A3-Fabio-Adriano

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WAVELETS E MODELOS TRADICIONAIS DE PREVISÃO: U M
ESTU DO COMPARATIVO
Fábio Mariano BAYER1
Ad riano Mend onça S O U Z A2
RESUMO: Esta pesquisa tem o objetivo de explorar e comparar modelos tradicionais de
previsão da classe A RIMA e alisamento exponencial, assim como propor o uso conjunto
destas técnicas tradicionais de previsão com a decomposição via w avelets. A comparação
é feita por meio de um estudo emṕırico aplicado à série de arrecadação mensal do
IC MS no estado brasileiro do Rio G rande do Sul. D entre os modelos de alisamento
exponencial foi utilizado o alg oritmo de H olt-W inters aditivo e dentre os modelos da
classe A RIMA foram utilizados os modelos SA RIMA , pois a série em estudo apresenta
um comportamento sazonal. Estes mesmos modelos foram utilizados para a modelag em
e previsão de cada uma das subséries da decomposição w avelet. A s técnicas de previsão
foram comparadas mediante diferentes h orizontes de previsão e pôde-se verifi car que a
proposta do uso conjunto dos alg oritmos de H olt-W inters com a decomposição w avelet
orig inou uma melh ora sig nifi cativa nas previsões, principalmente para os h orizontes de
previsão de 2 e 1 2 meses.
P A L A V RA S-C H A V E: Séries temporais; W avelets; comparação; previsão; IC MS.
1 Introdução
A área d e análise e p re v isão d e sé rie s te m p orais te m re c ebid o consid e ráv e l
atenç ão nas ú ltim as d é cad as. U m nú m e ro cre sc ente d e m é tod os e té cnicas
e stat́ısticas te m sid o d e senv olv id as com o obje tiv o d e obter p re v isõe s cad a v e z m ais
ac u rad as, se jam e m sé rie s te m p orais m acroe conôm icas, e m sé rie s d e consu m o ou
p rod u ç ão (D IEBO L D , 1 9 9 8 ), ou e m ou tras áreas c ient́ıfi cas, tais com o biom e tria,
1Universidade Federal da Fronteira Sul - Campus Erechim, CEP: 99700-000, Erechim, RS, Brasil.
E-mail: fabiobayer@gmail.com
2Universidade Federal de Santa M aria – UFSM , Centro de Ciências N aturais e Ex atas, D eparta-
mento de Estat́ıstica, CEP: 971 05 -900, Santa M aria, RS, Brasil. E-mail: amsou za@smail.u fsm.br
4 0 R ev . B ras. B iom., São Paulo, v.2 8 , n.2 , p.4 0-6 1 , 2 01 0
recursos naturais, oceanografia e agropecuária, encontradas nos trabalhos Roche
(1995 ), Laby s (1999), Morana (2 0 0 1), Fernandez (2 0 0 7 ) e Dooley e Lenihan (2 0 0 5 ).
O avanço da tecnologia tem contribúıdo para as ferramentas computacionais
aumentarem suas capacidades de armazenamento e processamento, incentivando
pesq uisadores a desenvolverem e aprimorarem técnicas q uantitativas de previsão,
complementando e colaborando com as análises q ualitativas, principalmente no
sentido de uma maior precisão (H ARDIE, 1998).
Modelos q uantitativos de previsão utilizam basicamente dados históricos para
detectar padrões de comportamento ao decorrer do tempo e então estimá-los no
futuro. Diversas técnicas estat́ısticas têm sido usadas para este fim. Dentre os
modelos tradicionais de previsão estão os modelos da classe ARIMA, ou modelos
Box e J enk ins, e os algoritmos de alisamento ex ponencial.
N os últimos anos, a literatura de modelos de previsão vem dando destaq ue
à técnicas como combinação de previsões individuais de diferentes modelos
estat́ısticos, como em C hen e Yang (2 0 0 7 ), C lemen (1989), C ordeiro e C ordeiro
(2 0 0 4 ), assim como a utilização da decomposição de séries via w avelets. Esta última
vem ganhando popularidade principalmente nas áreas de economia e finanças (LIN
e ST EV EN SON , 2 0 0 1; G EN Ç AY, SELÇ UK e W H IT C H ER, 2 0 0 5 ), mas seu uso e
aplicação pode ser diretamente ampliado para outras áreas do conhecimento, por
sua capacidade de decompor uma série em subséries de baix a e alta freq üência
sem perder sua localização no tempo. N o entanto, segundo Fernandez (2 0 0 7 ), o
uso de w avelets com o propósito de previsão não é muito ex plorado na literatura.
Alguns poucos ex emplos da utilização da decomposição w avelet para tal fim são
os trabalhos de Arino (1995 ), W ong, Ip, X ie e Lui (2 0 0 3 ), Lima (2 0 0 4 ) e H omsy ,
P ortugal e Araújo (2 0 0 0 ).
C om isso, esta pesq uisa visa ex plorar os modelos tradicionais de previsão das
classes ARIMA e alisamento ex ponencial de forma comparativa com o uso conjunto
destes com a decomposição da série temporal via w avelet. A comparação das
técnicas de previsão é dada por meio de um estudo emṕırico aplicado aos dados de
arrecadação do Imposto sobre C irculação de Mercadorias e P restação de Serviços
(IC MS) no estado do Rio G rande do Sul (RS), Brasil.
2 Séries temporais e modelos de previsão
Uma série temporal é um conjunto de observações de q ualq uer fenômeno
aleatório ordenadas no tempo. A análise de séries temporais consiste em procurar
alguma relação de dependência ex istente temporalmente nos dados, identificando o
mecanismo gerador da série com o objetivo de ex trair periodicidades relevantes nas
observações, descrever o seu comportamento e fazer previsões.
