2-regressao-multipla

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1 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR 
MÚLTIPLA 
1 
REGRESSÃO LINEAR 
 Verificado, pelo valor de “r”, que ocorre uma significante 
correlação linear entre duas variáveis há necessidade de 
quantificar tal relação, o que é feito pela análise de regressão. 
 
 Cálculo da equação de uma reta que, disposta num sistema de 
eixos cartesianos, com valores de yi (variável dependente) na 
ordenada e xi (variável independente) na abcissa, a soma dos 
quadrados dos desvios verticais dos pontos em relação a ela 
seja mínima. 
 
 Y = a +bX, 
 onde Y é o valor estimado para um específico valor xi; “b” revela 
a inclinação da reta, ou seja o acréscimo ou decréscimo do valor 
de y em relação à x; “a” localiza o ponto de interseção da reta em 
relação ao sistema de coordenada retangulares. 
 2 
3 
VERIFICAÇÃO DO AJUSTE A UMA RETA PELO COEFICIENTE 
DE DETERMINAÇÃO (R2) 
 Proporção da variação total da variável dependente “zi” que é 
explicada pela variação da variável independente “xi” 
 
 Variação total dos dados: SQT = Z2 – (Z)2/n 
 Variação devido à linha calculada: SQP = Z*2–(Z*)2/n 
 Variação devido aos resíduos: SQR = SQT - SQP 
 
 Porcentagem de ajuste da linha: R2 = (SQP/SQT)100 
 
 O coeficiente de correlação “r” indica a relação entre variáveis 
e “r2” indica o quanto uma variável “explica” a outra, ou 
quanto a linha calculada se ajusta aos dados originais. 
4 
 
REGRESSÃO CURVILÍNEA 
 
• Variáveis independentes: potências crescentes de xi, 
• Cálculo dos coeficientes ai 
• Com potências crescentes de xi, curva mais complexa para ajuste 
• Processo por etapas (stepwise) 
 
• O modelo para a regressão polinomial de grau k é 
 
...3X
3
a2X
2
aX
1
a
0
a*Y 
εk
i
X
k
α...2
i
X
2
α
i
X
1
α
o
αY  5 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
6 
2 
FUNÇÃO CÚBICA 
7 
REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
• Testa dependências cumulativas de uma única variável dependente (Y) em relação 
à diversas variáveis independentes (Xi) 
 
• Y = a0 + a1X + a2X
2 + a3X
3 + a4X
4 + ......+ e 
 
• A variância total de Y é em parte "explicada" pelas diversas variáveis X's e o 
restante pela variabilidade devido ao erro (e) 
 
• A proporção da variância dos Y observados "explicada" por uma equação de 
regressão ajustada é representada pelo coeficiente de determinação R², variando 
entre 0 e 1 
 
• O termo "explicada" tem apenas um significado numérico não implicando 
necessariamente em um conhecimento causa-efeito sobre o porque da relação 
existente 
 
 8 
• Os coeficiente “ai”, parciais de regressão, fornece a taxa de 
mudança na variável dependente correspondente à 
respectiva variável independente, mantendo constantes as 
demais variáveis independentes. 
 
• Coeficientes de regressão parciais fornecem porcentagens 
explicadas da soma de quadrados de Y segundo 2k-1 
combinações, onde k é o número de variáveis 
independentes. 
 
• É verificada a contribuição pura de cada variável 
independente por comparações sucessivas entre os diversos 
resultados. 
 
• As relações entre as variáveis devem ser lineares 
 
9 
 Evitar um número inferior de casos em relação ao 
número de variáveis consideradas; é recomendado que 
tal relação seja da ordem de 10 a 20 vezes superior 
 
 Evitar variáveis independentes redundantes, isto é, que 
tenham um alto coeficiente de correlação entre si 
 
 Verificar, utilizando resíduos, a presença de valores 
anomalos 
 
10 
• Regressão múltipla é multivariada no sentido de que 
mais de uma variável é medida simultaneamente em 
cada observação 
 
• Trata-se, porem de uma técnica univariada, pois o 
estudo é em relação à variação da variável 
dependente Y, sem que o comportamento das variáveis 
independentes, Xs, seja objeto de análise. 
 
