Geometria Analítica e Vetores

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Geometria Anal´ıtica e Vetores
Notas de Aula
Petronio Pulino
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PULINUS
Geometria Anal´ıtica e Vetores
Notas de Aula
Petronio Pulino
Departamento de Matema´tica Aplicada
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e Computac¸a˜o Cient´ıfica
Universidade Estadual de Campinas
e-mail: pulino@ime.unicamp.br
www.ime.unicamp.br/∼pulino/GeometriaAnalitica/
Janeiro de 2018
Suma´rio
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Operac¸o˜es Elementares. Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13 Matrizes Congruentes. Lei da Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.15 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.16 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Vetores no Plano e no Espac¸o 111
2.1 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Operac¸o˜es com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espac¸o Tridimensional . . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Adic¸a˜o de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Produto Escalar 151
3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Norma Euclidiana. Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3 Definic¸a˜o de Aˆngulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4 Projec¸a˜o Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6 Processo de Ortogonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
i
ii SUMA´RIO
3.8 Distaˆncia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 Produto Vetorial. Produto Misto 201
4.1 Orientac¸a˜o do Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5 Estudo da Reta no Espac¸o 229
5.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.2 Posic¸a˜o Relativa de Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.3 Aˆngulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 Distaˆncia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.5 Distaˆncia entre Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6 Estudo do Plano no Espac¸o 259
6.1 Equac¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2 Equac¸a˜o Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 266
6.3 Posic¸a˜o Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4 Aˆngulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.5 Aˆngulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.6 Distaˆncia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.7 Distaˆncia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8 Distaˆncia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7 Mudanc¸a de Coordenadas 301
7.1 Sistemas de Coordenadas em IE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.1.1 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1.2 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.1.3 Rotac¸a˜o Composta com uma Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2 Sistemas de Coordenadas em IE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8 Coˆnicas 341
8.1 Coˆnicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.3 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
SUMA´RIO iii
8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5 Aplicac¸a˜o da Rotac¸a˜o e da Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.7 Classificac¸a˜o das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Refereˆncias Bibliogra´ficas 419
iv SUMA´RIO
Petronio Pulino Geometria Anal´ıtica e Vetores
2
Vetores no Plano e no Espac¸o
Suma´rio
2.1 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Operac¸o˜es com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espac¸o Tridimensional . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Adic¸a˜o de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . 119
2.2.3 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear. Base . . . . . . . . . . . 130
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
111
112 Geometria Anal´ıtica e Vetores
2.1 Conceitos Ba´sicos
Definic¸a˜o 2.1.1 Um segmento orientado e´ um par ordenado (A,B) de pontos do
espac¸o Euclidiano, no qual o ponto A e´ a origem e o ponto B e´ a extremidade,
como ilustra a Figura 2.1. Os segmentos orientados (A,A) sa˜o ditos nulos. E´ importante
observar que se A 6= B, o segmento orientado (A,B) e´ diferente do segmento orientado
(B,A).
A
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B
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Figura 2.1: Ilustrac¸a˜o do segmento orientado (A,B), com origem no ponto A e extremidade
no ponto B. A utilizac¸a˜o da flecha, indica que o foi fixada uma orientac¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.1.2 Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo
comprimento, mo´dulo ou norma, se os segmentos geome´tricos AB e CD teˆm o
mesmo comprimento, como ilustra a Figura 2.2.
A
r
B
r
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✟✯
C
r
D
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Figura 2.2: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo comprimento.
Definic¸a˜o 2.1.3 Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D) na˜o–nulos. Dizemos
que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm a mesma direc¸a˜o se os segmentos
geome´tricos AB e CD sa˜o paralelos, que indicamos AB ‖ CD, incluindo o caso em que
as retas suportes sa˜o coincidentes. Assim, dizemos que os segmentos orientados (A,B) e
(C,D) sa˜o paralelos.
Definic¸a˜o 2.1.4 Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D) com a mesma
direc¸a˜o, e as retas suportes dos segmentos geome´tricos AB e CD distintas. Dizemos
que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo sentido se os segmentos
geome´tricos AC e BD tenham intersecc¸a˜o vazia, como ilustra a Figura 2.3. Caso
contra´rio, dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm sentido contra´rio,
como ilustra a Figura 2.4.
Petronio Pulino 113
A
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B
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C
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Figura 2.3: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo sentido.
A
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B
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D
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C
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Figura 2.4: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm sentido contra´rio.
Definic¸a˜o 2.1.5 Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D) com a mesma
direc¸a˜o, e as retas suportes dos segmentos geome´tricos AB e CD coincidentes, e tome
um segmento orientado (A′, B′) de modo que A′ na˜o pertenc¸a a` reta suporte do segmento
geome´trico AB e que os segmentos orientados (A,B) e (A′, B′) tenham a mesma direc¸a˜o
e o mesmo sentido. Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo
sentido se os segmentos orientados (A′, B′) e (C,D) teˆm o mesmo sentido, como ilustra
a Figura 2.5. Caso contra´rio, dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm
sentido contra´rio, como ilustra a Figura 2.6.
A
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B
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C
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Figura 2.5: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm o mesmo sentido.
114 Geometria Anal´ıtica e Vetores
A
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B
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Figura 2.6: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) teˆm sentido contra´rio.
Definic¸a˜o 2.1.6 Dizemos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) sa˜o equipolentes,
e indicados por (A,B) ≈ (C,D), caso ocorrer uma das seguintes situac¸o˜es:
(a) ambos os segmentos orientados sa˜o nulos.
(b) os segmentos orientados sa˜o na˜o–nulos, e teˆm o mesmo comprimento, a mesma direc¸a˜o
e o mesmo sentido.
Na Figura 2.7, temos a ilustrac¸a˜o de dois segmentos orientados equipolentes.
A
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B
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C
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D
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Figura 2.7: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) sa˜o equipolentes, pois teˆm o mesmo
comprimento, a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido.
Exemplo 2.1.1 Considere X o conjunto de todos os segmentos orientados do espac¸o
Euclidiano. A relac¸a˜o de equipoleˆncia definida sobre X , que indicamos por ≈, e´ uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia, isto e´, satisfaz as propriedades:
(a) Reflexiva: (A,B) ≈ (A,B).
(b) Sime´trica: Se (A,B) ≈ (C,D), enta˜o (C,D) ≈ (A,B).
(c) Transitiva: Se (A,B) ≈ (C,D) e (C,D) ≈ (E,F ), enta˜o (A,B) ≈ (E,F ).
Petronio Pulino 115
Definic¸a˜o 2.1.7 (Classe de Equipoleˆncia) Seja X o conjunto de todos os segmentos
orientados do espac¸o Euclidiano, e considere um segmento orientado (A,B) ∈ X fixo,
pore´m arbitra´rio. Chama–se classe de equipoleˆncia, ou classe de equivaleˆncia, que
indicamos por
−→AB, ao conjunto de todos o segmentos orientados que sa˜o equipolentes ao
segmento orientado (A,B). O segmento orientado (A,B) e´ o representante da classe
de equivaleˆncia.
Definic¸a˜o 2.1.8 (Conceito de Vetor) Considere X o conjunto de todos os segmentos
orientados do espac¸o Euclidiano. Definimos um vetor no espac¸o Euclidiano como sendo
uma classe de equipoleˆncia de segmentos orientados. Se (A,B) e´ o segmento orientado
representante da classe de equipoleˆncia, o vetor correspondente e´ indicado por ~v =
−→
AB,
como ilustra a Figura 2.8. No caso em que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) sa˜o
equipolentes, dizemos que os vetores ~v =
−→
AB e ~w =
−−→
CD sa˜o iguais, isto e´, essas duas
classes de equipoleˆncia coincidem pela propriedade transitiva.
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~v
Figura 2.8: O vetor ~v representa as classes de equivaleˆncias associadas a determinados
segmentos orientados equipolentes, que sa˜o coincidentes pela propriedade transitiva.
Pelos fatos expostos acima, tem–se que um vetor fica bem determinado se apresentamos
qualquer um de seus representantes. Definimos o espac¸o de vetores V 3, como sendo o
conjunto de todos os vetores no espac¸o tridimensional IE3. E´ importante observar que nunca
devemos utilizar o termo vetores equipolentes, tendo em vista que equipoleˆncia e´ uma relac¸a˜o
de equivaleˆncia entre segmentos orientados, e o vetor representa uma classe de equipoleˆncia
associada a um determinado segmento orientado.
116 Geometria Anal´ıtica e Vetores
2.2 Operac¸o˜es com Vetores
2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espac¸o Tridimensional
O plano cartesiano IR2 = IR× IR e´ o exemplo mais importante de produto cartesiano. Os
elementos (x, y) ∈ IR2 sa˜o os pares ordenados de nu´meros reais. Os pares ordenados, de
certa forma, podem representar as coordenadas cartesianas de um ponto P de um plano
Π, onde x e´ a abscissa e y e´ a ordenada, quando fixamos nesse plano um par de
eixos ortogonais, que vamos indicar por OX e OY , denominados eixo das abscissas e
eixos das ordenadas, respectivamente, que se interceptam no ponto O = (0, 0), chamado
origem do sistema de coordenadas.
Dado o ponto P ∈ Π, a abscissa de P e´ o nu´mero x, coordenada do pe´ da perpendicular
baixada do P sobre o eixo OX , enquanto a ordenada de P e´ o nu´mero y, coordenada do
pe´ da perpendicular baixada de P sobre o eixo OY . Assim, dizemos que (x, y) e´ o par
de coordenadas do ponto P relativamente ao sistema de eixos ortogonais, como ilustra a
Figura 2.9.
✲
✻
0
Y
X
y
x
✉P = (x, y)
Figura 2.9: O Plano Nume´rico IR2 = IR× IR.
Podemos observar que os eixos OX e OY dividem o plano em quatro regio˜es, chamadas
quadrantes, caracterizadas pelos sinais das coordenadas de seus pontos. Desse modo, no
primeiro quadrante, tem–se x ≥ 0 e y ≥ 0. No segundo quadrante, tem–se x ≤ 0
e y ≥ 0. No terceiro quadrante, tem–se x ≤ 0 e y ≤ 0. No quarto quadrante, tem–se
x ≥ 0 e y ≤ 0, como ilustra a Figura 2.10.
A aplicac¸a˜o f : Π −→ IR2 que associa a cada ponto P do plano Π seu u´nico par de
coordenadas f(P ) = (x, y), relativamente ao sistema de eixos ortogonais, e´ uma bijec¸a˜o,
isto e´, uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os elementos de IR2 e de Π. Dessa maneira,
temos que a aplicac¸a˜o f−1 : IR2 −→ Π associa a cada par de coordenadas (x, y) de IR2
um u´nico ponto f−1(x, y) = P do plano Π.
Petronio Pulino 117
✲
✻
0
Y
X
primeiro quadrantesegundo quadrante
terceiro quadrante quarto quadrante
Figura 2.10: Enumerac¸a˜o dos Quadrantes do Plano Nume´rico IR2.
Portanto, a aplicac¸a˜o f permite traduzir conceitos e propriedades geome´tricas para uma
linguagem alge´brica e, reciprocamente, permite interpretar geometricamente relac¸o˜es entre
nu´meros reais. Assim, podemos dizer que IR2 e´ o modelo aritme´tico do plano Π, enquanto
o plano Π e´ o modelo geome´trico do plano nume´rico IR2. Assim, com a identificac¸a˜o
entre IR2 e um plano Π do espac¸o Euclidiano, realizada pela bijec¸a˜o f , podemos olhar
para o IR2 como um plano, plano nume´rico, e chamaremos seus elementos P = (x, y) de
pontos. Utilizando essa nova linguagem, que relaciona conceitos alge´bricos com conceitos
geome´tricos, vamos melhorar nosso entendimento sobre as propriedades das func¸o˜es reais.
r
A
rB
❅
❅
❅■
❅
❅
❅■
0
r X
Y
Qr
~w
P r
~v
�
�
�✒
✲
✻
Figura 2.11: Plano Nume´rico IR2, espac¸o bidimensional.
118 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Igualmente aos vetores, cada ponto do plano e´ dado por duas coordenadas e cada ponto do
espac¸o tridimensional por treˆs coordenadas. Assim, A = (2,−1) e Q = (x, y) sa˜o os pontos
marcados na Figura 2.11. Podemos entender que o vetor ~w = (x, y) representa a classe de
equivaleˆncia definida pelo segmento orientado (O , Q) que tem por origem o ponto O = (0, 0)
e por extremidade o ponto Q. Na figura 2.11, o vetor ~v = (−1, 1) representa a classe de
equivaleˆncia associada ao segmento orientado (A,B) com origem no ponto A = (2,−1) e
com extremidade no ponto B = (1, 0).
De modo ana´logo, o espac¸o nume´rico tridimensional IR3 = IR×IR×IR e´ um outro exemplo
importante de produto cartesiano. Os elementos (x, y, z) ∈ IR3 sa˜o as ternas ordenadas de
nu´meros reais. As ternas ordenadas surgem como as coordenadas cartesianas de um ponto
P do espac¸o tridimensional IE3, quando fixamos nesse espac¸o tridimensional um sistema de
treˆs eixos ortogonais, que vamos indicar por OX , OY e OZ , que se interceptam no ponto
O = (0, 0, 0), chamado origem do sistema de coordenadas, como ilustra a Figura 2.12.
0
r Y
Z
X
r
(x, y, z)
�
�
�
��✠
✲
✻
Figura 2.12: Espac¸o Tridimensional IE3.
A aplicac¸a˜o f : IE3 −→ IR3 que associa a cada ponto P do espac¸o tridimensional IE3
sua u´nica terna de coordenadas f(P ) = (x, y, z), relativas a um sistema de treˆs eixos
ortogonais, e´ uma bijec¸a˜o, isto e´, uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os elementos de
IR3 e de IE3. Desse modo, temos que a aplicac¸a˜o f−1 : IR3 −→ IE3 associa a cada terna
ordenada (x, y, z) de IR3 um u´nico ponto f−1(x, y, z) = P do espac¸o tridimensional IE3.
Assim, podemos dizer que o espac¸o nume´rico tridimensional IR3 e´ o modelo aritme´tico do
espac¸o tridimensional IE3, enquanto que o espac¸o tridimensional IE3 e´ o modelo geome´trico
do espac¸o nume´rico IR3. Desse modo, com a identificac¸a˜o entre o espac¸o nume´rico IR3 e
o espac¸o tridimensional IE3, da Geometria Euclidiana, realizada pela bijec¸a˜o f , podemos
