 kVA
Vb = 13,8/
√
3 kV
Ib = Sb/Vb = 2,51A
Zb = V
2
b /Sb = 3174Ω
Tensão no motor (3Φ):
V̂m = 13,8∠0
◦ kV
Base (3Φ):
Sb = 60 kVA
Vb = 13,8 kV
Ib = Sb/
(√
3Vb
)
= 2,51A
Zb = V
2
b /Sb = 3174Ω
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 154 / 201
Sistema por unidade (pu)
Em por unidade (1Φ):
sm = Sm/Sb = 0,813∠31,79
◦ pu
v̂m = V̂m/Vb = 1∠0
◦ pu
ı̂m = (sm/v̂m)
∗
= 0,813∠ − 31,79◦ pu
zm = v
2
m/s
∗
m = 1,230∠31,79
◦ pu
Em por unidade (3Φ):
sm = Sm/Sb = 0,813∠31,79
◦ pu
v̂m = V̂m/Vb = 1∠0
◦ pu
ı̂m = (sm/v̂m)
∗
= 0,813∠ − 31,79◦ pu
zm = v
2
m/s
∗
m = 1,230∠31,79
◦ pu
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 155 / 201
Sistema por unidade (pu)
� Exemplo
Se a tensão nos terminais da fonte do circuito trifásico mostrado a seguir é
igual a 13,8 kV, calcule a tensão no motor.
∼
15 kVA
13,8 kV
x = 5%
j 500 Ω
Carga
6 kW / fp = 1
13,8 kV13,8 kV
100 + j 500 Ω
M
10 HP
Eficiência 90%
fp = 0,8
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 156 / 201
Sistema por unidade (pu)
Deve-se primeiramente determinar os valores caracteŕısticos de cada
elemento do circuito. Para o motor:
P1φ =
PHP · 746
0,90
· 1
3
= 2,7630 kW
|S1φ| =
P1φ
fp
= 3,4537 kVA
ϕm = cos
−1 (0,80) = 36,87◦ → S1φ = 3,4537∠36,87◦ kVA
Q1φ =
√
S21φ − P21φ = 2,0722 kvar
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 157 / 201
Sistema por unidade (pu)
Pode-se obter a impedância do motor conhecendo-se a potência complexa
e a tensão nominais:
Zm =
V 2f
S∗1φ
= 18,3803∠36,87◦ kΩ
Neste caso, supõe-se que o motor será submetido à tensão nominal e
consumirá a potência nominal, o que pode não corresponder à realidade,
como neste exemplo.
Se a tensão da fonte é ajustada em 13,8 kV, obviamente a tensão sobre o
motor será menor que 13,8 kV, devido às quedas de tensão nas linhas.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 158 / 201
Sistema por unidade (pu)
O valor da tensão aplicada, por sua vez, determina o grau de saturação
dos materiais ferromagnéticos.
O valor da potência consumida também pode variar e depende da carga
conectada ao eixo do motor.
Por simplicidade, considera-se que a impedância do motor se mantém
constante para condições de operação em torno dos valores nominais.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 159 / 201
Sistema por unidade (pu)
Cargas podem ser modeladas como:
Potência constante
Corrente constante
Impedância constante
Î
ZS
V̂
Neste caṕıtulo, consideraremos todas as cargas como sendo impedâncias
constantes, exceto se mencionado de outra forma
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 160 / 201
Sistema por unidade (pu)
Para a carga:
P1φ = 2 kW
|S1φ| = 2 kVA → S1φ = 2∠0◦ kVA
Zc =
V 2f
S∗1φ
= 31,740∠0◦ kΩ
Para a fonte:
S1φ = 5 kVA
X = 0,05 · V
2
f
S1φ
= 0,05 ·
(
13,8 · 103/
√
3
)2
(15 · 103/3) = 634,8 Ω
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 161 / 201
Sistema por unidade (pu)
Circuito monofásico correspondente ao circuito trifásico:
−
−
−
+
+ +
∼
j 634,8 Ω
13,8√
3
∠0◦ kV
Î j 500 Ω
V̂1 31,74∠0
◦ kΩ
Îm 100 + j 500 Ω
V̂m 18,4∠36,87
◦ kΩ
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 162 / 201
Sistema por unidade (pu)
Impedância vista pela fonte Zeq:
Motor em série com linha: Z1 = 18,7634∠37,91
◦ kΩ
Z1 em paralelo com carga: Z2 = 12,4201∠24
◦ kΩ
Z2 em série com linha: Zeq = 12,6317∠26,07
◦ kΩ
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 163 / 201
Sistema por unidade (pu)
Então:
Î =
V̂f
Zeq
= 0,6307∠ − 26,07◦ A
V̂1 = V̂f − j 500 · Î =
13,5688√
3
∠− 2,07◦ kV
Îm =
V̂1
Z1
= 0,4175∠ − 39,98◦ A
V̂m = Zm · Îm =
13,2914√
3
∠− 3,11◦ kV
Portanto, a tensão de linha aplicada ao motor é de aproximadamente
13,3 kV.
