Demonstrações Matemáticas por Indução e Absurdo

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A
Gabarito
utoatividades
MAD | 2012/2 | Módulo VI
ANÁLISE MATEMÁTICA
Prof.ª Débora Cristina Brandt
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
ANÁLISE MATEMÁTICA
UNIDADE1
TÓPICO 1
1 Demonstre através do método de indução que, para qualquer 
número natural n,
a) 
R.:
Vamos mostrar que qualquer que seja n
um número natural
Primeiro passo: mostrar que vale para n =1.
Suponhamos agora que a afirmação vale para n = k
Vamos agora mostrar P(k+1):
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Como k foi suposto qualquer número natural, segue que a propriedade vale 
para qualquer número natural n, CQD.
b) 2n > n
Vamos mostrar que 2n > n qualquer que seja n um número natural
Primeiro passo: mostrar que vale para n =1.
Suponhamos agora que a afirmação vale para n = k
Vamos agora mostrar P(k+1):
Como k foi suposto qualquer número natural, segue que a propriedade vale 
para qualquer número natural n, CQD.
2 Demonstre os resultados a seguir através da demonstração direta 
que, dados a e b dois números reais quaisquer, 
a) 
Sejam a e b dois números reais quaisquer. Sabemos que o módulo de um 
número real é sempre positivo. Assim, não importa se a – b> 0 ou se a – b < 
0, ( ) 0baba 22 >−=− . Por outro lado, se a e b forem números positivos 
ou ambos negativos, baba ⋅=⋅ , e caso a seja positivo e b negativo, 
baba ⋅>⋅ . De posse destes comentários, 
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Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, temos que 
baba +≤− , CQD.
3 Demonstre os resultados a seguir utilizando a técnica de demonstração 
por absurdo.
a) Se um número real x for tal que x + x = x, então x obrigatoriamente 
é igual a 0.
R.: Suponhamos por absurdo que exista um número real x diferente de zero 
para o qual x + x = x. 
Então 2.x = x 
Como x é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da igualdade 
por x:
Portanto, se um número real for tal que x + x = x, necessariamente x = 0, CQD.
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b) Se dois números a e b são números pares, então o número a + b 
também é um número par.
R.: Sejam a e b dois números pares. Então existem números inteiros p e q 
para os quais a = 2p e b = 2q. 
Suponhamos por absurdo que a +b seja um número ímpar. Então existe um 
número inteiro k tal que (a+b) = 2k + 1.
Por outro lado, a+b = 2p + 2q = 2(p + q).
Pelas duas igualdades, 2k + 1 = 2(p + q)
2( p + q – k) = 1 
p + q – k = ½ : contradição, pois a adição de números inteiros só pode resultar 
em um número inteiro e ½ é racional!
Portanto, se a e b são números pares, necessariamente a + b é um número par.
TÓPICO 2
1 Demonstre, utilizando o Princípio da Indução, as seguintes 
propriedades da adição de números naturais:
a) Dados dois números naturais m e n, segue que m + n = n + m 
(comutatividade).
R.: Vamos dividir esta demonstração em duas partes, ambas demonstradas 
pelo princípio de indução: 
1ª parte: Vamos mostrar que 1 + n = n + 1, para todo natural n.
2ª parte: vamos mostrar que m + n = n + m, quaisquer que sejam m e n 
naturais.
1ª PARTE:
Seja X o conjunto de todos os números naturais n tais que 1 + n = n + 1.
Note que 1 pertence a X pois, 1+1 = 1 + 1.
Suponhamos agora que um dado k pertença a X, ou seja, que 1 + k = k + 1 
para algum k, e vamos mostrar que pertence a X.
Propriedade associativa
k pertence a X e, portanto, 1 + k = k + 1
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Segue que pertence a X e, portanto, pelo Princípio da Indução, 1 + n = 
n + 1, qualquer que seja n natural.
2ª PARTE:
Seja Y o conjunto de todos os números naturais m tais que m + n = n + m, 
qualquer que seja n natural.
Note que 1 pertence a Y pois, 1 + n = n + 1.
Suponhamos agora que um dado k pertença a Y, ou seja, que k + n = n + k 
para algum k, e vamos mostrar que pertence a Y.
Propriedade associativa
1 pertence a Y e, portanto, 1 + n = n + 1
Propriedade associativa
k pertence a Y e, portanto, k + n = n + k
Propriedade associativa
Segue que pertence a Y e, portanto, pelo Princípio da Indução, m + n 
= n + m, quaisquer que sejam m, n números naturais.
b) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer, se m + n = m + p, 
então n = p (lei do corte).
R.: Seja X o conjunto formado por todos os números naturais m para os quais 
vale a seguinte propriedade: se m + n = m + p, então n = p.