olhar para o IR3 como sendo o espac¸o nume´rico tridimensional, e chamaremos seus elementos
P = (x, y, z) de pontos.
Petronio Pulino 119
2.2.2 Adic¸a˜o de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar
Pelo exposto na secc¸a˜o 2.2.1, podemos definir uma bijec¸a˜o de IE3 em IR3, e uma bijec¸a˜o
de IR3 em V 3. Assim, para cada ponto P = (x, y, z) do espac¸o tridimensional IE3,
podemos associar um u´nico vetor ~v = (x, y, z) de V 3, onde (x, y, z) sa˜o as coordenadas
do vetor ~v com relac¸a˜o a um sistema de treˆs eixos ortogonais, que estamos indicando por
OX , OY e OZ , que se interceptam no ponto O = (0, 0, 0), chamado origem do sistema
de coordenadas, como ilustra a Figura 2.13. Desse modo, o vetor ~v representa a classe de
equipoleˆncia associada ao segmento orientado (O , P ), como ilustra a Figura 2.13.
0
r Y
Z
X
r
P = (x, y, z)
�
�
�
�
�
�✒
~v
�
�
�
�
�
�
��✠
✲
✻
Figura 2.13: Representac¸a˜o do Espac¸o V 3.
Definic¸a˜o 2.2.1 Considere o espac¸o de vetores V 3. Definimos a operac¸a˜o de adic¸a˜o de
vetores, que a cada par de vetores ~u e ~v faz corresponder um novo vetor ~w = ~u + ~v
de V 3. Chamando~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2), definimos a operac¸a˜o de adic¸a˜o de
vetores da forma:
~w = ~u + ~v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2) .
Definic¸a˜o 2.2.2 Consider o espac¸o de vetores V 3. Definimos a operac¸a˜o demultiplicac¸a˜o
de vetor por escalar, que a cada vetor ~u e a cada escalar λ faz corresponder um novo
vetor ~w = λ~u de V 3. Chamando ~u = (x1, y1, z1) e λ um escalar qualquer, definimos a
operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar da seguinte forma:
~w = λ~u = (λx1 , λy1 , λz1) .
Neste texto consideramos que os escalares sa˜o nu´meros reais. Ale´m disso, No caso em que
λ = 0IR ou ~v = ~0, definimos λ~v = ~0.
Note que para λ 6= 0IR e ~v 6= ~0, o vetor ~w = λ~v tem a mesma direc¸a˜o do vetor ~v.
Ale´m disso, para λ > 0 o vetor ~w = λ~v tem o mesmo sentido do vetor ~v e para λ < 0
o vetor ~w = λ~v tem sentido contra´rio do vetor ~v.
120 Geometria Anal´ıtica e Vetores
A operac¸a˜o de adic¸a˜o de vetores tem as seguintes propriedades:
(A1) Comutatividade
~u + ~v = ~v + ~u , ∀ u, v ∈ V 3
(A2) Associatividade
~u + (~v + ~w) = (~u + ~v) + ~w , ∀ u, v, w ∈ V 3
(A3) Elemento Neutro
Existe um elemento ~0 ∈ V 3 tal que
~u + ~0 = ~u , ∀ ~u ∈ V 3
(A4) Elemento Sime´trico
Para todo elemento ~u ∈ V 3 existe o elemento −~u ∈ V 3 tal que
~u + (−~u) = ~0 , ∀ ~u ∈ V 3
onde o elemento neutro da operac¸a˜o de adic¸a˜o ~0 = (0, 0, 0) e´ o vetor nulo de V 3.
A operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar tem as seguintes propriedades:
(M1) Associatividade
(αβ) ~u = α (β ~u) , ∀ ~u ∈ V 3 e ∀ α, β ∈ IR
(M2) Distributividade para a Adic¸a˜o de Vetores
α (~u + ~v) = α~u + α~v , ∀ ~u, ~v ∈ V 3 e ∀ α ∈ IR
(M3) Distributividade para a Multiplicac¸a˜o por Escalar
(α + β) ~u = α~u + β ~u , ∀ ~u ∈ V 3 e ∀ α, β ∈ IR
(M4) Elemento Identidade
1IR ~u = ~u , ∀ ~u ∈ V
3
O espac¸o de vetores V 3 munido com a operac¸a˜o de adic¸a˜o de vetores e com operac¸a˜o de
multiplicac¸a˜o de vetor por escalar, e essas operac¸o˜es com as respectivas propriedades, recebe
o nome de Espac¸o Vetorial Real. O termo real vem do fato que os escalares sa˜o nu´meros
reais. Os espac¸os vetoriais sa˜o estudados de maneira detalhada na disciplina de A´lgebra
Linear.
Petronio Pulino 121
De maneira ana´loga, o conjunto IR3 = { (x1, x2, x3) / xi ∈ IR }, conjunto de todas as
ternas reais ordenadas, com a operac¸a˜o de adic¸a˜o de elementos definida por:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3)
e com a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar definida por:
λ(x1, x2, x3) = (λx1 , λx2 , λx3) , ∀ λ ∈ IR ,
e´ tambe´m um espac¸o vetorial real.
Podemos mostrar que a operac¸a˜o de adic¸a˜o de elementos e a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por
escalar definidas em IR3, verificam as propriedades (A1)–(A4) e (M1)–(M4) definidas acima.
Para isso, basta utilizar as propriedades da adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o de nu´meros reais.
E´ importante observar que pelo fato que podemos estabelecer uma correspondeˆncia biun´ıvoca
entre os elementos do espac¸o de vetores V 3 e os elementos de IR3, e que nos dois conjuntos
definimos uma operac¸a˜o de adic¸a˜o de elementos e uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar
que satisfazem as propriedades (A1)–(A4) e (M1)–(M4), podemos chamar os elementos de
IR3 de vetores e utilizar a notac¸a˜o de flecha, isto e´, indicando ~u = (x, y, z) ∈ IR3.
Na Figura 2.14, temos a representac¸a˜o geome´trica da soma dos vetores ~u e ~v. Para
isso, consideramos o segmento orientado (A,B) um representante do vetor ~u, e o segmento
orientado (B,C) um representante do vetor ~v. Assim, definimos o segmento orientado
(A,C) com sendo um representante do vetor ~u+ ~v, que indicamos
−→
AC = ~u+ ~v.
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑✑✸
~u
A
r
B
r
�
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~u
+
~v
Cr
✡
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✡
✡
✡
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✡✡✣
~v
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑✑✸
~u
A′
r
B′
r
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
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~u
+
~v
C ′r
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡✡✣
~v
Figura 2.14: Representac¸a˜o geome´trica da operac¸a˜o de soma de vetores.
122 Geometria Anal´ıtica e Vetores
E´ importante observar que a escolha do segmento orientado para representar o vetor ~u e´
arbitra´ria, e que esse fato na˜o altera o resultado da adic¸a˜o dos vetores ~u e ~v. De fato,
escolhendo um outro segmento orientado (A′, B′) para representar o vetor ~u, e um outro
segmento orientado (B′, C ′) como representante do vetor ~v, teremos obrigatoriamente que
os segmentos orientados (A,B) e (A′, B′) sa˜o equipolentes, (A,B) ≈ (A′, B′), e que os
segmentos orientados (B,C) e (B′, C ′) sa˜o equipolentes, (B,C) ≈ (B′, C ′). Portanto, os
segmentos orientados (A,C) e (A′, C ′) sa˜o equipolentes, (A,C) ≈ (A′, C ′). Assim, temos
−→
AC =
−−→
A′C ′ = ~u + ~v, como ilustra a Figura 2.14.
A propriedade do elemento sime´trico, ou elemento oposto, permite a definic¸a˜o da operac¸a˜o
de subtrac¸a˜o de vetores. Assim, tem–se
~u − ~v = ~u + (−~v) , ∀ ~u, ~v ∈ V 3 ,
como ilustra a Figura 2.15. Note que o elemento sime´trico −~v tem a mesma direc¸a˜o, mas
sentido contra´rio, do vetor ~v.
✲
✻
0
r❍❍
❍❍
❍❍❨ ~v
B r
✄
✄
✄
✄
✄
✄
✄
✄
✄
✄
✄✄✗
~u
A
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�
�
�
�
�
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�
��✒
~u
−
~v
Cr
�
�
�
�
�
�
�
��✒
~u
−
~v
❍❍❍❍❍❍❥
−~v
Figura 2.15: Representac¸a˜o geome´trica da operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de vetores.
Na Figura 2.15, temos a representac¸a˜o geome´trica da operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de vetores. Para
isso, consideramos os vetores ~u e ~v com o segmento orientado (0, A) um representante do
vetor ~u, e o segmento orientado (0, B) um representante do vetor ~v. Assim, definimos o
segmento orientado (B,A) um representante do vetor ~u − ~v, que indicamos
−→
BA = ~u − ~v.
Portanto, os segmentos orientados (0, C) e (B,A) sa˜o equipolentes.
Petronio Pulino 123
2.2.3 Adic¸a˜o de Ponto com Vetor
Definic¸a˜o 2.2.3 Considere o espac¸o de vetores V 3 e o espac¸o de ponto IE3. Definimos
uma operac¸a˜o que a cada ponto P ∈ IE3 e a cada vetor ~v ∈ V 3 associa um u´nico ponto
Q ∈ IE3 da seguinte forma:
Q = P + ~v ⇐⇒ ~v =
−→
PQ .
De modo ana´logo, podemos dizer que dado um ponto P ∈ IE3 e um vetor ~v ∈ V 3, existe
um u´nico ponto Q ∈ IE3 de modo que o segmento orientado (P,Q) e´ um representante do
vetor ~v, como ilustra a Figura 2.16. Ale´m disso, podemos representar o vetor ~v da forma:
~v = Q − P ⇐⇒ ~v = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1) ,
onde P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2).
P
r
Q
r
�
�
�
�
�
�
��✒
~v
Figura 2.16: Ilustrac¸a˜o da operac¸a˜o de adic¸a˜o de ponto com vetor.
A operac¸a˜o de adic¸a˜o de ponto com vetor tem as seguintes propriedades:
(P1) P + ~0 = P , ∀ P ∈ IE
3.
(P2) P + ~u = P + ~v ⇐⇒ ~u = ~v.
(P3) (P + ~u ) + ~v = P + ( ~u + ~v ) , ∀ ~u, ~v ∈ V
3 e ∀ P ∈ IE3.
(P4) P + ~v = Q + ~v ⇐⇒ P = Q.
(P5) (P − ~v ) + ~v = P .
P
r
Ar
�
�
�
�
�
�
��✒
~u
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅❘
~v
B
r✲
~u+ ~v
Figura 2.17: Ilustrac¸a˜o da propriedade P3.
124 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Vamos analisar as propriedades da operac¸a˜o de adic¸a˜o de ponto com vetor.
(P1) Temos que
−→
PP = ~0, que e´ a definic¸a˜o de vetor nulo. Assim, da definic¸a˜o da operac¸a˜o
de adic¸a˜o de ponto com vetor obtemos P + ~0 = P .
(P2) Seja Q = P + ~u = P + ~v. Da definic¸a˜o da operac¸a˜o de adic¸a˜o de ponto com vetor,
tem–se
−→
PQ = ~u e
−→
PQ = ~v .
Portanto, ~u = ~v, uma vez que possuem o mesmo segmento orientado como representante.
(P3) Consideremos A = P + ~u e B = A + ~v, como ilustra a Figura 2.17. Assim,
tem–se
−→
PA = ~u e
−→
AB = ~v .
Fazendo
−→
PA +
−→
AB, obtemos
−→
PA +
−→
AB = ~u + ~v ⇐⇒
−−→
PB = ~u + ~v ,
uma vez que
−→
PA +
−→
AB = (A− P ) + (B − A ) = B − P =
−−→
PB .
Utilizando adefinic¸a˜o da operac¸a˜o de ponto com vetor, tem–se
B = P + ( ~u + ~v ) =⇒ (P + ~u ) + ~v = P + ( ~u + ~v ) ,
uma vez que B = (P + ~u ) + ~v.
(P4) Fazendo uso das propriedade (P3) e (P1), obtemos
P + ~v = Q + ~v ⇐⇒ (P + ~v ) − ~v = (Q + ~v ) − ~v
⇐⇒ P + (~v − ~v ) = Q + (~v − ~v )
⇐⇒ P + ~0 = Q + ~0
⇐⇒ P = Q
(P5) Fazendo uso das propriedade (P3) e (P1), obtemos
(P − ~v ) + ~v = P + (~v − ~v ) = P + ~0 = P .
Petronio Pulino 125
Exemplo 2.2.1 Considere no espac¸o tridimensional IE3 o segmento orientado (A,B) que
e´ o representante da classe de equipoleˆncia do vetor ~v, indicamos ~v =
−→
AB, ou tambe´m por
~v = B − A, denotando que B = A + ~v.
Exemplo 2.2.2 Considere no espac¸o tridimensional IE3 o segmento orientado (A,B),
onde o ponto A = (a1, a2, a3) e´ a origem do segmento orientado e o ponto B = (b1, b2, b3)
e´ a extremidade do segmento orientado. O vetor ~v = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3) e´ a classe
de equipoleˆncia associada ao segmento orientado (A,B).
Exemplo 2.2.3 Considere no espac¸o tridimensional IE3 o segmento orientado (A,B),
onde o ponto A = (1, 2, 1) e´ a origem do segmento orientado e e o ponto B = (2, 0, 1)
e´ a extremidade do segmento orientado. Se o segmento orientado (A,B) e´ o representante
da classe de equipoleˆncia do vetor ~v, indicamos ~v =
−→
AB = B − A = (1,−2, 0). Desse
modo, tem–se que B = A + ~v. E´ importante observar que cada segmento orientado e´ o
representante de uma u´nica classe de equipoleˆncia.
Exemplo 2.2.4 Considere no espac¸o bidimensional IE2 o segmento orientado (O,A), onde
o ponto O = (0, 0) e´ a origem do segmento orientado e o ponto A = (1, 2) e´ a extremidade
do segmento orientado. Assim, o vetor ~v =
−→
0A = (1, 2) e´ a classe de equipoleˆncia dos
segmentos orientados cujo representante e´ o segmento orientado (O,A).
Exemplo 2.2.5 Considere no espac¸o tridimensional IE3 o segmento orientado (O,A),
onde o ponto O = (0, 0, 0) e´ a origem do segmento orientado e o ponto A = (−1, 2,−4)
e´ a extremidade do segmento orientado. Desse modo, o vetor ~v =
−→
0A = (−1, 2,−4) e´ a
classe de equipoleˆncia dos segmentos orientados cujo representante e´ o segmento orientado
(O,A).
126 Geometria Anal´ıtica e Vetores
2.3 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.3.1 Mostre que o segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um
triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e e´ igual a sua metade.
Exerc´ıcio 2.3.2 Mostre que as diagonais de um losango cortam–se mutuamente em seu
ponto me´dio e que sa˜o ortogonais entre si.
Exerc´ıcio 2.3.3 Encontre o ponto Q tal que o vetor com origem no ponto P = (1, 0, 1) e
com extremidade em Q tenha norma, direc¸a˜o e sentido iguais ao vetor ~v = (1,−2, 1).
Exerc´ıcio 2.3.4 Encontre o ponto Q que e´ a extremidade de um vetor com origem no ponto
me´dio do segmento que liga os pontos P1 = (1, 1, 3) e P2 = (−1, 1, 1) e tem norma, direc¸a˜o
e sentido do vetor ~w = (−1, 0, 1).
Exerc´ıcio 2.3.5 Para os pontos A = (1, 0, 1), B = (−1, 1, 1) e C = (0, 1, 2):
(a) determine o ponto D tal que os pontos A,B ,C e D sejam os ve´rtices consecutivos
de um paralelogramo.
(b) Determine o ponto me´dio do segmento AC.
(c) Determine o ponto me´dio do segmento BD.
Exerc´ıcio 2.3.6 Demonstre que se α e β sa˜o nu´meros reais tais que
α(2, 3) + β(3, 2) = ~0 ,
enta˜o α = 0 e β = 0. Qual a conclusa˜o geome´trica que podemos tirar?
Exerc´ıcio 2.3.7 Considere treˆs vetores do espac¸o de vetores V 3:
~u = (1, 0,−1) , ~v = (1, 1, 1) e ~w = (x, y, z) .
(a) Se ~w = (−1,−5,−9), mostre que existem escalares a e b tais que ~w = a~u+ b~v.
(b) Ainda para ~w = (−1,−5,−9), sera´ que existem escalares a′ e b′ tais que
(a′, b′) 6= (a, b) e ~w = a′~u + b′~v ?
(c) Sera´ que para todo vetor ~w ∈ V 3 existem escalares a e b tais que ~w = a~u+ b~v?
(d) Existe alguma relac¸a˜o entre as perguntas acima e o estudo de sistemas lineares?
Petronio Pulino 127
O exerc´ıcio 2.3.6, traduz geometricamente o fato de precisarmos de dois eixos na˜o paralelos
no espac¸o bidimensional IE2, para podermos determinar de modo u´nico os vetores. Assim,
existem dois vetores que sa˜o canoˆnicos para determinarmos de modo u´nico os vetores no
espac¸o de vetores V 2 que sa˜o
~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) .
como ilustra a Figura 2.18.
✲
✻
0
✲
~i
✻
~j
Figura 2.18: Base canoˆnica para o espac¸o de vetores V 2.
Dado um vetor ~u = (x, y) ∈ V 2, podemos escreve–lo de modo u´nico da seguinte forma:
~u = x~i + y~j .
O conjunto β = {~i , ~j } e´ denominado base canoˆnica do espac¸o de vetoresV 2, podendo ser
denotado os vetores canoˆnicos por ~e1 , ~e2, isto e´,
~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) .
O exerc´ıcio 2.3.7, traduz geometricamente o fato de precisarmos de treˆs eixos, dois a dois
na˜o paralelos, no espac¸o tridimensional IE3, para podermos determinar de modo u´nico os
vetores. Existem treˆs vetores que sa˜o canoˆnicos para determinarmos de modo u´nico os
vetores no espac¸o de vetores V 3 que sa˜o
~i = (1, 0, 0) , ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) .
como ilustra a Figura 2.19.
O conjunto β = {~i , ~j , ~k } e´ denominado base canoˆnica do espac¸o de vetores V 3, podendo
ser denotado os vetores canoˆnicos por ~e1 , ~e2 , ~e3, isto e´,
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) .
128 Geometria Anal´ıtica e Vetores
0�
�
�
�
�
�
�
�
�
�✠
✲
✻
�
�
��✠
~i
✲
~j
✻
~k
Figura 2.19: Base canoˆnica para o espac¸o de vetores V 3.
Dado um vetor ~u = (x, y, z) ∈ V 3, podemos escreve–lo de modo u´nico da seguinte forma:
~u = x~i + y~j + z~k .
Para uma apresentac¸a˜o detalhada de como representar de forma u´nica um vetor do espac¸o
de vetores V 3 necessitamos dos conceitos de dependeˆncia linear, independeˆncia linear, bases
(sistemas de coordenadas), que iremos estudar a seguir.
Exerc´ıcio 2.3.8 Mostre que ~u + ~v = ~u + ~w ⇐⇒ ~v = ~w.
Exerc´ıcio 2.3.9 Prove que se α~v = β~v e se ~v 6= ~0, enta˜o α = β.
Exerc´ıcio 2.3.10 Prove que se α~u = α~v e se α 6= 0, enta˜o ~u = ~v.
Exerc´ıcio 2.3.11 Resolva a equac¸a˜o abaixo na inco´gnita ~x, conhecendo os vetores ~u e ~v.
3~x + 2~u = 8( ~x − ~v ) .
Exerc´ıcio 2.3.12 Resolva o sistema nas inco´gnita ~x e ~y, conhecendo os vetores ~u e ~v.

