Exercícios Álgebra Linear - tema 16

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04/12/2020 Exercício de Fixação - Tema 16
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Iniciado em quarta, 11 Nov 2020, 15:26
Estado Finalizada
Concluída em quarta, 11 Nov 2020, 15:27
Tempo
empregado
42 segundos
Avaliar 5,00 de um máximo de 5,00(100%)
Quando a relação entre espaços vetoriais envolve mais de uma relação de correspondência entre domínio e imagem (ou
contradomínio), pode-se afirmar a existência de uma composição de transformações lineares, onde uma transformação
se expressa em função de outra.
CALLIOLI, Carlos Alberto; DOMINGUES, Hygino Hugueros; COSTA, Roberto Celso Fabrício. Álgebra Linear e
Aplicações. 6. ed, 19 reimpr. São Paulo: Atual, 2013.
Com base no exposto, considere a composição . Sob quais condições este processo é uma transformação
linear?
 
Escolha uma opção:
a. (H o J)(β^2 x)= (β(H o J)(x))^2.. 
 
b. (H o J)(β^2 x)≠β^2 (H o J)(x). 
 
c. (H o J)(β^2 x)=J(Hβ^2 x) 
 
d. (H o J)(β^2 x)=β^2 (H o J)(x). 
 

Sua resposta está correta.
 
 
A resposta correta é: (H o J)(β^2 x)=β^2 (H o J)(x). 
 
.
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https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%28H%20o%20J%29%28%CE%B2%5E2%20x%29%E2%89%A0%CE%B2%5E2%20%28H%20o%20J%29%28x%29.%20
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https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%28H%20o%20J%29%28%CE%B2%5E2%20x%29%3D%CE%B2%5E2%20%28H%20o%20J%29%28x%29.%20%20
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04/12/2020 Exercício de Fixação - Tema 16
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Suponha a transformação , definida por F(x_1,x_2,x_3 )=(3x_1,〖2x〗_2+x_3). Em R³, considere a base 
{e_1,e_2,e_3 }={(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1)}. E em R², temos a base {h_1,h_2 }={(2,1),(1,0)}. 
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
Sua resposta está correta.
Vamos obter as transformações relativas à base {e_1,e_2,e_3 }={(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1)}, e posteriormente verificar as
combinações lineares que esta base realiza com a base {h_1,h_2 }.
F(e_1 )=F(0,1,0)= F(x_1,x_2,x_3 )=(3x_1,〖2x〗_2+x_3) 
Substituindo os valores de (x_1,x_2,x_3) por (0,1,0), gera-se o vetor em R²:
F(e_1 )=(3*0,(2*1)+0)=(3,2) 
A partir da informação sobre a base {h_1,h_2 }, deve-se descrever e_1 e e_2 e e_3 como combinações lineares
em função desta base. Assim, temos:
F(e_1 )=F(1,0,0)→(3,2)=xh_1+yh_2→(3,2)=x(2,1)+y(1,0) 
Efetuando o sistema:
 
Portanto, F(e_1 )=2h_1-1h_2 
Agora, em e_2 
F(e_2 )=F(1,0,0)=(3,0) 
(3,0)=x(2,1)+y(1,0) 
No sistema linear, temos:
 
Assim, temos: 
F(e_2 )=0h_1+3h_2 
Por fim, em e_3: 
F(e_3 )=F(1,0,1)=(3,1) 
(3,1)=x(2,1)+y(1,0) 
No sistema linear, temos:
x=1;y=1 
Assim, temos:
F(e_3 )=1h_1+1h_2 
Portanto, a matriz representativa da transformação F é dada por:
 
A resposta correta é: .
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%20%29%3D%283x_1%2C%E3%80%962x%E3%80%97_2%2Bx_3%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Be_1%2Ce_2%2Ce_3%20%7D%3D%7B%280%2C1%2C0%29%2C%281%2C0%2C0%29%2C%281%2C0%2C1%29%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Bh_1%2Ch_2%20%7D%3D%7B%282%2C1%29%2C%281%2C0%29%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Be_1%2Ce_2%2Ce_3%20%7D%3D%7B%280%2C1%2C0%29%2C%281%2C0%2C0%29%2C%281%2C0%2C1%29%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Bh_1%2Ch_2%20%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3DF%280%2C1%2C0%29%3D%20F%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%20%29%3D%283x_1%2C%E3%80%962x%E3%80%97_2%2Bx_3%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%280%2C1%2C0%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3D%283%2A0%2C%282%2A1%29%2B0%29%3D%283%2C2%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Bh_1%2Ch_2%20%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_1%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_2%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_3%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3DF%281%2C0%2C0%29%E2%86%92%283%2C2%29%3Dxh_1%2Byh_2%E2%86%92%283%2C2%29%3Dx%282%2C1%29%2By%281%2C0%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3D2h_1-1h_2%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_2%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_2%20%29%3DF%281%2C0%2C0%29%3D%283%2C0%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%283%2C0%29%3Dx%282%2C1%29%2By%281%2C0%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_2%20%29%3D0h_1%2B3h_2%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_3%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_3%20%29%3DF%281%2C0%2C1%29%3D%283%2C1%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%283%2C1%29%3Dx%282%2C1%29%2By%281%2C0%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20x%3D1%3By%3D1%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_3%20%29%3D1h_1%2B1h_2%20
04/12/2020 Exercício de Fixação - Tema 16
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Considere a transformação F: R³ \Rightarrow R², definida por F(x_1,x_2,x_3 )=(x_2,x_1+x_3). Em R³, considere a
base canônica {e_1,e_2,e_3 }={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. E em R², há a base {h_1,h_2 }={(2,1),(1,0)}.
Nestas condições, qual a matriz representativa da transformação F?
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. 
Sua resposta está correta.
Devemos calcular primeiro as transformações relativas à base canônica, para depois verificarmos as combinações
lineares que a base canônica exerce com a base de dimensão R². Portanto:
F(e_1 )=F(1,0,0)= F(x_1,x_2,x_3 )=(x_2,x_1+x_3) 
Substituindo os valores de (x_1,x_2,x_3) por (1,0,0), gera-se o vetor em R²:
F(e_1 )=(0,1+0)=(0,1) 
A partir da informação sobre a base {h_1,h_2 }, deve-se descrever e_1 e e_2 e e_3 como combinações lineares
em função desta base, assim, temos:
F(e_1 )=F(1,0,0)=(0,1)=ah_1+bh_2 
Você pode encontrar esta resposta efetuando um sistema linear:
 