11 
CÁLCULO DOS COEFICIENTES AI 

























































YX
YX
YX
Y
a
a
a
a
XXXX
XXXXX
XXXX
XXN
m
2
1
m
2
1
0
2
mm1m
m2212
m1
2
11
m1






[A] = [X]-1.[Y] 12 
3 
13 14 
15 16 
PEREIRA BARRETO/RESERVATÓRIO DE TRES IRMÃOS: 
LOCALIZAÇÃO DOS PONTOS DE AMOSTRAGEM 
 
7714000
4
9
0
0
0
0
4
8
6
0
0
0
7722000
4
9
4
0
0
0
7718000
C
or
re
go
A
ze
d
a
L
a
ra
n
ja
C
or
re
go
P
o
n
te
 
P
e
n
sa
Rio Tiete
P
e
re
ir
a
 B
a
rr
e
to
17 
Qual variável condiciona mais o Nivel Hidrostático? 
18 
4 
EQUAÇÕES E COEFICIENTES DE DETERMINAÇÃO (R2) 
H: VARIÁVEL DEPENDENTE 
Variável / Equação (R2) 
Topografia 
H = 91.568 + 0.694*Z (m) 
 
0,842 
Topografia / Coordenada Y 
H = - 49490.061 + 6.454E-03*Y (m) 
 
0,881 
Topografia / Coordenada Y / Coordenada X 
H = - 15369.721 + 0.503*Z (m) + 1.941E-03*Y (m) + 1.114E-03*X (m) 
 
0,890 
Topografia / Coordenada Y / Coordenada X / Espessura da Formação 
H = - 16597.215 + 0.493*Z (m) + 2.098E-03*Y (m) + 1.148E-03*X (m) - 
8.751E-03*FM (m) 
 
0,890 
Topografia / Coordenada Y / Coordenada X / Espessura da Formação / 
Topo Basalto 
H = - 16687.963 + 0.588*Z (m) + 2.110E-03*Y (m) + 1.146E-03*X (m) - 
9.567E-02*TB (m) - 0.105*FM (m) 
 
0,890 
 
19 
CONTRIBUIÇÃO PERCENTUAL DE CADA VARIÁVEL INDEPENDENTE COM 
RELAÇÃO À VARIAVEL DEPENDENTE H (SUPERFÍCIE POTENCIOMÉTRICA 
DO AQÜÍFERO LIVRE). 
Variável Contribuição 
Topografia 84,2% (0,842) 
Coord. Y 3,9% (0,881-0,842) 
Coord. X 0,9% (0,890-0,881) 
Espess. aqüífero 0,0% (0,890-0,890) 
Topo basalto 0,0% (0,890-0,890) 
20 
SUPERFÍCIE POTENCIOMÉTRICA DO AQÜÍFERO LIVRE (NH) 
 
21 
MAPA TOPOGRÁFICO 
 
22 
ESPESSURA DA FORMAÇÃO AQÜÍFERA 
 
23 
CONTORNO DO TOPO DO BASALTO 
 
24 
5 
TOPOGRAFIA E LENÇOL FREÁTICO 
25 
 
superfície potenciométrica topografia 26 
 
y = 0.804x + 51.259
R
2
 = 0.8104
270
290
310
330
350
370
390
270 290 310 330 350 370 390
Cota do Terreno (m)
C
o
ta
 d
o
 N
ív
e
l 
d
'Á
g
u
a
 (
m
)
27 
APLICAÇÃO DO MODELO LINEAR MÚLTIPLO À 
CONFECÇÃO DE MAPAS: 
ANÁLISE DE SUPERFÍCIES DE TENDÊNCIA. 
 A análise de superfícies de tendência é 
simplesmente um tipo de análise de regressão 
múltipla em que as variáveis independentes são as 
coordenadas geográficas E-W e N-S. 
 
