Lista de Exercícios P3 - André Caldas UnB IAL _ Passei Direto

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e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 26/01/2023 11:02:21
Exercício 1. Acrescente vetores a
(1 2 3 6 7 8), , , 4) (5, , , ,
e construa uma base de .R4
Exercício 2. Elimine um vetor em
(1 2 3 1 0 2 3 6 6 6), , , 3) (1, , , 0) (1, , , 4) (4, , ,
de modo a car com três vetores linearmente independentes, e depois, acrescente vetores para formar
uma base de .R4
Exercício 3. Encontre uma base para o subespaço , ondeV ⊂ R3
V =
n
v⃗ ∈ R3
 v1 + v v2 + 3 = 0
o
.
Exercício 4. Na sua resposta do exercício 3, como você sabe que o conjunto que você encontrou é
realmente uma base de .V
Exercício 5. Dê 3 exemplos de transformações lineares T : R5 → R3 que são sobrejetivas.
Exercício 6. Dê 3 exemplos de transformações lineares que não são sobrejetivas.T : R5 → R3
Exercício 7. Dê 3 exemplos de transformações lineares que são injetivas.T : R3 → R5
Exercício 8. Dê 3 exemplos de transformações lineares que não são injetivas.T : R3 → R5
Exercício 9. As matrizes a seguir representam transformações lineares que podem ser ,injetivas
sobrejetivas, bijetivas ou nem injetiva nem sobrejetiva. Classique-as de acordo.


1 4 7
2 5 8
3 6 9




1 4 1
2 5 0
3 6 0




1 4 7 1
2 5 8 1
3 6 9 1




1 5 2 1 5
2 6 2 1 5
3 7 2 1 5
4 8 2 1 5


Exercício 10. Seja T : R Rp → q uma transformação linear. Então, dizer que T é sobrejetiva é o
mesmo que dizer que T ⃗e1, . . . , T e⃗p são geradores de R
q. Explique!
Exercício 11. Seja T : R Rp → q uma transformação linear. Então, dizer que T é sobrejetiva é o
mesmo que dizer que as colunas da matriz são geradores de 

T

R
q. Explique!
Exercício 12. Seja T : V → W uma transformação linear entre os espaços vetoriais , comV e W
v⃗1, . . . , v⃗ Vn ∈
sendo uma base. Então, dizer que T é sobrejetiva é o mesmo que dizer que T ⃗v1, . . . , T v⃗n são geradores
de W . Explique!
Exercício 13. Seja T : R Rp → q uma transformação linear. Então, dizer que é injetiva é o mesmoT
que dizer que T ⃗e1, . . . , T e⃗p são linearmente indep endentes. Explique!
Exercício 14. Seja T : R Rp → q uma transformação linear. Então, dizer que é injetiva é o mesmoT
que dizer que as colunas da matriz 

T

são linearmente independentes. Explique!
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Exercício 15. Seja T : V → W uma transformação linear entre os espaços vetoriais , comV e W
v⃗1, . . . , v⃗ Vn ∈
sendo uma base. Então, dizer que é injetiva é o mesmo que dizer que T T ⃗v1, . . . , T v⃗n são linearmente
indep endentes. Explique!
Exercício 16. Se v⃗1, . . . , ⃗vp ∈ V formam uma base e w⃗1, . . . , w⃗p ∈ W são vetores quaisquer, então
existe uma transformação T : V → W linear tal que, para todo ,j = 1, . . . , p
T ⃗vj = w⃗ .j
Além disso, T é a única transformação linear que satisfaz tal condição. Explique!
Exercício 17. Se v⃗1, . . . , v⃗p ∈ V são linearmente independentes e w⃗1, . . . , w⃗p ∈ W são vetores
quaisquer, então existe uma transformação T : V → W linear tal que, para todo ,j = 1, . . . , p
T ⃗vj = w⃗ .j
Porém, se v⃗1, . . . , v⃗p não for uma base de V , então T não é única. Ou seja, se não for uma base,
existem innitas transformações lineares que satisfazem tal condição. Explique e dê um exemplo.