Origem das funções hiperbólicas - Alfaconnection

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Origem das funções hiperbólicas
O que é um ângulo hiperbólico ?
É uma nova maneira de definir a medida de um ângulo usando uma hipérbole no lugar de uma
circunferência.
Vamos estabelecer um paralelo entre o ângulo medido em relação à circunferência e o medido
em relação à hipérbole.
Ângulo medido em relação à circunferência
Considere a circunferência x + y = 1 
Ângulo medido em relação à hipérbole
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Considere a hipérbole x – y = 1
Quais são as equações reduzidas da hipérbole usadas nas definições das funções
hiperbólicas ?
As equações reduzidas mostradas abaixo são equivalentes.
As equações da mesma curva são obtidas realizando uma rotação de p  / 4 dos eixos
coordenados.
Qual é a medida do ângulo hiperbólico ?
Cálculo da área (em amarelo) do setor hiperbólico.
Girando a figura de p / 4 
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Cálculo da área entre o arco de hipérbole e o eixo OX desde x1 até x2;
Como a medida do ângulo corresponde ao dobro da área do setor hiperbólico, temos:
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Como são definidas as funções hiperbólicas ?
Considere o ponto M da hipérbole e o ângulo q do setor hiperbólico mostrados na figura.
As funções hiperbólicas são definidas de forma semelhante à usada para definir as funções
trigonométricas no círculo.
A figura mostra a representação gráfica do:
cosseno hiperbólico – cosh
seno hiperbólico – senh
tangente hiperbólica – tgh
Podem ser definidas ainda as funções:
cotangente hiperbólica – cotgh
secante hiperbólica – sech
cossecante hiperbólica -cossech
 
Quais são as fórmulas para cosh q e senh q ?
Consideremos a hipérbole referenciada a eixos de simetria (em preto) x – y = 1 e a eixos
assintóticos (em vermelho) y.x = 1/2.
Vamos calcular as coordenadas dos ponto M e A em relação aos eixos assintóticos.
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Sabemos que o ângulo hiperbólico vale:
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Quais são as fórmulas para tgh q e cotgh q ?
 
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Quais são as fórmulas para sech q e cossech q ?
 
Como são definidas as funções hiperbólicas inversas ?
Quais são as fórmulas para cosh q e senh q ?-1 -1
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Quais são as fórmulas para tgh q e cotgh q ?-1 -1
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Quais são as fórmulas para sech q e cossech q  ?-1 -1
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