2~x + 3~y = ~u
~x − 3~y = 2~v + ~u
Exerc´ıcio 2.3.13 Mostre que as diagonais de um paralelogramo teˆm o mesmo ponto me´dio.
Petronio Pulino 129
Exerc´ıcio 2.3.14 Sejam o triaˆngulo ABC, M e N os pontos me´dios dos segmentos AC
e BC, respectivamente. Mostre que o segmento MN e´ paralelo ao segmento AB e tem
por medida a metade da medida do segmento AB.
Exerc´ıcio 2.3.15 Prove que num triaˆngulo ABC, cujas medianas sa˜o AM , BN e CP ,
tem–se
−−→
AM +
−−→
BN +
−→
CP = ~0 .
Exerc´ıcio 2.3.16 Os vetores ~v1, ~v2, ~v3 e ~u1, ~u2, ~u3 sa˜o tais que
~v1 = 2~u1 + 3~u2 − 3~u3
~v2 = ~u1 − 2~u2 + 2~u3
~v3 = −2~u1 + ~u2 − 2~u3
Sabendo–se que
~v = 3~u1 − ~u2 + 2~u3 ,
represente o vetor ~v em func¸a˜o dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3.
Exerc´ıcio 2.3.17 Sabendo–se que os vetores ~v1 e ~v2 na˜o tem a mesma direc¸a˜o, e que
~v = ( a+ 4b )~v1 + ( 2a+ b+ 1 )~v2
~u = (−2a+ b+ 2 )~v1 + ( 2a− 3b− 1 )~v2
determine os valores dos paraˆmetros a e b de modo que 3~v = 2~u.
Exerc´ıcio 2.3.18 Seja o ponto P ∈ IE3 o baricentro de um triaˆngulo ABC, mostre que
−→
PA +
−−→
PB +
−→
PC = ~0 .
Exerc´ıcio 2.3.19 Sendo P ∈ IE3 o ponto me´dio de um segmento AB e Q um ponto
qualquer, mostre que
−→
QA +
−−→
QB = 2
−→
QP
Exerc´ıcio 2.3.20 Dados quatro pontos A, B, C e P tais que
−→
AP = α
−−→
PB. Represente
o vetor
−→
CP em func¸a˜o dos vetores
−→
CA e
−−→
CB, e do paraˆmetro α.
Exerc´ıcio 2.3.21 Sejam A, B e C treˆs pontos quaisquer, com A 6= B. Mostre que
P e´ um ponto do segmento AB ⇐⇒
−→
CP = α
−→
CA + β−−→
CB ,
com os paraˆmetros α e β positivos, e α + β = 1.
130 Geometria Anal´ıtica e Vetores
2.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear. Base
Definic¸a˜o 2.4.1 Dizemos que o vetor ~u ∈ V 3 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores
v1, v2, · · · , vn ∈ V
3 se existem escalares c1, c2, · · · , cn tais que
~u = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn .
De modo ana´logo, podemos dizer que o vetor ~u e´ gerado pelos vetores v1, v2, · · · , vn.
Exemplo 2.4.1 Considere os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 dados por:
~u = (1, 2, 3) , ~v = (1, 1, 1) e ~w = (−1, 0, 1) .
Mostre que o vetor ~w e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~u e ~v.
Resoluc¸a˜o – De fato, para isso, basta mostrar que existem escalares a, b ∈ IR de modo
que o vetor ~w pode ser representado pela combinac¸a˜o linear
~w = a~u + b~v ⇐⇒ (−1, 0, 1) = a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) ,
isto e´, devemos encontrar a soluc¸a˜o do sistema linear

