apendice-a

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Apêndice A 
 
Revisão: Campos Escalares e Vetoriais 
 
 
 Neste Apêndice será apresentado um breve resumo sobre campos vetoriais, e que pode 
ser aplicado a campos escalares ou vetoriais. Um sistema de coordenadas generalizadas será 
apresentado, a partir do qual poderão ser deduzidas as expressões dos operadores gradiente, 
divergente, rotacional e laplaciano em coordenadas diferentes do sistema de coordenadas 
retangular como, por exemplo, em coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
 
A.1- Álgebra de Vetores 
 
Dados dois vetores A

 e B

 no espaço, e que formam entre si um ângulo , como 
descritos na Fig.A.1(a), e, sendo − A

 o vetor oposto ao vetor A

, como mostrado na Fig.A.1(b), 
aplicam-se as seguintes propriedades: 
 

A
B
A+B
 
 
(a) 
A
-A
â
 
 
(b) 
Figura A.1 – Vetores no espaço. a) Soma de vetores. b) Vetor oposto. 
 
a) Propriedade comutativa 
ABBA

 (A.1 a) 
b) Propriedade associativa 
CBACBA

 )()( (A.1 b) 
c) Diferença entre vetores 
)( BABA

 (A.1 c) 
d) Vetor unitário (versor) 
A
Aa 

ˆ (A.1 d) 
 
e) Multiplicação por escalar 
 
BmAmBAm
AnAmAnm
AmnAmnAnm






)(
)(
)()()(
 (A.1 e) 
 
A.1.1- Produto escalar, interno ou "dot product" 
 
 A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar entre vetores, 
designado pelo símbolo "  " (dot ou ponto). 
 
a) Definição básica (0≤≤ rad) 
cos.. BABA



 (A.2 a) 
b) Projeção escalar de B

 na direção de A

 
A

= B
A
A 


 (A.2 b) 
c) Projeção de B

na direção de A

 
A

= 
A
AB
A
A





.








 (A.2 c) 
d) Produto escalar nulo 
BAouBouABA



 ,0,00 (A.2 d) 
e) Propriedade comutativa 
ABBA





 (A.2 e) 
f) Módulo do vetor 
2
AAA



 (A.2 f) 
g) Propriedade distributiva 
CABACBA







 )( (A.2 g) 
 
A.1.2- Produto vetorial ou cruzado 
 
A seguir apresentam-se algumas propriedades do produto vetorial entre vetores, 
designado pelo símbolo " x " (cross product). 
 
a) Definição básica 
senBABA ..

x (A.3 a) 
b) Produto vetorial nulo 
BAouBouABA

//,0,00 x (A.3 b) 
c) Propriedade distributiva 
CABACBA

xxx  )( (A.3 c) 
d) Comutação (não obedece à propriedade comutativa) 
ABBA

xx  (A.3 d) 
e) Área do paralelogramo 
BA

x área do paralelogramo com lados A

 e B

 (A.3 e) 
 
A.1.3 – Vetores Unitários ou Versores 
 
 Versores coordenados (ou bases) são vetores unitários na direção dos eixos do sistema de 
coordenadas de referência. No caso do sistema retangular (x,y,z), são designados por kji ˆeˆ,ˆ , 
sendo paralelos às direções dos eixos x, y e z, respectivamente, e tais que 
 
a) 1ˆˆˆˆˆˆ  kkjjii  (A.4 a) 
b) 0ˆˆˆˆˆˆ  ikkjji  (A.4 b) 
c) 0ˆˆˆˆˆˆ  kkjjii xxx (A.4 c) 
d) ijkkj ˆˆˆˆˆ  xx (A.4 d) 
e) kijji ˆˆˆˆˆ  xx (A.4 e) 
f) jkiik ˆˆˆˆˆ  xx (A.4 f) 
 
Assim, kji ˆeˆ,ˆ são vetores linearmente independentes e formam uma base tri-ortogonal 
e, portanto, qualquer vetor u no espaço pode ser descrito por: 
 
kujuiuu zyx ˆˆˆ 

 (A.5) 
 
onde ux, uy e uz são as coordenadas do vetor u

. 
 
A.1.4- Propriedades Gerais dos Vetores 
 
Dados dois vetores escritos em coordenadas retangulares como 
 
 kajaiaA ˆˆˆ 321 

 (A.6 a) 
e 
kbjbibB ˆˆˆ 321 

 (A.6 b) 
 
então 
 
a) kbajbaibaBA ˆ)(ˆ)(ˆ)( 332211 

 (A.7 a) 
b) ).().().( 332211 bababaBA 



 (A.7 b) 
c) 23
2
2
2
1
2
aaaAAA 



 (A.7 c) 
d) 
2/12
3
2
2
2
1
2/12
3
2
2
2
1
332211
).()(
...
cos
bbbaaa
bababa


 (A.7 d) 
e) 
321̀
321
ˆˆˆ
bbb
aaa
kji
BA 

x (A.7 e) 
f) 
321
321
321
)(
ccc
bbb
aaa
CBA 



x (A.7 f) 
g) )( CBA



x volume do paralelepípedo com lados A

, B

 e C

 (A.7 g) 
h) CBACBA





)()( xx  (A.7 h) 
i) )()()( BACACBCBA







xxx  (A.7 i) 
j) )()()()( ABCCABBCACBA









xxxx  (A.7 j) 
k) CBABCACBA





)()()( xx (A.7 k) 
l) ACBBCACBA





)()()( xx (A.7 l) 
m) )()()()()()( CBDADBCADCBA











xx (A.7 m) 
n) )}({)}({)()( CBADDBACDCBA





xxxxx  (A.7 n) 
 )}({)}({ CBADDBAC





xx  
 
A.1.5- Derivadas no Tempo 
 
Dados o seguinte vetor variável no tempo 
 
ktujtuitutuu zyx ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 

 (A.8) 
 
define-se sua derivada temporal pelo vetor 
 
 
t
tuttu
dt
ud
t 



)()(
lim
0

 (A.9) 
 
e assim, 
 
k
t
tuttu
j
t
tuttu
i
t
tuttu
dt
ud zz
t
yy
t
xx
t
ˆ)()(limˆ
)()(
limˆ
)()(
lim
000 










 (A.10) 
 
ou seja 
 
 k
dt
du
j
dt
du
i
dt
du
dt
ud zyx ˆˆˆ 

 (A.11) 
 
ou ainda 
 
 kdujduiduud zyx ˆˆˆ 

 (A.12) 
 
 Em particular, se kzjyixru ˆˆˆ   é o vetor posição, então, 
 
 kdzjdyidxrd ˆˆˆ  (A.13) 
 
é o vetor deslocamento infinitesimal. Na Fig.A.2 ilustram-se os vetores r e d r . 
0
dr
r+dr
r
Figura A.2 – Vetor deslocamento infinitesimal. 
 
 A seguir, listam-se algumas propriedades da derivada temporal: 
 
a) 
dt
vd
dt
ud
dt
vud 

 )(
 (A.14 a) 
b) 
dt
udu
dt
d
dt
ud   )( (A.14 b) 
c) 
dt
vduv
dt
ud
dt
vud 







)(
 (A.14 c) 
d) 
dt
vduv
dt
ud
dt
vud  xxx )( (A.14 d) 
e) )()()()}({
dt
wdvuw
dt
vduwv
dt
ud
dt
wvud 









xxxx  (A.14 e) 
f) ))))}({
dt
wdvuw
dt
vduwv
dt
ud
dt
wvud  xx (xx (xx (
xx
 (A.14 f) 
g) 
dt
ud
u
dt
udu





 (A.14 g) 
h) 0
dt
udu



 se u é uma constante (A.14 h) 
i) Cdtukdtujdtuidtu zyx    ˆˆˆ

, onde C é constante (A.14 i) 
 
 
 
A.2- Gradiente de um Campo Escalar 
 
 Um campo escalar é estabelecido a partir de uma função escalar ),,( zyx . Sua 
diferencial total é 
 
 dz
z
dy
y
dx
x
d









 (A.15) 
 
 Na figura A.3, C é simplesmente uma curva no espaço e, a cada ponto r de C, associa-se 
um valor )(r . A derivada direcional do campo escalar é a taxa de variação de ),,( zyx por 
unidade de comprimento em uma certa direção particular, caracterizada pelo elemento de arco 
rdds  da curva C: 
 
x y
z
r dr

C
( )r
( )r+dr
Figura A.3- Curva C no espaço e a definição de derivada direcional. 
 
ds
dz
zds
dy
yds
dx
xds
d
...










 (A.16) 
 
 É conveniente expressar d e d/ds em termos do gradiente do campo escalar ),,( zyx , 
definido como: 
 
k
z
j
y
i
x
grad ˆˆˆ)(









 (A.17) 
 
Assim, a partir de (A.13) e (A.17) obtém-se 
 
 
ds
rd
ds
d 
  (A.18 a) 
 
rdd   (A.18 b) 
 
 Como foi estabelecido rdds  , então, se ŝ for o vetor unitário na direção d r , 
 
 k
ds
dzj
ds
dyi
ds
dx
ds
rds ˆˆˆˆ 

 (A.19) 
 
 Uma forma alternativa de escrever ŝ utiliza cossenos diretores 
 
 kkrjjriirs ˆ)ˆ,cos(ˆ)ˆ,cos(ˆ)ˆ,cos(ˆ   (A.20) 
 
onde )ˆ,cos( ir é o cosseno entre os vetores r e î , e assim por diante. 
 
