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Exercício 1 – Para calcularmos os valores de R1 e R2, vamos analisar o circuito em seus dois 
estados estáveis, ou seja, para Vo=13V e Vo=-13V. Quando Vo=13V, o diodo D1 conduz e o 
diodo D2 fica bloqueado. Assim, a somatória das correntes no ponto B é dada por: 
 
IR2 IR1 ID1
ID1 IR2 IR1
ID1 13 1 4,
R2
1 4,
R1
ID1 11 6,
R2
1 4,
R1
Equação (1)
 
 
 Quando a tensão na saída do OPAMP é negativa, o diodo D2 conduz e o diodo D1 fica 
bloqueado. Assim, a tensão no ponto B é igual a: 
 
 
VB VD1 VD4 VD2 0 7,
 
 No outro caso, quando Vo= -13V, o diodo D2 conduz e o diodo D1 fica bloqueado. 
Neste caso, a somatória das correntes no ponto B é dada por: 
 
IR1 IR2 ID2
ID2 IR1 IR2
ID2 0 7,
R1
13 0 7,
R2
ID2 0 7,
R2
13 7,
R1
Equação (2)
 
 
 Como o exercício pede que a corrente nos diodos seja entre 1 e 4mA, com o menor 
valor de corrente possível, vamos considerar que ID1=ID2=1mA. Assim, combinando as 
equações 1 e 2, temos: 
1 4,
R1
11 6,
R2
1 10 3. R2 13 kΩ
R1 13 kΩ
0 7,
R1
13 7,
R2
1 10 3.
 
 A solução encontrada para ID1=ID2=1mA ao é válida, pis a resistor R1 resultou com 
valor negativo. Vamos definir outro valor para ID2=2mA. Novamente, resolvendo o sistema 
de equações, temos: 
1 4,
R1
11 6,
R2
1 10 3. R1 2 87 kΩ,
R2 7 8 kΩ,0 7,
R1
13 7,
R2
2 10 3.
 
Se considerarmos R1→∞, nas equações 1 e 2, temos: 
 
ID1 13 1 4,
R2
ID1 1 mA R2 11 6 kΩ,
ID2 13 0 7,
R2
ID2 1 mA R2 12 3kΩ,
 
 
Para garantirmos que a corrente nos diodos seja maior que 1mA, vamos adotar 
R2=10kΩ. Substituindo R2 nas equações acima, ID1=1,16mA e ID2=1,37mA. 
Para calcularmos o valor de R3, vamos analisar o ponto E. A tensão neste ponto é a 
soma das quedas de tensão nos diodos D3 e D4. A soma das correntes que entram e saem 
deste nó é dado por: 
 
IR3 ID2 ID3
ID3 IR3 ID2
ID3 15 1 4,
R3
1 37 10 3.,
 
Substituindo ID3=1mA na equação acima, R3=5,74kΩ. Adotando R3=5,6kΩ, valor 
comercial mais próximo do valor calculado, a corrente ID3 resulta em 1,06mA. 
Finalmente, a máxima corrente que passa pelo diodo D4 é quando Vo=13V e, 
portanto, o diodo D1 conduz.. Esta corrente é dada pela seguinte expressão: 
ID4 ID3 ID1
ID4 15 1 4,
5 6 103.,
1 16 10 3.,
ID4 3 59 mA,
 
As tensões de limiar do circuito, são VTH=1,4V e VTL=0,7V. Considerando que a 
tensão na saída do circuito Vo=13V, a tensão no ponto B é 1,4V. Quando a tensão Vi 
ultrapassa 1,4V, a diferença de potencial entre as entradas + e – do OPAMP fica negativa e a 
tensão na saída do OPAMP satura em Vo=-13V. Nesse momento a tensão no ponto B muda 
para 0,7V. Quando Vi diminui para menos que 0,7V, a diferença de potencial entre as 
entradas + e – do OPAMP fica positiva e a tensão na saída do OPAMP satura em Vo=13V. 
Exercício 2 – a)Vamos considerar que inicialmente a tensão no ponto B seja maior que a tensão 
no ponto A. Neste caso, a tensão no ponto D do circuito, saída do OPAMP, é VD=10V e a tensão 
no ponto B é dada por: 
VB VD R1 R5
R1 R2 R5
. 10 10 10
3. 10 103.
10 103. 100 103. 10 103.
. 1 67 V,
 
 Com VD=10V, a tensão no ponto A aumenta até que está tensão seja menor que a tensão 
no ponto B. Quando VA ultrapassa 1,67V, a diferença de potencial entre as entradas + e – do 
OPAMP fica negativa e a saída do circuito muda para VD=-10V. Neste caso, as tensões nos 
pontos B e C é dada por: 
 
VB VD R1 R5
R1 R2 R5
. 10 10 10
3. 10 103.
10 103. 100 103. 10 103.
. 1 67 V,
VC VB R5
R1 R5
. 1 67 10 10
3.
10 103. 10 103.
. 0, 835 V,
 
 Com a tensão VD negativa, o capacitor descarrega através dos resistores R4 e R3 em 
paralelo, até que a tensão do capacitor se iguale a tensão do diodo D1 em paralelo com este 
capacitor. Portanto a tensão no ponto A é VA=-0,7V. Observe que, neste caso, a diferença de 
potencial entre os pontos B e A é menor que zero (-0,97V), e portanto o circuito se mantém neste 
estado estável. 
 
b) Para dispararmos o circuito, é necessário que a diferença de potencial VB-VA>0. Assim, o 
incremento ∆VB necessário para aumentar a tensão do ponto B suficiente para disparar o circuito 
é dado por: 
VB0 ∆ VB VA
1 67 ∆ VB 0, 7,
∆ VB 0 97 V,
 
 Onde VB0 é a tensão no ponto B com o circuito no estado estável. Para obter este ∆VB, a 
tensão no ponto C deve aumentar em: 
 
∆ VB ∆ VC R2
R1 R2
.
0 97 ∆ VC 10 10
3.
10 103. 100 103.
.,
∆ VC 1 07 V,
 
 
 Portanto, a tensão necessária para disparar o circuito é Vi=∆VC=1,07V. 
 
c) A figura 1 mostra as tensões nos pontos A, B, C, D e a tensão de entrada Vi. 
 
 Time
2.50ms 3.00ms 3.50ms2.05ms
V(VD)
-10V
0V
10V
V(VA)
-2.0V
2.0V
SEL>>
V(VB)
-4.0V
0V
4.0V
V(VC)
-4.0V
0V
4.0V
V(VI)
0V
2.5V
5.0V
 
Figura 1 – Formas de onda das tensões nos pontos A, B, C, D e a tensão de entrada Vi. 
 
 Na figura 1 podemos verificar o funcionamento completo do circuito, ou seja, antes do 
circuito ser disparado, após o disparo e quando ele volta para o estado estável. Para conferir os 
valores, é recomendável que o aluno simule o circuito fornecido na pasta simulação. 
 
d) Quando o circuito é disparado, VB>VA e então VD muda de –10V para 10V. Com a tensão 
positiva no ponto D, o capacitor C1 começa a carregar através do resistor R3. Este aumento da 
tensão no ponto A pode ser calculado como: 
VA VD VD V0( ) e
t
R3 C1..
 
 Onde V0 é a tensão inicial no ponto A, ou seja, V0=-0,7V. Como já foi visto no início do 
exercício, o potencial no ponto aumenta até que VA=1,67V, pois neste instante a saída do 
circuito volta para o estado estável, com Vo=-10V. Portanto o tempo de duração do pulso 
positivo na saída do circuito, é dado por: 
1 67 10 10 0 7,( )( ) e
t
100 103. 10. 10 9..,
t 0 25 ms, 
 
e) A função do resistor R4 é diminuir o valor da constante de tempo do circuito RC, formado 
pelos resistores R4 e R3 em paralelo, durante a descarga do capacitor C1. Durante o 
carregamento de C1, quando a tensão VD=10V, o diodo D2 fica reversamente polarizado e 
“retira” o resistor R4 do circuito. Assim a constante de tempo do circuito RC formado é dada por 
t1=R3.C1=1ms. Quando a tensão VD muda para -10V, o diodo D2 fica diretamente polarizado, 
colocando o resistor R4 em paralelo com R3. Neste caso, a constante de tempo do circuito RC 
formado é dada por t1=R3\\R4.C1~0.01ms. 
f) A corrente no capacitor C2 é dada por: 
 
IC2 C2 dV
dt
.
 
 A impedância equivalente “vista” pelo capacitor é Req=R4//(R1+R2). Assim, a tensão de 
entrada Vi, pode ser escrita como sendo: 
Vi IC2 Req.
 
 Para Vi=1,07V, que é a tensão mínima necessária para disparar o circuito, como foi visto 
no item b, a taxa de crescimento da tensão dV/dt é dada por: 
Vi C2 dV
dt
. R4 R1 R2( ).
R4 R1 R2( )
.
1 07 1000 10 9. dV
dt
. 10 10
3. 110. 103.
10 103. 110 103.
.,
dV
dt
116 7 V
s
,
 
g) O tempo entre um disparo e outro deve ser suficiente para que a tensão no ponto A retorne a 
VA=-0,7V pois, se a tensão VA for maior que este valor, o tempo que demora para VA atingir 
1,67V será menor, e conseqüentemente a largura do pulso na saída do circuito também será 
menor. Para VD=-10V, o valor mínimo da tensão VA é dado por: 
VF 10 0 7 9, 3 V,
 
 No início da descarga do capacitor, a tensão VA=1,67V. Assim, podemos escrever a 
equação descarga do capacitor como: 
VA 9 3 9 3 1, 67,( ) e
t
R3 R4.
R3 R4
C1.
., 
 A descarga é completa quando VA=-0,7V. Assim, o tempo para que isto ocorra é dado 
por: 
0 7 9, 3 9 3 1, 67,( ) e
t
1 10 4..,
t 24 34 µs, 
 Portanto o tempo necessário entre um disparo e outro para que a largura de pulso não 
sofra alteração, é no mínimo em torno de 25µs. 
Exercício 3 – Primeiramente vamos considerar que VO=15V. Neste caso, D1 está conduzindo e 
D2 está bloqueado. A tensão no ponto A é dada por: 
VA Vo
R1
R1 R3
. 15 5 10
3.
5 103. 10 103.
. 5 V
 
 Assim, para VB<5V, o multivibrador astável, mantém sua saída em Vo=15V. Porém, a 
tensão positiva na saída do circuito carrega o capacitor, aumentando a tensão do ponto B. Quando 
VB>5V, a tensão na saída do circuito muda para Vo=-15V. Com o potencialnegativo no ponto 
A, o diodo D1 fica bloqueado e diodo D2 passa a conduzir. Nesse caso, a tensão VA é dada por: 
VA Vo
R2
R2 R3
. 15 1 10
3.
1 103. 10 103.
. 1 36 V,
 
Para VB>-1,36V, o circuito mantém a saída com Vo=-15V. Observe que o limiar da 
tensão no ponto B que mantém a saída Vo=15V, é VTH=5V e o limiar da tensão VB que mantém 
a saída com Vo=-5V, é VTL=-1,36V. Como VTH é diferente de VTL, a onda quadrada na saída 
do circuito apresenta um duty cicle diferente de 50%. Portanto, utilizando os diodos D1 e D2, 
obtemos valores das tensões VTL e VTH diferentes, pois se a tensão VA for positiva ou negativa, 
um dos diodos conduz e o outro fica bloqueado, mudando o resistor na entrada não inversora do 
OPAMP. 
 
b) Para calcularmos a freqüência da onda quadrada, temos que determinar o período deste sinal 
que é a soma dos tempos em que a saída do circuito fica com Vo=15V (VoH) e o tempo em que a 
saída fica com Vo=-15V (VoL). Para isto, basta calcularmos o tempo que o capacitor demora 
para carregar com VC=5V e o tempo que o capacitor demora para descarregar com VC=-1,36V. 
 Durante o carregamento do capacitor, a tensão no capacitor é dada por: 
 
VC 15 15 VC0( ) e
t
R4 C..
 
