Geometria analitica UERJ lista 5-2010 2

Prévia do material em texto

Geometria anal´ıtica, Lista 5 - 2011/1
Essa lista e´ dedicada aos assuntos 1— distaˆncia e 2— mudanc¸a de sistema de coordenadas.
Durante a elaborac¸a˜o de respostas tenha cuidado (1) com palavras e/ou frases estranhas
a` Matema´tica, (2) o desenvolvimento de explicac¸a˜o (demonstrac¸a˜o, justificativa) e/ou ca´lculo
nume´rico devem ser feitos com clareza de racioc´ınio e com etapas indicadas corretamente, (3)
os desenhos (quando necessa´rios) na˜o podem ter qualquer rasura. Estas regras sera˜o aplicadas
nas provas futuras e a na˜o observaˆncia implicara´ em perda de pontos importantes.
O conceito anal´ıtico de distaˆncia
Em todo o texto esta´ fixado um sistema de coordenadas (O, ε) onde ε e´ ortonormal e obedece
a` regra da ma˜o direita.
Exerc´ıcio 1. Determine a distaˆncia de P = (1,−1, 4) a r : x−2
4
= y−3 =
1−z
2
. •
Exerc´ıcio 2. Obtenha dois pontos que distam
√
206, 2 de r : (x, y, z) = (3, 1, 8) + a(1, 1, 2) e
se encontram em um reta perpendicular a r que conte´m (3, 1, 8). •
Exerc´ıcio 3. Considere A = (2, 3, 1) e r : (x, y, z) = (−4, 6, 1) + a(1, 2, 2). Determine o ponto
A′ sobre r que esta´ mais pro´ximo de A.
Prove que, para qualquer X ∈ r, vale d(A,X) ≥ d(A,A′). •
Exerc´ıcio 4. Determine o lugar geome´trico dos pontos que equidistam de A = (1, 3, 4), B =
(6,−2,−1) e C = (1,−1, 1).•
Exerc´ıcio 5. Calcule a distaˆncia de P = (1, 1,−1) a` intersec¸a˜o de Π: 5x − y − 7 = 0 e
Σ: x + 2y − z − 1 = 0. •
Exerc´ıcio 6. Considere A = (5, 1, 5) e Π: 4x− 5y + z + 2 = 0. Determine o ponto A′ sobre Π
que esta´ mais pro´ximo de A.
Prove que, para qualquer X ∈ Π, vale d(A,X) ≥ d(A,A′). •
Exerc´ıcio 7. Calcule a distaˆncia entre r : x+4
3
= y
4
= x+5−2 e s :