Note que 1 pertence a X pois,
Propriedade comutativa
Axioma 1
Suponhamos agora que um dado k pertença a X, ou seja, que valha a 
propriedade:
Se k + n = k + p, então n = p, e vamos mostrar que pertence a X.
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Propriedade associativa
Definição da soma de números naturais
Axioma 1
Propriedade comutativa
k pertence a X
Segue que pertence a X e, portanto, pelo Princípio da Indução, se m 
+ n = m + p, então n = p, quaisquer que sejam m, n e p números naturais.
2 Demonstre a propriedade de tricotomia para a relação de ordem: 
 Dados dois números naturais m e n, uma e apenas uma das 
afirmações a seguir ocorre: ou m = n; ou m < n; ou m > n.
R.: Sejam m e n dois números naturais. De acordo com a Proposição 1.2.6 
(Tricotomia), exatamente uma das três situações deve ocorrer:
(i) m = n
(ii) existe um número natural p tal que m = n + p.
Mas pela Definição 1.2.2, isso significa que n < m.
(iii) existe um número natural q tal que n = m + q
Mas pela Definição 1.2.2, isso significa que m < n.
Portanto, dados dois números naturais m e n, ou m = n, ou n < m, ou ainda 
m < n, CQD.
3 Demonstre a propriedade comutativa da multiplicação de números 
naturais.
R.: Vamos mostrar que m.n = n.m , quaisquer que sejam m e n números 
naturais através do principio de indução. Do mesmo jeito que fizemos no 
caso da adição de números naturais, dividiremos esta demonstração em 
duas partes:
1ª parte: Vamos mostrar que 1.n = n.1, para todo natural n.
2ª parte: vamos mostrar que m.n = n.m, quaisquer que sejam m e n naturais.
1ª PARTE:
Seja X o conjunto de todos os números naturais n para os quais 1.n = n.1
Claramente, o número 1 pertence a X, pois 1.1 = 1.1.
Suponhamos então que um dado número natural k pertença a X, isto é, que 
1.k = k.1 e vamos mostrar que pertence a X.
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Logo pertence a X. Como k foi pego como sendo qualquer número 
natural, segue que a propriedade vale para qualquer n.
2ª PARTE:
Seja Y o conjunto de todos os números naturais m para os quais m.n = 
n.m, qualquer que seja n natural.
Na primeira parte, mostramos que 1 pertence a Y.
Seja k um número natural pertencente a Y, isto é, para o qual valha k.n = 
n.k e vamos mostrar que esta propriedade também é válida para . 
Para isso, utilizaremos a propriedade distributiva da multiplicação.
Segue que pertence a Y. Como k foi considerado um número natural 
qualquer, segue que a propriedade é válida para qualquer m, CQD.
4 Demonstre a monotonicidade para a multiplicação de números naturais.
R.: Sejam m e n dois números naturais tais que m < n. vamos mostrar que, 
então m.p < n.p para todo número natural p.
Se p = 1, não há o que mostrar: m < n realmente implica m.1 < n.1.
Suponhamos agora que a propriedade seja válida para p = k e vamos provar 
que ela também é válida para .
Portanto a propriedade é válida para todo natural p, CQD.
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5 Seja X um subconjunto de N que possui elemento máximo. Mostre 
que este elemento máximo é único (unicidade do máximo de X).
R.: Seja X um subconjunto de N que possui elemento máximo, isto é, 
existe um número natural m pertencente a X tal que qualquer que 
seja n elemento de X. Vamos provarque este elemento é único através da 
demonstração por absurdo.
Suponhamos então que este elemento não seja único. Então existe p diferente 
de m pertencente a X tal que qualquer que seja n elemento de X. 
Como m pertence a X, . Por outro lado, m é o elemento máximo de 
X, ou seja, . Pelas duas desigualdades, p = m: contradição, pois p foi 
suposto diferente de m. Segue que o elemento máximo de X é único, CQD.
TÓPICO 3
1 Mostre que o conjunto é um conjunto finito via definição.
R.: Dizemos que um conjunto A é finito se A for um conjunto vazio ou se 
existe uma função bijetora para algum n pertencente a N. Assim, 
se A for um conjunto vazio, diremos que A tem zero elementos; se A for um 
conjunto não vazio finito, diremos que A tem n elementos.
Consideremos n = 4 e definamos a função da seguinte forma:
Note que esta função é sobrejetora, pois todos os elementos do conjunto A 
estão associados a alguém do conjunto ; além disso, esta associação é 
única, caracterizando a injetividade da função. Portanto, a função é bijetora, 
implicando A ser finito.. 
2 Prove que, dados dois números naturais m e n, se existir uma bijeção 
, segue que , e portanto m = n. 