Onde VC é a tensão no capacitor e VC0 é a tensão inicial quando o capacitor começa a 
carregar. Observe que VC0=-1,36V, que é o valor de VTL. Assim, o tempo que o capacitor 
demora para que VC=5V é dada por: 
 
5 15 15 1 36,( )( ) e
TH
10 103. 69. 10 9..
TH 0 34 ms,
 
Quando o capacitor descarrega, a tensão VC0 é igual a VTH=5V, e o capacitor descarrega 
até que VC=-1,36V. Assim, o tempo que o capacitor demora para descarregar até que 
VC=-1,36V é igual a: 
VC 15 15 VC0( ) e
t
R4 C..
 
 
1 36 15 15 5( ) e
T L
10 103. 69. 10 9..,
TL 0 26 ms,
 
Portanto, o período da onda quadrada na saída do circuito é T=TH+TL=0,34+0,26=0,6ms. 
A freqüência e o duty cicle do sinal de saída do multivibrador astável são: 
f 1
T
1
0 6 10 3.,
1 67 kHz,
DC% TH
TH TL
0 34 10 3.,
0 6 10 3.,
100. 56 7 %,
 
A figura abaixo mostra as formas de onda das tensões na entrada não inversora do 
OPAMP (V+), no capacitor (VC) e na saída do circuito (SAIDA). 
 
 Time
0s 0.5ms 1.0ms 1.5ms 2.0ms
V(SAIDA) V(V+) V(VC)
-10V
0V
10V
-16V
16V
 
 
 
Exercício 4 – A largura do pulso do multivibrador monoestável é dada por: 
 
T C R. ln3. 1 1 C. R.,
 
 Para R=10kΩ e C=10nF, temos: 
 
T 1 1 C. R. 1, 1 10. 10 9. 10. 103. 0, 11 ms,
 
 O valor máximo da largura do pulso de entrada, que dispara o multivibrador 
monoestável deve ser 0,11ms. Se a largura do pulso exceder este valor, ambas as entradas 
S e R do flip flop RS do temporizador 555, ficaram em nível lógico 1 levando o flip flop 
a um estado não permitido onde suas saídas Q e Q’ assumem o mesmo estado. 
 A figura abaixo mostra as formas de onda das tensões de saída, de controle, de 
limiar e de disparo no circuito. 
 
 Time
1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms0.9ms
V(SAIDA) V(CONTROLE) V(LIMIAR) V(DISPARO)
0V
2.0V
4.0V
5.1V
 
Figura 1 – Formas de onda do circuito multivibrador monoestável com temporizador 555. 
 
Observe que quando ocorre o pulso de disparo a tensão na saída do circuito muda 
de 0V para aproximadamente 5V. No mesmo instante a tensão de limiar começa a 
aumentar até atingir o valor da tensão de controle. Quando isso ocorre, o circuito volta 
para o estado estável, com a saída em 0 volts, permanecendo neste estado até que ocorra 
um novo disparo. Podemos perceber que se aumentarmos a tensão de controle, a tensão 
de limiar levará mais tempo para atingir esse valor. Dessa maneira podemos controlar a 
largura do pulso de saída aumentando ou diminuindo o valor da tensão de controle. No 
circuito integrado 555, o pino da tensão de controle é o pino 5. Se apenas conectarmos 
um capacitor, geralmente de 100nF, neste pino a tensão de controle é 1/3 do valor da 
tensão de alimentação do CI. Porém podemos aplicar um outro valor de tensão, por 
exemplo utilizando um divisor resistivo. A figura abaixo mostra as formas de onda das 
tensões de saída, de controle, de limiar e de disparo no circuito, para tensão de controle 
de 4V. 
 
 Time
0s 100us 200us 300us 400us 500us 600us
V(DISPARO) V(SAIDA) V(CONTROLE) V(LIMIAR)
0V
2.0V
4.0V
5.5V
 
Figura 2 – Formas de onda do multivibrador monoestável com tensão de controle 
Vc=4V. 
Exercício 5 – a) O período da onda quadrada na saída do multivibrador astável formado 
com o temporizador integrado 555, é dado por: 
 
T 0 69 C. RA 2 RB.( ).,
 
 
 Adotando os valores para C=10nF, RA=RB=10kΩ, temos: 
T 0 69 10. 10 9. 10 103. 2 10. 103.. 0, 207 ms,
 
 
 Portanto, a freqüência da onda quadrada é dada por: 
f 1
T
1
0 207 10 3.,
4 83 kHz,
 
b) O duty cicle da onda quadrada na saída do multivibrador astável com o 555, é dado 
por: 
DC% RA RB
RA 2 RB.
 
