Aula05_VibSist2GDLOuMais_parte2

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Vibrações Mecânicas
Aula 05 – Vibrações em sistemas com 2 ou 
mais graus de liberdade (parte 2)
Prof. Dr. Sidney Bruce Shiki
e-mail: bruce@ufscar.br
UFSCar – Universidade Federal de São Carlos
DEMec - Departamento de Engenharia Mecânica
2Conteúdo
• Vibrações forçadas
• Autovalores/autovetores em vibrações
• Sistemas com múltiplos GDL
3
• Considerando um sistema geral de 2 GDL:
• Considerando que as forças externas sejam 
harmônicas:
• Nesse caso, as respostas em regime permanente 
devem ser:
Vibrações forçadas
11 12 1 11 12 1 11 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2 2
             
               
             
 
 
m m x c c x k k x F
m m x c c x k k x F
0( ) 1,2
 i tj jx t X e j
4
• Substituindo as respostas e forças na eq. do 
movimento obtemos:
• Os termos que se repetem na matriz são 
chamados de impedância mecânica (grau de 
dificuldade do sistema em se movimentar):
Vibrações forçadas
2 2
10111 11 11 12 12 12
2 2
20212 12 12 22 22 22
   
   
         
              
FXm i c k m i c k
FXm i c k m i c k
2( ) , 1, 2      rs rs rs rsZ i m i c k r s
5
• A matriz é então chamada de matriz de 
impedânica mecânica:
• Tal que:
• Ou ainda:
Vibrações forçadas
1011 12 1
2012 22 2
    
     
     
FZ Z X
FZ Z X
  0( ) 
 
Z i X F
  1 0( )

 
X Z i F
6
• Resolvendo a matriz inversa obtemos os 
coeficientes do movimento:
Vibrações forçadas
22 10 12 20
1 2
11 22 12
12 10 11 20
2 2
11 22 12
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
 

  
 

  



 


Z i F Z i F
X i
Z i Z i Z i
Z i F Z i F
X i
Z i Z i Z i
7
• Exemplo 4 – Vibrações forçadas em sistema com 
massas e molas iguais
Vibrações forçadas
m m
k k k
1( )x t 2 ( )x t
10 cosF t
8
• Exemplo 4 - Equação do movimento
– A partir do exemplo anterior e adicionando a força 
de excitação cossenoidal obtemos:
– Comparando essa equação do movimento com a 
equação geral anteriormente apresentada:
Vibrações forçadas
1 1 10
2 2
0 2 cos
0 2 0
x xm k k F t
x xm k k
        
                  


11 22 12 11 12 22
11 22 12 1 10 2
, 0, 0,
2 , , cos , 0
m m m m c c c
k k k k k F F t F
     
     
9
• Exemplo 4 - Impedância mecânica
– Com esses termos achamos a impedância 
mecânica:
– Os termos da matriz de impedância são:
Vibrações forçadas
11 22 12 11 12 22
11 22 12 1 10 2
, 0, 0,
2 , , cos , 0
m m m m c c c
k k k k k F F t F
     
     
2( ) , 1, 2      rs rs rs rsZ i m i c k r s
2
11 22
12
( ) ( ) 2
( )
Z Z m k
Z k
  

   
 
10
• Exemplo 4 - Amplitudes de deslocamento:
– Com os termos da impedância mecânica:
– Calculamos as amplitudes de deslocamento pelas 
expressões anteriormente obtidas:
Vibrações forçadas
2
11 22
12
( ) ( ) 2
( )
Z Z m k
Z k
  

   
 
22 10 12 20
1 2
11 22 12
12 10 11 20
2 2
11 22 12
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
 

  
 

  



 


Z i F Z i F
X i
Z i Z i Z i
Z i F Z i F
X i
Z i Z i Z i
11
• Exemplo 4 - Amplitudes de deslocamento:
– Obtemos as expressões:
– Quais são as raízes do denominador e o que elas 
representam ?
Vibrações forçadas
 