a + b = −1
2a + b = 0
3a + b = 1
Procedendo com o escalonamento, encontramos a = 1 e b = −2 a u´nica soluc¸a˜o do
sistema linear. Assim, mostramos que ~w e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~u e ~v.
Exemplo 2.4.2 Considere os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 dados por:
~u = (1, 1, 0) , ~v = (1, 4, 5) e ~w = (3, 6, 5) .
Podemos verificar facilmente que ~w = 2~u + ~v. Assim, o vetor ~w e´ uma combinac¸a˜o linear
dos vetores ~u e ~v.
Exemplo 2.4.3 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 2, 3) , ~v2 = (1, 4, 9) e ~v3 = (1, 8, 27) .
Mostre que o vetor ~u = (2, 6, 18) pode ser representado de modo u´nico por uma combinac¸a˜o
linear dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3, isto e´, existem, e sa˜o u´nicas, as constantes a, b e c tais
que
~u = a~v1 + b~v2 + c~v3 .
Resoluc¸a˜o – Considerando a combinac¸a˜o linear acima, obtemos o seguinte sistema linear

a + b + c = 2
2a + 4b + 8c = 6
3a + 9b + 27c = 18
⇐⇒


a + b + 3c = 4
2b + 6c = 2
6c = 6
que admite soluc¸a˜o u´nica dada por c = 1, b = −2 e a = 3. Assim, mostramos que o
vetor ~u e´ representado de modo u´nico por um combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3.
Petronio Pulino 131
Exemplo 2.4.4 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 0,−1) , ~v2 = (1, 2, 1) e ~v3 = (0,−3, 2) .
Mostre que qualquer vetor do espac¸o de vetores V 3 pode ser escrito de modo u´nico por um
combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3, isto e´, existem, e sa˜o u´nicas, as constantes x,
y e z tais que
~u = x~v1 + y~v2 + z~v3 para todo ~u = (a, b, c) ∈ V
3 .
Resoluc¸a˜o – Considerando a combinac¸a˜o linear acima, obtemos o seguinte sistema linear

x + y = a
2y − 3z = b
−x + y + 2z = c
Para mostrar que o sistema linear acima admite soluc¸a˜o u´nica, basta mostrar que a matriz do
sistema e´ invert´ıvel, que e´ equivalente a mostrar que a matriz tem determinante diferente de
zero. A seguir apresentamos a matriz A do sistema linear e a matriz R na forma escalonada
linha equivalente a matriz A.
A =