N a análise de séries temporais é natural supor q ue cada observação yt é um
valor realizado de certa variável aleatória Yt. Desta forma, a série temporal {yt, t ∈
T0} é uma realização da coleção de variáveis aleatórias {Yt, t ∈ T0}. P ortanto, em
análise de séries temporais, modelam-se os dados de uma realização (ou parte dela)
de um processo estocástico {Yt, t ∈ T}, em q ue T ⊇ T0.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 41
2.1 Alisamento exponencial
Uma grande classe de métodos tradicionais de previsão são as suavizações ou
alisamentos. Estas técnicas assumem que os valores extremos da série representam a
aleatoriedade e, assim, por meio da suavização desses extremos, pode-se identificar
o padrão básico da série que é o objeto de interesse. Esses métodos ou algoritmos
de suavização possuem grande popularidade devido à simplicidade, à eficiência
computacional e à razoável precisão.
Existem basicamente três algoritmos de alisamento, que são eles: (i) algoritmo
de alisamento exponencial simples, adequado para séries localmente constantes;
(ii) algoritmo de Holt, que é adequado para séries que apresentam tendência; (iii)
algoritmo de Holt-Winters, o qual é indicado para séries compostas por sazonalidade
e tendência.
O algoritmo de Holt-Winters, discutido detalhadamente por Chatfield e Yar
(1988), é o método de alisamento exponencial utilizado em séries sazonais que
podem ser decompostas localmente pela soma do ńıvel, da tendência e de um rúıdo
aleatório com média zero e variância constante. A sazonalidade da série pode ser
aditiva ou multiplicativa. Para a série aditiva, temos
yt = Nt + Tt + St + ²t, t = 1, . . . , n ,
em que E(²t)= 0, V a r (²t) = σ
2, Nt é a componente de ńıvel, Tt é a tendência e St
é a componente de sazonalidade.
Para a série com sazonalidade multiplicativa, seja
yt = NtSt + Tt + ²t, t = 1, . . . , n .
Com isso, o algoritmo de Holt-Winters possui duas abordagens, uma para
série sazonal aditiva e outra para série sazonal multiplicativa. O algoritmo de Holt-
Winters aditivo é dado por
N̂t = α(yt − Ŝt−s) + (1 − α)(N̂t−1 + T̂t−1), 0 ≤ α ≤ 1,
T̂t = β(N̂t − N̂t−1) + (1 − β)T̂t−1, 0 ≤ β ≤ 1,
Ŝt = γ(yt − N̂t) + (1 − γ)Ŝt−s, 0 ≤ γ ≤ 1,
em que s é o número de vezes que a série é observada por ano (geralmente s = 12,
para observações mensais), α, β e γ são as constantes de alisamento.
As previsões do algoritmo de Holt-Winters aditivo são dadas por
ŷt(h) = N̂ t + hT̂t + Ŝt+h−s, h = 1, . . . , s
ŷt(h) = N̂ t + hT̂t + Ŝt+h−2s, h = s + 1, . . . , 2s
. . .
A determinação das constantes de alisamento pode se dar de diversas formas,
inclusive formas subjetivas. No entanto, o mais usual é escolher α, β e γ de modo
a minimizar a soma dos quadrados dos erros de previsão um passo a frente. O erro
42 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010de previsão um passo a frente é dado por et = yt − ŷt−1(1), logo escolhe-se α, β e
γ que minimizem
∑T
t= 3 e
2
t .
De forma semelhante ao algoritmo aditivo, o algoritmo de Holt-Winters
multiplicativo é dado por
N̂t = α(yt/Ŝt−s) + (1 − α)(N̂t−1 + T̂t−1), 0 ≤ α ≤ 1,
T̂t = β(N̂t − N̂t−1) + (1 − β)T̂t−1, 0 ≤ β ≤ 1,
Ŝt = γ(yt/N̂t) + (1 − γ)Ŝt−s, 0 ≤ γ ≤ 1.
Desta forma, as previsões do algoritmo de Holt-Winters multiplicativo são
dadas por
ŷt(h) = (N̂t + hT̂t)Ŝt+h−s, h = 1, . . . , s
ŷt(h) = (N̂t + hT̂t)Ŝt+h−2s, h = s + 1, . . . , 2s
. . .
2.2 Modelos Box & Jenkins
A classe de modelos tradicionalmente mais utilizada em análise de séries
temporais é a dos modelos auto-regressivos integrados e de médias móveis (ARIMA),
ou ainda, modelos Box & Jenkins. Estes são modelos estat́ısticos lineares propostos
originalmente por Box e Jenkins (1970). A idéia básica é que a série temporal em
estudo seja gerada por um processo estocástico, cuja natureza pode ser representada
a partir de um modelo matemático.
O modelo ARIMA pode ser identificado em sua totalidade, ou parcialmente
pelos modelos AR, em que o processo estocástico modelado apresenta apenas a parte
auto-regressiva, ou modelos MA, possuindo apenas a componente de médias móveis.
Os modelos ainda podem ser ampliados para os conhecidos modelos SARIMA, na
presença de sazonalidade.
Dizemos que Yt segue um processo auto-regressivo e de médias móveis de
ordens (p, q), abreviadamente, ARMA(p, q), se
φ(B)Yt = c + θ(B)²t,
em que ²t é rúıdo branco com média 0 e variância σ
2, c é um parâmetro que permite
ao processo ter média diferente de zero, φ(B) = 1 − φ1B − φ2B
2 − . . . − φpB
p é o
polinômio auto-regressivo, θ(B) = 1 + θ1B + . . . + θqB
q é o polinômio de médias
móveis e BkYt = Yt−k é o operador retroativo.
Com respeito a estacionaridade dos processos, temos que um processo AR(p)
será estacionário se todas as ráızes do polinômio φ(B) estiverem fora do ćırculo
unitário complexo. Por sua vez, um processo MA(q) é sempre estacionário, no
entanto é dito invert́ıvel se todas as ráızes de θ(B) estiverem fora do ćırculo unitário.
As condições de estacionaridade e invertibilidade dos modelos ARMA são as mesmas
dos modelo AR e MA. Para detalhes ver Box, Jenkins e Reinsel (1994).