 
 
  
    
2 2
10 10
1 2 2 22 2
10 10
2 2 2 22 2
2 2
( )
32
( )
32
m k F m k F
X i
m k m km k k
kF kF
X i
m k m km k k
 

 

 
   
 
     
 
     
12
• Exemplo 4 - Amplitudes de deslocamento:
– Nota-se que as raízes do denominador são as 
frequências naturais desse sistema (calculadas no 
exemplo anterior):
– Podemos deixar as expressões de amplitude em um 
formato mais amigável evidenciando as frequências 
naturais no denominador.
Vibrações forçadas
1 2
3
,
k k
m m
  
13
• Exemplo 4 - Amplitudes de deslocamento:
– Obtemos as expressões:
Vibrações forçadas
 
  
 
   
2 2
10 10
1 2 2 2 2
2
10
1
1 2 2 2
2
1 1 1
10
2 2 2 2
2
1 1 1
2 / 2
( )
3 / 3 / 1
2
( )
1
( )
1
m k F k m k F
X i
m k m k k m k k m k
F
X i
k
F
X i
k
 

   



  
  

  
  
   
 
       
  
  
   
        
         
           

        
        
         


14
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
– Multiplicando as equações pela rigidez k e dividindo 
pela amplitude de força F10:
Vibrações forçadas
2
1
1
2 2 2
10
2
1 1 1
2
2 2 2
10
2
1 1 1
2
1
1
1
kX
F
kX
F


  
  
  
  
  
  
   
        
         
           

        
         
           
Fator de ampliação
para massa 1
Fator de ampliação
para massa 2
15
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
Fator de ampliação
para massa 1
Fator de ampliação
para massa 2
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2
/F
1
0
1 2 1 2
Frequência de 
anti-ressonância
a
16
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
– Analisando os fatores de ampliação, o que 
acontece para:
Vibrações forçadas
10   
1 a   
2 
1 
2a   
?
17
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
10    10   
1 2 tem mesmosinalX e X
Massas oscilam como que no primeiro modo 
natural (mas em uma frequência ω)
18
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
1  1 
1 2 tem mesmosinalX e X
Massas oscilam no primeiro modo 
natural (amplitudes tendem ao infinito)
19
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
1 a   
1 2 tem mesmosinalX e X
Massas oscilam como que no primeiro modo 
natural (mas em uma frequência ω)
1 a   
20
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
2a   
1 2 temsinais opostosX e X
Massas oscilam como que no segundo 
modo natural (mas em uma frequência ω)
2a   
21
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
2  2 
1 2 temsinais opostosX e X
Massas oscilam no segundo 
modo natural (mas em uma frequência ω)
22
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
2 
1 2 temsinais opostosX e X
Massas oscilam como que no segundo 
modo natural (mas em uma frequência ω).
Para ω→∞, X
1
→0, X
2
→0
2 
23
• Exemplo 4 -Fator de ampliação:
Vibrações forçadas
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
1/
F
1
0
0.5 1 1.5 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
/
1
kX
2/
F
1
0
Sistema governado
pelo 1o modo
de vibração
Sistema governado
pelo 2o modo
de vibração
Sistema governado
pelo 1o modo
de vibração
Sistema no 
2o modo
de vibração
24
• Exemplo 4 -Fator de ampliação (Bode):
Vibrações forçadas
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
/ 1
100
|k
X
1
/F
10
|
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
/ 1
0
2
4
(
)
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
/ 1
100
|k
X
2
/F
1
0
|
0.2 0.40.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
/ 1
0
2
4
(
)
Sistema governado
pelo 1o modo
de vibração
Sistema governado
pelo 2o modo
de vibração
Sistema governado
pelo 1o modo
de vibração
Sistema governado
pelo 2o modo
de vibração
25
• Problema de autovalor/autovetor da álgebra 
linear:
– Dada uma matriz [A], o problema de autovalor/autovetor é 
dado por:
– Onde v denota o autovetor e λ é o autovalor do problema;
– Podemos reescrever esse problema como:
Autovalores/autovetores em vibrações
[ ]A v v
 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] 0
[ ] [ ] 0
A v I v
A v I v
A I v