CarlosA. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 164 / 201
Sistema por unidade (pu)
O problema pode ser resolvido em pu. Adotando-se como bases os valores
nominais da fonte:
Sb3φ = 15 kVA V
b
ℓ = 13,8 kV
tem-se:
Z b =
(
V bℓ
)2
Sb3φ
= 12,6960 kΩ
I bℓ =
Sb3φ√
3 · V bℓ
= 0,6275 A
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 165 / 201
Sistema por unidade (pu)
Para o motor, considerando tensão nominal v = 1∠0◦ pu:
pm =
PHP · 746
0,90
· 1
Sb3φ
= 0,5526 pu
|sm| =
pm
fp
= 0,6907 pu
ϕm = cos
−1 (0,80) = 36,87◦ → sm = 0,6907∠36,87◦ pu
zm =
v2
s∗m
= 1,4478∠36,87◦ pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 166 / 201
Sistema por unidade (pu)
Para a carga:
pc =
Pc
Sb3φ
= 0,4 pu
sc = 0,4∠0
◦ pu
zc =
v2
s∗c
= 2,5∠0◦ pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 167 / 201
Sistema por unidade (pu)
O gerador tem uma impedância de j 0,05 pu e as linhas têm impedâncias
de j 0,0394 pu e 0,0079 + j 0,0394 pu.
O circuito em pu é:
−
−
−
+
+ +
∼
j 0,05
1∠0◦
ı̂ j 0,0394
v̂1 2,5∠0◦
ı̂m 0,0079 + j 0,0394
v̂m 1,4478∠36,87◦
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 168 / 201
Sistema por unidade (pu)
Impedância vista pela fonte zeq:
Motor em série com linha: z1 = 1,4780∠37,91
◦ pu
z1 em paralelo com carga: z2 = 0,9783∠24
◦ pu
z2 em série com linha: zeq = 0,9950∠26,07
◦ pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 169 / 201
Sistema por unidade (pu)
e:
ı̂ =
v̂
zeq
= 1,0050∠ − 26,07◦ pu
v̂1 = v̂ − j 0,0394 · ı̂ = 0,9832∠ − 2,07◦ pu
ı̂m =
v̂1
z1
= 0,6652∠ − 39,98◦ pu
v̂m = zm · ı̂m = 0,9631∠ − 3,11◦ pu
Assim, a tensão de linha no motor vale:
Vm = vm · V bℓ = 13,2908 kV
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 170 / 201
Sistema por unidade (pu)
Em sistemas de potência, costuma-se utilizar os valores de tensão em
pu, e não em volts, devido ao fato de que um sistema de potência
pode ter vários ńıveis de tensão envolvidos
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 171 / 201
Sistema por unidade (pu)
Já foi visto que a presença de um transformador implica na existência
de dois ńıveis de tensão no circuito
Os cálculos em pu resultam na eliminação dos transformadores e as
tensões nos seus dois lados assumem valores da mesma ordem de
grandeza
Assim, quando se trabalha com o sistema pu todas as tensões do
circuito têm valores muito próximos, facilitando a sua análise
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 172 / 201
Sistema por unidade (pu)
� Exemplo
Transforme o circuito mostrado a seguir em pu.
∼∼
G1
100 MVA
100 MVA
13,8 kV
4%
Área 1
T1
15 : 230 kV
10%10%
L2
1 + j 10 Ω
Área 3
L1
5 + j 50 Ω
L3
2 + j 10 Ω
C1
250 MVA
80% atrasado
230 kV
T2
200 MVA
200 MVA
230 : 15 kV
Área 2
G2
11 kV
8%
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 173 / 201
Sistema por unidade (pu)
Como o circuito tem dois transformadores, existem três ńıveis de tensão
envolvidos.
Assim, divide-se o circuito em áreas, e cada uma terá sua própria tensão
de base.
As bases de tensão obedecerão as relações de transformação dos
transformadores.
Desprezando as perdas, as potências nos dois lados do transformador são
as mesmas, o que leva à adoção da mesma base de potência para as três
áreas.
A potência de base escolhida é Sb = 200 MVA.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 174 / 201
Sistema por unidade (pu)
Área 1: a tensão de base é a tensão nominal do gerador,
Vb1 = 13,8 kV.
A reatância do gerador (xG1) é calculada para a base (100 MVA,
13,8 kV), que são os seus valores de potência e tensão nominais.