 (Dica: suponha que m seja menor do que n e recaia no Teorema 1.3.1)
R.: Dados dois números naturais m e n, suponhamos que existe uma 
bijeção . Como a função é uma bijeção, podemos supor 
que , sem perda de generalidade.
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é uma bijeção. Logo, pelo Teorema 1.3.1: , isto é, m = n.
3 Mostre que se X e Y forem dois conjuntos tais que exista uma função 
injetora f: X → Y e se Y for um conjunto finito, então X também 
será finito e o número de elementos de X não excede o número de 
elementos de Y. (Dica: Utilize o fato de f ser um bijeção entre X e f(X) 
e o Teorema 1.3.2). 
R.: Sejam X e Y dois conjuntos, sendo Y um conjunto finito, tais que exista 
uma função injetora f: X → Y. Consideremos então o conjunto imagem de f 
em Y, f(X). Claramente f(X) é um subconjunto de Y e, visto que Y é finito, pelo 
Teorema 1.3.2, f(Y) também é finito, sendo que o número de elementos de f(Y) 
não excede o número de elementos de Y. Por outro lado, a função f será uma 
função injetora de X em f(X), implicando X e f(X) terem o mesmo número de 
elementos. Portanto X é um conjunto finito e seu número de elementos não 
excede o número de elementos de Y, como queríamos demonstrar.
4 Mostre que se X e Y forem dois conjuntos tais que exista uma função 
sobrejetora f: X → Y e se X for um conjunto finito, então Y também 
será finito e o número de elementos de Y não excede o número de 
elementos de X. (Dica: Como f é sobrejetora, podemos considerar a 
função inversa a f e recaia no exercício anterior).
R.: Sejam X e Y dois conjuntos, sendo X finito, tais que existe uma função 
sobrejetora f: X → Y. Então o conjunto imagem de f é Y : f(X) = Y. Consideremos 
então a função g: Y → X definida da seguinte forma: 
Seja y um elemento de Y. Como f é sobrejetora, existe um elemento x de X 
tal que f(x) = y. Definamos então g(y) = g(f(x)) = x.
Claramente g é uma função injetora. 
De fato, se para y, z elementos quaisquer de Y, pela definição 
de g, existem x, w em X tais que f(x) = y e f(w) = z. Agora 
Assim, temos uma função g injetora entre dois conjuntos Y e X tais que X é 
finito. Pelo exercício anterior, segue que Y é finito e tem, no máximo, o mesmo 
número de elementos de X, como queríamos demonstrar.
5 Mostre que N é um conjunto infinito construindo uma bijeção entre 
N e o conjunto dos números pares.
Então ,por definição, isto é é um subconjunto de 
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R.: Seja X o conjunto formado por todos os números pares, isto é, .
 Claramente, X é um subconjunto próprio de N, pois N contém 
também os números ímpares.
Consideremos agora a função f: N → X. tal que f(n) = 2n, para todo n em N. 
Claramente a função está bem definida, pois cada elemento de N é mandado 
em um, e apenas um, elemento de X. 
Note que esta função é injetora: se x, y forem dois elementos de N tais que 
f(x) = f(y), então 2x = 2y e, pela lei do corte, x = y.
Além disso, a função também é sobrejetora: consideremos x um elemento 
de X. Então, pela forma como X é construído, existe um elemento natural k 
tal que x = 2k. Logo, pela maneira como foi definida, f(k) = 2k. 
Segue que a função f é uma bijeção entre N e um subconjunto próprio de N. 
Portanto, N é necessariamente um conjunto infinito, CQD.
OBS: Utilizamos uma das propriedades de conjuntos infinitos, mas poderíamos 
ter utilizado outra. Isto é, esta solução não é única.
6 Mostre que os conjuntos dos números inteiros Z e dos números 
racionais Q também são conjuntos infinitos.
R.: Claramente, o conjunto formado pelos números naturais, N, é um 
subconjunto próprio de Z e também de Q. Então existem funções injetoras f: 
N → Z e g: N → Q . Como N é infinito, segue que tanto Z como Q são infinitos.
7 Mostre que a função definida no Teorema 1.3.4 é, de fato, uma bijeção.
R.: Sejam X e Y dois subconjuntos finitos de N disjuntos com m e n elementos 
respectivamente e duas bijeções. 
Consideremos então a função definida da seguinte forma:
A função está bem definida, por X e Y são disjuntos. Vamos mostrar que 
 é uma bijeção.
(i) A função é injetora. 