 
 
 
 

O autovalor é achado igualando o
determinante da matriz entre parênteses
a zero. Com o autovalor pode-se
achar o autovetor
26
• Ou ainda:
– Dada uma matriz [A] e [B]:
– Temos:
Autovalores/autovetores em vibrações
[ ] [ ]A v B v
 
 
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ] 0
[ ] [ ] 0
A v B I v
A v B I v
A B v




 
 
 
 

O autovalor é achado igualando o
determinante da matriz entre parênteses
a zero. Com o autovalor pode-se
achar o autovetor
27
• Vamos supor um problema de vibrações livres 
não amortecidas com n graus de liberdade:
• Podemos supor que as soluções deste problema 
são funções harmônicas (seno, cosseno ou 
exponencial complexa):
Autovalores/autovetores em vibrações
[ ] [ ] 0m x k x 
 
( ) 1, 2,...,j ti ix t X e i n
 
[ ] [ ] 0m x k x 
 
28
• Escrevendo todas as i-ésimas soluções em um 
vetor:
• Substituindo o vetor de deslocamento na eq.:
Autovalores/autovetores em vibrações
1
2 j t j t
n
X
X
x e Xe
X
 
 
 
  
 
 
 


 
2
2
[ ] ( ) [ ] 0
[ ] [ ] 0
j t j tm X j e k Xe
k m X
 

 
 
 

 [ ] [ ] 0A B v 

Chegamos no problema de autovalor/autovetor
29
• Para um problema de n graus de liberdade teremos n 
frequências naturais juntas de seus respectivos 
modos naturais de vibração;
• Autovalores são encontrados igualando o 
determinante da matriz entre parênteses a zero, os 
autovetores são encontrados substituindo os 
autovalores. 
Autovalores/autovetores em vibrações
 2[ ] [ ] 0k m X 

Vetor modal (autovetor)
Frequências naturais (autovalor)
30
• O equacionamento e os métodos para lidar com 
sistemas com múltiplos GDL são iguais ao caso 
de 2 GDL;
• Única dificuldade maior está na análise desse 
número maior de movimentos;
• Mesmo sistemas mais complexos modelados 
pelo método dos elementos finitos acabam 
caindo em equações do movimento como as 
que veremos em seguida.
Sistemas com múltiplos GDL
31
• Modelagem de sistema com múltiplos GDL:
– Determinar coordenadas para descrever movimento;
– Determinar configuração do sistema em equilíbrio 
estático;
– Desenhar DCL da massa ou corpo rígido supondo 
deslocamentos e velocidades positivos;
– Aplicar 2a lei de Newton para cada massa ou corpo 
rígido:
Sistemas com múltiplos GDL
ij i i
j
ij i i
j
F m x
M J 






Movimento de translação
Movimento de rotação (corpo rígido)
32
• Modelagem de sistema com n GDL:
• DCL de uma i-ésima massa qualquer:
Sistemas com múltiplos GDL
1m 2m
1k 2k 3k
1c 2c 3c
1( )x t
1( )F t
2 ( )x t
2 ( )F t
nm
1nk 
1nc 
( )nx t
( )nF tnk
nc
...
nm
1nk 
1nc 
( )nF t
nm
( )ix t
( )iF t
im
1( )i i ik x x 
1( )i i ic x x  
1 1( )i i ik x x  
1 1( )i i ic x x   
33
• Equação do movimento:
• Onde:
Sistemas com múltiplos GDL
     m x c x k x F  
   
 
1
2
0 0
0 0
0 0 n
m
m
m
m
 
 
 
 
 
 


   

 
1 2 2
2 2 3
1
0 0
0 0
0 0 n n n
c c c
c c c
c
c c c 
  
   
 