Combinando-se (A.18 a) com (A.19) obtém-se 
 
 s
ds
d
ˆ  (A.21) 
 
ou seja, a projeção do gradiente em qualquer direção é igual à derivada direcional de  naquela 
direção. A Fig.A.4(a) auxilia a visualização deste fato. 
Como o máximo valor de projeção de um vetor é o módulo do próprio vetor, fica claro 
que  está sobre a direção de maior taxa de variação de (x,y,z). Esta taxa de variação é 
justamente o seu comprimento,  . 
Dada uma superfície onde é constante, denominada de superfície equipotencial, tem-
se d/ds=0 nos pontos r sobre a superfície C. Portanto, (A.19) e (A.21) conduzem a 
 
0
ds
rd
 (A.22) 
 
sobre a superfície. Como as extremidades de r e r +d r estão sobre a superfície C, d r está 
sobre esta superfície. Então,  d r , informando que o gradiente em qualquer ponto de uma 
equipotencial é perpendicular a ela. 
 
 
 

s
ds/d
s
 
 
(a) 
0
dr
r
.

C
equpotenc
=cte
 
(b) 
Figura A.4- O gradiente. a) Projeção na direção ŝ . b) Gradiente normal a equipotencial. 
 
 Finalmente, se (v), onde v=v(x,y,z), então, de (A.17) e a regra da cadeia, conclui-se 
que 
 
 v
dv
d

 (A.23) 
 
(recomenda-se ao leitor demonstrar isto !!) 
 
 
A.3- Campos vetoriais 
 
 O vetor u , escrito em função das coordenadas x,y e z como 
 
kzyxujzyxuizyxuzyxuu zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,( 

 (A.24) 
 
é denominado campo vetorial (atenção: neste apêndice, u é um campo de velocidade). 
 
A.3.1- Campo conservativo 
 
Da definição (A.17), observa-se que se  for diferenciável,  sempre define um campo 
vetorial: 
 
 ),,( zyxu  (A.25) 
 
Neste caso, o campo vetorial u é denominado campo conservativo, campo gradiente ou campo 
potencial. 
 Usando-se (A.13) e (A.17), considere-se a avaliação da integral, 
 
  








N
CCurvaM
N
CCurvaM
dz
z
dy
y
dx
x
rdu
,,



 (A.26) 
 
entre os pontos M=(x1 ,y1 ,z1) e N=(x2, y2, z2) tomados sobre uma curva C. Se os valores de 
(x,y,z) em M e N ocorrerem nos instantes t1 e t2 conhecidos, pode-se realizar a integração 
usando t como variável de integração. 
 
 dt
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
x
rdu
t
t
N
CCurvaM  












 2
1,



 (A.27) 
 
que, por sua vez, conduz a 
 
)()( 12,
2
1
ttdt
dt
drdu
t
t
N
CCurvaM
 




 



 (A.28) 
 
Portanto, se u =  , a integral é simplesmente a diferença entre os valores de (x,y,z) nos 
pontos M e N, e, assim, independe da escolha de um caminho de integração específico. 
 Reciprocamente, se a integral for independente do caminho, então, mantendo-se M fixo e 
variando-se N, pode-se definir 
 
  
),,(),,(
),,(
zyx
M zyx
zyx
M
dzudyudxurduzyx  (A.29) 
 
 Permutando-se x por x+x na expressão acima, calcula-se 
 
 


),,(
),,(
),,(),,(
zyxx
zyx zyx
dzudyudxuzyxzyxx  (A.30) 
 
ou seja, a integral através de um caminho onde y e z são constantes. Isto equivale a 
 






),,(
),,(
),,(),,(
zyxx
zyx x
dxudx
x
zyxzyxx  (A.31) 
 
 Aplicando o teorema fundamental do cálculo a (A.31), obtém-se 
 
 xux



 (A.32) 
 
 Analogamente, determina-se 
 
yuy



 e zuz



 (A.33) 
 
Portanto, (A.17), (A.32) e (A.33) informam que 
 
u (A.34) 
 
 Mostrou-se assim, que a condição necessária e suficiente para que u =  é a 
independência de caminho de integração em (A.26). Neste caso, u é dito ser um campo vetorial 
conservativo. 
 
A.3.2- Circulação de um campo vetorial 
 
 Define-se como circulação (ou circuitação) a integral de u

 ao longo do caminho fechado 
C, como representado na Fig.A.5. Escolhendo-se dois pontos arbitrários M e N sobre C=C1+C2 
da figura: 
 
M
N C2
C1
Figura A.5- Caminho C ao longo do qual se realiza a circulação. 
 
 




N
CM
N
CM
M
CN
N
CM
C
rdurdu
rdurdurdu
21
21
,,
,,












 (A.35) 
 
 Assim, se u for um campo conservativo, as integrais de M a N independem do caminho 
utilizado, e assim, as integrais no lado direito de (A.35) são iguais e, consequentemente: 
 
  
C
rdu 0 (A.36) 
 
isto é, a circulação de u é nula para um caminho fechado se e somente se u for um campo 
conservativo. 
 
A.3.3 – Fluxo de um campo vetorial 
 
 Considerando-se um elemento dS de uma superfície S, como indicado na Fig.A.6, define-
se o fluxo do campo vetorial u através de S como 
 
 
S
Sdu



 (A.37) 
 
com unidades de m3/s. 
 Por exemplo, se u for um campo de velocidade, as partículas do fluido atravessando dS 
no instante t, ocuparão a face ABCD do paralelepípedo da Fig.A.6 no instante t+dt 
 
S dS
dS

A
B
C
D
u.dt
Figura A.6 – Fluxo de um fluido através da superfície S. 
 
 Todas as partículas que cruzam dS no instante t estarão dentro do paralelepípedo no 
instante t+dt . Logo, a quantidade (volume) de fluido que atravessa dS no intervalo dt é 
dtSdudtudS ).(cos...



 [m2]. O fluxo [m3/s] é obtido dividindo-se esta igualdade por dt. 
 
A.3.4- Rotacional no Plano 
 
 A seguir investiga-se a circulação de u no caminho fechado C, mostrado na Fig.6: 
 
C
Sx
y
Figura A.7- Malhas para o cálculo da circulação ao longo de C. 
 
  
MalhasC
rdurdu  (A.38) 
 
pois, a contribuição de uma fronteira comum entre duas malhas se cancela devido as orientações 
opostas dos vetores d r . Com isto restarão apenas as contribuições dos segmentos de C. 
 Considerando-se que no limite, para S0, cada malha (a qual se reduz a um ponto) 
gera: 
 
 ),(lim
0
yxf
S
rdu
S







 (A.39) 
 
no qual procura-se, a seguir, determinar o valor de f(x,y). Da equação (A.38) e (A.39) conclui-se 
que 
 
 dSyxfSyxfrdu
S
S
MalhasC
).,().,(
0
 




 (A.40) 
 
Porém, 
 
 
C
yx
C
dyudxurdu  (A.41) 
 
e então, determina-se cada parcela do lado direito de (A.41) separadamente. Isolando-se uma das 
malhas, conforme a Fig.A.8 (a) e, considerando-se que ux e uy sejam diferenciáveis 
 
.
Py
M
x
y
x
0
.
 
(a) 
x
y
0
A B
CD
 
(b) 
Figura A.8- Malha unitária para o cálculo do rotacional no plano. 
 
)()( P
P
x
P
P
x
P
x
M
x yyy
uxx
x
uuu 





 (A.42 a) 
 
)()( P
P
y
P
P
y
P
y
M
y yyy
u
xx
x
u
uu 





 (A.42 b) 
 
aplicando-se a Série de Taylor. Assim, por exemplo, 
 
 dxyy
y
udxxx
x
udxudxu P
P
x
P
P
x
P
xx )()( 




  (A.43) 
ou então, 
    




 dxyydx
y
udxxxdx
x
udxudxu P
P
x
P
P
x
P
xx ... (A.44) 
 
Na avaliação da primeira integral do lado direito (A.44), utiliza-se a Fig.A.8(b). 
 
 000 


 



BC
AD
B
A
DA
D
BC
B
xx
xx
x
x
xx
x
D
C
xx
x
B
A
dxdx
dxdxdxdxdx
 (A.45) 
De forma similar, mostra-se que 
 
 0.  dxx (A.46) 
 
Por outro lado, 
 
 
Sxy
dxydxy
dxydxydxydxydxy
BC
AD
B
A
DA
D
BC
B
xx
xxD
x
xA
xx
x
D
C D
xx
x
B
A A




 



.
00
...
 (A.47) 
Por um procedimento análogo demonstra-se que 
 
0.   dydyy (A.48 a) 
 
Sdyx  . (A.48 b) 
 
e portanto, 
S
y
u
x
u
rdu
PMalha
xy 














 (A.49) 
 
 Com isso, (A.39) torna-se 
 
y
u
x
u
S
rdu
yxf xy
S 






 




0
lim),( (A.50) 
 
onde P passa a ser um ponto arbitrário no interior de S. 
 Finalmente, de (A.40) e (A.50) obtém-se a relação 
 
 dS
y
u
x
u
dyudxurdu
S
xy
C
yx
C
. 














 (A.51) 
 
a qual constitui o Teorema de Green no plano. 
 Definindo-se o rotacional (no plano) de um campo vetorial como 
 
 
S
rdu
yxfucurlurotu
S 
 





0
lim),()()(x (A.52) 
 
isto é, a circulação ao longo de um caminho fechado infinitesimal por unidade de área, obtém-se: 
 
 
y
u
x
u
u xy






x (A.53) 
 
o qual é escalar na caso bidimensional. 
 Observe-se que se o campo u for irrotacional, isto é, tem rotacional nulo, então (A.51) e 
(A.53) geram 
 
0.)(   dSurdu
SC


 x (A.54) 
 
e portanto, o campo é conservativo. 
 
É possível mostrar também que a recíproca é válida, isto é, se u é conservativo (u =  ), 
entãoele é irrotacional se e somente se  possuir derivadas parciais de segunda ordem contínuas. 
Como resultado, para verificar se um campo u é conservativo, basta verificar se seu rotacional é 
nulo. 
_____________________________________________________________________________ 
Exemplo 1: Verificar se o campo de velocidade mostrado na Fig. A.9 não é conservativo (é um 
campo solenoidal). 
 
Solução: Na Fig.A.9, ilustra-se um campo de velocidade de um fluido que gira em torno de um 
obstáculo. 
v
 
Figura A.9 – Campo de velocidade. 
 
 
A circulação do vetor v ao longo de qualquer círculo 
não pode resultar nula, pois o produto rdv  tem 
sempre o mesmo sinal. Portanto, o campo v não é 
campo conservativo. 
 
 
A.3.5- Divergente no Plano 
 
 O fluxo também pode ser calculado no plano. Com o auxílio da Fig.A.10 escreve-se que: 
 
S
S dr
n̂
C
y
x0
Figura A.10- Caminho C e malha unitária usada para o cálculo do fluxo no plano. 
 
 
CC
ndudrnu  ˆ [m/s2] (A.55) 
 
onde drnnd .ˆ . Como rd e nd são ortogonais, então, se jdyidxrd ˆ.ˆ.  , pode-se 
concluir que 
 
 jdxidynd ˆ.ˆ.  (A.56) 
 
e assim, 
  
C
yx
C
dxudyundu  (A.57) 
Aplicando-se o Teorema de Green (A.51) ao fluxo (A.57), obtém-se 
 















S
S
yx
C
dSu
dxdy
y
u
x
undu





.
 (A.58) 
 
onde, define-se 
 
y
u
x
u
udivu yx





 )(

 (A.59) 
 
o divergente de u no plano. 
 Nota-se ainda que, a partir de (A.39) e (A.40) 
 
S
S
ndu
ndu
MalhasC


 








 (A.60) 
 
e assim, de (A.58) e (A.60) pode-se concluir que 
 
 
S
ndu
u
S 








0
lim (A.61) 
 
ou seja, o divergente de u corresponde ao fluxo que sai de uma área infinitesimal, por unidade 
de área. 
 
A.3.5- Teorema de Gauss 
 
 Considere-se um volume V, dividido em pequenos blocos cúbicos elementares conforme 
esquematizado na Fig.A.11(a). 
 
 
VS
V
y
x0
z
 
(a) 
A
B
C
D
A'
B'
C'
P


z
xy
P
x
x 2
z
x
u
u 




 



P
x
x 2
z
x
u
u 




 



V
 
(b) 
Figura A.11 – Volume usado no cálculo do divergente no espaço. a) A superfície S envolve o 
volume V. b) Bloco unitário de volume V. 
 
 Calculando-se o fluxo de u através de cada bloco elementar e somando-se o resultado, 
obtém-se o fluxo através da fronteira S. O fluxo através das faces comuns apresenta-se na soma 
com sinais opostos devido à mudança de d S

, na direção da normal exterior. 
 
 V
V
Sdu
Sdu
S Blo


  
cos






 (A.62) 
 
 Independentemente do sistema de coordenadas, define-se a divergência de u no espaço 
por 
 
 
V
Sdu
u S
V 








0
lim (A.63) 
 
Como no caso bidimensional, o divergente espacial representa a quantidade de fluxo que diverge 
de uma fonte envolvida por um volume V, atravessando a superfície que limita tal volume. Se 
u >0 implica que existe uma fonte de campo u num dado ponto P. Por outro lado, se 
u <0, existe sorvedouro. 
 O fluxo através do retângulo ABCD da Fig.A.11(b) é 
 
zyu
P
xABCD  (A.64) 
 
Porém, 
 
222
)()()(
z
z
uy
y
ux
x
uu
zz
z
uyy
y
uxx
x
uuu
P
x
P
x
P
x
P
x
P
P
x
P
P
x
P
P
x
P
xx






















 (A.65) 
 
E assim, o fluxo na face A’B’C’D’ será 
 
 zyz
z
uy
y
ux
x
uu
P
x
P
x
P
x
P
x 







 










 .
222
 (A.66) 
 
e o fluxo na face oposta 
 
zyz
z
uy
y
ux
x
uu
P
x
P
x
P
x
P
x 







 










 .
222
 (A.67) 
 
Somando-se os dois fluxos, obtém-se o fluxo líquido na direção x 
 
 V
x
u
zyx
x
u
P
x
P
x 





 (A.68) 
 Os fluxos nas outras quatro faces são obtidos de forma semelhante, o que conduz a 
 
 V
z
u
y
u
x
u
Sdu zyx
Bloco
Bloco 













 



 (A.69) 
 
Portanto, 
 
z
u
y
u
x
u
V
Sdu
u zyx
V 









 






0
lim (A.70) 
 
o qual corresponde ao divergente do vetor u . Percebe-se, portanto, que em coordenadas 
retangulares, o operador  dado em (A.17), ou seja, zzyjxi  /ˆ/ˆ/ˆ , se comporta 
como um simples vetor na operação de produto escalar dada em (A.70). Ressalta-se que o 
mesmo não ocorre no caso de outros sistemas coordenados, como nas coordenas esféricas ou 
cilíndricas. 
 
Além disso, o fluxo é dado por (A.62) e (A.70) como 
 


  VBloS
dVuV
V
Sdu
Sdu 






cos
 (A.71) 
 
ou seja 
 
 
VS
zzyyxx
S
dVudSudSudSuSdu 



 (A.72) 
 
 o qual constitui o Teorema Gauss ou do Divergente. 
 
A.3.6- Teorema de Stokes 
 
 Considere-se agora uma curva fechada C, fronteira de uma superfície orientada S, 
conforme ilustrado na Fig.A.12(a). 
x y
z
C
dS
S
 
(a) 
x
y
z
k n
j
^ ^
^
S'xy
S
 
(b) 
Figura A.12- Superfície usada na dedução do teorema de Stokes. a) A curva fechada C é 
fronteira da superfície S. b) Malha unitária sobre S e sua projeção sobre o plano x-y. 
 
 Dividindo-se a superfície S em malhas, calcula-se a seguinte circulação 
 
 S
S
rdu
rdu
MalhasC


  






 (A.73) 
 
para áreas elementares 0S . Neste caso, 
 
S
dzudyudxu
S
S
rdu zyx
SMalhasS 



   00 limlim



 (A.74) 
 
 Usando-se a expressão de ux em Série de Taylor, calcula-se (por exemplo): 
 
dxzz
z
u
dxyy
y
u
dxxx
x
u
dxudxu P
PS
z
P
PS
x
P
PS
x
PS
xx )()()( 







  

 (A.75) 
 
 Pode-se executar estas integrações no plano xy, sabendo-se que )ˆ,ˆcos(' knSS xy  , a 
projeção da área S no plano x-y, conforme esquematizado na Fig.A.12(b). Como resultado 
obtém-se: 
 
 0
''
 
 SS
dxxdx (A.76 a) 
 
 '
'
xy
S
Sdxy 

 (A.76 b) 
ou seja 
 
 )ˆ,ˆcos( knSdxy
S


 (A.77) 
 
 Projetando-se S no plano x-z, obtém-se )ˆ,ˆcos(' jnSS xz  , e assim 
 
 '
'
xz
S
Sdxz 

 (A.78) 
 
Então, 
 
Sjn
z
u
Skn
x
u
dxu
P
x
P
x
x 




 )ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( (A.79) 
 
 As outras integrais são calculadas de forma similar. Assim, a integral em (A.74) conduz a 
 











































)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( kn
y
u
x
u
jn
x
u
z
u
in
z
u
y
u
Srdu
P
xy
P
zx
P
yz
S



 (A.80) 
 
 Dado que S é a superfície fechada que limita o volume V, define-se (independentemente 
do sistema de coordenadas) 
 
 
S
rdu
nu C
S 








0
limˆ)( x (A.81) 
 
onde 
 
kknjjniinn ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ  (A.82) 
 
obtém-se o rotacional do vetor u 
 
k
y
u
x
u
j
x
u
z
ui
z
u
y
uu
P
xy
P
zx
P
yz ˆˆˆ


































x (A.83) 
 
 Simbolicamente, pode-se escrever (A.83) na forma de determinante: 
 
zyx uuu
zyx
kji
u  ///
ˆˆˆ
x (A.84) 
 
a qual é válida somente em coordenadas retangulares. 
 
_____________________________________________________________________________ 
Exemplo 2: Discutir a seguinte interpretação: a designação rotacional está relacionada com a 
presença de rotação associada a um vetor. 
 
Solução: Por exemplo, considere-se um ponto P de um corpo rígido que gira em torno de um 
eixo , como mostra a Fig.A.13. A velocidade angular ̂ é um vetor da direção de , que 
obedece a regra da mão direita. 
 
P
r


0 
Figura A.13 – Rotação em torno do eixo .
 
 
 A velocidade linear do ponto P é 
 
 rxsenrv 

  
 
 onde 
 
 kzjyixr ˆˆˆ  
 kji zyx ˆˆˆ 
Então, a velocidade linear tem expressão 
 
kxyjxziyzv yxzxzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( 
 
 
e, portanto, 
 
 





2ˆ2ˆ2ˆ2
)()()(
///
ˆˆˆ
kji
xyxzyz
zyx
kji
v
xyx
yxzxzy
x
 
 
Desta forma 
 
v

x
2
1 
 
A conexão entre o rotacional de v e a ocorrência de rotação é evidente. Se vx for nulo, 
implica que não existe rotação do corpo rígido em torno do eixo . 
 
 
 
 
 
 
 
 Um importante teorema pode ser obtido partindo-se (A.81) 
 
 
S
zy
C
x
C
Sdudzudyudxurdu




 x (A.85) 
 
o qual constitui o Teorema de Stokes. 
 
 Com o auxílio da definição de gradiente (A.17), observa-se que 
 
0ˆˆˆ
222222


































xyyx
k
zxxz
j
yzzy
i x (A.86) 
 
aplicando-se o Teorema de Schwartz. Portanto, u é irrotacional se e somente se u for 
conservativo ( u =  ). 
_____________________________________________________________________________ 
Exemplo 3: Interpretar fisicamente o que expressa o rotacional. 
 
Solução: Na Fig.A.14 a) ilustra-se um dispositivo (o medidor de rotacional) que indica que o 
rotacional é não-nulo a medida em que gira devido a ação de movimento das pás. Na Fig. A.14 
b), mostra-se o fluxo de velocidade da água num rio, sendo nulo nas margens e máximo no 
centro. O medidor de rotacional gira no sentido anti-horário para y>0, evidenciando que 
vx  >0, e, gira no sentido horário em y<0, onde vx <0. 
 
(a) 
 
y
x
+a
-a
v 0vx 

0vx 

0vx 

MARGEM
MARGEM
RIO
(b) 
Figura A.14 – Medidor de rotacional. a) Movimento de pás. b) Fluxo de água num rio. 
 
Exemplo 4: O campo de velocidade na Fig. A.14 b) é igual a xyav ˆ)( 22  . Calcular os 
valores do rotacional em y=-a, o e +a. 
 
Solução: As componentes do vetor velocidade são: 22 yavx  , 0 zy vv . Então, aplicando 
(A.84) calcula-se 
zav
ay
ˆ

x 
 0
0

y
vx 
zav
y
ˆ
0


x 
 
 
 
 
 
A.3.7- Laplaciano 
 
 O Laplaciano escalar é definido como 
 
   2 (A.87) 
 
e assim, substituindo-se (A.17) e executando-se o produto escalar (isto é válido apenas no 
sistema de coordenadas retangulares) obtém-se 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
zyx 








 (A.88) 
 
 Por outro lado, o Laplaciano do vetor u é definido a partir de suas componentes por 
 
 zyx ukujuiu
2222 ˆˆˆ 

 (A.89) 
 
A.3.8- Propriedades Gerais 
 
 As propriedades abaixo são válidas em quaisquer sistemas de coordenadas ortogonais: 
 
a)   )( (A.90 a) 
 
b)   )( (A.90 b) 
 
c) 
2
)()(



 






 (A.90 c) 
 
d)   1nn n (A.90 d) 
 
e) vuvu   )( (A.90 e) 
 
f)    uuu)( (A.90 f) 
 
g) uuu  xxx   )( (A.90 g) 
 
h)    uuu (A.90 h) 
 
i) vuuvvu  xxx  )( (A.90 i) 
 
j) vuvu  xxx  )( (A.90 j) 
 
k) )()()()()( uvvuvuuvvu   xx (A.90 k)
 
l) )()()()()( uvvuuvvuvu  xxxx  (A.90 l)
 
m) 0 x (A.90 m)
 
n) 0 u x (A.90 n)
 
o) uuuuu  2)()()(  xx (A.90 o)
 
 
 
A.4- Coordenadas Curvilíneas 
 
 Em geral o operador  conforme definido em (A.17) atua como vetor somente no sistema 
de coordenadas retangulares. Neste caso, u funciona como um produto escalar entre  e u , 
e, ux funciona como um produto vetorial. Como será observado a seguir, o mesmo não é 
válido para sistemas de coordenadas esféricas ou cilíndricas. 
 
