AULA06-EAL-2004

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Elementos de Álgebra Linear – Transformações Lineares 
Profa. Emília / Edméa 
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Transformações Lineares 
 
Def: Sejam U e V Espaços Vetoriais sobre R. Uma aplicação F: U V é denominada Transformação Linear 
de U em V se, e somente se: 
→
 
a) F(u1+u2) = F(u1) + F(u2), ∀ u1, u2 ∈U; 
b) F( uα ) = )u(Fα , u∈U; ∀
 
OBS: Se U=V então F: U →U é denominado Operador Linear. 
 
Propriedades: 
 Sejam U e V Espaços Vetoriais sobre R. Se F: U →V é uma Transformação Linear, então valem as 
seguintes propriedades: 
 
P1) F(0) = 0 ( F transforma o vetor nulo de U no vetor nulo de V); 
P2) F(-u) = - F(u), ∀ u∈U; 
P3) F( u1 – u2) = F(u1) – F(u2) 
P4) Se W é um subespaço de U, então a imagem de W por F é um subespaço de V, isto é, 
W U T(W) V 
SE
⊂ ⇒
SE
⊂
P5) Sendo F: : U →V linear, então: 
F( nn11 u...u αα ++ ) = )u(F...)u(F nn11 αα ++ 
 
Transformações Lineares Planas 
 
1) Expansão ou Contração Uniforme 
 
T: R2 R→ 2, R∈α 
 (x,y) → )y,x(α , se 1≥α , Expansão e se 0 1<≤ α contração. 
 
2) Reflexão em torno do eixo x 
 
T: R2 R→ 2 
 (x,y) (x, -y) →
 
2) Reflexão em torno do eixo y 
 
T: R2 R→ 2 
 (x,y) (-x, y) →
 
4) Reflexão na origem 
 
T: R2 R→ 2 
 (x,y) (-x, -y) →
 
 
5)Cisalhamento 
 Na direção do eixo x 
 T: R2 → R2, R∈α 
 (x,y) (x+→ yα , y) 
 
 Na direção do eixo y 
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 T: R2 → R2, R∈α 
 (x,y) → (x, y+ xα ) 
 
6) Rotação de um ângulo θ (sentido anti-horário) 
 
Tθ : R2 R→ 2 
 (x,y) → ( )θθθθ senxcosy,senycosx +− 
 
OBS: 1) A Translação 
T: R2 R→ 2, R∈α 
 (x,y) (x + a, y + b), não é linear pois T(0) → ≠ 0. 
 
 2) Se T(0) 0, então T não é linear, mas T(0) = 0 não garante que T é Linear. ≠
 Ex:T: R→ R 
 u u→ 2 
 
Teorema: Dados dois espaços vetoriais reais U e W e uma base { } Vv,...,v n1 ⊂ , sejam w1, ..., wn elementos 
arbitrários de W. Então existe uma aplicação linear T: V W tal que T(v→ 1)=w1, ..., T(vn)=wn. Esta aplicação 
é dada por: 
 
como v∈V temos v = nn11 v...v αα ++ e daí T(v) = )v(T...)v(T nn11 αα ++ = α . nn11 w...w α++
 
Obs: T: V W fica completamente determinada quando se conhecem as imagens dos vetores de uma base 
de V. 
→
 
Núcleo e Imagem 
 
Def. Núcleo: Sejam U e V espaços vetoriais sobre R e F: U V uma transformação linear. Indica-se ker(F) 
( ou N(F)) e denomina-se NÚCLEO de F o seguinte subconjunto de U: 
→
 
ker(F) = { }0)u(F|Uu =∈ 
 
Proposição: Dada F: U V uma transformação linear então ker(F) é um subespaço vetorial de U. →
 
Def. Imagem: Sejam U e V espaços vetoriais sobre R e F: U V uma transformação linear. Indica-se Im(F) 
e denomina-se IMAGEM de F o seguinte subconjunto de V: 
→
 
Im(F) = { }Uuumlgapara),u(Fv|Vv ∈=∈ 
 
Proposição: Dada F: U V uma transformação linear então Im(F) é um subespaço vetorial de V →
 
Transformações Lineares Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras] 
 
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R . 
 
 Def. Injetora: Dada a transformação linear F: U →V dizemos que F é injetora se, e somente se: 
 
)u(F)u(Fuu,Uu,u
ou
uu)u(F)u(F,Uu,u
212121
212121
≠⇒≠∈∀
=⇒=∈∀
 
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Def. Sobrejetora: Dada a transformação linear F: U →V dizemos que F é sobrejetoras e, e somente se, 
Im(F) = V, ou seja, para todo .)u(F|Uu,Vv v=∈∃∈ 
 
Def. Bijetora: Dada a transformação linear F: U V dizemos que F é bijetora se, e somente se F é injetora e 
sobrejetora ao mesmo tempo. 
→
 
Obs: F é bijetora existe F⇔ -1 
 
Proposição: A transformação Linear F: U →V é injetora se, e somente se ker(F) =0. 
 
Teorema do Núcleo e Imagem: Sejam U e V dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre R. Dada a 
trasformação linear F: U V então: →
 
dim U = dim ker(F) + dim Im(F) 
 
Teorema: Se F: U V é uma transformação e → { }n1 u,...,u geram U então { })u(T),...,u(T n1 gera a Im(F). 
 
Teorema: Sejam U e v espaços vetoriais sobre R com mesma dimensão finita n e suponhamos F:U→V uma 
transformação linear. Então são equivalentes as seguintes afirmações: 
I) F é sobrejetora 
II) F é bijetora 
III) F é injetora 
IV) F transforma uma base de U em uma base de V (isto é, se B é base de U então F(B) é base de 
V). 
 
Lista de Exercícios 10 
 
1) Verificar se a aplicação F: 3→ 2 definida por: F(x,y,z) = (z, x+y) é linear. 
 
2) Verificar se a aplicação F: → 2 é uma transformação linear, onde F(x) = (x,2) para todo 
x ∈ 
 
3) Seja V=Mn( ) e B uma matriz fixa desse espaço vetorial. O operador F: V V dado por 
F(X) = BX, para todo X ∈V é linear? E quanto ao operador G: V V dados por G(X)=XB ? 
É verdade que F=G ? 
ℜ →
→
 
4) Sabendo que F: 2→ 2 é um operador linear e que F(1,2) = (3,-1) e F(0,1)=(1,2), achar 
F(x,y), onde (x,y) é um vetor genérico do 2. 
 
5) Seja P uma matriz inversível de Mn(ℜ ). Mostrar que F: Mn( )→ Mn( ) dada por 
F(X)=P-1XP é um operador linear desse espaço. 
 
6) Num espaço vetorial V sobre , dado w∈V, chama-se translação definida por w a aplicação 
Tw: V → V tal que Tw(u) = u+w, para todo u ∈ V. Mostrar que se w≠ 0, então T não é linear. 
 
7) Sendo F: U V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se {u→ 1,...,un} é uma 
base de U, então {F(u1),...,F(un)} é linearmente independente em V. Provar que F é injetora. 
 
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8) Seja F o operador linear do 2 tal que F(1,0)=(2,1) e F(0,1)=(1,4). 
a) Determinar F(2,4); 
b) Determinar (x, y) ∈ 2 tal que F(x,y) = (2,3); 
c) Provar que F é sobrejetor e injetor (bijetor). 
 
9) Seja F: 3→ 2 a transformação linear dada por F(x,y,z) = (x+y, 2x-y+z). 
a) Dar uma base e a dimensão de Ker(f); 
b) Dar uma base e a dimensão de Im(f). 
 
10) Seja F o operador linear de M2(ℜ ) definido por F(X)=BX, para todo X ∈M2( ), onde 
B∈M
ℜ
2(ℜ ). No caso de B =  determine Ker(f) e uma base da imagem de F. 


−1
0


2
1
11) Mostrar que o operador F do 3 dado por F(x,y,z) = (x+z,x-z,y) é um automorfismo. 
Determinar F-1. 
 
12) A aplicação linear F: 3→ 3 dada por F(1,0,0) = (1,1,0), F(0,1,0)=(0,0,1) e F(0,0,1)=(1,-1,6), 
é um automorfismo? 
 
13) Provar que o espaço vetorial 2 é isomorfo ao subespaço 
 U = {(x, y, z) ∈ 3: z=0} 
do 3. 
 
14) Determinar o núcleo e a imagem, bem como as dimensões respectivas, de F: ) → ) 
dada por F(f(t)) = f (t) + t2 f ’ (t). 
15) Determinar um operador linear F: 3→ 3 cuja imagem é gerada por (2,1,1) e (1,-1,2). 
 
16) Determinar um operador linear do 4 cujo núcleo é gerado por (1,1,0,0) e (0,0,1,0). 
 
17) Determinar um operador linear do 3 cujo núcleo tenha dimensão 1. 
 
18) Seja F: 3→ 3 definida por F(1,0,0)=(1,1,0) e F(0,0,1)=(0,02) e F(0,1,0)=(1,1,2). Determinar 
uma base de cada um dos seguintes subespaços vetoriais: ker(f), Im(f), ker(f) Im(f) e 
ker(f)+Im(f). 
∩
 
19) Seja {e1, e2,..., en} a base canônica do n. Seja F: n→ n o operador linear dado por F(e1)= e2, 
F(e2)= e3, ..., F(en) e1. Determinar F(x1, x2,..., xn) e verificar se F é um automorfismo. Se for, 
ache o automorfismo inverso. 
 
20) Considere o operador linear F do 3 definido por F(1,0,0)=(1,1,1); F(0,1,0)=(1,0,1) e 
F(0,1,2)=(0,0,4). F é inversível? Se for, determine o isomorfismo inverso.