   


    

 
1 2 2
2 2 3
1
0 0
0 0
0 0 n n n
k k k
k k k
k
k k k 
  
   
 
   


    

34
• Vetores:
• Todos as formas de se calcular os sistemas que 
vimos para 2 GDL são aplicáveis para múltiplos 
GDL.
Sistemas com múltiplos GDL
1 1 1 1
2 2 2 2, , ,
n n n n
x x x F
x x x F
x x x F
x x x F
       
       
          
       
       
       
 
    
   
 
35
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Calcular freq. naturais e modos de vibrar
Sistemas com múltiplos GDL
m m
/ 2k
1( )x t 2 ( )x t
nm
3( )x t
m
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k / 2k
/ 2k / 2k
/ 2k / 2k
m
m
m
3( )x t
2 ( )x t
1( )x t
710 N/mk 
1000 kgm 
36
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Equação do movimento:
Sistemas com múltiplos GDL
m m
/ 2k
1( )x t 2 ( )x t
nm
3( )x t
m
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k
     
1 1
2 2
3 3
0 0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
m x c x k x F
m x k k x
m x k k k x
m x k k x
  
         
                     
                  
   



/ 2k / 2k
/ 2k / 2k
/ 2k / 2k
m
m
m
1( )x t
2 ( )x t
3( )x t
37
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Problema de autovalor/autovetor:
Sistemas com múltiplos GDL
1
2
2
3
2 0 0 0 0
2 0 0 0
0 0 0 0
k k m X
k k k m X
k k m X

         
                   
                
 2[ ] [ ] 0k m X 

38
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Problema de autovalor/autovetor:
– Igualando-se o determinante a zero pode-se 
achar as frequências naturais do sistema 
(consegue fazer isso ?).
Sistemas com múltiplos GDL
2
1
2
2
2
3
2 0 0
2 0
0 0
k m k X
k k m k X
k k m X



       
               
             
39
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Pode-se resolver as frequências naturais com 
algum procedimento numérico;
– Considerando essas frequências naturais ache 
agora os autovetores ou vetores modais.
Sistemas com múltiplos GDL
1
2
3
44,50 rad/s
124,70 rad/s
180,19 rad/s






40
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Primeiro modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
1 44,50 rad/s 
7 2 7 (1)
1
7 7 2 7 (1)
2
7 7 2 (1)
3
2 10 44,5 1000 10 0 0
10 2 10 44,5 1000 10 0
0 10 10 44,5 1000 0
X
X
X
         
                 
              
(1)
1
7 (1)
2
(1)
3
1,8019 1 0 0
10 1 1,8019 1 0
0 1 0,8019 0
X
X
X
      
            
            
41
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Primeiro modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
(1)
2
(1)
3
(1)
2
(1)
3
1,8019 1 0 1 0
1 1,8019 1 0
0 1 0,8019 0
1 0 1,8019
1,8019 1 1
1 0,8019 0
X
X
X
X
     
            
          
    
                
Fazendo: (1)1 1X 
(1)
2 1,8019X 
Obtemos (note que temos mais equações que variáveis):
(1)
3 2,2470X 
42
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Primeiro modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
Vetor modal:
(1)
1
1,8019
2,2470
X
 
   
  

*Para achar os demais vetores modais podemos executar o mesmo
procedimento utilizando as demais frequências naturais
43
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Segundo modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
2 124,70 rad/s 
7 2 7 (2)
1
7 7 2 7 (2)
2
7 7 2 (2)
3
2 10 124,7 1000 10 0 0
10 2 10 124,7 1000 10 0
0 10 10 124,7 1000 0
X
X
X
         
                 
              
Fazendo podemos achar:(2)1 1X 
(2)
1
0,4450
0,8020
X
 
   
  