Sejam x, y elementos distintos de tais que x < y (se y < x, a ideia é a 
mesma). Então temos três possibilidades para analisar:
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Neste caso, pela definição da 
função, 
x, y são tais que
é bijeção e, portanto, injetora
x, y são tais que Neste caso, pela definição 
da função, 
é bijeção e, portanto, injetora
x, y são tais que Neste caso, pela 
definição da função, 
X e Y são disjuntos
1 Dados os conjuntos dos números naturais N e , mostre 
que a função f: N → X tal que f(n) = 2n é uma bijeção.
R.: No exercício 5 do tópico anterior mostramos que f era injetora. Falta-nos 
mostrar que é sobrejetora.
Para isso, consideremos m um elemento de X. então existe n em N tal que 
m = 2n. Ou seja, encontramos n em N tal que f(n) = 2n = m. Portanto f é 
sobrejetora, implicando em f ser bijetora, como queríamos demonstrar.
2 Mostre que o conjunto dos números ímpares é um conjunto enumerável. 
R.: Seja X o conjunto formado pelos números ímpares, isto é,.
 (Observe que o número 1 não está sendo contemplado 
em X, uma vez que 0 não é um número natural. Por outro lado, se mostrarmos 
TÓPICO 4
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que X é enumerável, como a união finita de enumeráveis é enumerável, 
teremos mostrado que o conjunto formado por TODOS os números ímpares 
X {1} é enumerável).
Claramente, X é um subconjunto próprio de N, pois N contém também os 
números pares.
Consideremos agora a função f: N → X tal que f(n) = 2n+1, para todo n em N. 
Claramente a função está bem definida, pois cada elemento de N é mandado 
em um, e apenas um, elemento de X. 
Vamos mostrar que f é uma função injetora. Sejam n, m elementos de N 
tais que f(n) = f(m). Então, pela definição de f, 2n +1 = 2m +1. Agora, pelas 
leis do corte da adição e da multiplicação, temos que 2n = 2m e, portanto, n 
= m; ou seja, f é injetora. 
Mostraremos agora que f é sobrejetora. Para isso, consideremos m um 
elemento de X. então existe n em N tal que m = 2n +1. Ou seja, encontramos 
n em N tal que f(n) = 2n+1 = m. Portanto f é sobrejetora, implicando f ser 
bijetora. Segue da definição de enumerabilidade que o conjunto formado pelos 
números ímpares é enumerável, como queríamos demonstrar.
3 Seja Y um conjunto enumerável e f: X → Y uma função injetora.Prove 
que X também será um conjunto enumerável. (Dica: lembre-se que a 
imagem de uma função é subconjunto do contradomínio).
R.: Seja Y um conjunto enumerável e f: X → Y uma função injetora.
Consideremos o conjunto imagem de f, f(X). Claramente, este conjunto é um 
subconjunto de Y e, portanto, enumerável.
Então existe uma bijeção g entre N e f(X).
Por outro lado, se considerarmos a restrição de f em sua imagem, f(X), 
teremos uma função bijetora f: X → f (X) de X em um conjunto enumerável. 
Então podemos considerar o seguinte diagrama:
Como g é uma função bijetora, assim como a inversa de f restrita à sua 
imagem, segue que a função composta h: N → X definida por h(n) = f-1 (g(n)), 
para todo n em N é uma função bijetora de N em X. Segue que X é enumerável.
4 Seja X um conjunto enumerável e f: X → Y uma função sobrejetora. 
Prove que Y também será um conjunto enumerável. 
R.: Se f é sobrejetora, existe um subconjunto X’ de X tal que f restrita a 
este conjunto, é injetora e sobrejetora. Como X’ é um subconjunto de X, X’ 
também é enumerável. Assim, temos uma função bijetora entre dois conjuntos 
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5 Mostre que o conjunto de todos os números primos é enumerável.
R.: Sabemos que, a menos do número 2, os outros números primos são todos 
ímpares. Logo o conjunto dos números primos é um subconjunto do conjunto .
 Como o conjunto dos números primos é enumerável, 
X também é enumerável, pois é a união enumerável de enumeráveis. Assim, o 
conjunto dos números primos é um subconjunto de um conjunto enumerável, 
Segue que ele próprio é enumerável, como queríamos demonstrar.
UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1 Mostre que toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
R.: Consideremos uma sequência uma sequência limitada. Então 
existem números reais a e b 
tais que para todo n. Consideremos agora uma subsequência de 
digamos, . Em particular, para cada 
Logo, para todo Segue que a subsequência 
também é limitada, como queríamos demonstrar.
2 Decida se as sequências a seguir são limitadas ou não, e justifique 
sua resposta.
a) 
R.: Esta sequência vai alternando de valor entre números positivos e números 
negativos. Como 3 é maior do que 1, esta sequência vai ficando cada vez 
maior em módulo.
b)
R.: Os termos desta sequência vão ficando cada vez menores. Logo qualquer 
elemento desta sequência é menor do que 1. Por outro lado, à medida que 
enumeráveis. Segue pelo exercício anterior que Y também é enumerável.