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 43
Geralmente as realizações encontradas na prática não apresentam a
caracteŕıstica de estacionaridade, sendo necessário a utilização de transformações
para torná-la estacionária. O procedimento comumente utilizado é o processo de
diferenciação da série. Se a série torna-se estacionária após d diferenças a série é
dita ser integrada (I) de ordem d. Sendo assim, o modelo ARMA integrado passa
a ser denominado de modelo ARIMA. Isto posto, um processo estocástico segue
um modelo ARIMA(p, d, q) se a série diferenciada (1 − B)dYt seguir um modelo
ARMA(p, q). Ou seja, um modelo ARIMA(p, d, q) tem a seguinte forma:
φ(B)(1 − B)dYt = θ(B)²t,
em que d é a ordem de integração, sendo dada pelo menor número de diferenças
necessárias para se alcançar a estacionaridade.
Com o objetivo de levar em consideração componentes sazonais na
série, ampliou-se os modelos ARIMA para os modelos SARIMA. O modelo
SARIMA(p, d, q)(P , D , Q ) é dado por
(1 − φ1B − . . . − φpB
p)(1 − Φ1B
s − . . . − ΦP B
sP )(1 − B)d(1 − Bs)DYt =
(1 + θ1B + . . . + θqB
q)(1 + Θ1B
s + . . . + ΘQB
sQ²t),
em que (p, d, q) são as ordens do modelo referentes à dinâmica ordinal, enquanto que
(P , D , Q ) são as ordens do modelo da parte sazonal. Os parâmetros Φ1, . . . , ΦP e
Θ1, . . . , ΘQ são os parâmetros auto-regressivos sazonais e de médias móveis sazonais,
respectivamente.
Utilizando-se a notação de polinômios auto-regressivos, como já utilizada nos
modelos anteriores, tem-se que o modelo SARIMA(p, d, q)(P , D , Q ) pode ser escrito
como
φ(B)Φ(B)(1 − B)d(1 − Bs)DYt = θ(B)Θ(B)²t.
No estabelecimento de um modelo da classe ARIMA para uma série temporal
há basicamente três estágios a considerar: (i) identificação; (ii) estimação; (iii)
diagnóstico. Esta metodologia é conhecida como metodologia de Box & Jenkins.
A identificação do modelo ARIMA a ser ajustado aos dados é, talvez, a fase
mais cŕıtica do processo iterativo da metodologia de Box & Jenkins. Nesta fase
devem ser determinadas as ordens (p, q, P , Q ) do modelo, assim como as ordens
de integração (d, D ). Para a identificação da ordem de integração existem duas
maneiras: a primeira seria analisando o correlograma, onde, caso ele decaia muito
lentamente há indicação de que a série é não-estacionária, ou seja, d > 0; a outra
maneira de decidir se a série é integrada, ou não, é por meio dos testes de raiz
unitária, como o teste ADF (DICKEY e FULLER, 1979; DICKEY e FULLER,
1981). A ordem do modelo também pode ser identificada analisando-se as funções
de autocorrelação (FAC) e de autocorrelação parcial (FACP) amostrais. No entanto,
este processo pode se tornar dif́ıcil e “ artesanal” . Para isso, são utilizados os critérios
de informação ou critérios de seleção de modelos.
Um critério de seleção bastante utilizado é o AIC (Akaike Information
C riterion), proposto por Akaike (1973). Este critério é assintoticamente eficiente,
44 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
no entanto, não é consistente. Utilizando os estimadores de máxima verossimilhança
para os parâmetros do modelo, em que `(ξ̂) é a função de log-verossimilhança
maximizada, o AIC é dado por
AIC = −2`(ξ̂) + 2(k),
no qual k é o número de parâmetros do modelo.
Com o objetivo de melhorar o desempenho do AIC em pequenas amostras
Hurvich e Tsai (1989) derivaram o AICc. Ele é assintoticamente equivalente ao
AIC e, portanto, é assintoticamente eficiente. Temos que
AICc = −2`(ξ̂) + 2(k)
( n
n − k − 1
)
,
dado que n é o tamanho amostral.
Baseados em uma perspectiva bayesiana, Schwarz (1978) e Akaike (1978)
introduziram critérios equivalentes para seleção de modelos. Esse critério de seleção
de modelos, conhecido como BIC (Bayesian Information Criterion), é consistente
e dado por
BIC = −2`(ξ̂) + (k) log(n).
Com base em algum dos critérios de informação, estima-se diversos modelos
concorrentes e escolhe-se o modelo que obteve um menor valor para o critério de
informação.
Após identificar o modelo e estimar seus parâmetros, faz-se necessário verificar
se o mesmo representa adequadamente os dados. Se a análise de diagnóstico revelar
qualquer insuficiência é preciso considerar outro modelo alternativo, caso contrário,
o modelo está apto para fazer previsões. Para tanto, o teste de Ljung-Box (LJUNG,
1978) é um teste útil no diagnóstico de um modelo ajustado, uma vez que ele torna
posśıvel a identificação da existência de autocorrelação dos erros estimadas por meio
da autocorrelação residual.
2.3 Wavelets e sua aplicação em previsão
As wavelets são funções matemáticas que ampliam intervalos de dados,
separando-os em diferentes componentes de freqüência e permitindo a análise
de cada componente em sua escala correspondente. Para Lima (2004), este
processo de decomposição envolve a passagem de uma série temporal por um
filtro de uma wavelet, dando origem a duas novas séries: uma série é chamada
de aproximada, associada a baixas freqüências, e a outra série é denominada de
detalhada, envolvendo altas freqüências.
Matematicamente1, a análise wavelet considera um espaço de funções de
quadrado integrável L2(IR ) e uma função escala φ(x) na qual possui energia finita,
1Para uma abordagem aprofundada sobre análise wavelet, representação multiresolução e a
construção de wavelets ortonormais recomenda-se a referência clássica de Daubechies (1988). J á
para uma abordagem mais aplicada e com enfoq ue em algoritmos das transformadas wavelets,
recomenda-se a tese de Nielsen (1998).