44
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Terceiro modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
3 180,19 rad/s 
7 2 7 (3)
1
7 7 2 7 (3)
2
7 7 2 (3)
3
2 10 180,19 1000 10 0 0
10 2 10 180,19 1000 10 0
0 10 10 180,19 1000 0
X
X
X
         
                 
              
Fazendopodemos achar:(3)1 1X 
(3)
1
1, 2468
0,5544
X
 
   
  

45
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Resumo dos resultados
Sistemas com múltiplos GDL
1 44,50rad/s 
2 124,70 rad/s 
3 180,19 rad/s 
Primeiro modo de vibrar:
Segundo modo de vibrar:
Segundo modo de vibrar:
(1)
1
1,8019
2,2470
X
 
   
  

(2)
1
0,4450
0,8020
X
 
   
  

(3)
1
1, 2468
0,5544
X
 
   
  

Com base nesses vetores descreva as formas modais
46
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Primeiro modo de vibrar
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Primeiro modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
1 44,50rad/s 
(1)
1
1,8019
2,2470
X
 
   
  

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
x 
[m
]
 
 
x1
x2
x3
47
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Segundo modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
2 124,70 rad/s 
(2)
1
0,4450
0,8020
X
 
   
  

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
x 
[m
]
 
 
x
1
x
2
x
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Segundo modo de vibrar
48
• Exemplo 5 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Terceiro modo de vibrar:
Sistemas com múltiplos GDL
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
x 
[m
]
 
 
x
1
x2
x
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Terceiro modo de vibrar
3 180,19 rad/s 
(3)
1
1, 2468
0,5544
X
 
   
  

49
• Exemplo 6 – Vibração de prédio de 3 andares:
– Calcular amplitudes de vibração do prédio quando é 
aplicada uma força F(t) = F0sin(ωt) no terceiro andar
Sistemas com múltiplos GDL
m m
/ 2k
1( )x t 2 ( )x t
nm
3( )x t
m
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k
/ 2k / 2k
/ 2k / 2k
/ 2k / 2k
m
m
m
3( )x t
2 ( )x t
1( )x t 710 N/mk 
1000 kgm 
0 10 NF  60rad/s 
* Resolução no quadro desse problema
50
• Cálculo da resposta em frequência:
– Com as matrizes de massa e rigidez do último problema 
conseguimos encontrar as relações entre amplitudes de 
deslocamento e amplitude de força para cada 
frequência pela inversa da matriz de impedância 
mecânica:
– Onde:
Sistemas com múltiplos GDL
  1 0( )

 
X Z i F
2( )rs rs rs rsZ i m i c k     
51
• Cálculo da resposta em frequência:
– Podemos dar um nome diferente para essa matriz 
inversa:
– Essa matriz H contém as funções de resposta em 
frequência do sistema (FRF) as quais são simplesmente 
as funções de transferência do sistema vibratório 
substituindo a variável s de Laplace por iω;
Sistemas com múltiplos GDL
  1( )H Z i 
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
s
s
r r rs
H i H i H i
H i H i H i
H i
H i H i H i
  
  

  
 
 
 
 
 
 


   

rsH
r
s Indica em qual massa é aplicada a força
Indica em qual massa 
é medida a resposta
r
rs
s
X
H
F

52
• Cálculo da resposta em frequência:
– Para o exemplo anterior, do prédio com força aplicada 
no terceiro piso, as FRFs que relacionam as respostas 
de cada piso com a força aplicada seriam apenas as três 
FRFs da terceira coluna onde a entrada é dada no 
terceiro piso:
Sistemas com múltiplos GDL
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
H i H i H i
H i H i H i H i
H i H i H i
  
   
  
 
   
  
1
13
3
X
H
F

2
23
3
X
H
F

3
33
3
X
H
F

53
• Cálculo da resposta em frequência:
– Para o exemplo anterior, do prédio com força aplicada 
no terceiro piso, as FRFs que relacionam as respostas 
de cada piso com a força aplicada seriam apenas as três 
FRFs da terceira coluna onde a entrada é dada no 
terceiro piso:
Sistemas com múltiplos GDL
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
H i H i H i
H i H i H i H i
H i H i H i
  