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vez mais próximo de 0. Logo esta sequência é limitada inferiormente por 0 
e superiormente por 1.
vai ficando cada
c)
d) 
R.: Esta sequência é convergente, pelo teste da razão.
R.: Esta sequência é convergente, pois 
TÓPICO 2
1 Encontre o limite da sequência 
R.: Podemos reescrever 
Agora
OBS: Existem outras maneiras de encontrar este limite
2 Encontre o limite da sequência 
R.: 
3 Analise as sequências a seguir e indique se elas são ou não convergentes:
a) (2, 4, 8, …, 2n, …) 
n cresce, 2n-1 vai ficando cada vez maior e, portanto, 
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b) 
R.: não é monótona nem limitada. Além disso, não existe 
c)
R.: é monótona decrescente e limitada, logo convergente.
d) 
R.: é convergente.
e) 
R.: não é monótona. Logo, embora seja limitada, não é convergente.
4 Decida se as sequências a seguir são convergentes. Caso sejam, 
prove:
a) 
R.:
Converge para 2.
b) 
R.:
Converge para 1.
R.: Esta sequência é divergente, pois 
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c)
R.: Como . Logo a sequência é convergente.
d)
R.: Embora esta sequência seja limitada, ela não é convergente, pois seus 
valores ficam oscilando entre -
e)
R.: Considerando valores grandes para n, temos que
Assim, embora estejamos considerando valores de n cada vez maiores, a 
sequência parece continuar valendo 51. Logo, ela converge para 51.
TÓPICO 3
1 Demonstre a Regra do Confronto.
R.: Consideremos três sequências tais que 
para todo n natural e suponhamos também que 
. Então dado existem tais que
para todos Consideremos então 
Segue que para todo Em particular, 
e Mas, por hipótese, 
para todo n natural. 
Então, para todo Segue que 
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para todo portanto,
2 Dadas duas sequências tais que 
prove que 
R.: (a) Seja Como existe um número natural 
tal que para todo Agora, pelas propriedades
de valor absoluto demonstradas na unidade anterior,
Assim, basta tomar tal que para todo 
Neste caso, para todo 
3 Dadas duas sequências tais que 
é limitada, mostre que 
R.: Consideremos duas sequências tais que 
é limitada, e vamos mostrar que
Dado existe um número natural tal que para todo 
Por outro lado, como é limitada, existe um número real c 
qualquer que seja n. Analisemos agora
Assim, basta tomar para o qual para todo 
Neste caso, , para todo CQD.
4 Prove que se, e somente se, 
positivo para o qual 
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R.: PRIMEIRA PARTE: Se , então
Seja k um número inteiro positivo. Como , é possível encontrar 
para o qual para todo Em particular, , para todo 
Como k foi considerado como sendo qualquer número inteiro 
positivo, segue que – k é um número inteiro negativo qualquer. Pela definição, 
segue que .
SEGUNDA PARTE: Se , então 
Seja k um número inteiro negativo. Como , é possível encontrar 
para o qual para todo
Em particular, , para todo Como k foi considerado como 
sendo qualquer número inteiro negativo, segue que – k é um número inteiro 
positivo qualquer. Pela definição, segue que
5 Dadas duas sequências reais . tais que 
é limitada inferiormente. Então
R.: Seja k >0.
Como é limitada inferiormente, existe c para o qual qualquer 
Por outro lado, , e portanto é possível 
encontrar para o qual para todo 
Então, qualquer que seja . Como k foi escolhido 
arbitrariamente, segue que , como queríamos demonstrar.
se seja 
6 Suponhamos que sejam sequências de números 
positivos. Mostre que existe c > 0 tal que ,e se 
 então Por outro lado, se for limitada e 
, então 
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R.: Suponhamos inicialmente que exista c > 0 tal que e que 
Então, pela Proposição 2.3.4, . Como consequência da 
Suponhamos agora que é limitada e . 
Então existe M>0 tal que para todo natural n. 
Consideremos agora . Então existe tal que para todo 
. Portanto, e , para todo 
Segue que , como queríamos demonstrar. 
TÓPICO 4
1 Verifique se a série converge ou não.
R.: A série acima é uma série geométrica de razão menor do que 1, portanto, 
convergente.
2 Verifique se a série é ou não convergente.
R.: A série acima é divergente, pois é uma série geométrica de razão 3 > 1.
3 Verifique se a série é ou não convergente.
R.: A série acima é convergente, pois é uma p-série, com p = 4 > 1.
