Exercícios de Fixação 05

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15/10/22, 19:27 Exercícios de fixação - Semana 7 (página 1 de 4)
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Informação
O método  de Briot-Ru�ni é usado para reduzir o grau de polinômios através do conhecimento de uma raíz. Mas como assim? Antes de
responder, uma introdução.
Dado um polinômio de grau   (com coe�cientes complexos, podendo serem todos reais) já sabemos que ele possui   raízes complexas
(Teorema Fundamental da Álgebra). 
Sabemos também que para polinômios de grau maior ou igual a    (isto é,  ) não existe um método geral envolvendo radicais para
encontrar as raízes do polinômio. Quando falamos "envolvendo radicais" queremos dizer que não existe uma fórmula para obter as raízes
do polinômio através de operações algébricas (soma, diferença, produto, quociente, potências e raízes) envolvendo os coe�cientes do
polinômio (como a fórmula de Bhaskara para grau 2). Não existe uma "fórmula de Bhaskara" para polinômios de grau maior ou igual a 5.
Para equações de grau 3 e 4 até existem fórmulas, mas não costumam ser ensinadas no ensino médio ou superior. 
O método  de  Briot-Ru�ni é um método bastante prático que é usado quando temos conhecimento de uma raíz      do polinômio 
 de grau   e queremos reduzir a um polinômio de grau   que possui as raízes restantes do polinômio original. Na verdade, o que o
método faz é encontrar os coe�cientes do polinômio    .
E as raízes do polinômio   são exatamente as outras raízes   do polinômio  .
Vamos ver como o método funciona na prática:
                                                                                                                           
                    
1. Coloque numa tabela com duas linhas (não precisa ser tabela), basta ser uma representação grá�ca como vista acima, onde na primeira
posição da primeira linha deve ser colocada a raíz   e nas demais casas da primeira linha colocamos todos os coe�cientes do polinômio
começando do coe�ciente de grau n e acabando no coe�ciente de grau 0 (se algum dos monômios    não aparecer no polinômio signi�ca
que o coe�ciente dele é 0, e devemos colocar o coe�ciente 0 também).  
2. A primeira casa da segunda linha deve ser deixada em branco. O primeiro coe�ciente ( ) deve ser repetido na casa imediatamente
abaixo dele na linha 2 (como visto acima). Agora começa o procedimento para preencher as demais casas da segunda linha.
3. Multiplique   pelo   (na linha 2) e depois some o resultado com o valor   e o resultado deve ser colocado logo abaixo do coe�ciente 
.
                                                                                                                           
                     
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4. Continue o procedimento dessa maneira, multiplicando   pelo último valor preenchido na linha 2 e some ao próximo coe�ciente para
obter o valor da próxima casa a ser preenchida.
                                                                                                                           
                                            
5. Se   for de fato raíz do polinômio então o último valor a ser preenchido será 0 (logo abaixo do último coe�ciente). Se   não for raíz, então
o último valor preenchido não será 0. Mais geralmente, o último valor preenchido será exatamente    ( r no lugar de x). 
Agora para �nalizar temos que os valores encontrados na linha 2 (com exceção do último valor encontrado) são exatamente os coe�cientes
do polinômio   de grau  .
 
 
Exemplo:
Considere o polinômio     , sabemos que   é raíz desse polinômio (Veri�que!), use o método de Briot-
Ru�ni para dividir o polinômio    por   .      ( A raíz é  -2  e os coe�cientes do maior grau para o menor
são    2,  9,  -1,  -18   e   8).
                                                                                                                 
                    
(aqui repetimos o coe�ciente 2)
 
                                                                                                                 
                             
a próxima casa foi preenchida com  
 
                                                                                                                 
                                  
a próxima casa foi preenchida com  
 
                                                                                                                 
                                              
a próxima casa foi preenchida com  
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a última casa foi preenchida com  
Como a última casa foi preenchida com  0  vemos que   é de fato uma raíz do polinômio.
Agora os coe�cientes do polinômio   são exatamente  2, 5,  -11   e   4  (em ordem decrescente de grau). Isto é,    
    (de grau 3,  P(x) tinha grau 4).
Agora as raízes de  são exatamente as raízes restantes de . 
 
Se conhecemos mais uma raíz de  podemos aplicar o método novamente, só que agora com os coe�cientes de  e reduzir para
um polinômio de grau 2, e esse novo polinômio terá as duas raízes restantes para . 
 
