Atividade 5 - Física Geral - resumo - centro de massa

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Cap 9 – Centro de Massa e Momento Linear 
 
O centro de Massa: Sistema de partículas para podermos prever com 
facilidade o movimento do sistema. Exemplo: Pessoa, objeto. 
1. Observação: O centro de massa de um sistema de partículas é o 
ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema 
estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas as forças externas 
estivessem aplicadas nesse ponto. 
❖ Sistemas de partículas 
• Consideremos duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma 
distância d: 
 
 
 
• Escolhemos a origem de um eixo X que coincidindo com a massa m1 
definimos a posição do CM desse sistema de duas partículas como: 
 
 
 
1. Se m2 = 0, só tem uma partícula, e o CM deve estar 
na posição desta partícula; xCM = 0 
2. Se m1 = 0, de novo teremos só uma partícula e xCM 
= d. 
3. Se m1 = m2, o CM deve estar a meia distância entre 
as duas partículas; xCM = ½ d. 
4. Se m1 e m2 ≠ 0, então o CM estará entre 0 e d, ou 
seja, o CM estará em algum lugar entre as duas 
partículas 
❖ Situação mais geral 
DIRETORIA DE DESENVOLVIMENTO 
DO ENSINO UNIDADE ACADÊMICA DA ÁREA 
DE INDÚSTRIA BACHARELADO EM 
ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA: FÍSICA I 
 PROF: JOÃO BOSCO ABRANTES JÚNIOR 
 ALUNO: ALLYSSON JORDAN DE SOUZA 
 
Logo, M = m1 + m2. Se x1 = 0, então x2 = d. 
❖ Sistemas de n-partículas 
 
❖ Exemplo resolvido 
Determine as coordenadas do centro de massa do sistema de partículas 
indicado ao lado. 
 
Respondendo: 
As coordenadas das partículas são: 
M1 X1=0 Y1=0 
M2 X2=1 Y2=2 
M3 X3=4 Y3=1 
 
Dessa forma, as coordenadas do centro de massa são: 
Xcm = 
m1x1+m2x2+m3x3
m1+m2+m3
 
Xcm = 
2.0+3.1+5.4
2+3+5
 
Xcm = 2,3 cm 
Agora, para Ycm temos: 
Ycm = 
m1y1+m2y2+m3y3
m1+m2+m3
 
Ycm = 
2.0+3.2+5.1
2+3+5
 
Ycm = 1.1 cm 
Corpos Maciços 
Primeiro, para que seja definido de objetos homogêneos, deve-se dividir e 
subdividir de forma continua a massa do objeto tornando cada partícula do objeto 
elementos infinitesimais de massa DM. Assim, as coordenadas do centro de 
massa são definidas por: 
 
Em que M é a massa do corpo. 
Considerando que objetos homogêneos apresentam massa especifica (massa 
por unidade de volume) representada pelo símbolo ρ e que a mesma apresenta 
valores iguais para todos os elementos infinitesimais destes objetos define-se: 
 
Em dV é o volume ocupado por um elemento de massa dm e V é o volume total 
do objeto: 
 
 
Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas: O movimento do 
centro de massa de qualquer sistema de partículas e governado pela segunda 
lei de Newton para um sistema de partículas: 
 
Momento Linear: O momento linear de uma partícula é uma grandeza de 
vetorial definida como o produto de sua massa pela sua velocidade: 
 
A unidade de momento no SI é o quilograma-metro por segundo (kg * m/s). 
1. Observação: A taxa de variação com o tempo do momento de uma 
partícula é igual a força resultante que atua sobre a partícula e tem 
a mesma orientação que essa força. 
Logo: 
 
Momento Linear de um Sistema de Partículas: O momento linear total P de 
um sistema de partículas é a soma vetorial dos momentos das partículas 
individuais: 
 
Onde M é o total de massa do sistema e Vcm é a velocidade do centro de massa 
do sistema 
Derivando em relação ao tempo: 
 
Colisão e Impulso 
❖ O que é colisão: Colisão em Física, significa uma interação entre duas 
partículas (ou dois corpos) cuja duração é extremamente curta na escala 
de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. 
A variação de momento linear p durante uma colisão está relacionada à força 
através da segunda lei de Newton F = dp/dt. Assim, no intervalo de tempo dt, a 
variação do momento da bola é dada por: 
 
A variação total do momento linear provocada durante uma colisão é 
determinada integrando ambos os membros da equação anterior de um instante 
ti imediatamente antes da colisão até um instante tf imediatamente após a 
colisão: 
Para determinar a variação total do momento da bola provocada pela colisão 
integrando ambos os membros: 
 
O lado direito, que é uma medida tanto da intensidade quanto da duração da 
força da colisão, é chamado de impulso da colisão e representado pelo símbolo 
J: 
 
Logo, a variação do momento de um objeto é igual ao impulso exercido sobre o 
objeto. 
 
Como em muitos casos só temos Fmed da força e a duração Δt da colisão, logo 
temos: 
 
❖ Colisões Unidimensionais Elásticas e Inelásticas 
Nesses sistemas o momento linear é conservado. 
Classificamos o tipo de colisão do sistema de acordo com o que acontece com 
sua energia cinética total depois da colisão: 
• Se numa colisão, parte da energia cinética inicial é transferida para outras 
formas de energia, como a energia térmica, e a energia sonora, a colisão 
é chamada de colisão inelástica: 
 
 
• Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a 
colisão, a colisão é chamada de colisão elástica: 
 
 
Podemos escrever a lei de conservação do momento linear para este sistema de 
dois corpos como: 
 
❖ Colisões Perfeitamente Inelásticas Unidimensionais 
 
Neste tipo de colisão, a partícula incidente se agarra na partícula alvo. 
Logo, representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica 
duma dimensão. 
 
O centro de massa está na massa formada pelas duas partículas juntas. Por isso 
elas se movem com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante. 
❖ Velocidade do Centro de Massa 
Em um sistema fechado e isolado a velocidade do centro VCM do centro de 
massa do sistema não pode variar em uma colisão porque, com o sistema 
isolado não existe uma força externa para causar essa variação. 
• 
• 
• 
❖ Colisões Elásticas Numa Dimensão 
Nas colisões elásticas a energia cinética dos corpos envolvidos na colisão pode 
variar, mas a energia cinética total do sistema não varia. 
• Alvo Estacionário 
Analisando a imagem: 
 
Temos dois corpos em antes/depois de uma colisão unidimensional, temos os 
momentos: 
1. Um corpo m1 com velocidade inicial se move até m2 que está em repousa 
inicialmente, logo temos um sistema conservado. Assim: 
 
2. Se a colisão é elástica, a energia cinética total é conservada, assim: 
 
3. Tendo as velocidades ou quando queremos descobrir: 
 
 
• Alvo em Movimento 
Analisando a imagem: 
 
1. De início, podemos escrever a conservação do momento linear e a 
conservação de energia cinética como: 
 
2. Para obter v1 e v2: 
 
 
❖ Colisões em duas dimensões 
Quando a colisão não é frontal a direção do movimento dos corpos e diferente 
antes e depois da colisão. Se o sistema é fechado e isolado o momento linear 
total continua a ser conservado nessas colisões bidimensionais: 
 
Se a colisão é elástica: 
 
Analisando a imagem da colisão raspão as trajetórias entre ambas formam os 
ângulos θ’ e θ” em relação ao eixo X e Y: 
 
 
Para casos especiais de colisão elástica em relação a velocidade: