APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO EDITAL SEPLAG 03 2023 pdf concurso

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SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS
CURSO PREPARATÓRIO
 
 
CURSO PREPARATÓRIO
 
 SEE - MG 
 
 
SEE - MG 
 
 
(38) 9.8815.8287
Montes Claros - MG
 
 
EDITAL SEPLAG/SEE Nº 03/2023
CONCURSO PÚBLICO
RACIOCÍNIO
LÓGICO
MATEMÁTICO
 
Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados. 
Conjuntos e suas operações, diagramas. 
Números inteiros, racionais e reais e suas operações, porcentagem e juros. 
Proporcionalidade direta e inversa. 
Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo. 
Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais:
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e
temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. 
Análise e interpretação de informações expressas em gráficos e tabelas. 
Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
Problemas de contagem e noções de probabilidade. 
Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade,
perímetro e área.
Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância. 
Problemas de lógica e raciocínio. 
S U M Á R I O D O C U R S O
ANEXO I 
EDITAL SEPLAG/SEE 03/2023
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
CONHECIMENTOS BÁSICOS
PROFESSOR: EVANDRO LEITE
EDITAL – CONCURSO SEE – MG 2023 
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO 
Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados. Conjuntos e suas 
operações, diagramas. Números inteiros, racionais e reais e suas operações, porcentagem e juros. 
Proporcionalidade direta e inversa. Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo. Compreensão e 
análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, 
raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. 
Análise e interpretação de informações expressas em gráficos e tabelas. Raciocínio lógico envolvendo 
problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Problemas de contagem e noções de probabilidade. 
Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, perímetro e área. Plano 
cartesiano: sistema de coordenadas, distância. Problemas de lógica e raciocínio. 
 
DIVISÃO DO EDITAL: 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO (Raciocínio lógico proposicional: proposições, quantificadores, indução e 
dedução, verdades e mentiras. Raciocínio lógico argumentativo: conectivos e argumentos. Sequências 
lógicas) 
Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados. Conjuntos e suas 
operações, diagramas. Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: 
raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de 
conceitos, discriminação de elementos. Problemas de lógica e raciocínio. 
 
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO (Conjuntos numéricos: Naturais, inteiros, racionais, irracionais e 
reais. Razão e proporção, regras de três, porcentagens e juros. Sistema legal de medidas: comprimento, 
área, volume, massa e tempo. Gráficos e interpretações. Progressões aritméticas e geométricas. 
Matrizes. Análise combinatória e Probabilidade. Geometria Euclidiana. Geometria Analítica) 
Números inteiros, racionais e reais e suas operações, porcentagem e juros. Proporcionalidade direta e inversa. 
Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo. Análise e interpretação de informações expressas em 
gráficos e tabelas. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Problemas 
de contagem e noções de probabilidade. Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, 
proporcionalidade, perímetro e área. Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância. 
 
__/__: Sequências lógicas, progressões aritméticas e geométricas, raciocínio lógico proposicional. 
__/__: Raciocínio lógico argumentativo. 
__/__: Conjuntos Numéricos. Razões e proporções. 
__/__: Análise combinatória e probabilidades. 
__/__: Sistema legal de medidas. Geometria euclidiana. 
__/__: Geometria analítica. Matrizes. 
 
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES 
 
O conceito de sequência 
➢ Sequência finita é toda função de domínio A = {1,2,3,...,n} com A ∈ IN* e contradomínio B, sendo B 
um conjunto qualquer não vazio. 
➢ Sequência infinita é toda função de domínio IN* = {1,2,3,...} e contradomínio B, sendo B um conjunto 
qualquer não vazio. 
➢ Cada elemento da sequência é também chamado de termo da sequência. O termo que ocupa a posição 
de número n é indicado pelo símbolo an. 
➢ Em uma sequência finita (a1, a2, a3 , ..., an), os termos a1 e na são os extremos da sequência. 
 
 
 
➢ Dois termos, ai e aj, são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que 
precedem ai é igual à quantidade de termos que sucedem aj. 
(a1,a2,a3,...,an) 
 
extremos 
➢ Um termo am é chamado de termo médio de uma sequência com número ímpar de termos se, e somente 
se, a quantidade de termos que antecedem am é igual à quantidade de termos que o sucedem. 
Lei de formação da sequência é um conjunto de informações que determina todos os termos de uma sequência 
e a ordem em que são apresentados. 
 
1. SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
Define-se sequência lógica como sendo a sucessão de letras, números, símbolos ou figuras obedecendo 
determinado padrão lógico. 
 
Observe a sequência: 1, 2, 4, 7, 11, 16, ... quais os dois próximos termos? 
Observe que a lógica dessa sequência é que somamos à cada termo o valor de sua posição para obtermos o 
próximo: assim: 1, 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 4, 4 + 3 = 7. 
Assim como 16 é o 6º termo o 7º termo será 16 + 6 = 22, e o 8º termo será 22 + 7 = 29. 
Resposta: 22 e 29. 
 
Uma sequência famosa é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Veja que nessa sequência cada termo, a partir do 3º é a soma 
dos dois anteriores. Verifique! 
 
Uma sequência pode seguir qualquer padrão lógico. Fica a cargo do leitor descobri-lo e determinar os termos 
da sucessão. 
 
 
Exercícios 
1. Considere que a sequência de pares de letras (A,C), (F,D), (G,I), (M,J), ... obedece a uma lei de formação. 
Se o alfabeto exclui as letras K,W e Y, o quinto par de letras da sequência é: 
a) (P,N) b) (N,P) c) (O,Q) d) (Q,O) e) (R,P) 
 
2. Na sequência seguinte, o número entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 
63(21)9; 186(18)31; 85(?)17 
O número que está faltando é: 
a) 15 b) 17 c) 19 d) 23 e) 25 
 
3. Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um deles é resultado de operações 
efetuadas com os números que se encontram em sua parte externa. 
 
Se a sequência de operações é a mesma para os números dos três triângulos, então o número x é: 
a) 13 b) 10 c) 9 d) 7 e) 6 
 
4. A inserção dos números nos espaços abaixo observa determinada lógica. 
 
O número que substitui corretamente a interrogação é: 
a) 90R b) 64I c) 48J d) 42L e) 15X 
 
5. As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas sucessivamente e no sentido horário, de modo que 
os pontos marcados obedeçam a um determinado critério 
 
Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é: 
a) b) c) d) e) 
 
6. Complete a sequência 
 
a) b) c) d) e) 
 
7. A sequência de figuras abaixo foi constituída obedecendo a determinado padrão. 
 
Segundo esse padrão, a figura que completa a sequência é: 
a) b) c) d) e) 
 
8. Observe que a sequência de figuras seguinte está incompleta. A figura que está faltando, à direita, deve ter 
com aquela que a antecede a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Assim: 
 
a) b) c) d) e) 
 
9. Observe a sequência. 
 
A próxima figura é: 
a) b) c) d) e) 
 
10. Observe que a sucessão de figuras abaixo obedece a um padrão de construção paraa obtenção das figuras 
subsequentes. 
 
a) b) c) d) e) 
 
11. Observe a sequência de figuras a seguir. 
 
Cada quadradinho é obtido por uma certa rotação anterior. O nono quadrinho da sequência será: 
a) b) c) d) e) 
 
12. Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 
C3, 6G, L10, ... 
a) C4 b) 13M c) 9I d) 15R e) 6Y 
 
13. Considere os seguintes pares de números: (3, 10) (1, 8) (5, 12) (2, 9) (4, 10) Observe que quatro desses 
pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é: 
a) (3, 10) b) (1, 8) c) (5, 12) d) (2, 9) e) (4, 10) 
 
14. Sabendo que o número abaixo do traço é determinado através de operações entre os números acima do traço 
e que a sequência obedece a esse padrão. O valor de x é: 
 
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18 
 
15. Sabendo que o número abaixo do traço é determinado através de operações entre os números acima do traço 
e que a sequência obedece a esse padrão. O valor de x é: 
 
a) 9 b) 16 c) 20 d) 36 e) 40 
 
16. ardoroso – rodo 
 dinamiza – mina 
 maratona – ? 
a) mana b) toma c) tona d) tora e) rato 
 
Gabarito 
1. B 5. E 9. B 13. E 
2. A 6. E 10. A 14. D 
3. D 7. D 11. A 15. B 
4. C 8. C 12. D 16. D 
 
Progressão aritmética 
Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à 
soma do anterior com uma constante r. o número r é chamado de razão da progressão aritmética. 
 
 
 
Classificação 
Crescente 
Cada termo, a partir do 
segundo, é maior que o 
anterior. 
Razão 
positiva 
Decrescente 
Cada termo, a partir do 
segundo, é menor que 
o anterior. 
Razão 
negativa 
Constante 
Todos os termos são 
iguais 
Razão nula 
 
Representação genérica 
Dados x e r números reais, podemos usar as seguintes representações: 
 Razão Representação 
PA de 3 termos r (x, x + r, x + 2r ) 
PA de 3 termos r (x – r, x, x + r) 
PA de 4 termos r (x, x + r, x + 2r, x + 3r) 
PA de 4 termos 2r (x – 3r, x – r, x + r, x + 2r) 
 
Fórmula do termo geral 
➢ Numa PA (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão r, temos: 
 
 
 
(a1, a2, a3, ..., an, ...) 
 
 +r +r 
an = a1 + (n – 1).r 
➢ De maneira geral, temos: 
 
 
 
Propriedades 
➢ Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Uma sequência de três termos é uma PA se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre 
os outros dois. 
 
 
 
➢ Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética entre os extremos. 
 
Soma dos n termos 
A soma Sn dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3, ..., an, ...) é dada por: 
 
 
 
 
Progressão geométrica 
É toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior com 
uma constante q. o número q é chamado de razão de progressão geométrica. 
 
 
 
 
Classificação 
Crescente 
Cada termo, a partir do 
segundo, é maior que o 
anterior. 
a1>0 e q>1 
ou 
a1 < 0 e 0 < q 
< 1 
Decrescente 
Cada termo, a partir do 
segundo, é menor que 
o anterior. 
a1>0 e 0 < q < 
1 
ou 
a1 < 0 e q>1 
Constante 
Todos os termos são 
iguais. 
q = 1 ou 
an = 0 ∀ n 
Oscilante 
Todos os termos são 
diferentes de zero e 
dois termos 
consecutivos 
quaisquer têm sinais 
opostos. 
a1 ≠ 1 e q < 0 
Quase nula 
O primeiro é diferente 
de zero e os demais 
são iguais a zero. 
a1 ≠ 1 e q = 0 
 
Representação genérica 
an = ak + (n – k).r 
(a1, a2, ..., ak+1, ..., an-k,...,an-1, an) 
 
 
 
a1+an = a2+an-1 = ak+1+an-k 
(𝑎, 𝑏, 𝑐)é 𝑃𝐴 ↔ 𝑏 =
𝑎 + 𝑐
2
 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛). 𝑛
2
 
(a1, a2, a3, ..., an, ...) 
 
 .q .q 
Dados x e r números reais, podemos usar as seguintes representações: 
 Razão Representação 
PA de 3 termos q ( 𝑥, 𝑥𝑞, 𝑥²) 
PA de 3 termos q, com q ≠ 0 ( 
𝑥
𝑞
, 𝑥, 𝑥𝑞) 
PA de 4 termos q ( 𝑥, 𝑥𝑞, 𝑥𝑞2, 𝑥𝑞³) 
PA de 4 termos 
q², com q ≠ 
0 
(
𝑥
𝑞3
,
𝑥
𝑞
, 𝑥, 𝑥𝑞3) 
 
Fórmula do termo geral 
➢ Numa PG (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão q, temos: 
 
 
 
➢ De maneira geral, temos: 
 
 
 
Propriedades 
➢ Em toda PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. 
 
 
 
 
 
 
➢ Uma sequência de três termos é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto 
entre os outros dois. Assim, sendo a ≠ 0. 
 
 
 
➢ Em uma PG com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos. 
 
Soma dos n primeiros termos 
A soma Sn dos n primeiros termos da PG não constante (a1, a2, a3 , ..., an, ...) de razão q é dada por: 
 
 
 
 
 
Soma dos infinitos termos 
A soma dos infinitos termos de uma PG (a1, a2, a3 , ..., an, ...) de razão q, com -1 < q < 1, é dada por: 
 
 
 
 
Exercícios 
01)Numa P.A., cujo 2º termo é igual a 5 e o 6º termo é igual a 13 o 20º termo é igual a: 
a) 13 
b) 40 
c) 41 
d) 42 
e) nda. 
 
02) Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101? 
an = a1.q(n – 1) 
an = ak.q(n – k) 
(a1, a2, ..., ak+1, ..., an-k,...,an-1, an) 
 
 
 
a1.an = a2.an-1 = ak+1.an-k 
(𝑎, 𝑏, 𝑐)é 𝑃𝐺 ↔ 𝑏2 = 𝑎. 𝑐 
𝑆𝑛 =
𝑎1. (𝑞
𝑛 − 1)
𝑞 − 1
 
𝑆∞ =
𝑎1
1 − 𝑞
 
a) 250 
b) 2050 
c) 2555 
d) 2550 
e) zero 
 
03) Os números 10/x, x – 3 e x + 3 e são os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos positivos, sendo x ≠ 
0. O décimo termo desta P.A. é igual a: 
a) 50 
b) 53 
c) 54 
d) 57 
e) 55 
 
04) Numa PG a1 + a2 = 3 e a4 + a5 = 24, a razão da PG é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
05) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a: 
a) 2 
b) 6 
c) 18 
d) 5 
e) nda. 
 
06) Calcule x, sendo: 
 
a) 45 
b) 50 
c) 10 
d) 9 
e) 4 
 
07) A soma dos 9 primeiros termos da sequência (1, 2 ,4 ,8 ,...) é igual a: 
a) 63 
b) 127 
c) 128 
d) 255 
e) 511 
 
08) A soma dos infinitos termos da P.G. é igual a: 
a) 2 b) 1/3 
c) 2/3 d) 1/6 
e) 1 
 
Gabarito 
1. C 5. B 
2. D 6. C 
3. E 7. E 
4. A 8. C 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO PROPOSICIONAL 
 
PROPOSIÇÃO 
Denomina-se proposição a toda frase declarativa, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao 
qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou 
falso. 
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: 
 
Não são proposições: 
1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?” 
2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 
3) frases imperativas: “Estude mais.” 
4) frases optativas: “Deus te acompanhe.” 
5) frases sem verbo: “O caderno de Maria.” 
6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): 
 “x é maior que 2”; “x+y = 10”; “Z é a capital do Chile”. 
 
PRINCÍPIOS QUE REGEM AS PROPOSIÇÕES: 
Princípio da Identidade: Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa 
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira 
possibilidade. 
Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
 
QUANTIFICADORES 
 
No raciocínio lógico dos quantificadores, trabalhamos com afirmações sobre quantidades. 
Para essas afirmações usamos os seguintes quantificadores: 
Universais: Todo(a)(s), Nenhum(a). 
Particulares: Algum(a)(s), ao menos um(a), pelo menos um(a), um(a)(s). 
Para negar quantificadores universais, negamos a característica e usamos um quantificador particular. 
Para negar quantificadores particulares, negamos a característica e usamos o quantificador universal 
“todo(a)(s)” ou mantemos a característica e usamos o quantificador universal “Nenhum(a)”. 
 
Exemplo: 
1. Todo pássaro é verde. Negação: Algum pássaro não é verde. 
2. Algum camelocome carne. Negação: Todo camelo não come carne. Ou: Nenhum camelo come carne. 
Lembrete: Negação de negação é afirmação. 
Veja: Não é verdade que nem toda estrela está no céu. 
A frase está dizendo que toda estrela está no céu, e, portanto, para negá-la, simplesmente retiramos a expressão 
“Não é verdade”, que vai resultar em: nem toda estrela está no céu. 
 
Exercícios 
1. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, 
necessariamente que 
a) todo C é B 
b) todo C é A 
c) algum A é C 
d) nada que não seja C é A 
e) algum A não é C 
 
2. Na empresa multinacional B&B, todos os funcionários falam Inglês ou Francês. A partir desta informação, 
é correto afirmar que: 
a) algum funcionário da B&B fala Inglês 
b) algum funcionário da B&B fala Francês 
c) todo funcionário da B&B que não fala Francês fala Inglês 
d) todos os funcionários da B&B falam Inglês ou todos os funcionários da B&B falam Francês 
 
3. Se os pais de artistas são sempre artistas, então: 
a) Os filhos de não-artistas nunca são artistas; 
b) Os filhos de não artistas sempre são artistas; 
c) Os filhos de artistas sempre são artistas; 
d) Os filhos de artistas nunca são artistas; 
e) Os filhos de artistas quase sempre são artistas; 
 
4. Todos que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem Maria não a admiram. Logo: 
a) Todos os que conhecem Maria a admiram; 
b) Ninguém admira Maria; 
c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João; 
d) Quem conhece João admira Maria; 
e) Só quem conhecem João e Maria conhece Maria; 
 
 
 
 
MENTIRAS E VERDADES 
 
Este tipo de raciocínio constitui em, a partir da veracidade de algumas afirmações chegarmos a uma 
determinada conclusão. 
Para resolver problemas desse tipo vamos estudar as veracidades, atribuindo valores lógicos, se for necessário, 
e, a todo momento, relacioná-las ao contexto. 
Vejamos um exemplo: 
Um crime foi cometido por uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. 
Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: 
Armando: “Sou inocente”; 
Celso: “Edu é culpado”; 
Edu: “Tarso é o culpado”; 
Juarez: “Armando disse a verdade”; 
Tarso: “Celso mentiu”. 
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir 
que o culpado é: 
a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 
 
Parece muito difícil, mas não é. Observe que, como apenas um deles mentiu, pode-se concluir que essa mentira 
foi de Celso ou de Edu, afinal os dois não poderiam estar falando a verdade ao mesmo tempo. Como um deles 
mentiu o restante fala a verdade e, dessa forma, Tarso diz a verdade quando afirma que Celso mentiu. Sendo 
assim Edu diz a verdade e indica Tarso como o culpado. 
Resposta correta: e). 
 
 
Exercícios 
1. Em seu aniversário de seis anos, Lucas ganhou exatamente três brinquedos: uma bola, um boneco e uma 
bicicleta. Cada um destes presentes foi dado pelo pai, pela avó e pela tia de Lucas, não necessariamente nesta 
ordem. Sabe-se que apenas uma das três afirmações que seguem é verdadeira: 
I- a bola foi o presente dado pelo pai; 
II- o boneco não foi o presente dado pelo pai; 
III- a bicicleta não foi dada pela tia. 
A partir dessas informações, podemos assegurar que os presentes dados a Lucas pelo pai, pela avó e pela tia 
foram, respectivamente: 
a) o boneco, a bicicleta e a bola 
b) a bicicleta, o boneco e a bola 
c) a bola, a bicicleta e o boneco 
d) o boneco, a bola e a bicicleta 
 
2. Fernando, Paulo e José são três amigos. Um eles é casado, outro é divorciado e o outro é viúvo, não 
necessariamente nessa ordem. Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira: 
I- Fernando é divorciado; 
II- José é viúvo; 
III- Paulo não é casado. 
Assim é possível que Fernando, Paulo e José sejam, respectivamente: 
a) viúvo, casado e divorciado 
b) divorciado, casado e viúvo 
c) viúvo, divorciado e casado 
d) casado, divorciado e viúvo 
e) divorciado, casado e viúvo 
 
3. Entre Alberto, Carlos e Eduardo, temos um estatístico, um geógrafo e um matemático, cada um com 
exatamente uma dessas três profissões. Considere as afirmativas a seguir: 
I- Alberto é geógrafo; 
II- Carlos não é estatístico; 
III- Eduardo não é geógrafo. 
Sabendo que apenas uma das afirmações acima é verdadeira, assinale a alternativa que indicam as profissões 
de Alberto, Carlos e Eduardo, nessa ordem: 
a) matemático, geógrafo e estatístico 
b) matemático, estatístico e geógrafo 
c) estatístico, matemático e geógrafo 
d) estatístico, geógrafo e matemático 
e) geógrafo, estatístico e matemático 
 
4. Maria diz a José: “Madalena só fala a verdade”. Madalena retruca imediatamente: “o que Maria acabou de 
dizer é mentira”. Então, José pode concluir que: 
a) Madalena disse a verdade 
b) Maria disse a verdade 
c) Maria e Madalena mentiram 
d) Maria e Madalena disseram a verdade 
e) Madalena mentiu e Maria disse a verdade 
 
5. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; 
Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é 
quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou a Janete". Finalmente, a que está sentada 
à direita diz: "Angélica é quem está no meio. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a 
que está sentada à direita são, respectivamente: 
a) Janete, Tânia e Angélica 
b) Janete, Angélica e Tânia 
c) Angélica, Janete e Tânia 
d) Angélica, Tânia e Janete 
e) Tânia, Angélica e Janete 
 
6. Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram quatro primeiros lugares em um concurso de oratória 
julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas 
colações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa. 
Juiz 1: "André foi o primeiro; Beto o segundo". 
Juiz 2: "André foi o segundo; Dênis foi o terceiro". 
Juiz 3: "Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto". 
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, 
respectivamente, 
a) André, Caio, Beto, Dênis. 
b) Beto, André. Caio, Dênis. 
c) Beto, André, dênis, Caio. 
d) André, Caio, Dênis, Beto. 
e) Caio, Beto, Dênis, André. 
 
7. Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço 
do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. 
O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema 
com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é 
mais moço do que o arquiteto. Logo, 
a) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do que o matemático. 
b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o 
matemático. 
c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o 
agrônomo. 
d) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que 
Luís. 
e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o 
economista. 
 
8. Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um 
Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César 
é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana 
são, respectivamente: 
a) cinza, verde e azul 
b) azul, cinza e verde 
c) azul, verde e cinza 
d) cinza, azul e verde 
e) verde, azul e cinza 
 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
Proposição 
 
É todo conjunto de palavras ou símbolos que interpretamou representam uma ideia ou pensamento completo. 
Ex.: Ana é mineira. 
 Paulo foi ao cinema. 
 Carla é carioca. 
As proposições podem ser classificadas em Proposições Simples ou Proposições Compostas. 
As proposições citadas acima são todas simples. Se tivermos duas ou mais proposições ligadas por conectivos, 
teremos uma proposição composta. 
Ex.: Ana é mineira e Carla é carioca. 
 
Principais conectivos lógicos 
E 
Conectivo aditivo (ou de conjunção). 
Ex.: Ana é mineira e Carla é carioca. 
 
Ou 
Conectivo de união (ou de disjunção). 
Ex.: Ana é mineira ou Carla é carioca. 
 
Se.... então.... 
Conectivo de Implicância (ou condicional). 
Ex.: Se Ana é mineira então Carla é carioca. 
 
....se e somente se.... 
Conectivo de equivalência (ou bicondicional). 
Ex.: Ana é mineira se e somente se Carla é carioca. 
 
Operadores lógicos (simbologia) 
(~,¬) Negação: 
Tome uma afirmação (ou proposição) qualquer, definindo-a como a proposição A, chamamos de não A, a sua 
negação que é representada por: ~A. 
Ex.: A: Ana é mineira. 
 ~A, ¬A: Ana não é mineira. 
 
(ᴧ) Conjunção: 
Dadas a proposição A e a proposição B, chamamos de A e B a conjunção (ou adição) dessas proposições e 
representamos por: AᴧB 
Ex.: A: Ana é mineira. 
 B: Carla é carioca. 
 AᴧB: Ana é mineira e Carla é carioca. 
 
(v) Disjunção: 
Dadas a proposição A e a proposição B, chamamos de A ou B a disjunção (ou união) dessas proposições e 
representamos por: AvB. 
Ex.: A: Ana é mineira. 
 B: Carla é carioca. 
 AvB: Ana é mineira ou Carla é carioca. 
 
( v ou v...v...) Disjunção exclusiva: 
Da mesma forma que o anterior, porém neste caso, a ocorrência de uma proposição exclui a possibilidade da 
outra acontecer. (São eventos complementares). 
Ex.: A: Ana é mineira. 
 B: Ana é carioca. 
 AᴧB: Ana é mineira ou Ana é carioca. (Ana não pode ser mineira e carioca ao mesmo tempo). 
 
(→) Condicional 
Dadas a proposição A e a proposição B, chamamos de se A então B a condicional de A e B (ou implicância 
de A em B) dessas proposições e representamos por: A→B 
Ex.: A: Ana é mineira. 
 B: Carla é carioca. 
 A→B: Se Ana é mineira então Carla é carioca. 
(↔) Bicondicional 
Dadas a proposição A e a proposição B, chamamos de A se e somente se B a bicondicional de A e B (ou 
equivalência entre A e B) dessas proposições e representamos por: A↔B 
Ex.: A: Ana é mineira. 
 B: Carla é carioca. 
 A↔B: Ana é mineira se e somente se Carla é carioca. 
 
Principais tabelas verdade 
Dada uma proposição (uma afirmação) qualquer. A ela pode ser aplicada a lei do terceiro excluído, ou seja, 
ela só pode assumir dois valores lógicos, ou será Verdadeira (V) ou será Falsa (F), não existe um terceiro 
caso. 
A partir disso podemos determinar os possíveis valores lógicos em cada caso de conexão lógica, atribuindo-
se a elas os valores V ou F, de forma que estejam presentes todas as combinações possíveis. Os possíveis 
resultados podem ser dispostos em uma tabela para melhor visualização. 
Vejamos os principais casos de tabelas verdade: 
 
Negação 
Dada a proposição A: Ana é mineira. 
Podemos ter então: 
A ~A 
V F Quando A é verdadeira, o valor lógico que ~A assume é falso. 
F V Quando A é falso, o valor lógico que ~A assume é verdadeira. 
 
 
Conjunção 
Dadas as proposições: A: Ana é mineira; B: Carla é carioca; e AᴧB: Ana é mineira e Carla é carioca. Teremos 
a seguinte tabela verdade: 
 
No caso da conjunção, a conclusão, ou valor lógico, será verdadeira apenas quando as duas 
proposições forem verdadeiras como podemos observar ao lado. 
 
 
 
 
Disjunção 
Dadas as proposições: A: Ana é mineira; B: Carla é carioca; e A v B: Ana é mineira ou Carla é carioca. 
Teremos a seguinte tabela verdade: 
 
No caso da disjunção, a conclusão, ou valor lógico, será verdadeira quando ao menos uma 
das duas proposições for verdadeira como podemos observar ao lado. 
 
Condicional 
Dadas as proposições: A: Ana é mineira; B: Carla é carioca; e A→B: Se Ana é mineira 
então Carla é carioca. Teremos a seguinte tabela verdade: 
 
No caso da condicional, a conclusão, ou valor lógico, será falso apenas quando, 
sendo a primeira verdadeira, a segunda for falsa, como podemos observar ao lado. 
 
Na condicional uma condição é necessária para outra enquanto a outra é suficiente para 
uma. 
Vamos analisar a afirmação Se Ana é mineira então Ana é Brasileira. Simbolicamente 
A→B, com: 
A: Ana é mineira. 
B: Ana é brasileira. 
 
Observe que não há possibilidade de Ana ser mineira sem que ela seja brasileira. Ou seja, para Ana ser mineira 
é necessário ela ser brasileira. Logo B é condição necessária para A. 
Por outro lado, Ana pode ser brasileira sem que seja mineira, mas saber que ela é mineira é informação 
suficiente para concluir que ela é brasileira. Logo A é condição suficiente para B. 
 
Bicondicional 
A B AᴧB 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
A B AvB 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
A B A→B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
Dadas as proposições: A: Ana é mineira; B: Carla é carioca; e A↔B: Ana é mineira se e somente se Carla é 
carioca. Teremos a seguinte tabela verdade: 
 
No caso da disjunção, a conclusão, ou valor lógico, será falso apenas quando as duas 
proposições possuem ao mesmo tempo o mesmo valor lógico, como podemos observar ao 
lado. 
Na bicondicional a relação entre as condições é de necessário e suficiente. 
Vamos analisar a afirmação Se Ana é mineira então Ana nasceu em Minas Gerais. 
Simbolicamente A→B, com: 
A: Ana é mineira. 
B: Ana nasceu em MG. 
 
Observe que não há possibilidade de Ana ser mineira sem que ela tenha nascido em MG, e ao mesmo tempo 
não há possibilidade de Ana nascer em MG e não ser mineira. Logo tanto A é condição necessária para B, 
quanto B é condição necessária para A. E, sendo A necessária para B, B seria suficiente para A. 
Ainda, B é condição necessária para A, o que faz A ser condição suficiente para B. 
Daí, podemos dizer que: 
A é condição necessária e suficiente para B, quanto B é condição necessária e suficiente para A. 
 
Tautologia 
Chama-se tautologia toda proposição que é sempre verdade, independentemente da veracidade dos termos 
que a compõem. 
Vejamos um exemplo de tautologia: 
 “Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.” 
 A A B 
Fazendo a tabela verdade da proposição, teremos: 
Observe que a coluna dos valores lógicos é composta apenas do valor 
V. Logo a proposição é uma tautologia. 
Contradição 
Chama-se contradição toda proposição que é sempre falsa, ou seja, que apresente na tabela verdade apenas o 
valor lógico F na última coluna. Vejamos um exemplo: 
A proposição “P e ~P”, cuja tabela verdade é: 
P ~P P→~P 
V F F 
F V F 
O valor lógico é sempre F, portanto trata-se de uma contradição. 
 
Contingência 
Chamamos de contingência toda proposição que apresenta em seu valor lógico os valores V e F. Vejamos: 
A proposição: 
 
“Se chove eu não vou ao cinema” 
 A ~B 
Cuja tabela verdade é: 
A ~B A→~B 
V F F 
V V V 
F F V 
F V V 
Note que na última coluna aparecem os valores lógicos V e F. Então a proposição é uma contingência. 
 
Argumento 
Argumento é uma sequência de proposições P1, P2,...,Pn (n≥1) que acarreta uma proposição final. 
Assim, P1, P2,...,Pn são as premissas do argumento. 
A B A↔B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
A B AvB A→AvB 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
A proposição final é a conclusão do argumento. 
A notação simbólica de um argumento é: 
P1, P2,...,Pn Ⱶ Q 
Obs.: quando um argumento consiste de duas premissas e uma conclusão, temos um silogismo. 
 
Validade de um argumento 
P1, P2,...,Pn Ⱶ Q é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira sempre que as premissas P1, P2,...,Pn são 
verdadeiras. 
Obs.: Um argumento não válido é um sofisma. 
Vejamos um exemplo de como determinara validade de um argumento: 
1. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a 
verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo, 
a) Nestor e Júlia disseram a verdade. 
b) Nestor e Lauro mentiram. 
c) Raul e Lauro mentiram. 
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. 
e) Raul e Júlia mentiram. 
 
Determinando as proposições. 
A: Nestor disse a verdade; B: Júlia disse a verdade; C: Raul disse a verdade; D: Lauro disse a 
verdade; E: há um leão na sala; 
 
Escrevendo simbolicamente as premissas: 
A→(~Bᴧ~C); ~C→D; D→E; 
Sabemos que E é falsa. 
Então D→E será verdade somente para D falsa; (lembre-se que: F→F=V e V→F=F, logo a premissa seria 
falsa); 
Logo para ~C→D será verdade apenas se ~C for falsa, mesmo caso acima; 
Se ~C é falsa então (~Bᴧ~C) é falsa independentemente do valor lógico de ~B; 
E se (~Bᴧ~C) é falsa, A→(~Bᴧ~C) será verdade apenas para A falsa. 
Então: 
A é (F), ~B (?) então B (?), ~C é (F) então C é (V), D é (F). 
Que significa que: 
Nestor mentiu; 
Júlia disse a verdade ou mentiu – não se sabe; 
Raul disse a verdade; 
Lauro mentiu; 
Não há um leão na sala; 
Portanto a única alternativa possível é a letra B. 
 
Exercícios 
01. As proposições: 
I. (p -> ~q) v q II. ~p <-> p ^ (p v q) III. p ^ ~q -> ~p v q 
são, respectivamente, 
a) tautologia, contradição e contingência. 
b) contingência, tautologia e contradição. 
c) contradição, contingência e tautologia. 
d) contradição, tautologia e contingência. 
e) tautologia, contradição e contradição. 
 
02. (MPOG 2001) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer 
que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
03. (ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, 
então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: 
a) Jorge é juiz e Breno é bonito 
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito 
c) Breno é bonito e Ana é artista 
d) Ana é artista e Carlos não é carioca 
 
04. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia 
viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: 
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. 
b) Camile e Carla não foram ao casamento. 
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. 
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. 
e) Vera e Vanderléia não viajaram. 
 
05. Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao 
bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo: 
a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia 
b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia 
c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz 
d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz 
e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz 
 
06. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de 
Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem 
Inês é filha de Isa. 
a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. 
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. 
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. 
d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. 
e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda. 
 
07. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro 
não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: 
a) Pedro é português e Frederico é francês 
b) Pedro é português e Alberto é alemão 
c) Pedro não é português e Alberto é alemão 
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês 
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 
 
08. Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda 
Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: 
a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina 
b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina 
c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina 
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática 
e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia 
 
09. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o 
passarinho canta. Logo: 
a) jardim é florido e o gato mia 
b) jardim é florido e o gato não mia 
c) jardim não é florido e o gato mia 
d) jardim não é florido e o gato não mia 
e) se o passarinho canta então o gato não mia 
 
10. José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo", mas não tem certeza se o mesmo está sendo 
exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. 
Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís 
estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, 
ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: 
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido 
b) Luís e Júlio não estão enganados 
c) Júlio está enganado, mas não Luís 
d) Luís está engando, mas não Júlio 
e) José não irá ao cinema 
 
11. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi 
efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-
se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a 
governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: 
a) a governanta e o mordomo são os culpados 
b) somente o cozinheiro é inocente 
c) somente a governanta é culpada 
d) somente o mordomo é culpado 
e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Conjunto dos números naturais IN 
IN = {0, 1, 2, 3, 4, ....} – Conjunto dos números que usamos para contar. 
IN* = {1, 2, 3, 4, ...} – Exclui-se o zero 
Os números naturais podem ser classificados como: 
Pares: quando forem divisíveis por 2; 
Ímpares: quando não forem divisíveis por 2; 
Primos: quando possuírem apenas dois divisores distintos; 
Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ....} 
Compostos: quando tiverem mais de dois divisores; 
Obs.: 0 e 1 não são primos nem compostos. 
 
Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) 
Todo número composto pode ser escrito como um produto de primos. 
Ex.: 12 = 2.2.3 8 = 2.2.2 39 = 3.13 
O processo de escrever o número composto como produto de primos é dito fatoração. 
 
Múltiplo de um número 
Dizemos que um número natural a é múltiplo de um número natural b quando existe um número natural k, de 
forma que a = b.k. Ou seja, a é múltiplo de b quando a pode ser obtido através da multiplicação de b por um 
número natural. Veja: 
42 é múltiplo de 7 pois 7.6 = 42. (observe que 42 também será múltiplo de 6) 
 
Divisor de um número 
Dizemos que um número natural p é divisor de um número natural q quando existe um número natural k de 
forma que 
𝒒
𝒑
 = k. Ou seja, p é divisor de q quando q pode ser dividido por p. Veja: 
8 é divisor de 56 pois 
𝟓𝟔
𝟖
= 𝟕. 
Obs.: De 
𝒒
𝒑
= 𝒌 podemos chegar em q = p.k, e assim concluímos que: 
p ser divisor de q faz q ser múltiplo de p. 
 
mmc – mínimo múltiplo comum 
Consideramos dois ou mais números naturais seu mmc será o menor número que é múltiplo de todosos 
números em questão. 
Ex.: mmc(6, 15, 18) = 90 - observe que existem vários números que são múltiplos de 6, 15 e 18 (90, 180, 
270, ...), porém o menor deles é 90. 
Para calcular o mmc entre um conjunto de números efetuamos divisões sucessivas por números primos, 
iniciando dos menores, até obter 1 para todos os números. O produto entre os primos divisores é o mmc. Veja: 
 
 
mdc – máximo divisor comum 
Considerados dois ou mais números naturais seu mdc será o maior número que divide todos os números em 
questão. 
Ex.: mdc (75 , 90) = 15 - observe que 75 e 90 possuem alguns divisores comuns (1, 3, 5, 15) porém o maior 
deles é 15. 
Para calcular o mdc entre dois números, efetuamos divisões sucessivas até encontrar resto 0. Essas divisões 
são efetuadas sempre do número maior pelo número menor, caso o resto seja diferente de zero, dividimos o 
menor dos números pelo resto, se o novo resto continuar diferente de zero, dividimos o resto anterior pelo 
novo resto, assim sucessivamente até que o resto seja 0, quando obtivermos resto zero o resto anterior é o mdc 
procurado. Veja: 
 
 
E também: mdc (195, 120) = 15 
 
mdc (32, 27) = 1. Quando isso ocorre (mdc = 1) dizemos que os números são primos entre si. 
 
Quando queremos o mdc entre mais de dois números calculamos o mdc de um par desses números e 
substituímos esse par pelo seu mdc. Vejamos: 
mdc (45, 60, 80) = mdc (15, 80) pois mdc (45, 60) = 15 (verifique!) 
também mdc (45, 60, 80) = mdc (45, 20) pois mdc (60, 80) = 20 (verifique!) 
e ainda mdc (45, 60, 80) = mdc (5, 60) pois mdc (45, 80) = 5 (verifique!) 
assim mdc (15, 80) = mdc (45, 20) = mdc (5, 60) = mdc (45, 60, 80) = 5. 
 
Exercícios 
1. Ao decompor o número 3500 em fatores primos obtemos 2m.5n.7p. Assim o valor da expressão 2m + n – p 
é: 
a) 0 b) 3 c) 6 d) 7 
 
2. Existem quatro números naturais cuja forma fatorada pode ser expressa por 2m.3n, tal que m + n = 5 e m ≠ 
0 e n ≠ 0. O maior desses números é: 
a) 72 b) 162 c) 216 d) 48 
 
3. O maior número que divide ao mesmo tempo os números 170, 204 e 272 é: 
a) 68 b) 48 c) 72 d) 34 
 
4. Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e tamanho o maior possível. Se uma 
delas tem 196 cm e a outra 140 cm, quanto deve medir cada pedaço? 
a) 56 b) 26 c) 28 d) 12 
 
5. Qual o menor número natural, diferente de zero, divisível ao mesmo tempo por 6, 9 e 12? 
a) 36 b) 72 c) 18 d) 96 
 
6. Um colecionador possui um número de moedas antigas entre 150 e 200. Agrupando-as de 12 em 12, 15 em 
15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Quantas moedas tem esse colecionador? 
a) 180 b) 190 c) 150 d) 200 
 
7. O maior número pelo qual devemos dividir os número 216 e 169 para obter os restos 6 e 1, respectivamente 
é: 
a) 14 b) 21 c) 42 d) 70 
 
8. Quando se decompõe 240 em fatores primos, obtém 2xx3yx5z . Então p valor de x + y + z é: 
a) 4 b) 6 c) 5 d) 8 
 
9. Mariana e Gabriela são irmãs e vão ao dentista para ajustar os aparelhos que usam. Mariana vai a cada 25 
dias, enquanto Gabriela vai a cada 40 dias. Há 15 dias atrás as duas irmãs foram juntas ao dentista. Daqui 
a quantos dias, a contar de hoje, elas irão juntas novamente ao dentista? 
a) 185 b) 175 c) 200 d) 150 
 
10. Duas pessoas, fazendo seus exercícios diários, partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma 
pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e dá uma volta completa na pista em 12 
minutos, enquanto a outra leva 20 minutos para completar a volta. Saindo juntas de um determinado ponto, 
após quanto tempo elas sairão juntas novamente? 
a) 1h 20 min b) 1h 00 min 
 
c) 50 min d) 40 min 
 
Conjunto dos números inteiros – Z 
 
Z = {..., -3, -2 -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Números negativos, positivos e o zero, mas não admite partes. 
 
Adição de inteiros 
Para somar inteiros é preciso levar em consideração o seu sinal. Número com sinais iguais terá como resultado 
a soma dos valores absolutos desses números e possuirá o sinal dos mesmos. 
Ex.: - 3 + ( - 4) = - 7 
Para inteiros de sinais opostos, podemos associar os números negativos a uma dívida e os positivos a um 
crédito. E assim fazemos o cálculo observando se restará uma dívida (número negativo) ou um crédito (número 
positivo). 
Ex.: -10 + 13 = + 3, pois se devemos 10 e temos 13, pagamos a divida de 10 e nos restará de crédito 3. 
23 + (- 32) = - 9, pois temos 23 e devemos 32, pagamos os 23 e nos restará uma dívida de 9. 
 
Subtração de inteiros 
A única observação a ser feita é que na subtração de números inteiros o sinal de menos (-) inverte o sinal do(s) 
número(s) que o procede. 
Assim – 3 – (+ 4) pode ser escrito como – 3 – 4 que resulta em – 7. 
Outros exemplos: 
6 – (– 5) = 6 + 5 = 11. 
3 – ( + 6 – 5) – 4 = 3 – 6 + 5 – 4 = – 3 + 1 = – 2 
 
Multiplicação/divisão de inteiros 
Para a multiplicação/divisão de inteiros devemos efetuar a operação de multiplicação/divisão e ter em mente 
que, considerados dois a dois, a operação realizada entre números de mesmo sinal resulta em um valor 
positivo, e com sinais diferentes em um valor negativo. 
Assim: 
(+3).(+4) = + 12 ; (-3).(-4) = +12 ; (+3).( - 4) = - 12 e (-3).(+4) = - 12 
(+12):(+4) = +3 ; (-12):(-4) = +3 ; (-12):(+4) = -3 e (+12):(- 4) = - 3 
Quando envolve o zero, para a multiplicação o resultado será nulo, independendo da quantidade de fatores, e 
para a divisão o valor será nulo apenas quando o numerador (ou dividendo) for nulo, pois o denominador (ou 
divisor) não pode ser nulo. 
Assim: 
0.(+2).(-5) = 0; 0:(-23) = 0 (-12):0 = não existe! 
 
Potenciação de inteiros 
Para realizar a potenciação devemos fazer uso das regras de multiplicação de inteiros. Assim temos os 
seguintes casos: 
I. Sendo a base positiva, para qualquer que seja o expoente inteiro o resultado será positivo. 
II. Sendo a base negativa, o resultado será positivo quando o expoente for um inteiro par e negativo 
quando o expoente for um inteiro ímpar. 
Vejamos alguns exemplos: 
a) (+ 3)4 = + 81 
b) (- 3)4 = + 81 
c) (- 3)3 = - 27 
d) – 34 = - 81, observe que neste caso o sinal de negativo não pertence à base e sim à potencia e, sendo 
assim, o resultado da potência será sempre negativo, independente da paridade do expoente. 
 
Radiciação de inteiros 
Para efetuar a radiciação com números inteiros, devemos saber que: 
I. Se o índice da raiz (quadrada, cúbica, quarta, ...) for ímpar a raiz existirá, qualquer que seja o 
radicando (número do qual desejamos extrair a raiz); 
II. Se o índice da raiz (quadrada, cúbica, quarta, ...) for par a raiz existirá, apenas se o radicando 
(número do qual desejamos extrair a raiz) não for negativo; 
Assim: 
a) √27
3
= 3 
b) √−27
3
= −3 
c) √16
4
= 2 
d) √−16
4
= não existe! 
Obs.: Em expressões numéricas devemos resolver primeiramente as potências e raízes, logo em seguida as 
multiplicações e divisões e por final somas e subtrações, sempre respeitando os sinais de associação – { }, [ ] 
, ( ) 
 
Exercícios 
Resolva as expressões a seguir: 
1. (√100 − 102): 3 R: -30 
2. {[52 − 6. (−5)]: (−11) + 3. (7 − 11)}. (−3) − 2 R: 49 
3. {[7 − 3. (−8)] + (−3)2}: (−2³) R: -5 
4. −8 − 10. {[23 + (−2)3]: (−113)} R: -8 
5. −37 + √144 + 3. (62 − 1) R: 80 
 
Conjunto dos números racionais Q 
𝑄 = {
𝑎
𝑏
, 𝑎 ∈ 𝑍 𝑒 𝑏 ∈ 𝑍*} 
Conjunto dos números que podem ser expressos em forma de fração de inteiros. 
Neste conjunto estão todos os inteiros (-3, -5, 3, 7, 0, etc), os decimais exatos (-1,2; 3,6; 5,2; -0,71; etc) e as 
dízimas periódicas (1,222.....; 0,414141...; -3,0125555...) 
Um número que é uma dízima não é necessariamente racional, ele deve ser uma dízima periódica. 
Os números racionais podem ser representados na forma decimal e na forma de fração. 
Veja que 
1
4
= 0,25 e 
10
40
= 0,25. 
Existem frações diferentes que possuem o mesmo valor numérico, e essas frações são chamadas de frações 
equivalentes. 
Duas frações são ditas frações equivalentes quandoo produto entre o numerador da primeira pelo denominador 
da segunda é igual ao produto do numerador da segunda pelo denominador da primeira. 
No caso de 
10
40
 e 
1
4
 podemos observar que 4.10 = 40.1. 
De outra forma, dada uma fração qualquer, uma fração equivalente pode ser obtida multiplicando ou dividindo 
o numerador e o denominador dessa fração pelo mesmo número. 
Ex.: 
 
 
As frações cujo numerador e denominador não possuem divisores comuns são ditas frações irredutíveis. 
Ex.: 
2
3
; 
5
8
; 
13
5
 são frações irredutíveis. 
2
6
; 
4
12
; 
20
12
 são frações redutíveis o numerador e o denominador de cada uma delas possuem divisores comuns 
que são 2, 4 e 4 respectivamente. 
Para escrever uma fração em um número decimal basta efetuar a divisão entre o numerador e o denominador 
(nesta ordem). 
Assim 
7
4
= 1,75 , pois 7 : 4 = 1,75. 
Para escrever um número decimal em forma de fração devemos primeiro observar se o número é um decimal 
exato ou uma dízima periódica. 
Se for decimal exato devemos desconsiderar a virgula e dividir o número resultante pelo número formado pelo 
número 1 seguido de tantos zeros quantas são as casas decimais. 
Ex.: 0,25 =
25
100
=
25:25
100:25
=
1
4
 ; 3,2 =
32
10
=
32:2
10:2
=
16
5
 
 
Caso seja uma dízima periódica agimos da seguinte forma: 
Se for uma dízima periódica simples, ou seja, não possuir parte inteira nem antiperíodo, apenas período, 
devemos identificar o período e dividi-lo pelo número formado por tantos noves quantos forem os algarismos 
do período. 
Ex.: 0,222 … . =
2
9
 ; 0,212121 … . =
21
99
=
21:3
99:3
=
7
33
 
 
Caso seja uma dízima periódica composta, ou seja, possuir além do período, antiperíodo ou parte inteira 
devemos considerar, sem a virgula, o número formado por todos os algarismos até o período, e subtrair pelo 
número formado, sem a vírgula, pelos algarismos anteriores ao período e subtrair pelo número formado por 
uma sequência de tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos 
forem os algarismos do antiperíodo (números que ficam entre a vírgula e o período). 
Ex.: 2,0122 … . =
2012−201
900
=
1811
900
 ; 3,13434 … . =
3134−31
990
=
3103
990
 
 
Adição/subtração de racionais 
Se forem racionais na sua forma decimal somamos/subtraímos parte inteira com parte inteira e parte decimal 
com parte decimal, e caso a parte decimal alcance um ou mais inteiros ele(s) deve ser adicionado à soma de 
inteiros. Isso quer dizer que, na estrutura da soma devemos posicionar as vírgulas uma embaixo da outra e 
efetuarmos a soma/subtração da maneira rotineira. 
Veja: 
Para somar 34,2 e 17,34 temos: 
 
Caso estejam na forma de fração devemos observar se os denominadores são iguais, caso sejam, o 
conservamos e somamos/subtraímos os denominadores. 
Ex.: 
2
7
+
12
7
=
2 + 12
7
=
14
7
= 2 
Caso sejam denominadores distintos, calculamos o mmc entre todos os denominadores e este será nosso novo 
denominador, dividimos no mmc por cada um dos denominadores e o resultado obtido multiplicamos pelo 
numerador da fração que contém o denominador pelo qual foi dividido o mmc para obter o novo numerador, 
repetimos esse processo em todas as frações até que todos os denominadores tenham sido transformados. 
Somamos/subtraímos os novos numeradores e dividimos pelo novo denominador. 
Ex.: 
3
4
−
5
3
+
1
6
 
 
Multiplicação de racionais 
Para multiplicar racionais na sua forma decimal, ignoramos as vírgulas e multiplicamos de maneira rotineira. 
Ao terminar a multiplicação contamos o total de casas decimais dos números e fazemos com que o resultado 
possua o mesmo número de casas decimais. 
Vejamos: 
 
No caso das frações multiplicamos o numerador da primeira pelo numerador da segunda e o denominador da 
primeira pelo denominador da segunda. A fração resultante terá como numerador o produto entre os 
numeradores e como denominador o produto dos denominadores. 
Vejamos: 
 
 
Divisão de números racionais 
Para dividir números racionais na sua forma decimal é preciso fazer com que os números possuam o mesmo 
número de casas decimais completando com zeros quando possível e necessário. Em seguida desprezamos a 
vírgula e dividimos o número normalmente. 
Vejamos: 
 
Para dividir números racionais na forma de fração agimos devemos conservar a primeira fração (o numerador) 
e multiplicar pelo inverso da segunda (o denominador). 
Vejamos: 
 
 
 
Potenciação de racionais 
Como a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, agimos assim como na multiplicação. Só devemos 
estar atentos ao seguinte fato: a potência da fração é a fração das potências. 
Vejamos: 
 
Observe que em i a potência é da fração, já em ii a potência é apenas em 3. 
 
Radiciação de racionais 
Funciona assim como na potenciação. 
Vejamos: 
 
Observe que em i a raiz é da fração, já em ii a raiz é apenas em16. 
 
Frações próprias e frações impróprias 
Em uma fração, quando o numerador é menor que o denominador, dizemos que essa fração é própria e seu 
valor estará entre -1 e 1, ou seja, sua parte inteira é nula. 
Já quando o numerador é maior que o denominador, sua parte inteira é maior que 0. 
Vejamos: 
 
 
Números mistos 
Dados três números inteiros n, a, e b, com n ≠ 0 e 0 < a < b, denomina-se número misto à representação de 
um número racional escrito sob a forma 
 
Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, ou seja, se a fração 
for imprópria, então, pode-se representar o seu resultado por um número misto. 
 
Exemplo: 
A divisão inteira de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2. Então, pode-se escrever: 
 
 
Exercícios 
1. Um número x é dado por (12 x 0,06 x 10²) : 10³. Então x é: 
a) 0,72 b) 0,0072 c) 7,2 d) 0,072 
 
2. Laura comprou 3,5 quilogramas de batata. Júlia comprou a metade do que Laura. Quantas quilogramas 
Júlia comprou? 
a) 1,75 b) 1,05 c) 7 d) 1,25 
 
3. Uma máquina A realiza determinado trabalho em 6 dias, trabalhando 8 horas em cada dia. Uma máquina B 
realiza este mesmo trabalho em 4 dias trabalhando também 8 horas por dia. Se as duas máquinas 
trabalharem juntas, é CORRETO afirmar que elas terminarão o serviço em: 
a) 2 dias e 4 h b) 2 dias 4 h e 25 min c) 2 dias 3 horas e 12 min d) 2 dias 40 min 
 
4. Um garoto possui 2/3 da altura de seu pai que correspondem a 4/3 da altura de seu irmão mais moço. Qual 
é a altura deste último se a altura do pai é 180 cm? R: 90cm 
5. No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez 3/5 do percurso. No segundo dia, andou 1/3 do restante. 
Quanto falta para completar a jornada se o percurso completo é de 750 km? R: 200km 
 
6. Se um rapaz separar o dinheiro que tem em três partes, sendo a primeira igual à terça parte e a segunda 
igual à metade do total, então a terceira parte será de R$ 35,00. Quanto dinheiro tem este rapaz? 
R: R$ 210,00 
 
7. A idade de Antônio é 1/6 da idade de Benedito, César tem metade da idade de Antônio e Dilson tem tantos 
anos quantos César e Antônio juntos. Quais são as idades de cada um deles se a soma das quatro idades é 
54 anos? R: Antônio 6 anos, Benedito 36 anos, César 3 anos e Dilson 9 anos. 
 
8. A soma de três números é 110. Determinar o maior deles sabendo que o segundo é um terço do primeiro e 
que o terceiro é 3/8 da soma dos dois primeiros. R: 60 
 
9. Dividir R$ 270,00 em três partes tais que a segunda seja um terço da primeira e a terceira seja igual à soma 
de um duodécimo da primeira com um quarto da segunda. R:180, 60, 30 
 
10. Determine o preço de custo de uma mercadoria sabendo que haveria um lucro de 1/5 do preço de custo 
se ela fosse vendida por R$ 60,00. R: R$50,00 
 
11. Um comerciante gastou 1/5 do que tinha em sua conta corrente. Em seguida, gastou 2/7 do restante 
ficando ainda com um saldo de R$ 2.000,00. Considerando que havia inicialmente na conta corrente 5/6 
do total que o comerciantepossuía entre uma conta de poupança e a conta corrente, determine o valor que 
havia na conta de poupança. R: R$700,00 
 
12. Se adicionarmos a terça parte de um número à sua metade o resultado obtido será 3 unidades menor 
que o número inicial. Qual é este número? R: 6 
 
13. Márcio tinha R$ 116,00 que estavam divididos em partes diferentes entre os dois bolsos da calça que 
usava. Se ele gastasse a quinta parte do que havia no bolso esquerdo e a sétima parte do que havia no bolso 
direito restariam quantias iguais nos dois bolsos. Quanto havia em cada bolso? 
R: R$60,00 no bolso esquerdo e R$56,00 no bolso direito. 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
Chama-se razão de dois números dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, o quociente 
do primeiro pelo segundo. 
Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita "razão de a para b" e representada como: 
 
Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado consequente da razão dada. 
Ao representar uma razão frequentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que possível, 
torná-los inteiros. 
 