Agora sabendo que   também é raíz de    (logo de   também) vamos fazer mais uma redução (agora usando os coe�cientes
de   , coe�cientes encontrados na última aplicação do método).
 
                                                                                                          
         
 
                                                                                                              
                   
 
                                                                                                              
                             
(               )
 
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(             )
 
                                                                                                              
                                                
(                )
 
O polinômio que sobra é      que é o resultado da divisão de    por   .  Ou seja, é o resultado da divisão de 
  por     
Já temos duas raízes conhecidas (foram dadas) para   agora para encontrar as outras 2 raízes basta achar as raízes de  
  (esse nós sabemos fazer usando a fórmula de Bhaskara).  As outras raízes usando a fórmula de Bhaskara são   
e   .
E assim, as 4 raízes de   são:     -2,  1/2,   1   e  -4.
 
Vamos aplicar esse método na resolução de algumas EDO's com coe�cientes constantes (ou equações de Euler-Cauchy que também
possuem equação característica associada). Vamos dar algumas raízes da equação característica e você deverá ser capaz de obter as
demais raízes e por �m obter as soluções associadas. 
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Questão 1
Ainda não respondida
Não avaliada
Encontre a solução geral da EDO linear homogênea 
sabendo que   é raíz dupla (com multiplicidade 2) do polinômio  .
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 2
Ainda não respondida
Não avaliada
Encontre a solução geral da EDO linear homogênea 
sabendo que    e    são soluções da EDO. 
Escolha umaopção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 3
Ainda não respondida
Não avaliada
Encontre a solução geral da EDO linear não homogênea 
sabendo que   é solução da EDO e que   é solução da EDO homogênea associada. 
Antes veri�que se de fato   é solução da EDO. 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 4
Ainda não respondida
Não avaliada
Encontre a solução geral da EDO linear não homogênea 
sabendo que   é solução da EDO e que   é solução da EDO homogênea associada. 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 5
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método dos coe�cientes a determinar para encontrar uma solução particular para a EDO não homogênea e por �m obtenha a
solução geral para a EDO:
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 6
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método dos coe�cientes a determinar para encontrar uma solução particular para a EDO não homogênea e por �m obtenha a
solução do PVI:
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 

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Questão 7
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método dos coe�cientes a determinar para encontrar uma solução particular para a EDO não homogênea e por �m obtenha a
solução da EDO:
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 8
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método dos coe�cientes a determinar para encontrar uma solução particular para a EDO não homogênea e por �m obtenha a
solução da EDO:
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 9
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método dos coe�cientes a determinar para encontrar uma solução particular para a EDO não homogênea e por �m obtenha a
solução da EDO:
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 

15/10/22, 19:28 Exercícios de fixação - Semana 7 (página 3 de 4)
https://ava.ufba.br/mod/quiz/attempt.php?attempt=1290201&cmid=1887062&page=2 6/6
Questão 10
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método dos coe�cientes a determinar para encontrar uma solução particular para a EDO não homogênea e por �m obtenha a
solução da EDO:
(Veja que   é uma solução da EDO homogênea associada)
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 11
Ainda não respondida
Não avaliada
Considere a equação diferencial 
Veri�que que   é uma solução da EDO homogênea associada. Encontre uma segunda solução para a EDO homogênea que seja
linearmente independente com a solução conhecida (utilize o método de redução de ordem). 
Depois disso encontre uma solução particular para a EDO não homogênea utilizando o método de variação dos parâmetros.  Qual a
solução geral da EDO?
 
OBS: Em algum momento precisará calcular a integral de  , para isso lembre da regra do quociente para derivadas (qual a derivada
de    ?  ).
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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Questão 12
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a EDO e depois encontre a solução do PVI:
 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 

15/10/22, 19:29 Exercícios de fixação - Semana 7 (página 4 de 4)
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Questão 13
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a EDO e depois encontre a solução do PVI:
 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 

15/10/22, 19:29 Exercícios de fixação - Semana 7 (página 4 de 4)
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Questão 14
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a EDO e depois encontre a solução geral:
 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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15/10/22, 19:29 Exercícios de fixação - Semana 7 (página 4 de 4)
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Questão 15
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a EDO e depois encontre a solução geral:
 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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15/10/22, 19:29 Exercícios de fixação - Semana 7 (página 4 de 4)
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Questão 16
Ainda não respondida
Não avaliada
Use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para a EDO e depois encontre a solução geral:
 
 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
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e. 
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