Rev. Bras. Biom.,São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 45
é oscilatória, possui média zero e um decaimento rápido em ambos os lados. Além
disso, a famı́lia φ(x − k)k∈Z forma uma base ortonormal para um subespaço de
referência V0. Assim,
{0} ⊂ . . . ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ L
2(IR).
Ainda, seja uma função f ∈ L2(IR), temos que f ∈ Vj ⇔ f(2·) ∈ Vj+1, em que
j ∈ Z . Deste modo, se o espaço Vj é gerado por φj, k(x), então o espaço Vj−1 será
gerado por φj−1,k(x), em que φj, k(x) = 2
j/ 2φ(2jx− k). Assim, qualquer função na
base Vj−1 pode ser descrita como uma combinação linear de funções da base Vj .
Sendo uma função f ∈ L2(IR) e considerando a projeção de f no espaço Vj
(Pv jf), o qual é gerado por todas as translações diádicas de uma função escala φj,l,
temos a expressão
(Pv jf)(x) =
+∞∑
l=−∞
cj,lφj,l(x), (1)
em que cj,l =
∫
∞
−∞
f(x)φj,l(x)dx.
Seguindo Nielsen (1998), temos que, se Pv j e Pw j são os operadores de
projeção ortogonal de f em Vj e Wj , respectivamente, em que Wj é complemento
ortogonal de Vj , ou seja, Vj = Vj−1 ⊕ Wj−1, então Pv jf = Pv j−1f + Pw j−1f .
Portanto, segundo Meyer (1992), se Vj−1 ⊂ Vj e Wj−1 ⊂ Vj , então a função
φj−1,l ∈ Vj−1 pode ser escrita em termos de funções φj,l ∈ Vj . Por sua vez,
considerando uma função wavelet ψj−1,l ∈ Wj−1, também podemos escrever ψj−1,l
como combinação linear de funções φj,l ∈ Vj . Essas relações são conhecidas como
equação escala e equação wavelet e são dadas, respectivamente, por:
φj−1,l(x) =
2P−1∑
k=0
akφj,2l+k(x), ψj−1,l(x) =
2P−1∑
k=0
bkφj,2l+k(x). (2)
Para as equações dadas em (2) temos que P é o número de momentos nulos e ak
e bk são os filtros. Neste trabalho, são utilizados P = 8 e os filtros ak e bk das
wavelets de Daubechies apresentados na Tabela 6 da Seção 4.
Com isso, a projeção dada em (1) também possui sua formulação em termos
de funções escalas φj, l e funções wavelets ψj, l:
(Pv jf)(x) =
+∞∑
l=−∞
cj−1,lφj−1,l(x) +
+∞∑
l=−∞
dj−1,lψj−1,l(x),
em que dj,l =
∫
∞
−∞
f(x)ψj,l(x)dx.
Isso posto, conseguimos derivar um mapeamento entre a sequência de
coeficientes {cj, l}l∈Z com a sequência de coeficientes {cj−1, l}l∈Z e {dj−1, l}l∈Z do
ńıvel j − 1. Para tanto, substituindo as equações de (2) nas respectivas definições
de cj,l e dj,l, dadas anteriormente, obtém-se as relações
cj−1,l =
2P−1∑
k=0
akcj,2l+k e dj−1,l =
2P−1∑
k=0
bkcj,2l+k.
46 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
Os vetores cj−1 e dj−1 são os coeficientes da transformada wavelet (TW) aplicada
ao vetor cj . O vetor cj−1 é chamada de aproximação e dj−1 é o vetor de detalhes.
Pela ortogonalidade da TW, e mantendo algumas condições de fronteira
(NIELSEN, 1998), pode-se tomar uma transformada inversa e recompor o sinal
original cj . A transformada wavelet inversa (TWI) é dada por:
cj,l =
n2(l)∑
n=n1(l)
cj−1,nal−2n + dj−1,nbl−2n,
em que
⌈
l−2P+1
2
⌉
≡ n1(l) ≤ n ≤ n2(l) ≡
⌊
l
2
⌋
.
Portanto, consideramos uma série temporal de interesse, que denominaremos
pelo vetor s, com n observações. Como visto anteriormente, ao aplicarmos a TW a
s damos origem a duas novas subséries: (i) uma série é chamada de aproximada (c),
associada a baixas freqüências e de tamanho n/2 e (ii) a outra série é denominada
de detalhada (d), envolvendo altas freqüências e também com n/2 observações.
Com isso, ao aplicarmos a TWI aos dados transformados c e d recompomos a série
original. Este procedimento pode ser visualizado na Figura 1.
Figura 1 - Transformada wavelet e transformada wavelet inversa.
Contudo, previsões utilizando decomposição wavelet utilizam métodos de
previsão, como modelos ARIMA e de alisamento exponencial, para preverem cada
uma das subséries (c,d) e então fazer a transformada inversa com esses valores
previstos (ĉ, d̂). O resultado da TWI aplicada aos vetores (ĉ, d̂) será uma previsão
do sinal original (ŝ). Este processo pode ser visto na Figura 2.
Figura 2 - Previsão com decomposição wavelet.
Com isso, o principal objetivo desta pesquisa é verificar se a modelagem dos
dados separadamente em alta e baixa freqüências traz previsões mais acuradas do
que modelando-se diretamente a série original.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 47
3 Metodologia
Os dados em análise referem-se à arrecadação mensal do ICMS no estado
brasileiro do Rio Grande do Sul (RS) no peŕıodo de janeiro de 1998 a outubro
de 2008, dispońıveis on-line no site da Fundação de Economia e Estat́ıstica2.
Segundo o SEBRAE (2009), o ICMS é o principal imposto de competência estadual
e incide sobre a circulação de mercadorias, prestações de serviços de transporte
interestadual, ou intermunicipal, de comunicações e de energia elétrica. No entanto,
a série encontra-se sob o efeito da infl ação acumulada no peŕıodo em análise,
fazendo-se necessário o defl acionamento da mesma, ou seja, a conversão de valores
correntes (ou nominais) em moeda de poder aquisitivo constante (valor real). A
fim de expressar os dados a preços constantes de outubro de 2008 utiliza-se o Índice
Geral de Preços - Disponibilidade Interna (IGP-DI)3.
Uma vez que o principal objetivo do trabalho é avaliar e comparar diferentes
modelos de previsão em séries temporais faz-se necessário definir algumas medidas
de qualidade. Tais medidas encontram-se na Tabela 1, em que yi e ŷi são,
respectivamente, os valores reais e previstos no instante i. As medidas são calculadas
para cada um dos modelos aplicados, considerando diferentes horizontes de previsão
(h), para h = 2, 6, 12.
Tabela 1 - Medidas de qualidade das previsões
Critério N otação Expressão
Erro quadrático médio EQ M 1
h
h
i= 1
(yi − ŷi)
2
E rro a b so lu to p e rc e n tu a l m é d io M A P E 1
h
h
i= 1
|yi−ŷi|
|yi|
Para a avaliação das diferentes técnicas de previsão são reservadas as últimas h
ob servações para validação. Posteriormente, a partir da série com n−h ob servações,
aplicam-se as técnicas de previsão, ob tendo-se os valores previstos para estas h
últimas ob servações. C om esses valores reais e previstos são calculadas as medidas
de q ualidade.
A s implementações computacionais e análises foram feitas utilizando-se o
prog rama R (2 0 0 9 ). Para a modelag em e análise dos dados foram utilizados,
dentre outros, os pacotes f o r e c a st e u r c a . O primeiro, utilizado para o ajuste de
modelos A R IM A , H olt-W inters e tamb ém para a g eração das previsões dos mesmos;
o seg undo, para a realização dos testes de raiz unitária. A s transformadas w avelet
direta e inversa foram implementadas e funções espećıfi cas com intuito de previsão
com decomposição w avelet foram desenvolvidas.
2http://www.fee.tche.br
3O IG P -D I é u m ı́n d ice ca lcu la d o m en sa lm en te pela F u n d a çã o G etú lio V a rg a s
(http://www.fg v .br)
4 8 Rev. B ra s. B io m ., S ã o P a u lo , v .2 8 , n .2 , p.4 0 -6 1 , 2 0 1 0
4 Modelagem e previsões
Para um melhor entendimento da variável em estudo no peŕıodo analisado, a
T abela 2 apresenta algumas medidas descritivas da série da arrecadação mensal do
ICMS no RS , B rasil. V ale salientar que a série encontra-se em milhões de reais e
defl acionadas a preços constantes de outubro de 2008 .
T abela 2 - Medidas descritivas da série do ICMS-RS-Brasil
Estat́ıstica Série do ICMS (milh ões de R$ )
Média 1 0 6 3 ,0 9 4
Mediana 1 0 4 3 ,2 9 9
D esvio Padrão 1 3 0 ,8 2 6
Coefi ciente de V ariação (% ) 1 2 ,3 0 6
Mı́nimo 7 4 9 ,2 5 8
Máx imo 1 4 2 8 ,6 5 6
U ma importante ferramenta na análise de séries temporais é a análise gráfica da
série ao longo do tempo. T rata-se de uma análise simples, mas bastante informativa,
que se encontra na F igura 3 .
F igura 3 - S érie da arrecadação mensal do ICMS -RS -B rasil no peŕıodo analisado.
Pela simples inspeção visual da F igura 3 , percebe-se um crescimento na série
ao longo do tempo,caracterizando assim uma componente de tendência; a série
também apresenta um periodicidade de 1 2 meses, configurando uma componente
sazonal.
Considerando a presença de sazonalidade e tendência na série utilizamos o
algoritmo de Holt-Winters para fazer a previsão por meio de alisamento ex ponencial.
As constantes de alisamento são determinadas de forma a minimizar a soma dos
quadrados dos erros de previsão um passo a frente. E ste processo de determinação
das constantes de alisamento requer um esforço computacional baix o.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 49
O método de Holt-Winters oferece duas modelagens distintas que dependem
do comportamento da série original. Q uando a amplitude sazonal da série
aumenta juntamente com o tempo utiliza-se um modelo multiplicativo e, quando
a amplitude sazonal é constante, ou seja, independente da variação temporal,
utiliza-se o modelo aditivo (WIN TERS, 196 0). N esta pesquisa percebe-se uma
constância na componente de sazonalidade, sugerindo a utilização do algoritmo
para a sazonalidade aditiva. N a Tabela 3 encontram-se as constantes de alisamento
para o algoritmo de Holt-Winters aditivo considerando os diferentes valores de h.
Tabela 3 - Constantes de alisamento para o algoritmo de Holt-Winters para a série ICMS-
RS-Brasil
Modelo Constantes de alisamento
α β γ
Holt-Winters para h = 2 0, 2487 0, 0048 0, 0001
Holt-Winters para h = 6 0, 2372 0, 0034 0, 0038
Holt-Winters para h = 12 0, 2105 0, 0001 0, 0006
Os modelos de alisamento exponencial apresentados na Tabela 3 serão
utilizados para a previsão h passos a frente e consequente comparação com os demais
métodos que serão determinados a seguir.
Para a modelagem Box & J enk ins primeiramente investigamos os correlogra-
mas, como forma de identificar a ordem de integração da série. A FAC amostral e a
FACP amostral da série do ICMS em ńıvel e diferenciada de ordem 1 encontram-se
nas Figuras 4 e 5 , respectivamente.
Os correlogramas evidenciam a presença de sazonalidade, revelada pelo pico
de correlação significativa na defasagem sazonal (1.0). Isso indica que um modelo
SARIMA seja o mais indicado. Pelo decaimento lento na Figura 4 (a) podemos
perceber que a série é não-estacionária. J á o decaimento rápido da FAC amostral
na Figura 5 (a) apresenta fortes ind́ıcios de que a série seja integrada de ordem 1.
