Gabarito-Prova1-Alfa-2018

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XXXIV Olimṕıada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estat́ıstica e Computação Cient́ıfica
Universidade Estadual de Campinas
.
Prova da Primeira Fase - Nı́vel Alfa
Questão 1 (20 pontos) Se somarmos sete números inteiros pares positivos e consecutivos, obtere-
mos 770. Qual é o maior desses números?
Solução: Como são numeros pares consecutivos, diferem sempre de 2.
n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) + (n + 8) + (n + 10) + (n + 12) = 7n + 42 = 770
Assim,
7n = 728⇒ n = 728
7
⇒ n = 104
De modo que o maior número é n + 12 = 104 + 12 = 116.
Questão 2 (20 pontos) Uma certa camiseta é vendida em duas lojas, a loja A e a loja B. Na loja
A a camiseta custa R$40,00. Na loja B a camiseta custa 80% do valor da loja A. Se a loja A oferece
um desconto de 30%, qual deve ser o desconto que a loja B deve oferecer para que a camiseta tenha o
mesmo preço nas duas lojas?
Solução: O preço da camiseta na loja B será de 0.8× 40 = 32 reais. O valor da camiseta na loja A
após o desconto será de 40− 0.3× 40 = 28. Assim, supondo que o desconto da loja B seja x temos que
32− 32× x = 28 =⇒ x = 4/32 = 0.125. Ou seja 12.5%.
Questão 3 (20 pontos) Um número natural a é chamado de quadrado perfeito, se existe um n
natural tal que a = n2.
a) Determine o menor quadrado perfeito que é diviśıvel por 24;
b) Quantos quadrados perfeitos são diviśıveis por 24 e menores que 2018?
Solução: Primeiro observe que a fatoração de 24 em primos é 24 = 23 ∗ 3.
a) Devemos completar a fatoração de 24 para que os primos tenham potência par, ou seja o menor
número é 24 ∗ 32 = (22 ∗ 3)2 = 144.
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Universidade Estadual de Campinas
b) O primeiro quadrado perfeito menor que 2018 e diviśıvel por 24 é o do item acima: 144. Se
um quadrado perfeito é diviśıvel por 24 ele deve ser diviśıvel por 144. Então outros quadrados
perfeitos diviśıveis por 24 são 144 ∗ 22 = 576 < 2018, 144 ∗ 32 = 1296 < 2018 e note que a lista
para nesses números porque o próximo candidato 144 ∗ 22 ∗ 32 = 5184 > 2018.
Assim os únicos quadrados perfeitos diviśıveis por 24 e menores que 2018 são 144, 576 e 1296.
Questão 4 (20 pontos) João e Maria trabalham na cozinha da escola. Maria sozinha leva 45
minutos para distribuir os almoços e os dois juntos distribuem em 20 minutos. Maria está doente e João
está distribuindo os almoços sozinhos. Quanto tempo João leva para distribuir os almoços sozinho?
Solução: Como Maria leva 45 minutos sozinha distribuindo os almoços, então pela regra de três
podemos calcular a fração que Maria faz do trabalho total: 45
20
= 1
x
, então x = 4
9
. Ou seja em 20 minutos
ela faz faz 4
9
do trabalho total.
Em 20 minutos Maria e João juntos fazem todo o trabalho, então João faz 1 − 4
9
= 5
9
do trabalho
total. Logo, se a quantidade de tempo que João leva para realizar todo o trabalho é x, sabemos que 20
minutos correspondem a 5
9
desse tempo, isto é: 5
9
x = 20. Assim x = 180
5
= 36 minutos.
Questão 5 (20 pontos) Sejam A,B e C os vértices de um triângulo equilátero de lados com
comprimento 1. Seja C a circunferência inscrita neste triângulo. Sejam A′, B′ e C ′ os pontos que
pertencem à C e ao triângulo ABC.
1. Calcule o raio de C e a razão entre a área de A′B′C ′ e a de ABC.
2. Dados 5 pontos em ABC mostre que existem pelo menos dois cuja distância entre eles é menor
ou igual a 1/2.
Solução:
1. Como o triângulo ABC é equilátero então o incentro, o baricentro e o ortocentro coincidem e
denotamos esse ponto por O. Para encontrar o raio R da circunferência observe que os triângulos
AOC, AOB e BOC são semelhantes pelo caso LAL pois O é o incentro e portanto AO, CO e
BO são bissetrizes (veja a figura abaixo). A área do triângulo ABC é igual a soma da área dos
triângulos AOC, AOB e BOC, ou seja,
√
3
4
= 3× R
2
. Portanto o raio da circunferência é R =
√
3
6
.
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Como O é também o baricentro de ABC então os segmentos AC ′, C ′C, CB′, B′B, BA′ e A′A
possuem comprimento igual a 1/2 (veja a figura abaixo). Pelo caso LAL de semelhança conclúımos
que os triângulos A′AC ′, C ′CB′ e B′BA′ são semelhantes. Disso segue que os segmentos A′B′,
B′C ′ e C ′A′ possuem o mesmo comprimento, logo A′B′C ′ é um triângulo equilátero e portanto
seus ângulos internos são todos iguais a 60. Mas já sabemos que os angulos BB̂′A′ e CB̂′C ′ são
iguais e portanto devem ser iguais a 60. Logo, os triângulos A′AC ′, C ′CB′, B′BA′ e A′B′C ′ são
congruentes e soma de suas áreas é igual a área do triângulo ABC. Isso implica que a razão
desejada é 1/4.
2. Assim como no item anterior, vamos dividir o triângulo ABC em quatro triângulos equiláteros
de lado 1/2 (veja a figura acima). Pelo Prinćıpio da Casa dos Pombos sabemos que pelos menos
dois dos cinco pontos estão em um desses triângulos. Como a distância entre dois pontos dentro
de cada um desses triângulos é menor ou igual a 1/2 segue o resultado.
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