4 Verifique se a série é ou não convergente.
R.: A série acima é convergente, pois é uma série geométrica de razão 
5 Verifique se a série é ou não convergente.
R.: A série acima é divergente, pois é uma p-série, com p = 1/3 < 1.
PROPOSIÇÃO 2.3.2 (ii), segue que . 
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7 A série , para todo x, é divergente ou convergente?
R.: Seja x um número real qualquer. 
6 Verifique se a série é ou não convergente.
R.: Não sabemos se esta sérieconverge ou não. Assim, vamos começar 
verificando o limite do termo geral da sequência que origina a série quando 
n tende ao infinito: se for diferente de 0, podemos concluir que a série é 
divergente pelo critério de divergência; se for igual a 0, nada podemos concluir 
e precisaremos pensar em outra forma de analisarmos a série. 
Segue que a série é divergente.
Sabemos que e, portanto, para todo n, ou seja, 
para todo n. Por outro lado, sabemos que a série 
é convergente. Assim, pelo critério da comparação, segue que
também é convergente.
8 A série é divergente ou convergente?
R.: Sabemos que ln 1 = 0 e, com uma verificação simples na calculadora, 
que a partir de n = 3, ln (n ) > 1. Assim, para todo n > 2. Por outro 
lado, sabemos que a série é divergente. Segue, portanto, do critério 
de comparação que também é divergente.
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9 Sejam duas séries convergentes. Mostre que 
também são e
R.: Se são duas séries convergentes e Sn e tn são suas 
respectivas somas parciais, existem s e t tais que 
Consideremos a série . Vamos analisar as suas somas parciais:
 Agora, das propriedades de limite sobre sequências, segue que 
Portanto,
e converge para s – t.
Consideremos agora a série . Vamos analisar as suas 
somas parciais:
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Agora, das propriedades de limite sobre sequências, segue que 
. Portanto,
converge para 
10 Teste a convergência da série 
R.: Para testar a convergência desta série, vamos utilizar o critério da raiz.
Segue que esta série é convergente.
11 Teste a convergência da série 
R.: Vamos aplicar o teste da razão
Pelo Teste da Razão, esta série converge.
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12 Teste a convergência da série por meio do teste da integral.
R.: Aplicando o teste da Integral em , temos 
Segue que a integral diverge e, portanto, a série também diverge.
13 Verifique se a série é convergente.
R.: Reescrevendo esta série como com segue que
 a sequência é claramente não crescente e que o limite do termo geral 
é 0. Assim, pelo Critério das séries alternadas, esta série é convergente.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Seja K um corpo. Mostre que, para cada elemento v de K, o inverso 
aditivo – v é único.
 (Dica: suponha que exista outro).
R.: Dado v pertencente a K, suponhamos que exista w em K diferente de – v 
para o qual w + v = 0. Então w = 0 – v, ou seja, obrigatoriamente, w = - v. 
2 Sendo K um corpo, mostre que o elemento inverso multiplicativo é 
único. 
R.: Seja v um elemento de K diferente de 0. Então, por definição de corpo, 
existe V-1 em K para o qual Suponhamos então que exista outro
elemento w pertencente a K para o qual Então
e, Pela Lei do Corte, segue que W = V-1 
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3 Seja K um corpo e consideremos P o conjunto dos números positivos. 
Mostre que, dado qualquer elemento u não nulo pertencente a K, u² 
pertence a P.
R.: De fato, se u pertence a K e é não nulo, ou u pertence a P ou – u pertence 
a P. Se u pertencer a P, pela propriedade (a), u2 = u.u também pertence a P. 
Suponhamos agora que u não pertence a P. Então, pela propriedade (b), - u 
pertence a P. Logo, pela regra de sinais e pela propriedade (a), 
pertence a P, como queríamos demonstrar.
4 Dados a, b, x elementos de um corpo ordenado K, mostre que 
 se, e somente se, 
 (Dica: Utilize o TEOREMA 3.1.1).
R.: Consequência imediata do Teorema 2.1.1 e da Lei do Corte para a adição:
5 Prove que, , quaisquer que sejam u e v elementos de um 
 corpo ordenado K.
 (Dica: estude o quadrado do módulo).
R.: Sabemos que, dado u um elemento qualquer de K, u2 é sempre um 
elemento positivo Assim, podemos afirmar que Já
vimos isto na Unidade 1, quando apresentamos o método de demonstração direta. 
Então
um número é sempre positivo, segue que
Com o valor absoluto de 
6 Prove que, quaisquer que sejam u, v e w 
elementos de um corpo ordenado K.
R.: Basta utilizar a propriedade (a) do Teorema 2.1.2 e a igualdade 
Assim, 
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TÓPICO 2
1 Mostre que o supremo de um conjunto, quando existe, é único.
R.: Suponhamos que u e u’ fossem ambos supremos de X. Como u e u’ são 
elementos de um corpo ordenado, ou ou ou a inda u = u ’ . 