Para ter uma decisão mais robusta a respeito da não-estacionaridade da série
aplicamos o teste AD F de raiz unitária. O teste AD F tem como hipótese nula a
presença de raiz unitária, ou seja, de não-estacionaridade. A Tabela 4 apresenta os
resultados do teste AD F para as séries em ńıvel e diferenciada, em que k é o número
de truncagens auto-regressivas do modelo estimado para o teste AD F.
Tabela 4 - T este ADF para a série da arrecadação do ICMS-RS-Brasil
Série Estat́ıstica Valor cŕıtico kmax kótimo Decisão
de teste (5%)
ICMS −1, 923 −3, 430 13 13 N ão rejeita-se H0
dif(ICMS) −3, 043 −2, 580 13 13 Rejeita-se H0
Uma vez que a hipótese nula do teste AD F é de presença de raiz unitária
pode-se afirmar pelos resultados da Tabela 4 que, ao ńıvel de 5 % de significância,
50 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
(a) Função de autocorrelação amostral
(b) Função de autocorrelação parcial amostral
Figura 4 - Correlogramas da série do ICMS em ńıvel.
(a) Função de autocorrelação amostral
(b) Função de autocorrelação parcial amostral
Figura 5 - Correlogramas da série do ICMS com uma diferença.
a série é integrada de ordem 1, como já haviam sugeridos os correlogramas das
Figuras 4 e 5. Vale destacar que uma importante decisão a ser tomada no teste
ADF é a escolha do número de truncagens auto-regressivas k, pois, em geral, o
teste torna-se senśıvel a diferentes valores de k. Seguindo os trabalhos de Schwert
(1989) e Ng e Perron (2001), procedemos da seguinte maneira para estabelecer
uma seleção ótima para k: (i) fixamos um valor máximo de k, seguindo a regra
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 51
kmax = Int{12(n/ 100)
1/4}; (ii) fixado o kmax selecionamos o k que apresentar um
menor critério de informação no intervalo entre zero e kmax. Para o passo (ii) acima,
utilizamos o critério AIC, uma vez que o critério BIC tende a escolher um número
menor de truncagens auto-regressivas.
Agora, também utilizando o critério de seleção AIC escolhe-se os melhores
modelos para cada um dos diferentes valores de h = 2, 6, 12. Para tanto, seriam
estimados e calculados os critérios de seleção para todos os modelos SARIMA até o
modelo de maior ordem que determinamos por SARIMA(6,2,6)(2,2,2). No entanto,
como já verificado anteriormente há evidências significativas de que a série seja
integrada de ordem 1, com isso, restringimos a busca pelo modelo que minimiza o
AIC para d = 1 fixo. Esses modelos encontram-se na Tabela 5 com seus respectivos
valores calculados de AIC, AICc e BIC.
Tabela 5 - Melhores modelos SARIMA para a série do ICMS-RS-Brasil
Modelos Parâmetros AIC AICc BIC
estimados
h = 2
θ̂1 = −0, 7733
SARIMA(0, 1, 2)(1, 2, 1)12 θ̂2 = 0, 0387 1026, 64 1027, 25 1039, 81
Φ̂1 = −0, 3322
Θ̂1 = −0, 9846
h = 6
θ̂1 = −0, 6736
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 2)12 Θ̂1 = −0, 6047 1201, 34 1201, 71 1212, 18
Θ̂2 = −0, 2761
h = 12
θ̂1 = −0, 6959
SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 2)12 Θ̂1 = −0, 6021 1131, 37 1131, 77 1141, 99
Θ̂2 = −0, 2941
Os resultados da Tabela 5 evidenciam que os modelos para h = 6 e h = 12
são os mesmos e com pequenas diferenças nas estimativas dos parâmetros. No
entanto, o modelo selecionado para h = 2 é diferente dos demais, considerando um
parâmetro a mais e também duas diferenças sazonais. Os erros-padrão, assim como
os p-valores, para os estimadores dos parâmetros da Tabela 5 não são apresentados,
uma vez que não são informativos. Isto acontece pois, segundo Ansley e Newbold
(1980), os estimadores pontuais de máxima verossimilhança para modelos ARIMA
possuem bom desempenho, no entanto, a estimação intervalar não funciona bem
em amostras finitas, uma vez que a distribuição dos estimadores não está próxima,
em geral, da distribuição limite (Normal).
Os diagnósticos dos modelos foram feitos utilizando-se a função tsdiag(stats)
do R. Esta função traça os reśıduos padronizados, o correlograma dos reśıduos do
modelo, assim como uma interpretação gráfica do teste de L jung-Box. Os resultados
da análise de diagnóstico do modelo SARIMA para h = 2, 6, 12 são semelhantes e,
por este motivo, a Figura 6 apresenta apenas a análise de diagnóstico considerando
52 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
h = 6.
Figura 6 - Análise de diagnóstico do modelo SARIMA para h = 6.
A análise de diagnóstico valida os modelos para traçarem previsões. Nenhuma
autocorrelação apresentou-se significativamente diferente de zero no correlograma
residual. Os p-valores dos testes de Ljung-Box apresentaram-se todos acima do
limite tracejado, indicando que não rejeita-se a hipótese nula de que as primeiras
autocorrelações dos erros são iguais a zero e os reśıduos padronizados também
encontram-se razoavelmente dentro dos limites de -2 a 2.
Após a modelagem Box e Jenkins e a determinação de modelos de alisamento
exponencial para a série do ICMS, apresentamos os resultados da modelagem
utilizando a decomposição wavelet juntamente com os modelos SARIMA e o
algoritmo de Holt-Winters. Vale salientar que existem diversas escolhas para as
funções wavelets, porém este trabalho utiliza as wavelets de Daubechies com 8
momentos nulos, denominadas DB(8), cujos filtros ak e bk encontram-se na Tabela 6.
A utilização das wavelets ortogonais de Daubechies neste trabalho é justificada,
em parte, pela grande utilização e popularidade destas wavelets nas mais diversas
áreas de aplicação. Ainda, segundo K umar e Foufoula-G eorgiou (1997 ), quando se
tem a necessidade de obter informaçõesquantitativas sobre um processo, as wavelets
ortogonais são as melhores escolhas. Os mesmos autores argumentam que para
dados com variações bruscas, como os dados utilizados nesta pesquisa, as wavelets
de Daubechies produzem um maior refinamento e possuem grande capacidade de
análise e de śıntese.
Novamente, serão apresentados apenas os resultados para o caso h = 6. O
primeiro passo desta técnica é decompor a série temporal em duas outras subséries,
de baixa e de alta freqüência, por meio da transformada wavelet. Essa decomposição
para a série com h = 6 encontra-se nas Figuras 7 e 9, com seus respectivos
valores previstos utilizando-se o algoritmo de Holt-Winters e modelos ARIMA,
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 53
Tabela 6 - Filtros da Wavelet de Daubechies com P = 8
Índice ak bk
k = 0 0, 0544158422 −0, 0001174768
k = 1 0, 3128715909 −0, 0006754494
k = 2 0, 6756307363 −0, 0003917404
k = 3 0, 5853546837 0, 0048703530
k = 4 −0, 0158291053 0, 0087460940
k = 5 −0, 2840155430 −0, 0139810279
k = 6 0, 0004724846 −0, 0440882539
k = 7 0, 1287474266 0, 0173693010
k = 8 −0, 0173693010 0, 1287474266
k = 9 −0, 0440882539 −0, 0004724846
k = 10 0, 0139810279 −0, 2840155430
k = 11 0, 0087460940 0, 0158291053
k = 12 −0, 0048703530 0, 5853546837
k = 13 −0, 0003917404 −0, 6756307363
k = 14 0, 0006754494 0, 3128715909
k = 15 −0, 0001174768 −0, 0544158422
respectivamente. Nessas figuras, assim com nas demais que seguirão, a linha
vertical tracejada representa o final do peŕıodo observado e ińıcio do peŕıodo de
dados previstos. Como podemos perceber, a série de baixa freqüência possui um
comportamento similar ao da série original, isto pode ser visto comparando os
coeficientes wavelets da aproximação com a série original exposta na Figura 3.
Como visto anteriormente, as wavelets de Daubechies são ortogonais, podendo
tomar a TWI destas subséries e então recompor o sinal original. No entanto,
o objetivo do trabalho é utilizar os valores previstos destas subséries para fazer
a transformada inversa e, com isso, obter os valores previstos da série original.
Fazendo a TWI com os valores previstos de cada subsérie utilizando o algoritmo
de Holt-Winters obtêm-se os resultados evidenciados na Figura 8. Da mesma
forma, utilizando-se os valores previstos das subséries de baixa e alta freqüência
com modelos SARIMA, vistos na Figura 9, tem-se os valores previstos da série do
ICMS apresentados na Figura 10.
Com a determinação dos melhores modelos para cada técnica de previsão
explorada é necessário traçar comparações dos valores previstos. Esta comparação
é dada por meio das medidas de qualidade EQM e MAPE, conforme Tabela 1,
para diferentes valores de h. Para facilitar a exposição dos resultados são utilizados
os rótulos wave.hw e wave.arima para as técnicas de previsão com decomposição
wavelet que utilizam, respectivamente, o algoritmo de Holt-Winters e modelos da
classe ARIMA para prever as subséries de alta e baixa freqüência. As medidas de
qualidade calculadas encontram-se na Tabela 7.
54 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
Figura 7 - Valores reais (linha cheia) e previstos (linha tracejada) utilizando o
algoritmo de Holt-Winters para as duas subséries da decomposição
wavelet (h = 6).
Figura 8 - Valores reais (linha cheia) e previstos (linha tracejada) da série ICMS-RS-
Brasil utilizando algoritmo de Holt-Winters com decomposição wavelet
(h = 6).
Os resultados da comparação das medidas de qualidade mostram que para
h = 2 e h = 12 o método wave.hw foi o que obteve melhor resultado, alcançando
um erro absoluto percentual médio abaixo de 1% no caso de h = 2. Já para h = 6
o modelo SARIMA obteve ligeira superioridade em termos de MAPE, seguido de
perto pelo wave.hw.
Um resultado importante da comparação das técnicas, quando aplicadas à
série de arrecadação do ICMS-RS, é que os modelos SARIMA aplicados diretamente
na modelagem da série original obtiveram melhores resultados do que a utilização
conjunta da decomposição wavelet. Por outro lado, o algoritmo de Holt-Winters
obteve melhora significativa em todos os diferentes horizontes de previsão quando
utilizado conjuntamente com a decomposição wavelet.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 55
Figura 9 - Valores reais (linha cheia) e previstos (linha tracejada) utilizando
modelos ARIMA para as duas subséries da decomposição wavelet
(h = 6).
Figura 10 - Valores reais (linha cheia) e previstos (linha tracejada) da série ICMS-
RS-Brasil utilizando modelos SARIMA e decomposição wavelet (h = 6).
Outro fato importante a favor da técnica wave.hw é o fato dela ser mais simples
computacionalmente do que a wave.arima. Este fato é justificado pela conhecida,
e já comentada, simplicidade dos algoritmos de alisamento exponencial. Além
disso, os algoritmos de Holt-Winters são conhecidos como técnicas automáticas de
previsão, não possuindo certas hipóteses teóricas que precisam ser satisfeitas e, por
sua vez, testadas como na modelagem Box & Jenkins.