Exemplos: 
A razão entre 0,25 e 2 é: 
 
Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. 
A proporção 
 
pode ser lida como "a está para b assim como c está para d' e representada como a: b: c: d. Nesta proporção, 
os números a e d são os extremos e os números b e c são os meios. 
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Quarta proporcional de três números dados a, b e c nesta ordem, é o número x que completa com os outros 
três uma proporção tal que: 
 
 
Exemplo: 
Determinar a quarta proporcional dos números 3 , 4 e 6 nesta ordem. 
Solução: 
 
 
Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou mais razões. 
Exemplo: 
 
 
Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1. 
Exemplo: 
 
então dizemos que "3 está para 5 na razão inversa de 10 para 6" ou então que "3/5 está na razão inversa de 
10/6" ou ainda que "3/5 e 10/6 são razões inversas". 
Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra. 
 
Exemplo: 
3/5 e 10/6 são razões inversas. Então, 3/5 faz proporção com 6/10 (que é o inverso de 10/6) enquanto 10/6 faz 
proporção com 5/3 (que é o inverso de 3/5). 
 
Exercícios 
1. Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que a soma deles é 48. R: 18, 30. 
 
2. Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que o segundo supera o primeiro em 60 
unidades. R: 150, 90. 
 
3. A razão entre dois números é igual a 4/5. Determine-os sabendo que eles somam 72. R: 32, 40. 
 
4. A razão entre dois números é igual a 4/5. Determine-os sabendo que o segundo supera o primeiro em 12 
unidades. R: 48, 60. 
 
5. Determine dois números na proporção de 2 para 7 sabendo que o dobro do primeiro mais o triplo do 
segundo resulta igual a 100. R: 8, 28. 
 
6. Determine dois números na proporção de 2 para 7 sabendo que o quíntuplo do primeiro supera o segundo 
em 48 unidades. R: 32, 112. 
 
7. Dois números positivos encontram-se na proporção de 11 para 13. Determine-os sabendo que a soma de 
seus quadrados resulta em 29.000. R: 110, 130. 
 
8. Dois números negativos encontram-se na proporção de 7 para 3. Determine-os sabendo que o quadrado do 
primeiro supera o quadrado do segundo em 360. R: -21, -3. 
 
9. Dois números inteiros encontram-se na proporção de 3 para 5. Determine-os sabendo que o produto deles 
é igual a 60. R: 6, 10 ou -6, -10 
 
10. Encontre os três números proporcionais a 5, 6 e 7, sabendo que a soma dos dois menores é igual a 132.
 R: 60, 72, 84. 
 
11. Encontre os três números proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a diferença entre o maior deles e o menor é 
igual a 40. R: 60, 80, 100. 
 
12. Três números proporcionais a 5, 6 e 7 são tais que a diferença do maior para o menor supera em 7 
unidades a diferença entre os dois maiores. Quais são estes números? R: 35, 42, 49. 
 
13. Três números são tais que o primeiro está para o segundo assim como 2 está para 5 enquanto a razão 
do terceiro para o primeiro é 7/2. Quais são estes números, se a soma dos dois menores é igual a 49? 
R: 14, 35, 49. 
 
14. Para usar certo tipo de tinta concentrada, é necessário diluí-la em água na proporção de 3 : 2 (proporção 
de tinta concentrada para água). Sabendo que foram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos 
litros de tinta serão obtidos após a diluição na proporção recomendada? R: 15 
 
15. Três números são proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabendo que o quíntuplo do primeiro, mais 
o triplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles? R: 10 
 
16. Dois números estão entre si na razão inversa de 4 para 5. Determine-os sabendo que a soma deles é 
36. R: 20, 16. 
 
17. A diferença entre dois números é 22. Encontre estes números, sabendo que eles estão entre si na razão 
inversa de 5 para 7. R: 77, 22. 
 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dada a sucessão de valores (a1, a2, a 3, a4, ... ), dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos 
correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b 3, b 4, ...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma 
das sucessões e o valor correspondente da outra. 
 
O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamado 
de fator de proporcionalidade. 
 
Exemplo: 
Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 
respectivamente, pois as razões 
 são todas iguais, sendo igual a 1/2 o fator de proporcionalidade da primeira para a segunda. 
Como se pode observar, as sucessões de números diretamente proporcionais formam proporções múltiplas 
(já vistas no capítulo de razões e proporções). Assim sendo, podemos aproveitar todas as técnicas estudadas 
no capítulo sobre proporções para resolver problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais. 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores são 
inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão b1, b2, b3, b4, ... ), todos também 
diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor 
correspondente da outra. 
Exemplo: 
Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 
2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 são todos iguais. 
Relação entre proporção inversa e proporção direta 
Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são inversamente 
proporcionais aos números da outra, então os números de uma delas serão diretamente proporcionais aos 
inversos dos números da outra. 
Esta relação nos permite trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais como se fossem 
diretamente proporcionais. 
 
Divisão em portes proporcionais 
1°caso: Divisão em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, c, ..., significa encontrar os 
números A, B, C, ..., tais que 
 
 
Exemplo: 
Dividir o número 72 em três partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. 
Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que: 
A=3p, B=4p, C=5p e A+B+C=72 
portanto: 3p + 4p + 5p = 72 → 12p = 72 → p = 6 
valor de A → 3p = 3 x 6 = 18 
valor de B → 4p = 4 x 6 = 24 
valor de C → 5p = 5 x 6 = 30 
Portanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30. 
 
2º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais 
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c,..., significa encontrar os 
números A, B, C, ... tais que 
a x A = b x B = c x C =... e A+B+C+...= N 
 
Exemplo: 
Dividir 72 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. 
Usando a relação entre proporçãoinversa e proporção direta vista na página 70, podemos afirmar que as partes 
procuradas serão diretamente proporcionais a 
 Reduzindo as frações ao mesmo denominador, teremos: 
Desprezar os denominadores (iguais) manterá as proporções e ainda simplificará nossos cálculos. 
Então, poderemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). 
Indicando por A, B e C as três partes procuradas, teremos: 
A = 4p, B = 3p, C = 1p 
A + B + C = 72 → 4p + 3p + 1p = 72 → 8p = 72 → P = 9 
Assim, concluímos que: A = 4p = 4 x 9 = 36, 
B = 3p = 3 x 9 = 27 e 
C = 1p = 1 x 9 = 9. 
Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9. 
 
3º caso: Divisão composta direta 
Chamamos de divisão composta direta à divisão de um número em partes que devem ser diretamente 
proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. 
Para efetuarmos a divisão composta direta, devemos: 
1º) encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o produto dos valores correspondentes das sucessões 
dadas; 
2°) efetuar a divisão do número em partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucessão encontrada. 
 
Exemplo: 
Dividir o número 270 em três partes, que devem ser diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também 
diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente. 
Indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter: 
A será ser proporcional a 2 e 4 → 2 x 4 = 8 → A = 8p 
B será ser proporcional a 3 e 3 → 3 x 3 = 9 → B = 9p 
C será ser proporcional a 5 e 2 → 5 x 2 = 10 → C= 10p 
A+B+C=270 → 8p + 9p + 10p =270 
27p = 270 → p = 10 
A = 8p = 8 x 10 = 80 
B = 9p = 9 x 10 = 90 
C=10p = 10 x 10 = 100 
Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100. 
 
4° caso: Divisão composta mista 
Chamamos de divisão composta mista à divisão de um número em partes que devem ser diretamente 
proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra 
sucessão dada. 
Para efetuarmos uma divisão composta mista, devemos 
1°) inverter os valores da sucessão que indica proporção inversa, recaindo assim num caso de divisão composta 
direta; 
2°) aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divisões compostas diretas. 
 
Exemplo: 
Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números l, 2 e 3 e 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente. 
Invertendo os valores da sucessão que indica proporção inversa, obtemos: 
 
Reduzindo as frações a um denominador comum, teremos: 
 
Então, indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter: 
A será proporcional a 1 e 6 → 1 x 6 = 6 → A = 6p 
B será proporcional a 2 e 4 → 2 x 4 = 8 → 13=8p 
C será proporcional a 3 e 3 → 3 x 3 = 9 → C = 9p 
A + B +C = 690 → 6p + 8p + 9p =690 
→ 23p=690→ p=30 
A =6p = 6 x 30 =180, B = 8p = 8 x 30 =240 e 
C = 9p = 9 x 30 =270 
Portanto, as três partes procuradas são: 180, 240 e 270. 
 
Exercícios 
1. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (15, X, Y, Z) e (3, 8, 10, 12) sejam diretamente proporcionais. 
X = 40, Y = 50, Z = 60. 
 
2. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (X, 32, Y, Z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais. 
X = 24, Y = 28, Z = 72. 
 
3. Determine X e Y de modo que as sucessões (20, X, Y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais. 
X = 15, Y = 12. 
 
4. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (6, X, Y, Z) e (20, 12, 10, 6) sejam inversamente 
proporcionais. X = 10, Y = 12, Z = 20. 
5. Determine X e Y de modo que as sucessões (3, X, Y) e (4, 6, 12) sejam inversamente proporcionais. 
X = 2, Y = 1. 
 
6. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13. R: 125, 175, 325. 
 
7. Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40. R: 312, 408, 480. 
 
8. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 1,2 ; 2/5 e 8. R: 12, 4, 80 
 
9. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. R: 12, 9. 
 
10. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6. R: 180, 144, 120 
 
11. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a 2/3 ; 4/5 e 7/8. R: 420, 350, 320. 
 
12. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6. R: 48, 
60 
 
13. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2. 
R: 60, 150, 350 
 
14. Repartir uma herança de R$ 460.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos de cada 
uma e na razão inversa das idades delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades 
respectivas são 24, 32 e 45 anos. R: 120000, 180000, 160000. 
 
15. Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente proporcionais às suas idades. Sabendo que 
cada um deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, 
qual é a idade de cada um deles? R: 38, 22. 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
Chamamos de regras de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou 
mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. 
Quando o problema envolve somente duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três 
simples. 
 
Exemplos: 
Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, então, quanto custarão 6 bilhetes? 
As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes. 
Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas? 
As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário. 
Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existente entre as duas 
grandezas envolvidas no problema. 
Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três 
composta. 
 
Exemplo: 
Se 5 homens trabalhando durante 6 dias constróem 300m de uma cerca, quantos homens serão necessários 
para construir mais 600rn desta cerca em 8 dias? 
A grandezas são: o número de homens, a duração do trabalho e o comprimento da parte construída. 
Para resolver um problema qualquer de regra de três devemos inicialmente determinar que tipo de relação de 
proporção existe entre a grandeza cujo valor pretendemos determinar e as demais grandezas. 
 
 
Relação de proporção direta 
Duas grandezas variáveis mantêm relação de proporção direta quando aumentando uma delas para duas, 
três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra também aumenta respectivamente para duas, três, quatro, etc. 
vezes o seu valor. 
 
Exemplo: 
Considere as duas grandezas variáveis: 
(comprimento de um tecido) (preço de venda da peça) 
1 metro............. custa........................ R$ 10,00 
2 metros ...........custam .....................R$ 20,00 
3 metros .......... custam..................... R$ 30,00 
4 metros .......... custam..................... R$ 40,00 
 
Observamos que quando o comprimento do tecido tornou-se o dobro, o triplo etc., o preço de venda da peça 
também aumentou na mesma proporção. Portanto as grandezas "comprimento do tecido" e "preço de 
venda da peça" são diretamente proporcionais . 
 
Relação de proporção inversa 
Duas grandezas variáveis mantêm relação de proporção inversa quando aumentando uma delas para duas, 
três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminuir respectivamente para metade, um terço, um quarto, 
etc. do seu valor. 
 
Exemplo: 
Considere as duas grandezas variáveis: 
Velocidade de um automóvel Tempo de duraçãoda viagem 
A 20 km/h ................. a viagem dura .................. 6 horas 
A 40 km/h.................... a viagem dura .................. 3 horas 
A 60 km/h.................... a viagem dura .................. 2 horas 
Observamos que quando a velocidade tornou-se o dobro, o triplo do que era, o tempo de duração da viagem 
tornou-se correspondentemente a metade , a terça parte do que era. Portanto, as grandezas "velocidade " e 
"tempo de duração da viagem" são inversamenteproporcionais. 
 
Cuidado! 
Não basta que o aumento de uma das grandezas implique no aumento da outra. É preciso que exista 
proporção. 
 
Por exemplo, aumentando o lado de um quadrado, a área do mesmo também aumenta. Mas não há 
proporção, pois ao dobrarmos o valor do lado, a área não dobra e sim quadruplica! 
 
Grandezas proporcionais a várias outras 
Uma grandeza variável é proporcional a várias outras se for diretamente ou inversamente proporcional a cada 
uma dessas outras, quando as demais não variam. 
 
Exemplo: 
O tempo necessário para construir certo trecho de uma ferrovia é diretamente proporcional ao comprimento 
do trecho considerado e inversamente proporcional ao número de operários que nele trabalham. 
 
Observe: 
1°) Vamos fixar o comprimento do trecho feito. 
Em 30 dias, 10 operários fazem 6 km. 
Em 15 dias, 20 operários também fazem 6 km. 
Em 10 dias, 30 operários também fazem 6 km. 
Aqui, observa-se que o tempo é inversamente proporcional ao número de operários. 
2°) Agora vamos fixar o número de operários. 
30 operários, em 10 dias, fazem 6 km. 
30 operários, em 20 dias, farão 12 km. 
30 operários, em 30 dias, farão 18 km. 
 
Agora, vemos que o tempo é diretamente proporcional ao comprimento do trecho feito. 
 
PROPRIEDADE 
Se uma grandeza for diretamente proporcional a algumas grandezas e inversamente proporcional a outras, 
então, a razão entre dois dos seus valores será igual: 
ao produto das razões dos valores correspondentes das grandezas diretamente proporcionais a ela... 
... multiplicado pelo produto das razões inversas dos valores correspondentes das grandezas inversamente 
proporcionais a ela. 
 
Exemplo: 
Vimos no exemplo anterior que o tempo necessário para construir certo trecho de uma ferrovia é diretamente 
proporcional ao comprimento do trecho considerado e inversamente proporcional ao número de operários 
que nele trabalham. Vimos também, entre outros, os seguintes valores correspondentes: 
(Tempo (Comprimento do (Número de 
 necessário) trecho construído) operários) 
30 dias 6 km 10 
20 dias 12 km 30 
Aplicando a propriedade vista acima, teremos: 
 
 
Exercícios 
1. (CESPE/96-MPU-Assistente) É comum em nosso cotidiano surgirem situações-problema que envolvem 
relações entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comida, 
a quantidade de pó necessária para o café, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar uma rua, 
etc., está-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporção. Em relação às 
proporções, julgue os itens abaixo. 
( ) A quantidade de tinta necessária para fazer uma pintura depende diretamente da área da região a ser 
pintada. 
( ) O número de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prédio são grandezas inversamente 
proporcionais. 
( ) A medida do lado de um triângulo equilátero e o seu perímetro são grandezas diretamente proporcionais. 
( ) O número de ganhadores de um único prêmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador 
são grandezas inversamente proporcionais. 
( ) A velocidade desenvolvida por um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distância são 
grandezas diretamente proporcionais. 
R: V V V V F 
 
2. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custarão 5 kg deste queijo? R: R$ 41,00 
 
3. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30? R: Kg 6,5 
 
4. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz 
com casca serão necessários para produzir 300 kg de arroz sem casca? R: Kg 321,5 
 
5. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários 
para pintar o mesmo prédio? R: 5 
 
6. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas. 
Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade 
média de 80 km/h? R: 1h30min 
7. Uma roda-d'água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e meia? R:2700 
 
8. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes. 
Quantas voltas terá dado a menor quando a maior der 10 voltas? R: 65 
 
9. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estaca vertical 
de 1,5m projeta uma sombra de 0,5m? R: 36m 
 
10. Se um relógio adianta 18 minutos por dia, quanto terá adiantado ao longo de 4h 40min? 
R: 3min30seg 
 
11. Um relógio que adianta 15 minutos por dia estava marcando a hora certa às 7h da manhã de um certo 
dia. Qual será a hora certa quando, neste mesmo dia, este relógio estiver marcando 15h 5min? 
R: 15h10min 
 
12. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00 
enquanto a outra, 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida? R: 60m 
 
13. Um navio tinha víveres para uma viagem de 15 dias. Três dias após o início da viagem, contudo, o 
capitão do navio recebe a notícia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atrasá-la em 
mais 4 dias. Para quanto terá de ser reduzida a ração de cada tripulante? R: para 3/4 do que era. 
 
14. Um rato está 30 metros à frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 
11m. Qual a distância que o gato terá de percorrer para alcançar o rato? R: 110m 
 
15. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, então 
quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que 
o restante agora trabalha 6 horas por dia? R: 21 dias 
 
16. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe for aumentada 
para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídos 7 toneladas de carvão? R: 45 dias 
 
17. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formato 
retangular medindo 450m de comprimento por 200m de largura, quantos operários serão necessários para 
construir um outro parque, também retangular, medindo 200m de comprimento por 300m de largura, em 
18 dias e trabalhando 8 horas por dia? R:30 operários 
 
18. Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto, 
fizeram somente 1/3 da obra. Com quantos operários a turma original deverá ser reforçada para que a obra 
seja concluída no tempo fixado? R: 75 operários. 
 
PORCENTAGEM 
 
A expressão x%, que lemos “x por cento”, é chamada de taxa percentual e representa a fração 
𝑥
100
, isto é: 
 
 
 
 
Transações comerciais 
Preço de custo C (ou preço de compra) é o valor monetário pago pelo comerciante ao fornecedor do objeto 
comercializado. 
Preço de venda V é o valor monetário pelo qual o objeto é vendido 
• Se V > C, então a diferença V – C é positiva e é chamada de lucro. 
• Se V < C, então a diferença V – C é negativa e |V – C| é chamado de prejuízo. 
Receita é o valor obtido pela venda de determinado produto. 
 
Juros simples 
Quando um capital C é aplicado durante t unidades de tempo, e uma taxa i de juros, por unidade de tempo, 
incide apenas sobre o capital inicial, o juro é chamado de juro simples. Esse juro, no fim da aplicação, é 
calculado por: 
 
 
 
O montante M é a soma do capital inicial com o juro: 
 
 
 
➢ Quando duas taxas percentuais i1 e i2, em unidades de tempos diferentes, são aplicadas ao mesmo capital 
inicial, durante um mesmo período, e produzem juros iguais, dizemos que essas taxas são equivalentes. 
Por exemplo, em um regime de juros simples: 
• Uma taxa i ao mês é equivalente à taxa 12i ao