 1 1 00 2 −3
−1 1 2

 e R =

1 1 00 2 −3
0 0 5


Desse modo, o sistema linear acima admite soluc¸a˜o u´nica, uma vez que det(A) 6= 0.
Portanto, determinamos de modo u´nico as constantes x, y e z, mostrando que qualquer
vetor de V 3 pode ser representando de modo u´nico por uma combinac¸a˜o linear dos vetores
~v1, ~v2 e ~v3.
Finalmente, vamos exibir a soluc¸a˜o do sistema linear acima, em func¸a˜o das constantes a, b
e c. Escalonando o sistema linear acima, obtemos

x + y = a
2y − 3z = b
5z = c+ a− b
que admite soluc¸a˜o u´nica dada por:
z =
a− b+ c
5
, y =
3a+ 2b+ 3c
10
e x =
7a− 2b− 3c
10
.
Definic¸a˜o 2.4.2 Dizemos que o espac¸o de vetores V 3 e´ gerado pelos vetores v1, v2, · · · , vn
se, e somente se, todo vetor ~u ∈ V 3 pode ser representado por uma combinac¸a˜o linear dos
vetores v1, v2, · · · , vn, isto e´, existem escalares c1, c2, · · · , cn tais que
~u = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn .
Dizemos tambe´m que os vetores v1, v2, · · · , vn e´ um sistema de geradores para V
3.
132 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 2.4.5 Os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 0,−1) , ~v2 = (1, 2, 1) e ~v3 = (0,−3, 2) ,
e´ um sistema de geradores para o espac¸o V 3, de acordo com o Exemplo 2.4.4.
Exemplo 2.4.6 Podemos verificar facilmente que os vetores ~v1, ~v2 ∈ V
2 dados por:
~v1 = (1,−1) e ~v2 = (1, 1) ,
e´ um sistema de geradores para o espac¸o de vetores V 2.
Resoluc¸a˜o – De fato, para isso, vamos mostrar que um vetor qualquer ~u = (a, b) ∈ V 2
pode ser representado como uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1, ~v2, isto e´, exitem escalares
x e y tais que
~u = (a, b) = x (1,−1) + y (1, 1) .
Considerando a combinac¸a˜o linear acima, obtemos o seguinte sistema linear{
x + y = a
−x + y = b
que admite uma u´nica soluc¸a˜o dada por:
x =
a − b
2
e y =
a + b
2
.
Definic¸a˜o 2.4.3 Dizemos que os vetores ~v1 , · · · , ~vn, pertencentes a um espac¸o de vetores,
sa˜o Linearmente Dependentes (LD) se, e somente se, existirem escalares α1 , · · · , αn
na˜o todos nulos tais que
α1 ~v1 + · · · + αn ~vn = ~0 .
De maneira ana´loga, dizemos que os vetores ~v1 , · · · , ~vn, sa˜o Linearmente Dependentes
se, e somente se, a equac¸a˜o
α1 ~v1 + · · · + αn ~vn = ~0 ,
nas inco´gnitas α1 , · · · , αn, admite soluc¸a˜o na˜o–trivial.
Definic¸a˜o 2.4.4 Dizemos que os vetores ~v1 , · · · , ~vn, pertencentes a um espac¸o de vetores,
sa˜o Linearmente Independentes (LI) se, e somente se, a equac¸a˜o
α1 ~v1 + · · · + αn ~vn = ~0 ,
nas inco´gnitas α1 , · · · , αn, admite somente a soluc¸a˜o trivial.
Petronio Pulino 133
Exemplo 2.4.7 Prove que se os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sa˜o linearmente independentes, enta˜o
os vetores ~u+ ~v , ~u− ~v sa˜o linearmente independentes.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.8 Prove que se os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 sa˜o linearmente independentes,
enta˜o os vetores ~u+ ~v + ~w , ~u− ~v , 3~v sa˜o linearmente independentes.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.9 Prove que se os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 sa˜o linearmente independentes,
enta˜o os vetores ~u+ ~v , ~u+ ~w , ~v + ~w sa˜o linearmente independentes.
Resoluc¸a˜o – Para mostra os vetores ~u + ~v, ~u + ~w, ~v + ~w sa˜o linearmente independentes
em V 3, basta mostrar que a equac¸a˜o
a (~u + ~v) + b (~u + ~w) + c (~v + ~w) = ~0
possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0. Tomando a equac¸a˜o acima, tem–se
(a + b) ~u + (a + c)~v + (b + c) ~w = ~0 .
Como os vetores ~u, ~v, ~w sa˜o linearmente independentes, a equac¸a˜o acima possui somente a
soluc¸a˜o trivial. Assim, obtemos o sistema linear homogeˆneo

a + b = 0
a + c = 0
b + c = 0
⇐⇒


1 1 0
1 0 1
0 1 1




a
b
c

 =


0
0
0

 .
Como a matriz do sistema linear homogeˆneo e´ invert´ıvel, uma vez que seu determinante e´
na˜o–nulo, o sistema linear possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0, o que completa
a demonstrac¸a˜o.
Exemplo 2.4.10 Os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 0,−1) , ~v2 = (1, 2, 1) e ~v3 = (0,−3, 2) ,
sa˜o linearmente independentes.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.11 Os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 dados por:
~u = (1, 1, 0) , ~v = (1, 4, 5) e ~w = (3, 6, 5) ,
sa˜o linearmente dependentes, uma vez que ~w = 2~u + ~v.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
134 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Definic¸a˜o 2.4.5 Uma base para o espac¸o de vetores V 3 e´ um conjunto de vetores de V 3
que sa˜o linearmente independentes e que geram o espac¸o de vetores V 3.
Considerando tudo o que foi exposto ate´ o momento, vamos apresentar a definic¸a˜o de base
para o espac¸o de vetores V 3.
Definic¸a˜o 2.4.6 Uma base para o espac¸ode vetores V 3 e´ qualquer conjunto que conte´m
treˆs vetores de V 3 que sa˜o linearmente independentes.
Exemplo 2.4.12 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 0,−1) , ~v2 = (1, 2, 1) e ~v3 = (0,−3, 2) .
Conforme os Exemplos 2.4.4 e 2.4.10, sabemos que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 sa˜o linearmente
independentes e geram o espac¸o de vetores V 3. Logo, os vetores ~v1, ~v2, ~v3 formam uma
base para o espac¸o de vetores V 3.
Exemplo 2.4.13 Existem treˆs vetores canoˆnicos para representarmos de modo u´nico os
vetores do espac¸o de vetores V 3, que sa˜o os vetores dados por:
~i = (1, 0, 0) , ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) .
Podemos verificar facilmente que os vetores ~i, ~j, ~k sa˜o linearmente independentes e geram
o espac¸o de vetores V 3. Assim, o conjunto β = {~i , ~j , ~k } e´ denominado base canoˆnica
do espac¸o V 3. Podemos tambe´m denotar os vetores canoˆnicos por ~e1 , ~e2 , ~e3, isto e´,
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) .
Assim, dado um vetor ~u = (x, y, z) ∈ V 3 podemos escreve–lo de modo u´nico da forma:
~u = x~i + y~j + z~k para x, y, z ∈ IR .
Exemplo 2.4.14 Mostre que os vetores ~v1, ~v2 ∈ V
2 dados por:
~v1 = (1, 2) e ~v2 = (2,−1) ,
formam uma base para o espac¸o de vetoresV 2.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.15 Mostre que os vetores ~u, ~v ∈ V 3 na˜o–nulos sa˜o linearmente dependentes
se, e somente se, um e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 135
Exemplo 2.4.16 Mostre que se os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sa˜o linearmente independentes e os
vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 sa˜o linearmente dependentes, enta˜o o vetor ~w e´ uma combinac¸a˜o
linear dos vetores ~u e ~v.
Resoluc¸a˜o – Como os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 sa˜o linearmente dependentes, sabemos que
existem escalares a, b, c na˜o todos nulos de modo que
a ~u + b~v + c ~w = ~0 .
Como os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sa˜o linearmente independentes, devemos ter o escalar c 6= 0.
Assim, obtemos, da equac¸a˜o acima, o vetor ~w como uma combinac¸a˜o linear dos vetores
~u, ~v ∈ V 3, da seguinte forma:
~w =
a
c
~u +
b
c
~v ,
o que completa a demonstrac¸a˜o.
Exemplo 2.4.17 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para o espac¸o de vetores V
3.
Mostre que o conjunto β dado por:
β = { 2~v1 − ~v2 , ~v1 − ~v2 + 2~v3 , ~v1 + 2~v3 }
e´ tambe´m uma base para o espac¸o de vetores V 3.
Resoluc¸a˜o – Para mostrar que o conjunto β e´ uma base para o espac¸o de vetores V 3,
basta mostrar que β e´ linearmente independente em V 3. Para isso, basta mostrar que a
equac¸a˜o
a (2~v1 − ~v2) + b (~v1 − ~v2 + 2~v3) + c (~v1 + 2~v3) = ~0
possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0.
Podemos reescrever a equac¸a˜o acima da seguinte forma:
(2a+ b+ c)~v1 − (a+ b)~v2 + (2b + 2c)~v3 = ~0 .
Como os vetores ~v1, ~v2, ~v3 sa˜o linearmente independentes, a equac¸a˜o acima possui somente
a soluc¸a˜o trivial. Assim, obtemos o seguinte sistema linear homogeˆneo:

2a + b + c = 0
a + b = 0
2b + c = 0
⇐⇒


2 1 1
1 1 0
0 2 1




a
b
c

 =


0
0
0


Como a matriz do sistema linear homogeˆneo e´ invert´ıvel, uma vez que seu determinante e´
na˜o–nulo, o sistema linear homogeˆneo possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0, o
que completa a demonstrac¸a˜o.
Por base ordenada, entendemos que ~v1 e´ o primeiro elemento da base, ~v2 e´ o segundo
elemento da base e que ~v3 e´ o terceiro elemento da base.
136 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Teorema 2.4.1 Seja β = {~v1 , ~v2 , ~v3 } uma base ordenada para o espac¸o de vetores
V 3. Enta˜o, todo vetor ~u ∈ V 3 pode ser escrito de modo u´nico como uma combinac¸a˜o
linear dos vetores de β, isto e´, existem, e sa˜o u´nicos, os escalares reais c1 , c2 , c3 tais que
~u = c1 ~v1 + c2 ~v2 + c3 ~v3 .
Ale´m disso, dizemos que os escalares c1 , c2 , c3 sa˜o as coordenadas do vetor ~u com relac¸a˜o
a´ base ordenada β, que denotamos pela matriz coluna
[~u]β =


c1
c2
c3

 ,
denominada matriz de coordenadas do vetor ~u.
Demonstrac¸a˜o – Como β = {~v1 , ~v2 , ~v3 } e´ uma base para o espac¸o de vetores V
3,
sabemos que todo elemento ~u ∈ V 3 e´ expresso da forma:
~u = c1 ~v1 + c2 ~v2 + c3 ~v3 =
3∑
j=1
cj ~vj .
Para mostrar a unicidade dessa combinac¸a˜o linear, vamos considerar que
~u =
3∑
j=1
cj ~vj =
3∑
j=1
bj ~vj ⇐⇒
3∑
j=1
(cj − bj)~vj = ~0 .
Como os vetores {~v1 , ~v2 , ~v3 } sa˜o linearmente independentes, obtemos
cj − bj = 0 ⇐⇒ cj = bj para j = 1, 2, 3 ,
o que completa a demonstrac¸a˜o. �
Exemplo 2.4.18 considere a base ordenada γ = {~v1 = (1, 1) , ~v2 = (−1, 1) } para o
espac¸o de vetores V 2. Determine a matriz de coordenadas do vetor ~u = (3, 5) ∈ V 2 com
relac¸a˜o a base ordenada γ.
Resoluc¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 137
Exemplo 2.4.19 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1, 0, 1) e ~v3 = (1, 0,−1) .
(a) Mostre que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 formam uma base para o espac¸o de vetores V
3.
(b) Determine a matriz de coordenadas para o vetor ~u = (2, 1, 4) com relac¸a˜o a` base
ordenada γ = {~v1, ~v2, ~v3 }.
Resoluc¸a˜o – Para mostrar que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 formam uma base para o espac¸o de
vetores V 3, basta mostrar que sa˜o linearmente independentes em V 3. Para isso, basta
mostrar que a equac¸a˜o
a~v1 + b~v2 + c~v3 = ~0
possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0.
Podemos reescrever a equac¸a˜o acima da seguinte forma:

a + b + c = 0
a = 0
a + b − c = 0
⇐⇒


1 1 1
1 0 0
1 1 −1




a
b
c

 =


0
0
0


Como a matriz do sistema linear homogeˆneo e´ invert´ıvel, uma vez que seu determinante e´
na˜o–nulo, o sistema linear homogeˆneo possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0, o
que completa a demonstrac¸a˜o.
Para obter a matriz de coordenadas para o vetor ~u = (2, 1, 4) com relac¸a˜o a` base γ, basta
obter a soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o
a~v1 + b~v2 + c~v3 = (2, 1, 4) .
Da equac¸a˜o acima, obtemos o sistema linear


1 1 1
1 0 0
1 1 −1




a
b
c

 =


2
1
4


cuja soluc¸a˜o e´ dada por a = 1 , b = 2 , c = −1. Assim, a matriz de coordenadas do vetor
~u = (2, 1, 4) com relac¸a˜o a base γ e´ dada por:
[~u]γ =


1
2
−1

 .
138 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 2.4.20 Considere a base canoˆnica β = {~i , ~j , ~k } para o espac¸o de vetores V 3
e o vetor ~u = (−1, 2, 3) ∈ V 3. Podemos verificar facilmente que o vetor ~u pode ser escrito
de modo u´nico da seguinte forma:
~u = −~i + 2~j + 3~k .
Desse modo, a matriz de coordenadas do vetor ~u com relac¸a˜o a` base canoˆnica e´ dada por:
[~u]β =


−1
2
3

 .
Proposic¸a˜o 2.4.1 Sejam γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para o espac¸o de vetores
V 3 e ~u, ~v vetores quaisquer de V 3 cujas matrizes de coordenadas sa˜o dadas por:
[~u]γ =


a1
b1
c1

 , [~v]γ =


a2
b2
c2

 .
Enta˜o, as matrizes de coordenadas dos vetores ~u + ~v e λ~u, sa˜o dadas por:
[~u + ~v]γ =


a1 + a2
b1 + b2
c1 + c2

 , [λ~u]γ =


λa1
λb1
λc1

 .
Demonstrac¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor. �
Proposic¸a˜o 2.4.2 Sejam γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para o espac¸o de vetores
V 3 e ~u, ~v, ~w vetores quaisquer de V 3 cujas matrizes de coordenadas sa˜o dadas por:
[~u]γ =


a1
b1
c1

 , [~v]γ =


a2
b2
c2

 , [~w]γ =


a3
b3
c3

 .
Enta˜o, os vetores ~u, ~v, ~w sa˜o linearmente independentes se, e somentese,
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
6= 0 .
Demonstrac¸a˜o – A prova pode ficar a cargo do leitor. �
Petronio Pulino 139
Exemplo 2.4.21 Verifique se os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 2, 1) , ~v2 = (1,−1,−7) e ~v3 = (4, 5,−4) ,
sa˜o linearmente independentes ou linearmente dependentes.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.22 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base para V
3. Verifique se o conjunto
β = {~v1 + ~v2 + ~v3 , ~v1 + ~v2 , ~v1 + ~v3 }
e´ uma base para V 3.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.23 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base para V
3. Mostre que o conjunto
β = { a~v1 , b ~v2 , c ~v3 }
e´ uma base para V 3, desde que os escalares a, b, c sejam na˜o–nulos.
Exemplo 2.4.24 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para V
3.
(a) Mostre que o conjunto
β = {−~v1 + ~v2 + ~v3 , ~v1 + ~v2 , ~v1 }
e´ tambe´m uma base para V 3.
(b) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base γ, dada por:
[~w]γ =


1
−1
2

 .
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base β.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.25 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 2, 2) , ~v2 = (m− 1, 1,m− 2) e ~v3 = (m+ 1,m− 1, 2) .
E´ poss´ıvel determinar valores para o paraˆmetro m de modo que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 sejam
uma base para V 3.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
140 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 2.4.26 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (m, 1, 1 +m) , ~v2 = (1, 2,m) e ~v3 = (1, 1, 1) .
E´ poss´ıvel determinar valores para o paraˆmetro m de modo que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 sejam
uma base para V 3.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.27 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para V
3.
(a) Mostre que o conjunto
β = {~v1 + ~v2 + ~v3 , ~v2 + ~v3 , ~v3 }
e´ tambe´m uma base para V 3.
(b) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base γ, dada por:
[~w]γ =


1
1
2

 .
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base β.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 2.4.28 Podemos verificar facilmente que os conjuntos de vetores dados por:
β = {~e1 = (1, 0) , ~e2 = (0, 1) } e γ = {~v1 = (1,−1) , ~v2 = (1, 1) }
sa˜o duas bases para o espac¸o V 2.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 141
2.5 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.5.1 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para o espac¸o de vetores V
3.
Verifique se o conjunto β dado por:
β = {~v1 − 2~v2 , ~v1 − ~v2 + 2~v3 , −~v1 + 2~v3 }
e´ uma base para o espac¸o de vetores V 3.
Exerc´ıcio 2.5.2 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1, 0, 1) e ~v3 = (1, 0,−1) .
(a) Mostre que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 formam uma base para o espac¸o de vetores V
3.
(b) Determine a matriz de coordenadas para o vetor ~u = (2, 1, 4) com relac¸a˜o a base
ordenada γ = {~v1, ~v2, ~v3 }.
Exerc´ıcio 2.5.3 Verifique se os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1,−2, 1) , ~v2 = (1,−1, 6) e ~v3 = (2, 3,−2) ,
sa˜o linearmente independentes ou linearmente dependentes.
Exerc´ıcio 2.5.4 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base para o espac¸o de vetores V
3. Mostre
que o conjunto
β = { a~v1 , b ~v2 , c ~v3 }
e´ uma base para o espac¸o de vetores V 3, desde que os escalares a, b, c sejam na˜o–nulos.
Exerc´ıcio 2.5.5 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para V
3.
(a) Mostre que o conjunto
β = {~v1 − ~v2 + ~v3 , ~v1 + ~v2 , ~v1 + ~v3 }
e´ tambe´m uma base para o espac¸o de vetores V 3.
(b) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base γ, dada por:
[~w]γ =