56 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
Tabela 7 - Medidas de qualidade de previsão
Técnica EQ M MAPE
h = 2
SARIMA 286, 936 0, 013
Holt-Winters 187, 521 0, 010
w ave.hw 122, 6 5 6 0 , 0 0 8
w ave.arima 530, 221 0, 014
h = 6
SARIMA 3 28 1, 9 5 7 0 , 0 3 4
Holt-Winters 3862, 000 0, 038
w ave.hw 5323, 000 0, 037
w ave.arima 3719, 000 0, 044
h = 12
SARIMA 16380, 000 0, 095
Holt-Winters 12912, 000 0, 083
w ave.hw 10 9 5 6 , 0 0 0 0 , 0 7 6
w ave.arima 28353, 000 0, 130
Considerando os resultados da comparação dos modelos de previsão para a
série do ICMS-RS-Brasil, são apresentadas as previsões para os próximos doze meses
de arrecadação do imposto. Estas previsões são dadas por meio do método wave.hw,
pois este é apontado como o melhor método de previsão para o horizonte h = 12. Os
resultados numéricos das previsões encontram-se na Tabela 8. As mesmas previsões
são apresentadas de modo gráfico, juntamente com o gráfico da série no peŕıodo
amostrado, na Figura 11.
Figura 11 - Gráfico com previsão para os próximos 12 meses de arrecadação do
ICMS-RS-Brasil.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010 57
Tabela 8 - Previsão para os próximos 12 meses de arrecadação do ICMS-RS-Brasil
Peŕıodo Previsão
Nov/ 2008 1299, 454
Dez/ 2008 1370, 998
J an/ 2009 1324, 259
Fev/ 2009 1212, 397
Mar/ 2009 1157, 171
Abr/ 2009 1246, 996
Mai/ 2009 1210, 724
J un/ 2009 1271, 241
J ul/ 2009 1223, 013
Ago/ 2009 1238, 016
Set/ 2009 1300, 648
O ut/ 2009 1301, 927
Conclusões
Neste trabalho efetuou-se uma comparação de métodos tradicionais de previsão
com uma proposta de uso conjunto destes métodos com a decomposição wavelet. A
comparação foi feita por meio de um estudo emṕırico aplicado à série de arrecadação
mensal do ICMS no estado do Rio Grande do Sul, Brasil. A série em estudo
compreende o peŕıodo de janeiro de 1998 a outubro de 2008 transformados a preços
constantes de outubro de 2008 utilizando o IGP-DI.
A série em estudo possui um padrão sazonal viśıvel em seu comportamento
no decorrer do peŕıodo. Com isso, foram utilizados modelos que procuram captar
a componente de sazonalidade da série temporal. Dentre os modelos de alisamento
exponencial foi utilizado o algoritmo de Holt-Winters aditivo e, dentre os modelos da
classe ARIMA, foram utilizados os modelos SARIMA. Estes mesmos modelos foram
utilizados para a modelagem e previsão de cada uma das subséries da decomposição
wavelet.
As técnicas de previsão foram comparadas mediante diferentes horizontes
de previsão e pôde-se verificar que o uso de modelos ARIMA juntamente com
a decomposição wavelet não obteve resultados superiores aos modelos ARIMA
aplicados diretamente na modelagem da série original. Já a proposta do uso
conjunto dos algoritmos de Holt-Winters com a decomposição wavelet originou uma
melhora significativanas previsões, principalmente para os horizontes de previsão
h = 2 e h = 12. Isto é um fato importante desta pesquisa, pois a aplicação
de algoritmos de alisamento exponencial com decomposição wavelet no intuito de
previsão é bastante restrito na literatura, ou mesmo inexistente. Ao contrário disso,
os modelos ARIMA e também Redes Neurais Artificiais aplicados em conjunto com
decomposição wavelet já são explorados na literatura de previsão.
Esta pesquisa tornou-se importante, pois tratou de uma abordagem
exploratória de diferentes modelos de previsão, juntamente com uma proposta
de uso conjunto de modelos tradicionais de previsão com decomposição wavelet,
58 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010
proposta esta que resultou em previsões mais acuradas. Com isso, uma vez que
o ICMS é o principal imposto estadual, o uso desta técnica viabiliza uma melhor
tomada de decisão no âmbito das estratégicas governamentais no que diz respeito
ao planejamento orçamentário do estado do Rio Grande do Sul, Brasil.
Fica como sugestão para trabalhos futuros a utilização conjunta de wavelets e
modelos de previsão em dados de outras áreas de estudo que possuam interesse em
previsão e sua consequente tomada de decisão, como preços de commodities, surtos
de doenças, dados de precipitação, vazão de rios, entre outros.
Agradecimentos
Os autores agradecem às sugestões dos revisores que proporcionaram uma
grande melhoria no texto apresentado. O segundo autor agradece o suporte
financeiro à CAPES - Processo BEX - 1784/ 09-9.
BAY ER, F. M.; SOUZ A, A. M. Forecasting with Wavelets and Traditional Models:
A Comparative Study. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.28, n.2, p.40-61, 2010.
ABSTRACT: The main purpose of this research is to compare and explore traditional
models lik e ARIM A and exponential smoothing , lik ew ise to propose a comb ined use of
these forecasting techniq ues w ith the w av elet decomposition. The comparison is made
b y means a empirical study applied to the monthly tax rev enue (ICM S) of the Rio
G rande do Sul b raz ilian state. Among the exponential smoothing models the additiv e
H olt-W inters model w as used and for the ARIM A class models the SARIM A w as used,
b ecause the series show s a seasonal b ehav ior. These same models w ere used for to
model and forecast each of sub -series of the w av elet decomposition. The forecasts w ere
compared using diff erents forecasting horizons and w as possib le to ob serv e that the
use comb ined of the H olt-W inters alg orithm and w av elets decomposition g av e a b etter
results to the forecasted v alues, principally to the horizons w ith steps of forecasting 2
and 1 2 months.
K E Y W O RD S: Time series; W av elets; comparison; F orecast; ICM S.
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Recebido em 03.09.2009.Aprovado após revisão em 29.06.2010.
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