Espaços Vetoriais e Transformações Lineares

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1. Espaços vetoriais, transformações lineares, determinantes.
Funcionais lineares. Dualidade. Bidual.
Definição 1 Seja F um corpo de escalares e V um conjunto de vetores não vazio. Definimos duas operações no V .
1. Adição de vetores, que associa a cada par u, v ∈ V um vetor u + v ∈ V , denominado a soma de u e v.
2. Multiplicação escalar, que associa a cada escalar α ∈ F e cada vetor v ∈ V um vetor αv ∈ V , denominado o
produto de α por v.
Então V é um espaço vetorial sobre F se:
1. u + v = v + u 2. (u + v) + w = u + (v + w)
3. Existe um vetor 0 em V tal que v + 0 = 0 + v = v
4. Para cada vetor v ∈ V existe um vetor −v ∈ V tal que v + (−v) = 0
5. (αβ)v = α(βv) 6. α(u + v) = αu + αv
7. (α + β)v = αv + βv 8. 1v = v
para todos α, β ∈ F e u, v, w ∈ V .
Definição 2 Sejam V e W espaços vetoriais sobre o (mesmo) corpo F . Uma transformação linear de V em W é
uma função ϕ : V → W tal que ϕ(u + v) = ϕu + ϕv e ϕ(αv) = αϕv para todos α, β ∈ F e u, v ∈ V .
Exemplo 1 O espaço das n–uplas Fn = {(x1, . . . , xn) | xi ∈ F}, com as operações u + v = (u1 + v1, . . . , un + vn)
e αu = (αu1, . . . , αun), onde u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn). Temos dim V = n.
Exemplo 2 O espaço das m × n matrizes Fmn, com as operações A + B = (aij + bij), αA = (αaij), onde
A = (aij), B = (bij) ∈ Fmn. Temos dim V = mn. Uma base de Fmn é o conjunto das matrizes elementares Eij cujas
elementos são 0 com exeção de elemento na i–éssima linha e j–éssima coluna que é igual de 1.
Exemplo 3 O espaço F [x] dos polinômios sobre F com a adição e a multiplicação usuais. Este espaço tem uma
base infinita, por exemplo, os polinômios 1, x, x2, x3, . . .
Notamos que o espaço V é de dimensão finita se ele possui uma base finita. Duas quaisquer bases de V têm o
mesmo número (finito) de elementos. Dois espaços U e V , de dimensão finita sobre F , são isomorfos se, e somente
se, dim U = dim V .
Exemplo 4 Se A é uma matriz, o conjunto das soluções V do sistema homogêneo Ax = 0 é um espaço. Se A ∈ Fmn
e r (A) é o posto de A, então V é um subespaço de Fn, e dim V = n− r (A).
Seja e1, . . . , en uma base de V , e x = x1e1+ · · ·+xnen, xi ∈ F . O n–uplo (x1, . . . , xn) é o n–uplo das coordenadas
de x em relação à base e1, . . . , en. Se ϕ é um operador linear (isto é, ϕ é uma transformação linear de V em V ).
Então ϕx = x1ϕe1 + · · · + xnϕen. Obtermos que ϕ é determinado completamente pelos vetores ϕe1, . . . , ϕen.
Suponhamos que ϕei = a1ie1 + a2ie2 + · · ·+ anien. A matriz
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann

é a matriz de ϕ em relação á base (ordenada) e1, . . . , en de V . Notamos que as coordenadas dos imagens ϕei dos
vetores ei são as colunas da matriz A.
Sejam (e) = e1, . . . , en; (e′) = e′1, . . . , e
′
n duas bases de V . Então existe uma única matriz P tal que e
′ = P te,
onde P t significa a matriz transposta de P .
Teorema 1 Seja ϕ um operador de V com matrizes A e B, respectivamente, em relação das bases (e) e (e′). Então
B = P−1AP (isto é, A e B são semelhantes ou conjugadas).
Definição 3 Seja V um espaço. Um subconjunto W de V é um subespaço de V se W é um espaço sobre F em
relação das mesmas operações como V . Se W1, W2, . . . , são subconjuntos de V , o conjunto
W = {w1 + w2 + · · ·+ wk | wi ∈ Wi, 1 ≤ i ≤ k; k = 1, 2, . . .},
é dito a soma dos W1, W2, . . . , e ele é indicado por W = W1 + W2 + · · ·.
1
Em caso W1, W2, . . . são subespaços, então W é um subespaço também.
Definição 4 Seja ϕ um operador de V . O núcleo (espaço nulo, Kernel) Kerϕ de ϕ é o conjunto {v ∈ V | ϕ(v) = 0}.
A imagem Im ϕ = ϕ(V ) é o conjunto {ϕv | v ∈ V }. O posto r (ϕ) é r (ϕ) = dim (Im ϕ), e a nulidade de ϕ é
δ(ϕ) = dim (Ker ϕ).
Notamos que Kerϕ e Im ϕ são subespaços de V .
Teorema 2 Se dim V = n < ∞, então r (ϕ) + δ(ϕ) = n.
Temos que mencionar que em caso ϕ : V → W é uma transfomação linear e dim V < ∞ o mesmo teorema é valido.
Exemplo 5 Seja ϕ : F 3 → F 3, ϕ(x1, x2, x3) = (x1 + x3,−2x1 + x2,−x1 + 2x2 + 4x3). A matriz A de ϕ em relação
à base canônica de F 3 é A =
 3 0 1−2 1 0
−1 2 4
. Sejam f1 = (1, 0, 1), f2 = (−1, 2, 1), f3 = (2, 1, 1), então estes vetores
são uma base de F 3. A matriz P é a seguinte:
P =
 1 −1 20 2 1
1 1 1
 , e P−1 = 1
4
−1 −3 5−1 1 1
2 2 −2
 .
Então a matriz de A en relação à base (f) é B = P−1AP =
1
4
 17 35 22−3 15 −6
−2 −14 0
.
Exemplo 6 Seja ϕ um operador em V , dim V = 3, e seja e1, e2, e3 uma base de V tal que ϕe1 = e1 − e3,
ϕe2 = 2e1 + e2 + 3e3, ϕe3 = e1 + e2 + 4e3. Determinar bases da Kerϕ e da Im ϕ.
A matriz de ϕ é A =
 1 2 10 1 1
−1 3 4
. A sistema homogêneo
∣∣∣∣∣∣
x1 +2x2 +x3 = 0
x2 +x3 = 0
−x1 +3x3 +4x4 = 0
tem soluções {(p,−p, p) |
p ∈ F}, e a base do espaço das soluções é o vetor (1,−1, 1). Mas δ(ϕ) = 1, então r (ϕ) = 3 − 1 = 2. Os vetores
f1 = (1, 0,−1), f2 = (2, 1, 3) são linearmente independentes , e eles formam uma base de Im ϕ.
Notamos que se A é a matriz de ϕ, então Kerϕ é o conjunto das soluções do sistema homogêneo Ax = 0. A
imagem de ϕ é o subespaço gerado pelos vetores colunas de A.
Definição 5 Seja A uma matriz n × n sobre um corpo F , A = (aij). O determinante det A = |A| é o número∑
(−1)σa1σ(1) . . . anσ(n), onde (σ(1), . . . , σ(n)) é uma permutação de (1, . . . , n), (−1)σ é o sinal de σ, e a soma é
sobre todas as permutações de (1, . . . , n).
Propriedades dos determinantes
1. det A = detAt, onde At é a matriz transposta de A.
2. Se A tem duas linhas/colunas iguais, então detA = 0.
3. Se A1 é uma matriz obtida a partir de A permutando duas linhas/colunas de A, então det A1 = −det A.
4. det

a11 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a′i1 + a
′′
i1 . . . a
′
in + a
′′
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann
 = det

a11 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . .
a′i1 . . . a
′
in
. . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann
 + det

a11 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . .
a′′i1 . . . a
′′
in
. . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann
.
5. det

a11 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
λai1 . . . λain
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann
 = λdetA.
6. Se B é obtida a partir de A somando-se um múltiplo de uma linha/coluna de A a outra, então det A = det B.
7. det A = 0 se, e somente se, as linhas/colunas de A são linearmente dependentes.
8. det (AB) = det A.detB. (Se A é uma matriz m × n, e B é uma matrriz n × k, então AB = C ∈ Fmk, onde
cij = ai1b1j + · · ·+ ainbnj .)
2
9. Seja A ∈ Fn. Indicamos Aij o cofator do elemento aij de A, e ∆ij o determinante obtido por A retirando-se a
i–éssima linha e a j–éssima coluna. Então Aij = (−1)i+j∆ij .
10. ai1Aj1 + · · ·+ ainAjn = det A, se i = j, e 0, se i 6= j. O mesmo é valido pelas colunas de A.
11. Seja A∗ = (Aij)t a adjunta (clássica) de A. Então (adjA)A = det A.I, onde I é a matriz unidade.
12. A ∈ Fn é inversivel se, e somente se, det A 6= 0. Nesse caso, A−1 = (det A)−1.A∗.
Exemplo 7 det A =
∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
2 2 0 2
4 1 −1 −1
1 2 3 0
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
0 4 −4 −4
0 5 −9 −13
0 3 1 −3
∣∣∣∣∣∣∣ = 4
∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
0 1 −1 −1
0 5 −9 −13
0 3 −1 3
∣∣∣∣∣∣∣
= 4
∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
0 1 −1 −1
0 0 −4 −8
0 0 4 0
∣∣∣∣∣∣∣ = −43
∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
0 1 −1 −1
0 0 1 2
0 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣ = −43
∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 2 3
0 1 −1 −1
0 0 1 2
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣ = −43.1.1.1(−2) = 128.
Observação. Se A = (aij) ∈ Fn e aij = 0 enquando i < j, a matriz A tem forma de triángulo. Então
det A = a11a22 · · · ann.
Definição 6 O posto de uma matriz A ∈ Fmn é o número maximal r tal que existe um menor de ordem r (isto é,
r × r), que não é zero, e todos menores de ordem r + 1 e mais são zeros.
Teorema 3 O posto de A é igual do posto dos vetores linhas e do posto dos vetores colunas de A.
Demonstração. Sejam r o posto de A, e o menor ∆ =
∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1r
. . . . . .. . . . . . .
ar1 . . . arr
∣∣∣∣∣∣ 6= 0. Seja ∆ik =
∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1r a1i
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ar1 . . . arr ari
ak1 . . . akr aki
∣∣∣∣∣∣∣,
1 ≤ i ≤ n, r < k ≤ m.
Se 1 ≤ i ≤ r, então ∆ik = 0 (o menor tem duas linhas iguais). Se i > r, então ∆ik = 0 porque ele é o menor
de ordem r + 1. As primeiras r colunas de ∆ik (e de A) são linearmente independentes (∆ 6= 0). Então a ultima
coluna de ∆ik é a combinação das primeiras r colunas, ati = x1at1 + · · ·+ xratr, onde x1, . . . , xr não dependem de t
(mas de i). Então as colunas de A são combinações das primeiras r colunas; as primeiras r colunas são linearmente
independentes. Isto é, posto(A) = posto-colunas(A).
O mesmo é valido por At, porque ∆ik = ∆tik.
Funcionais Lineares
Definição 7 Sejam V e W dois F–espaços, com bases e1, . . . , en; f1, . . . , fm, respectivamente. Uma transformação
ϕ : V → W é denominada uma transformação linear se ϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v), α, β ∈ F , u, v ∈ V . A matriz
A ∈ Fmn de ϕ em relação às bases (e) e (f), tem elementos aij tais que ϕ(ei) = a1if1 + · · ·+ amifm, i = 1, . . . , n.
(Isto é, as colunas de A são as coordenadas dos vetores ϕ(e1), . . . , ϕ(en) em relação à base f1, . . . , fm.)
Definição 8 Seja V um espaço sobre F . Uma transformação linear f : V → F é denominada funcional linear sobre
V . Isto é, f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), α, β ∈ F , u, v ∈ V .
Exemplo 8 Sejam a1, . . . , an ∈ F escalares. Definamos f : Fn → F a aplicação f(x1, . . . , xn) = a1x1 + · · ·+anxn.
A matriz de f é (a1, . . . , an) em relação à base usual de Fn e à base {1} de F .
Notamos que todas funções lineares sobre Fn são dessa forma. Se e1, . . . , en é a base usual, e se x = x1e1 + · · ·+
xnen ∈ Fn, então ϕ(x) = x1ϕ(e1) + · · ·+ xnϕ(en). Podemos denominar ϕ(ei) = ai.
Exemplo 9 Seja C[a, b] o espaço das funções continuas, f : [a, b] → R. Definamos ϕ(f) =
∫ b
a
f(t) dt — este é um
funcional linear.
Exemplo 10 Seja A ∈ Fn. O traço trA de A é o escalar trA = a11 + a22 + · · · + ann. O traço tem propriedades
importantes.
3
Problemas. 1. O traço é um funcional linear sobre o espaço Fn.
2. Seja A uma matriz, A ∈ Fn, tal que tr (AX) = 0 para todas X ∈ Fn. Mostrar que A = O.
3. Mostrar que tr (AB) = tr (BA), A, B ∈ Fn. Também, tr (AB −BA) = O.
4. (Dif́ıcil!) Mostrar que se A ∈ Cn e trA = 0, então existem matrizes B e C tais que A = BC − CB.
5. Seja F [x] o espaço dos polinômios sobre F e a ∈ F . Definamos uma função ϕa : F [x] → F tal que ϕa(f) = f(a),
f ∈ F [x]. Mostrar que ϕa é um funcional linear sobre F [x].
Definição 9 Se V é um espaço (sobre F ), indicamos V ∗ = {f | f é um funcional linear sobre F}.
Lema 1 Se ϕ1, ϕ2 ∈ V ∗ e α1, α2 ∈ F , então α1ϕ1 + α2ϕ2 ∈ V ∗. (Isto é, V ∗ é um espaço vetorial sobre F .)
Demonstração. Temos que (α1ϕ1 + α2ϕ2)(β1v1 + β2v2) =
α1ϕ1(β1v1 + β2v2) + α2ϕ2(β1v1 + β2v2) = α1β1ϕ1(v1) + α1β2ϕ1(v2) + α2β1ϕ2(v1) + α2β2ϕ2(v2) =
β1(α1ϕ1(v1) + α2ϕ2(v1)) + β2(α1ϕ1(v2) + α2ϕ2(v2)) = β1(α1ϕ1 + α2ϕ2)(v1) + β2(α1ϕ1 + α2ϕ2)(v2),
então α1ϕ1 + α2ϕ2 é um funcional linear sobre V .
Lema 2 Se dim V = n, então dim V ∗ = n, e V ∼= V ∗.
Demonstração. Seja e1, . . . , en uma base de V . Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, existe um único fi ∈ V ∗, tal que
fi(ej) = δij , j = 1, . . . , n. Os funcionais f1, . . . , fn são linearmente independentes: se f = α1f1 + · · ·+ αnfn, então
f(ei) =
∑n
1 αjfj(ei) = αifi(ei) = αi. Suponhamos f = 0, logo αi = 0, i = 1, . . . , n.
Mas f1, . . . , fn formam uma base de V ∗: se f ∈ V ∗, então f(ei) = ai, e f = α1f1 + · · ·+ αnfn.
Definição 10 A base f1, . . . , fn escrita acima, é dita a base dual de e1, . . . , en.
Corolário 1 Seja V um espaço e V ∗ o espaço dual de V . Se e1, . . . , en é uma base de V , e f1, . . . , fn — a base
dual de V ∗. Então f =
∑n
i=1 f(ei)fi, e v =
∑n
i=1 fi(v)ei para cada f ∈ V ∗ e cada v ∈ V .
Demonstração. Seja f =
∑n
i=1 αifi. As “coordenadas” αi são únicas. Mas f(ei) = αi, então αi = f(ei), i = 1, . . . ,
n. Analogamente, se v =
∑n
i=1 βiei, então fj(v) = βjfj(ej) = βj .
Observação. 1. As fi são as funções coordenadas para e1, . . . , en. Se v = α1e1 + · · ·+αnen = (α1, . . . , αn), então
f(v) = a1α1 + · · ·+ anαn, onde ai = f(ei).
2. O isomorfismo acima depende da base de V .
Definição 11 Seja S um subconjunto de V . O anulador de S é o conjunto S0 = {f ∈ V ∗ | f(s) = 0, s ∈ S}.
Lema 3 S0 é um subespaço de V ∗. Se S = {0}, então S0 = V ∗; se S = V , então S0 = 0 ⊂ V ∗.
Demonstração. Tŕıvial.
Definição 12 Seja V um espaço, dim V = n. Um subespaço de dimensão n − 1 é denominado um hiperplano (ou
subespaço de codimensão 1).
Lema 4 Seja 0 6= f ∈ V ∗, dim V = n. Então r (f) = 1 e δ(f) = n− 1.
Demonstração. Im f = F e dim F = 1. O teorema do posto mais a nulidade afirma que r (f) + δ(f) = n, então
δ(f) = n− 1 e dim (Ker f) = n− 1.
Teorema 4 Se W é um subespaço de V , dim V < ∞, então dim W + dim W 0 = dim V .
Demonstração. Seja e1, . . . , ek uma base de W , dim W = k. Existem vetores ek+1, . . . , en ∈ V tais que o sistema
e1, . . . , en é uma base de V . Seja f1, . . . , fn a base dual de e1, . . . , en em V ∗. Mostramos que fk+1, . . . , fn é uma
base de W 0.
1. Se i ≥ k + 1 e j ≤ k, então fi(ej) = 0, e fk+1, . . . , fn ∈ W 0.
2. Os funcionais fk+1, . . . , fn são linearmente independentes. Portanto basta demonstrar que eles geram o espaço
W 0. Seja f ∈ V ∗, f =
∑n
1 f(ei)fi. Se f ∈ W 0, temos f(ei) = 0, i ≤ k. Então f =
∑n
i=k+1 f(ei)fi.
Corolário 2 1. Se dim W = k, então dim W 0 = n− k, onde n = dim V .
2. Se dim V = n e dim W = k, então W é uma interceção de n− k hiperplanos em V .
3. Se W1 e W2 são subespaços de V , dim V < ∞, então W1 = W2 se, e somente se, W 01 = W 02 .
4
Demonstração. 1. Mostrado no demonstração do teorema.
2. Temos W = {v ∈ V | fi(v) = 0, i = k + 1, . . . , n}. Se k = n− 1, então W = Ker fn.
3. Se W1 = W2, então W 01 = W
0
2 . Suponhamos que W1 6= W2, e seja v ∈ V , v /∈ W1, mas v ∈ W2. Então existe
uma f ∈ V ∗ tal que f(v) 6= 0 mas f(w) = 0 para cada w ∈ W1. Assim, f ∈ W 01 mas f /∈ W 02 . Então W1 = W2.
Teorema 5 Cada subespaço de Fn é constituido por todas soluções de um sistema homogêneo em n variaveis.
Demonstração. Seja W um subespaço de Fn. Se W = {0}, então o sistema é Ix = 0. Seja W 6= {0}, e seja e1, . . . ,
ek uma base de W . Então, escolhemos uma base f1, . . . , fm de W 0 em (Fn)∗. As coordenadas das f1, . . . , fm em
relação à base dual de base usual em Fn são os coeficientes do sistema. (Notamos que m = n− k.)
Exemplo 11 Sejam e1 = (2,−2, 3, 4, 1), e2 = (−1, 1, 2, 5, 2), e3 = (0, 0,−1,−2, 3), e4 = (1,−1, 2, 3, 0) vetores em
R5. Obtermos um sistema homogenêo cujos soluções são os vetores no subespaço `(e1, e2, e3, e4) gerado por e1, e2,
e3, e4. A matriz A é linha–equivalente da matriz B:
A =

2 −2 3 4 1
−1 1 2 5 2
0 0 −1 −2 3
1 −1 2 3 0
 ∼

1 −1 0 −1 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
 = B.
Então obtemos que W = `(b1, b2, b3), onde b1 = (1,−1, 0,−1, 0), b2 = (0, 0, 1, 2, 0), b3 = (0, 0, 0, 0, 1). Seja f ∈ (R5)∗;
então f ∈ V ∗ se, e somente se, f(b1) = f(b2) = f(b3) = 0. Mas f(x1, x2, x3, x4, x5) =
∑5
1 cjxj. Obtemos que∣∣∣∣∣∣
c1 −c2 −c4 = 0
c3 +2c4 = 0
c5 = 0
. Resolvemos este sistema: c1 = p + q, c2 = p, c3 = −2q, c4 = q, c5 = 0. Tomamos
p = 1, q = 0, e depois p = 0, q = 1, e obtermos f1 = x1 + x5, f2 = x1 − 2x3 + x4 sào uma base de W 0. O sistema
procurado é
∣∣∣∣ x1 +x5 = 0x1 −2x3 +x4 = 0 .
Bidual
Definição 13 Se v ∈ V , indicamos ϕv : V ∗ → F a função ϕ(f) = f(v), f ∈ V ∗.
Lema 5 ϕv é um funcional linear sobre V ∗, ϕv ∈ V ∗∗. Se v 6= 0, então ϕv 6= 0.
Demonstração. ϕv(αf + βg) = (αf + βg)(v) = αf(v) + βg(v) = αϕv(f) + βϕv(g). Se v 6= 0, então existe f ∈ V ∗ tal
que f(v) 6= 0, e ϕv(f) = f(v) 6= 0.
Definição 14 Seja V um espaço de dimensão finita sobre F , e v ∈ V . Definamos a aplicação Φ : V → V ∗∗,
Φ(v) = ϕv.
Teorema 6 Φ é um isomorfismo de V emV ∗∗.
Demonstração. A lema implica que ϕv ∈ V ∗∗. Sejam u, v ∈ V e w = αu + βv ∈ V , α, β ∈ F . Então, se f ∈ V ∗,
temos Φ(w)(f) = f(w) = f(αu + βv) = αf(u) + βf(v) = αΦ(u)(f) + βΦ(v)(f).
Portanto Φ(w) = αΦ(u) + βΦ(v), e Φ é uma transformação linear de V em V ∗∗. Mas Φ(v) = 0 se, e somente se,
v = 0. Como dim V = dim V ∗ = dim V ∗∗, então Φ é um isomorfismo de V em V ∗∗.
Corolário 3 1. Seja dim V < ∞ e ϕ ∈ V ∗∗. Então existe um único vetor v ∈ V tal que ϕ(f) = f(v) para todo
f ∈ V ∗.
2. Seja dim V < ∞. Então toda base de V ∗ é a dual de alguma base de V .
Demonstração. O primeiro é evidente (veja o isomorfismo no teorema). Pelo segundo, se f1, . . . , fn é uma base de
V ∗, então existe uma base ϕ1, . . . , ϕn de V ∗∗ tal que ϕi(fj) = δij . O corolário 1 mostra, que para cada i, existe
vi ∈ V tal que ϕi(f) = f(vi) para cada f ∈ V ∗. Isto é, ϕi = Φ(vi).
Então v1, . . . , vn é uma base de V , e a base f1, . . . , fn é dual de v1, . . . , vn.
O isomorfismo Φ : V → V ∗∗ pode ser usado para identificar V e V ∗∗. Então dizemos que V é o espaço dual de
V ∗ (V e V ∗ são duais um do outro).
5
Exemplo 12 (Sistemas) Se E ⊆ V ∗, então E0 ⊆ V ∗∗ = V . Identificamos E0 com o conjunto {v ∈ V | f(v) =
0 para todos f ∈ E}. Acima observamos que cada subespaço W ⊂ V é determinado por W 0. Como? W = {v ∈ V |
f(v) = 0 para todos f ∈ W 0}. Isto é, W = (W 0)0.