Suponhamos que u’ < u. Visto que u é supremo de X, existe algum elemento 
y de X para o qual contradição, pois u’ é supremo de X e, portanto, é 
maior ou igual a todo elemento de X. Logo, u’ não pode ser menor do que 
u. Suponhamos então que u < u’. Neste caso, u’ é cota superior de X, mas 
não é a menor delas: contradição, pois u é supremo de X. Portanto, u = u’.
2 Prove que não existe número racional r tal que onde p é um 
número primo.
R.: Já fizemos uma demonstração análoga na Unidade 1.
Seja p um número primo e consideremos r um número racional tal que 
Então existem dois números inteiros m e n (n não nulo) tais que
.
Vamos supor sem perda de generalidade que m e n são primos entre si, ou 
seja, que a fração está na forma irredutível.
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos que ou seja, 
 Logo, m² é um número divisível por p. Como p é primo, esta 
afirmação implica que m também é divisível por p. Assim, existe um inteiro 
não nulo k tal que Desta forma, Por outro
lado, isto é, 
.
implicando 
n2 também é divisível por p. Novamente, como p é primo, n2 ser divisível por 
p implica n também ser divisível por p. Logo, temos que m e n divisível por 
p, implicando r = m/n não estar na forma irredutível: contradição. Portanto, 
não existem m e n tais que 
ou seja,
isto é, não existe número racional
r tal que Como p foi pego como sendo um primo qualquer, a afirmação 
vale para qualquer primo, CQD.
3 Mostre que só existe um número real x positivo para o qual
R.: Suponhamos que existam dois números x e y ambos positivos cujo 
quadrado é 2. Então 
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Como supomos ambos positivos, x = y necessariamente.
4 Sejam A e B dois subconjuntos numéricos não vazios, tais que A ⊂ 
B. Prove que infA ≥ inf B e que supA ≤ supB.
 (Dica: Utilize as proposições associadas às definições de ínfimo e 
supremo).
R.: Sejam A e B dois conjuntos numéricos não vazios, tais que A ⊂ B. 
Vamos mostrar que infA ≥ inf B através do método de demonstração por absurdo.
Suponhamos por absurdo que inf A < inf B. Então pela condição (b)’ da 
Proposição 2.2.1, existe um elemento x em A tal que x < inf B. 
Mas como A está contido em B, todo elemento de A pertence a B, em particular x. 
Assim, encontramos um elemento de B que é menor que o ínfimo de B: absurdo!
Segue que a afirmação inf A < inf B é falsa e, portanto, infA ≥ inf B.
Suponhamos agora que sup A > sup B. Pela condição (b’) da Proposição 
2.2.2, então existe um elemento x de A tal que x > v. 
Mas como A está contido em B, todo elemento de A pertence a B, em particular x. 
Assim, encontramos um elemento de B que é maior que o supremo de B: absurdo!
Segue que a afirmação sup A >sup B é falsa e, portanto, supA ≤ sup B.
5 Dados dois conjuntos numéricos limitados A e B, definimos o conjunto 
Prove que 
e(Dica: para mostrar que 
é preciso mostrar que 
e que 
R.: Sejam u = inf (A + B), a = inf A e b = inf B. 
Para todos x em A e y em B, a ≤ x e b ≤ y. Em particular, a + b ≤ x + y, para 
todos x em A e y em B, isto é, para todos (x + y) em (A + B).
Assim, a + b é cota inferior de A + B. Como inf (A+B)é a maior das cotas 
superiores, temos que a + b ≤ inf (A + B), isto é, inf A + inf B ≤ inf (A+B). 
Por outro lado, inf (A+B)= u ≤ x + y, para todos x em A e y em B. Como a 
é ínfimo de A e b é ínfimo de B, para qualquer v cota inferior de A e w cota 
inferior de B, v + w ≤ a + b. Agora, Logo u ≤ a + b. 
Logo u = inf (A+B) ≤ inf A + inf B. Segue que inf (A+B) = inf A + inf B 
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Sejam v = sup (A + B), a’ = sup A e b’ = sup B. 
Para todos x em A e y em B, x ≤ a’ e y ≤ b’. Em particular, x + y ≤ a’ +b’, para 
todos x em A e y em B, isto é, para todos (x + y) em (A + B).
Assim, a’ + b’ é cota superior de A + B. Como sup (A+B) é a menor das cotas 
inferiores, temos que sup (A + B) ≤ a’ +b’, isto é, sup (A+B) ≤ sup A + sup B. 