 Para RA=RB=10kΩ, temos: 
DC% 10 10
3. 10 103.
10 103. 2 10. 103.
67 %
 
c) Trocando o resistor RB por 1kΩ, os valores de f e DC% são: 
f 1
0 69 10. 10 9. 10 103. 2 1. 103..,
12 08 kHz,
 
DC% 10 10
3. 1 103.
10 103. 2 1. 103.
91 7 %,
 
d) Para obtermos uma onda quadrada com freqüência de 4,83kHz, com RB de 1kΩ e 
C=10nF, o valor do resistor RA deve ser: 
T 1
f
1
4 83 103.,
0 207 ms,
 
 
T 0 69 C. RA 2 RB.( )., 
0 207 10 3. 0, 69 10. 10 9. RA 2 1. 103.., 
 
RA 28 kΩ 
 
RA 8 RB. 8 1. 45 103.,
RA 11 6 kΩ, 
 A figura abaixo mostra as formas de onda do multivibrador astável com 555 para 
f=10kHz e DC%=90% e o circuito com a saída invertida, onde é obtida a onda quadrada 
com f=10kHz e DC%=10%. 
 Time
0.6ms 0.7ms 0.8ms 0.9ms 1.0ms
V(SAIDA_INVERTIDA)
0V
2.5V
5.0V
V(SAIDA)
2.5V
5.0V
-0.1V
SEL>>
 
Figura 2 - Multivibrador astável com temporizador 555, com a saída invertida para 
obtenção de uma onda quadrada com “duty cicle” menor que 50%. 
 
 O multivibrador astável pode ser utilizado como um oscilador com freqüência 
controlada pelo valor da tensão no terminal de controle (pino 5) do 555. A figura 3 
mostra as formas de onda das tensões de saída, limiar e a tensão de controle (Vc). 
 Time
0s 1.0ms 2.0ms 3.0ms 4.0ms
V(SAIDA) V(CONTROLE) V(LIMIAR)
0V
2.0V
4.0V
5.5V
 
Figura 3 – Oscilador controlado por tensão (VCO) com o temporizador 555. 
 A figura abaixo mostra as formas de onda do multivibrador astável com 555 para 
RA=RB=10kΩ e C=10nF. 
 Time
0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms
V(SAIDA) V(CONTROLE) V(LIMIAR)
0V
2.0V
4.0V
5.5V
 
Figura 1 – Multivibrador astável com temporizador 555. 
 
e) Analisando a equação que calcula o duty cicle da onda quadrada, podemos chegar a 
conclusão que o menor valor possível do DC% é 50%, para RB>>RA. Assim, para 
obtermos uma onda quadrada com DC%=10%, podemos calcular RA e RB para uma 
onda quadrada com DC%=90% e invertermos esse sinal na saída do circuito. 
 Assim, para uma onda quadrada com f=10kHz e DC%=90%, utilizando um 
capacitor de 10nF, os valores de RA e RB são: 
T 1
f
1
10 103.
0 1 ms,
 
T 0 69 C. RA 2 RB.( )., 
0 1 10 3. 0, 69 10. 10 9. RA 2 RB.( ).,
RA 2 RB. 14 5 kΩ, 1( ) 
DC RA RB
RA 2 RB.
0 9,
RA 8 RB. 2( ) 
 
Substituindo (2) em (1), temos: 
8 RB. 2 RB. 14 5 103.,
RB 1 45 kΩ,
 
Na figura podemos observar que a medida que a tensão de controle aumenta, o 
capacitor leva mais tempo para carregar e descarregar. Assim, a freqüência da onda 
quadrada na saída do circuito diminui. Observe que a tensão de limiar varia entre Vc e 
Vc/2. Desta maneira, podemos controlar a freqüência do multivibrador astável variando a 
tensão no terminal de controle. Esta variação da tensão pode ser implementada com um 
potenciômetro ou outro circuito qualquer.