   
  
 
   
  
1
13
3
X
H
F

2
23
3
X
H
F

3
33
3
X
H
F

54
• Exemplo 7: Resposta em frequência para prédio 
de 3 andares do exemplo 6
– Podemos plotar simplesmente as FRFs (como era feito 
no caso dos fatores de ampliação):
Sistemas com múltiplos GDL
55
• Ou ainda como amplitude e fase da mesma (Bode):
Sistemas com múltiplos GDL
56
• Código MATLAB para cálculo e plot das FRFs:
Sistemas com múltiplos GDL
% Massas e rigidezes
m = 1000;
k = 10^7;
 
% Vetor de frequências [rad/s]
w = (0:0.1:40)*2*pi;
 
% Matrizes de massa, amortecimento e rigidez
M = eye(3)*m;
K = [2*k -k 0;-k 2*k -k;0 -k k];
C = 0*K;
 
% FRFs a se calcular
H13 = zeros(size(w));
H23 = H13;
H33 = H13;
 
% Mapeamento em frequência
for n = 1:length(w)
 % Calcula matriz de impedância para a frequência w(n)
 for n1 = 1:length(K)
 for n2 = 1:length(K)
 Z(n1,n2) = -M(n1,n2)*w(n)^2+1i*w(n)*C(n1,n2)+K(n1,n2);
 end
 end
 % Inversa da matriz de impedância mecânica
 H = inv(Z);
 
 H13(n) = H(1,3);
 H23(n) = H(2,3);
 H33(n) = H(3,3);
 
end
57
• Código MATLAB para cálculo e plot das FRFs:
Sistemas com múltiplos GDL
% Plot normal
figure;
plot(w,H13,'linewidth',2);hold on;
plot(w,H23,'r--','linewidth',2);
plot(w,H33,'k--','linewidth',2);grid on
ylim([-3*10^-6 3*10^-6]);
xlim([0 max(w)]);
xlabel('\omega [rad/s]','fontsize',20);
ylabel('H_{r,s} [m/N]','fontsize',20);legend('H_{1,3}','H_{2,3}','H_{3,3}');
set(gca,'fontsize',16);
 
% Plot no estilo dos gráficos de Bode
figure;
subplot(211);
semilogy(w,abs(H13),'linewidth',2);hold on;
semilogy(w,abs(H23),'r--','linewidth',2);
semilogy(w,abs(H33),'k--','linewidth',2);ylim([10^-10 5.8*10^-5]);xlim([0 
max(w)]);grid on
xlabel('\omega [rad/s]','fontsize',20);
ylabel('|H_{r,s}| [m/N]','fontsize',20);legend('H_{1,3}','H_{2,3}','H_{3,3}');
set(gca,'fontsize',16);
subplot(212);
plot(w,angle(H13),'linewidth',2);hold on;
semilogy(w,angle(H23),'r--','linewidth',2);
semilogy(w,angle(H33),'k--','linewidth',2);xlim([0 max(w)]);grid on
xlabel('\omega [rad/s]','fontsize',20);
ylabel('Fase(H_{r,s} [rad]) 
[rad]','fontsize',20);legend('H_{1,3}','H_{2,3}','H_{3,3}');
set(gca,'fontsize',16);
58Exercícios recomendados
• Capítulo 5 (5.1-5.31,5.44-5.56) - 
recomendados:
5.2,5.4,5.5,5.7,5.17,5.19,5.21,5.32,5.35,5.48
• Capítulo 6 (6.1-6.6,6.44-6.63) - 
recomendados
6.24, 6.33
59Referências
• Rao, S., Vibrações Mecânicas, 4ª edição, 
Pearson Prentice Hall, 2008.
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	Conteúdo
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	Slide 5
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	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
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	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
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	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
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	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55
	Slide 56
	Slide 57
	Slide 58
	Referências