3
−1
2

 .
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a base β.
Exerc´ıcio 2.5.6 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (1, 2, 1) , ~v2 = (m+ 1, 1,m+ 2) e ~v3 = (m+ 1,m− 1, 1) .
E´ poss´ıvel determinar valores para o paraˆmetro m de modo que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 sejam
uma base para o espac¸o de vetores V 3.
142 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exerc´ıcio 2.5.7 Considere os vetores ~v1, ~v2, ~v3 ∈ V
3 dados por:
~v1 = (m, 1, 1 +m) , ~v2 = (1, 2,m− 1) e ~v3 = (1,−1, 1) .
E´ poss´ıvel determinar valores para o paraˆmetro m de modo que os vetores ~v1, ~v2, ~v3 sejam
uma base para o espac¸o de vetores V 3.
Exerc´ıcio 2.5.8 Seja γ = {~v1, ~v2, ~v3 } uma base ordenada para V
3.
(a) Mostre que o conjunto
β = {~v1 + ~v2 − ~v3 , ~v2 − ~v3 , ~v3 − ~v1 }
e´ uma base para o espac¸o de vetores V 3.
(b) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base γ, dada por:
[~w]γ =


2
−1
2

 .
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base β.
Exerc´ıcio 2.5.9 Considere as bases ordenadas para o espac¸o V 2 dadas por:
β = {~e1 = (1, 0) , ~e2 = (0, 1) } e γ = {~v1 = (1,−1) , ~v2 = (1, 1) } ,
onde β e´ a base canoˆnica.
(a) Determine a matriz de coordenadas do vetor ~u = (−2, 3) com relac¸a˜o a` base γ.
(b) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base γ, dada por:
[~w]γ =
[
a
b
]
.
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base canoˆnica β.
(c) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base β, dada por:
[~w]β =
[
x
y
]
.
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base ordenada γ.
(d) Determine uma matriz invert´ıvel P de ordem 2× 2 de modo que
[~w]β = P [~w]γ ⇐⇒ [~w]γ = P
−1[~w]β .
(e) Mostre que a matriz P , determinada no item (d), e´ u´nica.
Petronio Pulino 143
2.6 Mudanc¸a de Base
Proposic¸a˜o 2.6.1 Sejam β e γ duas bases ordenadas para o espac¸o de vetores V 2 dadas
por:
β = { ~u1 , ~u2 } e γ = {~v1 , ~v2 } .
Enta˜o, existe uma u´nica matriz invert´ıvel P de ordem 2× 2 tal que
[~w]γ = P [~w]β ⇐⇒ [~w]β = P
−1[~w]γ ,
para todo vetor ~w ∈ V 2.
Demonstrac¸a˜o – Pelo Teorema 2.4.1, sabemos que cada vetor da base ordenada β pode
ser representado de modo u´nico como uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base γ, isto e´,
existem, e sa˜o u´nicos, os escalares reais c11 , c21 tais que
~u1 = c11 ~v1 + c21 ~v2 ,
e existem, e sa˜o u´nicos, os escalares reais c12 , c22 tais que
~u2 = c12 ~v1 + c22 ~v2 .
Dado um vetor ~w ∈ V 2 cuja matriz de coordenadas na base ordenada β e´ dada por:
[~w]β =
[
a
b
]
,
isto e´, o vetor ~w e´ escrito da seguinte forma:
~w = a~u1 + b~u2
= a( c11 ~v1 + c21 ~v2 ) + b( c12 ~v1 + c22 ~v2 )
= ( a c11 + bc12 )~v1 + ( a c21 + bc22 )~v2
Desse modo, obtemos a matriz de coordenadas do vetor ~w com relac¸a˜o a` base ordenada γ
que e´ dada por:
[~w]γ =
[
a c11 + bc12
a c21 + bc22
]
=
[
c11 c12
c21 c22
] [
a
b
]
= P [~w]β .
Portanto, a matriz P procurada e´ dada por:
P =
[
c11 c12
c21 c22
]
,
que e´ denominada matriz de mudanc¸a da base ordenada β para a base ordenada γ.
O fato que a matriz de mudanc¸a de base P e´ uma matriz invert´ıvel, e´ uma consequeˆncia
imediata da Proposic¸a˜o 2.4.2. Para mostrar a unicidade da matriz de mudanc¸a de base,
basta considerar duas matrizes P e Q tais que
[~w]γ = P [~w]β e [~w]γ = Q[~w]β ⇐⇒ (P − Q )[~w]β = 02×1
para todo vetor ~w ∈ V 2. Portanto, podemos concluir que P = Q, o que completa a
demonstrac¸a˜o. �
144 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Proposic¸a˜o 2.6.2 Sejam β e γ bases ordenadas para o espac¸o de vetores V 3 dadas por:
β = { ~u1 , ~u2 , ~u3 } e γ = {~v1 , ~v2 , ~v3 } .
Enta˜o, existe uma u´nica matriz invert´ıvel P de ordem 3× 3 talque
[~w]γ = P [~w]β ⇐⇒ [~w]β = P
−1[~w]γ ,
para todo vetor ~w ∈ V 3.
Demonstrac¸a˜o – Pelo Teorema 2.4.1, sabemos que cada vetor da base ordenada β pode
ser representado de modo u´nico como uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base γ, isto e´,
existem, e sa˜o u´nicos, os escalares reais c11 , c21 , c31 tais que
~u1 = c11 ~v1 + c21 ~v2 + c31 ~v3 ,
e existem, e sa˜o u´nicos, os escalares reais c12 , c22 , c32 tais que
~u2 = c12 ~v1 + c22 ~v2 + c32 ~v3 .
e existem, e sa˜o u´nicos, os escalares reais c13 , c23 , c33 tais que
~u3 = c13 ~v1 + c23 ~v2 + c33 ~v3 .
Dado um vetor ~w ∈ V 3 cuja matriz de coordenadas na base ordenada β e´ dada por:
[~w]β =

ab
c

 ,
isto e´, o vetor ~w e´ escrito da seguinte forma:
~w = a~u1 + b~u2 + c~u3
= a( c11 ~v1 + c21 ~v2 + c31 ~v3 ) + b( c12 ~v1 + c22 ~v2 + c23 ~v3 ) + c( c13 ~v1 + c23 ~v2 + c33 ~v3 )
= ( a c11 + b c12 + c c13 )~v1 + ( a c21 + b c22 + c c23 )~v2 + ( a c31 + b c32 + c c33 )~v3
Desse modo, obtemos a matriz de coordenadas do vetor ~w com relac¸a˜o a` base ordenada γ
que e´ dada por:
[~w]γ =

a c11 + bc12 + c c13a c21 + bc22 + c c23
a c31 + b c32 + c c33

 =

c11 c12 c13c21 c22 c23
c31 c32 c33



ab
c

 = P [~w]β .
Portanto, a matriz P procurada e´ dada por:
P =

c11 c12 c13c21 c22 c23
c31 c32 c33

 ,
que e´ denominada matriz de mudanc¸a da base ordenada β para a base ordenada γ.
O fato que a matriz de mudanc¸a de base P e´ uma matriz invert´ıvel, e´ uma consequeˆncia
imediata da Proposic¸a˜o 2.4.2. Para mostrar a unicidade da matriz de mudanc¸a de base,
basta considerar duas matrizes P e Q tais que, para todo vetor ~w ∈ V 3, tem–se
[~w]γ = P [~w]β e [~w]γ = Q[~w]β ⇐⇒ (P − Q )[~w]β = 03×1
Assim, conclu´ımos que P = Q, o que completa a demonstrac¸a˜o. �
Petronio Pulino 145
Exemplo 2.6.1 Considere o espac¸o de vetores V 3. Determine a matriz de mudanc¸a da
base canoˆnica β = { ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) , ~e3 = (0, 0, 1) } para a base ordenada
γ = { ~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1, 0, 1) , ~v3 = (1, 0,−1) }.
Resposta: P =


0 1 0
1
2
−1
1
2
1
2
0 −
1
2

 e P
−1 =

1 1 11 0 0
1 1 −1


Exemplo 2.6.2 Considere o espac¸o de vetores V 2. Determine a matriz P de mudanc¸a da
base α = { ~v1 = (−3,−1) , ~v2 = (−1, 3) } para a base γ = { ~u1 = (−1, 1) , ~u2 = (1, 1) }.
Resposta: P =
[
1 2
−2 1
]
e P−1 =


1
5
−
2
5
2
5
1
5


Exemplo 2.6.3 A matriz P de mudanc¸a da base ordenada γ = { ~u1 , ~u2 } de V
2, onde
~u1 = (1, 1) e ~u2 = (−2, 2), para a base ordenada α = {~v1 , ~v2 } de V
2 e´ dada por:
P =
1
2

1 0
4 −2

 .
Determine a base ordenada α do espac¸o de vetores V 2.
Resoluc¸a˜o – Para determinar os elementos da base ordenada α vamos precisar da matriz
P−1 de mudanc¸a da base ordenada α para a base ordenada γ, que e´ dada por:
P−1 =
[
2 0
4 −1
]
.
Desse modo, os elementos da base ordenada α sa˜o expressos em func¸a˜o dos elementos da
base ordenada γ da seguinte forma:
~v1 = 2 ~u1 + 4 ~u2 = 2 (1, 1) + 4 (−2, 2) = (−6, 10)
~v2 = 0 ~u1 − 1 ~u2 = −1 (−2, 2) = (2,−2)
Portanto, a base ordenada α para o espac¸o de vetores V 2 e´ dada por:
α = {~v1 = (−6, 10) , ~v2 = (2,−2) } .
146 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exemplo 2.6.4 Considere as bases ordenadas β = {~u1 , ~u2 , ~u3} e γ = {~w1 , ~w2 , ~w3}
para o espac¸o de vetores V 3, relacionadas da forma:

~w1 = ~u1 − ~u2 − ~u3
~w2 = 2~u2 + 3~u3
~w3 = 3~u1 + ~u3
(2.1)
(a) Determine a matriz de mudanc¸a da base ordenada γ para a base ordenada β.
(b) Determine a matriz de mudanc¸a da base ordenada β para a base ordenada γ.
(c) Considere que o vetor ~u ∈ V 3 tem por matriz de coordenadas
[~u]β =


2
3
4

 .
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~u com relac¸a˜o a base ordenada γ.
Resoluc¸a˜o – Conhecendo os elementos da base ordenada γ expressos em func¸a˜o dos
elementos da base ordenada β dados pelas relac¸o˜es (2.1), sabemos que a matriz P de
mudanc¸a da base ordenada γ para a base ordenada β e´ dada por:
P =


1 0 3
−1 2 0
−1 3 1


Assim, a matriz P−1 e´ a matriz de mudanc¸a da base ordenada β para a base ordenada γ,
que e´ dada por:
P−1 =


−2 −9 6
−1 −4 3
1 3 −2


Conhecendo a matriz de coordenadas do vetor ~u ∈ V 3 em relac¸a˜o a base ordenada β, dada
por:
[~u]β =


2
3
4

 ,
sabemos que sua matriz de coordenadas com relac¸a˜o a` base ordenada γ e´ dada por:
[~u]γ = P
−1 [~u]β ⇐⇒ [~u]γ =


−2 −9 6
−1 −4 3
1 3 −2




2
3
4

 =


−7
−2
3


Petronio Pulino 147
Exemplo 2.6.5 Considere as bases ordenadas para o espac¸o de vetores V 2 dadas por:
β = {~e1 = (1, 0) , ~e2 = (0, 1) } e γ = {~v1 = (1,−1) , ~v2 = (1, 1) } ,
onde β e´ a base canoˆnica, e a reta r representada pela equac¸a˜o y = 2x + 2, no sistema
de coordenadas definido pela base canoˆnica β. Determine a equac¸a˜o que representa a reta
r no sistema de coordenadas definido pela base ordenada γ.
Resoluc¸a˜o – Dado um vetor ~u ∈ V 2, vamos indicar a matriz de coordenadas do vetor ~u
com relac¸a˜o a` base canoˆnica β e a matriz de coordenadas do vetor ~u com relac¸a˜o a` base
ordenada γ, respectivamente, por:
[~u]β =
[
x
y
]
e [~u]γ =
[
x′
y′
]
.
A matriz de mudanc¸a da base canoˆnica β para a base ordenada γ e´ dada por:
P =
1
2
[
1 −1
1 1
]
Desse modo, para todo vetor ~u ∈ V 2 tem–se que
[~u]γ =
1
2
[
1 −1
1 1
][
x
y
]
⇐⇒
[
x′
y′
]
=
1
2
[
x− y
x+ y
]
.
A matriz de mudanc¸a da base ordenada γ para a base canoˆnica β e´ dada por:
P−1 =
[
1 1
−1 1
]
Desse modo, para todo vetor ~u ∈ V 2 tem–se que
[~u]β =
[
1 1
−1 1
][
x′
y′
]
⇐⇒
[
x
y
]
=
[
x′ + y′
y′ − x′
]
.
E´ importante observar que a reta r e´ a representac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x+ 2,
para x ∈ IR, no plano cartesiano. O gra´fico da func¸a˜o f , que vamos denotar por G(f), e´
um subconjunto de IR× IR = IR2 dado por:
G(f) = {X = (x, y) ∈ IR× IR = IR2 / y = f(x) para x ∈ IR } .
Para todo vetor ~u = (x, y) ∈ V 2, suas coordenadas relativas a` base canoˆnica β esta˜o
relacionadas com suas coordenadas relativas a` base ordenada γ da seguinte forma:
x = x′ + y′ e y = y′ − x′ , x′, y′ ∈ IR ,
que substituindo na equac¸a˜o da reta r, obtemos
y = 2x + 2 ⇐⇒ y′ − x′ = 2y′ + 2x′ + 2 ⇐⇒ −y′ = 3x′ + 2 .
Portanto, a equac¸a˜o da reta r em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas definido pela base
ordenada γ e´ dada por:
y′ = −3x′ − 2 .
148 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Portanto, qualquer ponto P ∈ r e´ expresso da seguinte forma:
P = O + x′ ~v1 + y
′ ~v2 ⇐⇒
−−→
OP = x′ ~v1 − ( 3x
′ + 2 )~v2
para x′ ∈ IR, onde o ponto O = (0, 0) e´ a origem do sistema de coordenadas.
Na Figura 2.20 ilustramos os dois sistemas de coordenadas relacionados as bases ordenadas
β e γ para o espac¸o de vetores V 2 e o gra´fico da reta r.
✲
✻
x
y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��✒
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅
❅❅❘
y′
x′
s ✲
~e1
✻
~e2
�
�
�✒~v2
❅
❅
❅❘~v1
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁✁r
Figura 2.20: Sistemas de coordenadas definidos pelas bases β e γ.
Exemplo 2.6.6 Considere as bases ordenadas para o espac¸o de vetores V 2 dadas por:
β = {~e1 = (1, 0) , ~e2 = (0, 1) } e γ = {~v1 = (1, 2) , ~v2 = (−2, 1) } ,
onde β e´ a base canoˆnica, e a reta r representada pela equac¸a˜o y = −2x + 3, no sistema
de coordenadas definido pela base canoˆnicaβ. Determine a equac¸a˜o que representa a reta
r no sistema de coordenadas definido pela base ordenada γ.
Resoluc¸a˜o – A resoluc¸a˜o pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 149
2.7 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.7.1 Considere as bases ordenadas para o espac¸o de vetores V 2 dadas por:
β = {~e1 = (1, 0) , ~e2 = (0, 1) } e γ = {~v1 = (1, 1) , ~v2 = (−1, 1) } ,
onde β e´ a base canoˆnica.
(a) Determine a matriz de coordenadas do vetor ~u = (−2, 3) com relac¸a˜o a` base γ.
(b) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base γ, dada por:
[~w]γ =
[
x′
y′
]
.
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base canoˆnica β.
(c) Considere o vetor ~w que tem a matriz de coordenadas, em relac¸a˜o a base β, dada por:
[~w]β =
[
x
y
]
.
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~w em relac¸a˜o a´ base ordenada γ.
(d) Determine uma matriz invert´ıvel P de ordem 2× 2 de modo que
[~w]β = P [~w]γ ⇐⇒ [~w]γ = P
−1[~w]β .
(e) Considere a reta r representada pela equac¸a˜o y = −3x+1, no sistema de coordenadas
definido pela base canoˆnica β. Determine a equac¸a˜o que representa a reta r no sistema
de coordenadas definido pela base ordenada γ.
Exerc´ıcio 2.7.2 Considere o espac¸o de vetores V 3. Determine a matriz de mudanc¸a da
base canoˆnica β = { ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) , ~e3 = (0, 0, 1) } para a base ordenada
γ = { ~v1 = (1,−1, 1) , ~v2 = (0, 1, 1) , ~v3 = (1, 0, 1) }.
Exerc´ıcio 2.7.3 Considere o espac¸o de vetores V 2. Determine a matriz P de mudanc¸a da
base α = { ~v1 = (−3,−1) , ~v2 = (−1, 3) } para a base γ = { ~u1 = (−1, 1) , ~u2 = (1, 1) }.
Exerc´ıcio 2.7.4 A matriz P de mudanc¸a da base ordenada γ = { ~u1 , ~u2 } de V
2, onde
~u1 = (1, 1) e ~u2 = (−1, 1), para a base ordenada α = {~v1 , ~v2 } de V
2 e´ dada por:
P =
1
2
[
1 1
1 −1
]
.
Determine a base ordenada α para o espac¸o de vetores V 2.
150 Geometria Anal´ıtica e Vetores
Exerc´ıcio 2.7.5 Considere as bases β = {~u1 , ~u2 , ~u3} e γ = {~w1 , ~w2 , ~w3} de V
3,
relacionadas da seguinte forma:

~w1 = ~u1 + ~u2 − ~u3
~w2 = 2~u2 + 2~u3
~w3 = ~u1 − ~u3
(a) Determine a matriz de mudanc¸a da base β para a base γ.
(b) Determine a matriz de mudanc¸a da base γ para a base β.
(c) Considere que o vetor ~u ∈ V 3 tem por matriz de coordenadas
[~u]β =


3
−2
4

 .
Determine a matriz de coordenadas do vetor ~u com relac¸a˜o a` base γ.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
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Edic¸a˜o, McGraw–Hill (1987).
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[4] P. Pulino, A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula, Janeiro de 2012, IMECC,
UNICAMP, dispon´ıveis no link: www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/.
[5] P. Pulino, Matema´tica Ba´sica: Notas de Aula, Marc¸o de 2012, IMECC, UNICAMP,
dispon´ıveis no link: www.ime.unicamp.br/∼pulino/MA109/.
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A´lgebra Linear , Terceira Edic¸a˜o, Editora Harbra Ltda (1986).
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Ensino Me´dio, Volume 1, Nona Edic¸a˜o, Colec¸a˜o do Professor de Matema´tica, Sociedade
Brasileira de Matema´tica (2006).
[8] Elon Lages Lima, Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear , SBM/IMPA (2010).
[9] J. J. Venturi, A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica, Livrarias Curitiba. dispon´ıveis
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