x = 21 + 6a
y = −5− 4a
z = 2− a
. •
Exerc´ıcio 8. Existe ponto, sobre a reta que conte´m A = (1,−1, 1), B = (3, 2,−1), cuja
distaˆncia de Π(x, y, z) = (4,−1, 1) + p(1, 2, 3) + q(7, 1, 6) e´ 5? •
Exerc´ıcio 9. Determine a distaˆncia (euclidiana em Oxy) de X = (5, 6) ao c´ırculo de centro
P = (1, 3) e raio 2 de dois modos: (1) por meio de vetores e as operac¸o˜es que com eles podemos
fazer e (2) via equac¸o˜es de c´ırculos e retas.
Nota: de forma geral, por c´ırculo de centro P e raio r > 0 entende-se o conjunto
S1(P ; r) = {A = (x, y); d(A,P ) = r} •
1
Geometria anal´ıtica, Lista 5 - 2011/1
Mudanc¸a de sistema de coordenadas
Exerc´ıcio 10. Sejam (O, ε), (A, {−→f 1 = −→e 1,−→f 2 = −→e 3,−→f 3 = −→e 1+2−→e 2−−→e 3}), A = (2, 2,−2)
e P = (5, 1,−3).
1— Determine as novas coordenadas de P .
2— Se Q tem coordenadas 2, 1,−1 no novo sistema, quais sa˜o suas antigas coordenadas?
3— Se r : (x, y, z) = (1, 1, 2)+a(3, 1, 2) e Π: x−3y+2z−2 = 0 esta˜o em termos do primeiro
sistema de coordenadas, calcule as novas equac¸o˜es em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas.
Sugesta˜o: determine a mudanc¸a de coordenadas, de x1, y1, z1 para x2, y2, z2, e substitua
x1, y1, z1 por 1 + 3a, 1 + a, 1 + 2a nas expresso˜es de x2, y2, z2. No caso de Π, substitua x1, y1, z1
em x1 − 3y1 + 2z1 − 2 = 0 pelas expresso˜es de x2, y2, z2.
4— Calcule d(B,C) sabendo que B = (−1, 2, 1) em termos do novo sistema de coordenadas
e C = (3, 6, 1) em termos do sistema antigo.
Sugesta˜o: calcule as coordenadas antigas de B e use a expressa˜o de d(B,C), ou calcule as
novas coordenadas de C e usa a expressa˜o de d(B,C). •
2
Geometria anal´ıtica, Lista 5 - 2011/1
R E S P O S T A S
Exer.1. |(−1,−1,3)∧(4,−3,2)||(4,−3,2)| =
√
294
29
.
Exer.2. Seja s a reta perpendicular como no enunciado. Um ponto (x, y, z) ∈ s e´ tal que
(x− 3, y − 1, z − 8).(1, 1, 2) = x + y + 2z − 20 = 0. Portanto, as retas perpendiculares a r por
(3, 1, 8) formam o plano Π: x + y + 2z − 20 = 0.
(3,1,8)
.
Π
r
s
Sendo x = y = 1, temos z = 9 e enta˜o −→v = (−2, 0, 1) e´ perpendicular ao vetor diretor de r.
Como |−→v | = √5, os vetores −→u 1 =
√
41, 24 −→v e −→u 2 = −
√
41, 24 −→v teˆm norma √206, 2.
A = (3, 1, 8)+−→u 1 = (3−2
√
41, 24, 1, 8+
√
41, 24) e B = (3, 1, 8)+−→u 2 = (3+2
√
41, 24, 1, 8−√
41, 24) servem.
Outro modo: desenvolva |(x−3,y−1,z−8)∧(1,1,2)||(1,1,2)| =
√
206, 2.
Exer.3. Claro que A′ = (−4+a, 6+2a, 1+2a) e´ tal que−−→A′A.−→r = (6−a,−3−2a,−2a).(1, 2, 2) =
0, logo a = 0. O ponto sobre r associado a a = 0 e´ exatamente A′ = (−4, 6, 1).
Para qualquer X ∈ r, ∆AA′X tem hipotenusa AX, logo d(A,X) ≥ d(A,A′).
De outro modo: seja X = (−4+a, 6+2a, 1+2a), com a 6= 0 (lembre-se que A′ esta´ associado
a a = 0). Determine a expressa˜o de d(A,X) e verifique que na˜o e´ menor do que d(A,A′).
Exer.4. Seja X = (x, y, z) ∈ R3 tal que d(X,A) = d(X,B) = d(X,C). Enta˜o, (x−1)2+(y−
3)2+(z−4)2 = (x−6)2+(y+2)2+(z+1)2 ⇒ 2x−2y−2z−3 = 0; (x−6)2+(y+2)2+(z+1)2 =
(x− 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 ⇒ −5x + y + 2z + 19 = 0.
Resolvendo
{
2x− 2y − 2z − 3 = 0
−5x + y + 2z + 19 = 0 , obte´m-se a reta r = {(x,−3x+16, 4x−
35
2
); x ∈ R}.
A,B,C definem o plano pi : − x + 3y − 4z + 8 = 0 e a intersec¸a˜o entre esse e r e´ o ponto
(63
13
, 19
13
, 49
26
).
Conclusa˜o, o lugar geome´trico dos pontos no espac¸o que sa˜o equidistantes dos pontos dados
e´ a reta r : X = ( 63
13
, 19
13
, 49
26
) + a(63,−189, 252).
Exer.5. A intersec¸a˜o e´ a reta r = {(x, 5x − 7, 11x − 15); x ∈ R}. Tomando-se A =
(0,−7,−15), B = (1,−2,−4) ∈ r, conclui-se que a distaˆncia procurada e´ |
−→
AP∧−→AB|
|−→AB| =
√
114
49
.
Exer.6. O ponto A′ = (x, y, z) ∈ Π mais pro´ximo de A e´ tal que −−→AA′ e´ paralelo ao vetor
normal (4,−5, 1), logo A′ = (9,−4, 6).
Para qualquer X ∈ Π, ∆AA′X tem hipotenusa AX, logo d(A,X) ≥ d(A,A′).
3
Geometria anal´ıtica, Lista 5 - 2011/1
Exer.7. Antes de mais nada, e´ preciso determinar a posic¸a˜o relativa das retas. Os vetores
diretores (3, 4,−2) e (6,−4,−1) sa˜o L.I. e o estudo de intersec¸a˜o (lista anterior) mostra que as
retas sa˜o disjuntas, portanto tratam-se de retas reversas.
Tome A = (−4, 0,−5) ∈ r, B = (21,−5, 2) ∈ s e a distaˆncia e´ |
−→
AB.(3,4,−2)∧(6,−4,−1)|
|(3,4,−2)∧(6,−4,−1)| =
√
3
3
.
Exer.8. A reta em questa˜o tem equac¸a˜o vetorial X = (1,−1, 1) + a(2, 3,−2), o plano tem
equac¸a˜o geral 9x + 15y − 13z − 8 = 0. Desenvolvendo |9x+15y−13z−8|√
370
= 5, tem-se |89a − 27| =
5
√
370 ⇒ 89a− 27 = ±5√370 ⇒ a = 27±5
√
370
89
.
Portanto, os pontos X1 = (1,−1, 1)+ 27+5
√
370
89
(2, 3,−2) e X2 = (1,−1, 1)+ 27−5
√
370
89
(2, 3,−2)
distam 5 do plano.
Nota: det

2 3 −21 2 3
7 1 6

 6= 0 implica que a reta e´ transversal a Π.
Exer.9. Por definic¸a˜o de distaˆncia, deve-se encontrar um ponto (caso exista) A ∈ S1(P ; r)
de tal sorte que d(A,P ) seja mı´nimo. Uma a´nalise da situac¸a˜o nos leva a concluir que
−→
PA e−−→
PX devem ser L.D., isto e´, existe um k real tal que
−→
PA = k
−−→
PX, equivalente a x − 1 = 4k e
y − 3 = 3k. Como A pertence ao c´ırculo, (4k)2 + (3k)2 = 4 implica que k = ± 2
5
. Mas k < 0
determina um ponto tal que P fica entre ele e X, enta˜o A = ( 13
4
, 21
5
) e a distaˆncia de X ao
c´ırculo e´ igual a 6
5
√
5.
Outro modo: A e´ o ponto soluc¸a˜o de{
(x− 1)2 + (y − 3)2 = 4 : equac¸a˜o do c´ırculo
(x, y) = (1, 3) + a(4, 3) : equac¸a˜o da reta que conte´m X e P
Exer.10. 1— A mudanc¸a de coordenadas e´ regrada por

5− 21− 2
3 + 2

 =

1 0 10 0 2
0 1 −1



x2y2
z2

,
continue.
2— Desenvolva

x1 − 2y1 − 2
z1 + 2

 =

1 0 10 0 2
0 1 −1



 21
−1

.
4