A reatância em ohms, XG1, vale:
XG1 = xG1 ·
V 2b1
Sb
= 0,04 ·
(
13,8 · 103
)2
100 · 106 = 0,0762 Ω
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 175 / 201
Sistema por unidade (pu)
A reatância do gerador em pu x ′G1 para a nova base adotada
(200 MVA, 13,8 kV) vale:
x ′G1 = 0,0762 ·
200 · 106
(13,8 · 103)2
= 0,08 pu
Deve-se também atualizar a reatância do trafo T1:
XT1 = 0,1 ·
(
15 · 103
)2
100 · 106 = 0,225 Ω
x ′T1 = 0,225 ·
200 · 106
(13,8 · 103)2
= 0,2363 pu
A reatância do transformador T1 pode ser atualizada tanto em função
da base da área 1 como da área 3. Pode-se verificar que o resultado é
o mesmo.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 176 / 201
Sistema por unidade (pu)
Área 3: a tensão de base deve seguir a relação de transformação do
trafo T1:
Vb3 =
230 · 103
15 · 103 · Vb1 = 211,6 kV
Impedâncias das linhas em pu:
zL1 =
ZL1
Zb3
= 50,25∠84,29◦ · 200 · 10
6
(211,6 · 103)2
= 0,2245∠84,29◦ pu
zL2 =
ZL2
Zb3
= 0,0449∠84,29◦ pu
zL3 =
ZL3
Zb3
= 0,0456∠78,69◦ pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 177 / 201
Sistema por unidade (pu)
Para a carga C1:
Zc1 =
V 2
S∗
=
(
230 · 103
)2
(250 · 106∠36,87◦)∗ = 211,6∠36,87
◦ Ω
zc1 =
Zc1
Zb3
= 0,9452∠36,87◦ pu
Deve-se atualizar também a reatância do transformador T2.
Até agora, a maneira adotada para realizar a atualização consistiu em
transformar o valor de pu para ohms utilizando os valores de base
originais fornecidos e depois transformar novamente em pu, agora para
a nova base.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 178 / 201
Sistema por unidade (pu)
Ou seja:
Xohms = x
velho
pu ·
(
V velhob
)2
Sb
xnovopu = Xohms ·
Sb
(V novob )
2
onde os ı́ndices velho e novo referem-se respectivamente às bases
original (dados do problema) e nova (definida na solução do problema).
Portanto, a transformação de bases pode ser escrita simplesmente por:
xnovopu = x
velho
pu ·
(
V velhob
)2
Sb
· Sb
(V novob )
2 = x
velho
pu ·
(
V velhob
)2
(V novob )
2
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 179 / 201
Sistema por unidade (pu)
Finalmente, para o trafo T2 tem-se:
x ′T2 = 0,1 ·
(
230 · 103
)2
(211,6 · 103)2
= 0,1181 pu
Área 2: a tensão de base vale:
Vb2 = 211,6 · 103 ·
15 · 103
230 · 103 = 13,8 kV
Atualizando a reatância do gerador G2:
x ′G2 = 0,08 ·
(
11 · 103
)2
(13,8 · 103)2
= 0,0508 pu
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 180 / 201
Sistema por unidade (pu)
O circuito em pu fica:
∼∼
0,7562 + j 0,0447
0,0223 + j 0,2234
0,0090 + j 0,0447
j 0,1181 j 0,0508j 0,2363j 0,08
0,7562 + j 0,5671
�
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 181 / 201
Sistema por unidade (pu)
� Exemplo
A figura a seguir mostra o diagrama unifilar parcial de um sistema elétrico
de potência trifásico.
G
1
T
2 3
4
L1
L2
M1
M2 M3
Disjuntor
Medidor
∼
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 182 / 201
Sistema por unidade (pu)
As especificações dos equipamentos do circuito são as seguintes:
G – Y, 100 MVA, 15 kV, xG = 10%
T – Y-∆, 100 MVA, 13,8 : 230 kV, xT = 10%
L1 – 10 km de comprimento, reatância de 10 Ω/km
L2 – 5 km de comprimento, reatância de 20 Ω/km,
resistência de 5 Ω/km
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 183 / 201
Sistema por unidade (pu)
Dois medidores de fluxo de potência (M1 e M2) e um medidor de tensão
(M3) são instalados nos locais indicados. Em um determinado instante,
foram feitas as seguintes medidas:
Tensão na barra 3: 230 kV
Fluxo de potência na linha L1: 40 MW, 30 Mvar
Fluxo de potência na linha L2: 30 MW, 40 Mvar
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 184 / 201
Sistema por unidade (pu)
Pede-se:
1 O circuito em pu, considerando uma base de 13,8 kV, 100 MVA para
o gerador.
2 A corrente na linha L1.
3 A tensão na barra 2.
4 As perdas de potência ativa na linha L2.
5 A tensão na barra 4.
6 A tensão na barra 1.
7 O carregamento do gerador.
8 O fator de potência visto pelo gerador.
9 A tensão na barra 1 caso todos os disjuntores abrissem.
Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Caṕıtulo 4 185 / 201
Sistema por unidade (pu)
O transformador T delimita duas áreas:
Área 1: que compreende o gerador.