Corolário 4 Se S ⊆ V , dim V = n, então (S0)0 é o subespaço gerado por S.
Demonstração. Se W = `(S), então W 0 = S0. Devemos mostrar que W = W 00. Temos dim W + dim W 0 = n,
dim W 0 + dim W 00 = dim V ∗ = n. Então dim W = dim W 00. mas como W ⊆ W 00, obtermos W = W 00 (porque W
é um subespaço).
Definição 15 Se V é um espaço vetorial arbitrário, um hiperplano é um subespaço U ⊂ V tal que U 6= V , e se W
é um subespaço, U ⊆ W ⊆ V , então W = V ou W = U . (Isto é, V é um subespaço próprio maximal de V .)
Teorema 7 Se 0 6= f ∈ V ∗, então Ker f = N é um hiperplano em V . Reciprocamente, todo hiperplano de V é o
núcleo de um funcional f ∈ V ∗ (f não é único).
Demonstração. Seja 0 6= f ∈ V ∗, Ker f = N . Existe v ∈ V tal que f(v) 6= 0. Seja u ∈ V , definamos a = f(u)/f(v).
Então w = u− av ∈ N pois f(w) = f(u− av)− f(u)− af(v) = 0. Portanto, u = w + av ∈ N = `(v) e V = N + `(v),
N é um hiperplano.
Seja N um hiperplano em V , e seja v ∈ V , v /∈ N . Então (N é um subespaço próprio maximal) V = N + `(v), e
cada u ∈ V tem a presentação u = w + av, a ∈ F , w ∈ N .
Se tivessemos u = w′ + a′v, a′ ∈ F , w′ ∈ N , então (a − a′)v = w′ − w. Se a − a′ 6= 0, temos v ∈ N , que não é
posśıvel. Logo a = a′, e w = w′.
Corolário 5 Se v ∈ V , existe um único elemente a = g(u) ∈ F tal que u − av ∈ N . A aplicação g é um funcional
linear sobre V e N = Ker g.
Demonstração. Tŕıvial.
Lema 6 Se f , g ∈ V ∗, então g é um múltiplo escalar de f (g = af , a ∈ F ) se, e somente se, Ker f ⊆ Ker g. Isto é,
f(v) = 0 implica g(v) = 0.
Demonstração. Se f = 0, então g = 0 é um múltiplo escalar de f . Se f 6= 0, então N = Ker f é um hiperplano
em V . Existe v ∈ V tal que f(v) 6= 0. Seja a = g(v)/f(v). Então, N ⊆ Kerh, onde h = g − af ∈ V ∗. Mas
h(v) = g(v)− af(v) = 0. Assim h = 0 sobre V , e obtemos g = af .
Corolário 6 Sejam f1, . . . , fr, g ∈ V ∗ e sejam N1, . . . , Nr, N seus respectivos núcleos. Então, existem escalares
a1, . . . , ar ∈ F tais que g = a1f1 + · · ·+ arfr se, e somente se, N1 ∩ . . . ∩Nr ⊆ N .
Demonstração. Se g =
∑r
1 aifi e fi(v) = 0 para cada i, então g(v) = 0, e obviamente N1 ∩ . . . ∩Nr ⊆ N .
Para a rećıproca podemos usar uma indução sobre r. O lema é o caso r = 1 (a base da indução). Suponhamos o
corolário conhecido para r−1 funcionais. Se N1∩ . . .∩Nr ⊆ N , sejam f ′1, . . . , f ′r−1, g′, as restrições de f1, . . . , fr−1,
g ao Nk. Podemos aplicar a indução: existem escalares a1, . . . , ar−1 tais que g′ = a1f ′1 + · · ·+ ar−1f ′r−1 (notamos
que f ′i(v) = 0, 1 ≤ i ≤ r − 1, implica v ∈ N1 ∩ . . . ∩Nr e portanto g′(v) = 0).
Se h = g −
∑r−1
1 aifi, então h ∈ V ∗ e h(v) = 0 para todo v ∈ Nk. O lema significa que h = akfk, então
g =
∑r
1 aifi.
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