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Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
MA093 – Matemática básica 2
Ângulo entre retas. Circunferência e ćırculo
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Novembro de 2018
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Tópicos importantes
O objetivo dessa aula é investigar
1 ângulos entre retas;
2 circunferências e ćırculos.
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Ângulo entre duas retas
Definição
Dadas duas retas não verticais r e s, tais que r e s não são
perpendiculares, o ângulo agudo θ formado entre elas satisfaz
tan(θ) =
∣∣∣∣ ms −mr1 + mr ·ms
∣∣∣∣ .
θ = 180◦ − αr − (180◦ − αs)
θ = αs − αr
tan(θ) =
tan(αs)− tan(αr )
1 + tan(αs)tan(αr )
Logo, para θ agudo:
tan(θ) =
∣∣∣∣ ms −mr1 + mr ·ms
∣∣∣∣
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exemplo 1
Problema
As arestas de um triângulo acutângulo estão sobre as retas
r : y = −2x + 2, s : y = 3x − 6 e t : y = x
3
+ 2.
Encontre o ângulo interno entre as arestas sobre r e s.
1 mr = −2 e ms = 3
2 tan(θ) =
∣∣∣∣ 3− (−2)1 + (−2) · 3
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 5−5
∣∣∣∣ = 1
3 θ = arctan(1) = 45◦
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Circunferência
Definição
Em um plano cartesiano, uma circunferência é o conjunto de
pontos do plano que estão a uma mesma distância r , o raio,
de um ponto O(x0, y0), denominado centro.
A circunferência é a curva verde
O raio está em vermelho
O(x0, y0) é o centro
Todos os pontos da curva estão
à distância r do ponto O
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Equação da circunferência
Equação
A equação da circunferência de raio r centrada em O(x0, y0) é
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
Demonstração:
A distância entre um ponto (x , y) da circunferência e o centro
O(x0, y0) é √
(x − x0)2 + (y − y0)2
Exigindo que essa distância seja igual ao raio, obtemos√
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r
Elevando os 2 lados ao quadrado, chegamos à equação acima.
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exemplo 2
Problema
Determine a equação da circunferência de raio 3 e centro em
(2,−1)
Nesse caso, temos
r = 3, x0 = 2, y0 = −1.
Logo, a equação é
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
(x − 2)2 + (y − (−1))2 = 32
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 9
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exemplo 3
Problema
Trace o gráfico da circunferência definida por
(x − 1)2 + (y − 3)2 = 16
A circunferência tem
centro em O(1, 3)
O raio mede
√
16 = 4
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exemplo 4
Problema
Determine a equação da circunferência que tem centro em
O(−3, 4) e passa pelo ponto P(1, 7)
como o ponto P está sobre a circunferência, temos:
[1−(−3)]2+[7−4]2 = r2 ⇒ 42+32 = r2 ⇒ r2 = 25.
Logo, a equação é
(x − (−3))2 + (y − 4)2 = 25
(x + 3)2 + (y − 4)2 = 25
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Ponto e circunferência
Notação
Dado o ponto P(xP , yP) e a
circunferência C , cuja equação
é (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2,
dizemos que
P é exterior a C se
(xP−x0)2+(yP−y0)2 > r2
P é interior a C se
(xP−x0)2+(yP−y0)2 < r2
P pertence a C se
(xP−x0)2+(yP−y0)2 = r2
P1 é exterior a C : d(P1,O)
2 > r2
P2 é interior a C : d(P2,O)
2 < r2
P3 pertence a C : d(P3,O)
2 = r2
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exemplo 5
Problema
Determine se o ponto P(6, 3) é interior, exterior ou pertence à
circunferência
(x − 4)2 + (y + 5)2 = 64
A circunferência tem centro O(4,−5) e r2 = 64
Calculando o quadrado da distância entre P e O:
d2 = [6− 4]2 + [3− (−5)]2 = 22 + 82 = 68.
Como d2 > r2, ou seja
68 > 64
o ponto é exterior à circunferência.
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Ćırculo
Definição
Chamamos de ćırculo com centro em O(x0, y0) e raio r o conjunto
dos pontos que satisfazem a inequação
(x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r2.
Ou seja, o ćırculo é composto pela circunferência e o seu interior.
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exemplo 6
Problema
Determine a inequação que representa o ćırculo abaixo.
O raio mede 3
O centro é O(4, 2)
O ćırculo é dado por:
(x − 4)2 + (y − 2)2 ≤ 9.
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exerćıcio 1
Problema
Determine o ângulo agudo formado pelas retas
3x − y + 2 = 0 e 6x + 4y − 6 = 0.
θ = arctan(9/7) ≈ 52, 125
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exerćıcio 2
Problema
Determine as equações das retas que passam pelo ponto P(−1, 1)
e formam um ângulo de 45◦ com a reta y = −2x + 4.
y = −x/3 + 2/3 e y = 3x + 4
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exerćıcio 3
Problema
Determine a equação da circunferência de raio
√
3 e centro em
O(−12 , −1).
(x + 1/2)2 + (y + 1)2 = 3
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exerćıcio 4
Problema
Determine a equação da circunferência que tem centro em O(2, 0)
e passa pelo ponto P(5, 4).
(x − 2)2 + y2 = 25
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exerćıcio 5
Problema
Verifique se o ponto R(−1, 3) é interior, exterior ou pertence à
circunferência
(x − 5)2 + (y − 1)2 = 9.
Exterior
Ângulo entre retas Circunferência e ćırculo Exerćıcios
Exerćıcio 6
Problema
1 Determine as equações das retas AD e BC da figura.
2 Determine a inclinação da reta CD.
3 Determine o ângulo agudo formado pelas retas AD e AB.
y = 23x e y − 3 = −
3
2 (x − 11) mCD =
9
7 θ ≈ 18, 43
◦
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