Por outro lado, x + y ≤ v = sup (A + B), para todos x em A e y em B. Como a’ 
é supremo de A e b’ é supremo de B, para qualquer u cota superior de A e 
w cota superior de B, a’ + b’ ≤ u + w. Agora, Logo v é uma cota superior de 
e a + b ≤ v. 
Logo sup A + sup B ≤ sup (A +B). Segue que sup (A+B) = sup A + sup B. 
TÓPICO 3
1 Dado X um conjunto de números reais, o conjunto dos pontos 
interiores de X, int(X) deve conter pelo menos um intervalo aberto.
R.: Seja X um conjunto de números reais e x um elemento pertencente ao 
conjunto dos pontos interiores de X, int(X). Então, por definição, é possível 
encontrar um número positivo para o qual Logo, 
existe pelo menos um intervalo aberto contido em X, CQD.
2 Mostre que, se X for um conjunto limitado superiormente, então o 
supremo de X é aderente a X.
R.: Seja b = sup X. Então b é a menor das cotas superiores de X, isto é, 
qualquer que seja, isto é, qualquer que seja pertence a X. Em 
particular, 
Segue portanto que b é ponto aderente a X. 
3 Se X e Y forem conjuntos reais tais que então
R.: Seja x pertencente ao fecho de X. Então x é aderente a X, isto é, qualquer 
que seja Como X está contido em Y, segue que, 
Portanto x também é aderente a Y, ou seja, x pertence ao fecho de Y, CQD.
4 Mostre que o fecho de um conjunto fechado F é fechado em R.
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 .
 
R.: Vamos mostrar que o complementar de é aberto. 
Seja x um elemento pertencente a R - . Então, pelo corolário 2.3.2, existe 
pelo menos um intervalo A contendo x tal que A ∩ F= e todo ponto y que 
pertence a A pertence a R - (caso, contrário, x seria aderente a F e, portanto, 
pertenceria ao fecho de F). Então encontramos um aberto contendo x que 
pertence a R - . Segue que R - é aberto e, portanto, é fechado.
(OBS: Há outras formas de responder esta questão. Você pode, por exemplo, 
mostrar que ). 
5 Mostre que o único conjunto fechado denso em R é o próprio R.
R.: Seja F um conjunto fechado denso em R. Como F é fechado, 
Por outro lado, F é denso em R, ou seja, R. Portanto, F = R.
TÓPICO 4
1 Seja X um subconjunto real. Mostre que, se um número real x é o limite 
de uma sequência de números pertencentes a X, dois a dois distintos, 
então todo intervalo aberto contendo x possui uma infinidade de 
elementos de X.
R.: Seja uma sequência de elementos dois a dois distintos pertencentes 
a X convergindo para um número real x (que não pertence necessariamente 
ao conjunto X).
Se A é um intervalo aberto real tal que x pertence a A, Como A é aberto, existe 
tal que 
Então, pela definição de limite de sequências, para este dado 
existe um número natural tal que, para todo . 
Em particular, para todo . Portanto, 
para todo , como queríamos demonstrar.
2 Dados X um subconjunto real e x um número real, mostre que, se 
todo intervalo aberto contendo x possui uma infinidade de elementos 
de X, então o elemento x é um ponto de acumulação de X.
R.: Suponhamos que todo intervalo aberto A contendo x possua uma infinidade 
de elementos de X. Então, como x é um elemento de A, qualquer que seja 
está contido em A. Como A contém uma infinidade de 
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elementos de X, existe pelo menos um elemento de X tal que pertença a
. Assim, Portanto, por definição, x é ponto 
de acumulação de X.
3 Dado conjunto mostre que, para cada n basta 
escolher para garantir que o ponto é um ponto 
isolado de X. 
R.: Sabemos que o conjunto X é tal que seus elementos formam uma 
sequência decrescente convergindo para 0. Isto é, sabemos que 
Seja n um número natural. Para mostrar 
que o ponto pertencente a X, 1/n, é um ponto isolado, precisamos encontrar 
um valor para de tal forma que possamos garantir que 
e Então a escolha de 
tem que ser tal que Agora 
Vamos então escolher o menor entre os dois valores 
Note que 
Basta então considerarmos qualquer tal que 
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4 Mostre que um conjunto X é fechado se, e somente se, todos os 
pontos de acumulação de X pertencem a X.
R.: Se X é um conjunto fechado, o fecho de X é exatamente X, isto é, . 
Por outro lado, vimos no Teorema 3.4.2 que . Assim, 
e, portanto, , ou seja, todos os pontos de acumulação pertencem a X.
Reciprocamente, se todos os pontos de acumulação de X pertencem a X, 
segue que e, . Por outro lado, o teorema 3.4.2 nos 
garante que . Portanto , CQD.
5 Dada uma família composta por subconjuntos reais, mostre 
que