 Com a aplicação dessa análise consegue-se separar 
dados mapeáveis em duas componentes: uma de 
natureza regional, representada pela própria 
superfície, e outra que revela as flutuações locais, 
representadas pelos valores residuais. 28 
)y,x(e]...yayxaxayaxaa[)Y,X(z iii
2
i5ii4
2
i3i2i10i 
]Z[]A[]XY[
yz
xz
z
2a
1a
0a
yyxy
yxxix
yxn
ii
ii
i
2
iiii
ii
2
i
ii





































]Z[]XY[]A[ 1
29 
Dados originais 
Dados interpolados 
Ajustando uma superfície de tendência de 1º grau 
30 
6 










































































i
2
i
iii
i
2
i
ii
ii
i
1
4
i
3
ii
2
i
2
i
3
i
2
ii
2
i
3
ii
2
i
2
ii
3
i
2
ii
2
iii
2
i
2
ii
3
i
4
i
2
i
3
i
2
i
3
i
2
iii
2
i
2
iiii
2
iii
2
i
3
ii
2
ii
2
iii
2
iii
5
4
3
2
1
0
zy
zyx
zx
zy
zx
z
yyxyxyyxy
yxyxyxyx
i
yxyx
yxyxx
i
yxxx
yyxyxyyxy
yxyxx
i
yxxx
yyxxyxn
b
b
b
b
b
b
Coeficientes para uma superfície de 2º grau 
31 
Amostragem: Rio Paraiba/plancton 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
Entrada de efluente 
32 
SUPERFÍCIE LINEAR 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
Superfície linear ou de 1º grau 
33 
RESÍDUOS DA SUPERFÍCIE DE TENDÊNCIA 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
50
100
Resíduos positivos e negativos da 
superfície linear 
34 
35 
Bacia hidrográfica 
do Araquá, 
localizada na 
região centro-
oeste do estado 
de São Paulo, 
distribuída entre 
os municípios de 
São Manuel e 
Botucatu . 
(SILVA, R. F. B., 2011)36 
 
64 pontos de 
amostragem. 
 
Variáveis medidas: 
areia, argila, fósforo 
(P), potássio (K) e 
saturação por bases 
(V%). 
 
7 
37 38 
39 
Areia 
40 
Argila 
EXERCÍCIO 01 
 As matrizes de dados a serem analisadas são 
compostas, cada uma, por 36 amostras provenientes 
de um levantamento de solos de parte do Horto Santa 
Terezinha, numa área de 1.573,96 ha, pertencente à 
Chamflora Agricola Ltda, localizado no município de 
Mogi-Guaçú/SP. 
 A primeira matriz contem amostras retiradas de uma 
profundidade de 0-20 cm, tendo sido obtidos valores 
de areia (%), silte (%), argila (%), pH, Ca2+ (meq 100 g-1), 
Mg2+ (meq 100 g-1), K+ (meq 100 g-1), Al3+ (meq 100 g-1), 
H+ (meq 100 g-1), Passimilável (ug cm
-3), MO (%). 
 A segunda contem amostras retiradas de uma 
profundidade de 60-80 cm, tendo sido obtidos valores 
de areia (%), silte (%), argila (%), pH, Ca2+ (meq 100 g-1), 
K+ (meq 100 g-1), Al3+ (meq 100 g-1), H+ (meq 100 g-1), 
Passimilável (ug cm
-3), MO (%). 
 
4
1 
XLSTAT: 
Distribuição espacial dos pontos de amostragem 
(Visualização de dados/Scatter plots) 
 
Histogramas e respectivo ajuste a uma distribuição 
normal (Modelagem de dados/Ajuste de uma 
distribuição). 
 
Matriz de coeficientes de correlação entre as variáveis 
(Descrição de dados/Matrizes de 
similaridades/similaridades) 
 
4
2 
8 
43