 
A resposta correta é: .
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%3A%20R%C2%B3%20%5CRightarrow%20R%C2%B2%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%20%29%3D%28x_2%2Cx_1%2Bx_3%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Be_1%2Ce_2%2Ce_3%20%7D%3D%7B%281%2C0%2C0%29%2C%280%2C1%2C0%29%2C%280%2C0%2C1%29%7D%20https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Bh_1%2Ch_2%20%7D%3D%7B%282%2C1%29%2C%281%2C0%29%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3DF%281%2C0%2C0%29%3D%20F%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%20%29%3D%28x_2%2Cx_1%2Bx_3%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%281%2C0%2C0%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3D%280%2C1%2B0%29%3D%280%2C1%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%7Bh_1%2Ch_2%20%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_1%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_2%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20e_3%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28e_1%20%29%3DF%281%2C0%2C0%29%3D%280%2C1%29%3Dah_1%2Bbh_2%20%20
04/12/2020 Exercício de Fixação - Tema 16
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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Supondo a existência de um espaço vetorial R, organizado pelos vetores dispostos na base ( B={r_1,r_2,…,r_n} \), e a
base C={s_1,s_2,…,s_n}, associada ao espaço S que forma a imagem de R, descreva a forma geral que demonstra a
transformação F(r_j ):
Escolha uma opção:
a. 
b. 
c. 
d. \phi 
 
Sua resposta está correta.
Como o espaço vetorial S é a imagem do espaço R, formando assim o seu contradomínio, a transformação linear ocorre
em função de R, para todos os n elementos de R, que formam uma combinação linear com os elementos de S. Portanto,
temos:
 
 
 
O processo nos mostra que cada elemento de R é uma combinação linear de S, por meio da soma dos produtos entre
coeficientes lineares (que podem ser dispostos na forma matricial, com n linhas e m colunas) e as coordenadas vetoriais
dos elementos de .
Portanto, temos:
 
A resposta correta é: .
A fim de viabilizar os procedimentos de transformação linear, é importante recuperar alguns conceitos matemáticos, tais
como o de imagem, domínio e contradomínio de uma função. As relações entre variáveis, específicas das funções que
envolvem elementos de cálculo (como as funções logarítmicas, quadráticas e polinomiais, por exemplo) são conceitos
que se aplicam também aos espaços vetoriais euclidianos.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
A partir do conteúdo proposto, analise as afirmativas que se seguem:
I. (função bijetora). 
II. Se G = Im(z), , F(z) = g (função sobrejetora). 
III. Pela regra da função injetora, . 
IV. Toda função bijetora é sobrejetora, e qualquer função injetora é bijetora.
Agora, assinale a opção que contenha a(s) afirmativa(s) correta(s):
Escolha uma opção:
a. Apenas II e III.
b. Apenas I e IV.
c. Apenas II. 
d. Apenas I, III e IV.
Sua resposta está correta.
A segunda afirmativa está correta, pois a regra da função sobrejetora nos mostra a correspondência entre cada elemento
do domínio e da imagem de uma função, conceito que será usado também para as transformações lineares. Deste modo,
se uma variável é uma imagem (contradomínio) da outra, como G é imagem de Z, para qualquer elemento g que pertença
a este contradomínio existe um elemento z no domínio da função, de modo que F(z) = Z.
 
A resposta correta é: Apenas II..
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20C%3D%7Bs_1%2Cs_2%2C%E2%80%A6%2Cs_n%7D%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20F%28r_j%20%29%20
https://ava.unicarioca.edu.br/graduacao/filter/tex/displaytex.php?texexp=%20%20%5Cphi%20%20
04/12/2020 Exercício de Fixação - Tema 16
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