 Normalmente, num sistema de coordenadas genérico um ponto no espaço pode ser 
representado por três parâmetros , m e n. A análise a seguir será desenvolvida com o auxílio da 
Fig. A.15. 
plano n
plano
plano m
curva n
curva
curva m
curva z
curva x curva y
plano x
plano y
plano z
m0
0
n0
i j
k
^ ^
^
^
^
^
r
P
O



 
Figura A.15 – Curvas , m e n no sistema curvilíneo. 
 
 Mantendo-se m e n constantes e variando-se  obtém-se uma curva que passa por P, 
chamada curva de "". De forma similar, definem-se as curvas de "m" e "n ". Os vetores unitários 
ao longo das tangentes a estas curvas são 000 ˆeˆ,ˆ nm . Os eixos podem ser ortogonais ou 
não, e a orientação relativa entre os versores pode não ser constante. 
 Seja o vetor associado a PO que, segundo o sistema x,y,z é representado por r 
 
 knmzjnmyinmxr ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(   (A.91) 
 
Assim, 
 
kdzjdyidxrd ˆˆˆ  (A.92) 
 
onde 
 dn
n
xdm
m
xdxdx








 

 (A.93 a) 
 dn
n
ydm
m
ydydy








 

 (A.93 b) 
 dn
n
zdm
m
zdzdz








 

 (A.93 c) 
 
 Deslocando-se (por exemplo) ao longo da curva de "" (dm = dn = 0), vem: 
 



dkzjyix
kdzjdyidxrd
nmnm
.)ˆˆˆ(
)ˆˆˆ(
,,










 (A.94) 
 
a partir da qual obtém-se 
 
kzjyixr
d
rd
nm
ˆˆˆ
,















 (A.95) 
 
um vetor ao longo de 0̂ , onde 
 
2/12220 ])/()/()/[(
ˆ/ˆ/ˆ/
/
/ˆ













zyx
kzjyix
r
r
 (A.96) 
 
Chamando-se 
 
 
2/1222







































zyxrh (A.97) 
 
então, o comprimento elementar de arco, dr, obtido quando somente  varia é dado por 
 
 

dhrdds
nm

,
 (A.98) 
 
e não apenas por d. A partir de (A.96) e (A.97) deduz-se que 
 
 0̂


h
r



 (A.99) 
 
Analogamente, 
 
 
mh
kmzjmyimx
m
ˆ/ˆ/ˆ/
ˆ 0

 (A.100 a) 
 
nh
knzjnyinx
n
ˆ/ˆ/ˆ/
ˆ0

 (A.100 b) 
onde 
 
2/1222

































m
z
m
y
m
xhm (A.101 a) 
2/1222

































n
z
n
y
n
xhn (A.101 b) 
 Da equação (A.99) para a variável , e similares nas direções m e n, obtém-se que 
 
 
000 ˆˆˆ ndnhmdmhdh
dn
n
rdm
m
rdrrd
nm 
















 (A.102) 
 
 Agora, se os versores 000 ˆeˆ,ˆ nm forem ortogonais, então, de (A.102) deduz-se que 
 
 2/1222222 ][ dnhdmhdhrdds nm  

 (A.103) 
 
 Uma forma alternativa de escrever h, hm e hn baseia-se no seguinte fato: se y = f(x), 
então, sua inversa é dada por x=f -1(y)=g(y), e, y = f [g(y)]. Aplicando-se a regra da cadeia, 
mostra-se que 
 
 
dx
dy
dy
dg
dg
df
dx
dy
 (A.104) 
 
e assim, 
 
 
)/(
1
dydgdg
df
 (A.105) 
 
 Como f=y e g=x, então 
 
 
)/(
1
dydxdx
dy
 (A.106) 
 
em termos de diferenciais totais. 
 Como se sabe, num sistema de coordenadas retangulares 
 
 s
ds
d
ˆ  (A.107) 
 
ou 
sdsdd
ds
ˆ
1
/
1
 
 (A.108) 
 
 Seja =, isto é, uma curva . Então, (A.98) e (A.108) conduzem a 
 
 


dhs
dds 


ˆ
 (A.109) 
 
no sistema curvilíneo. 
 Se o sistema curvilíneo for ortogonal, então, 000 ˆeˆ,ˆ nml são perpendiculares entre si. 
Numa curva-, os m e n são constantes (dm=dn=0), como representado na Fig.A.16.. 
 
0
curva
curva n
curva m
(m0,n0)
m0
n0
0= s
^
^
^
m0
^
n0
^
^


 
Figura A.16 – Desenho da curva . 
 
 Como  aponta na direção de maior variação de , então,  está na direção do próprio 
, ou seja,  // ŝ , em cada ponto. Assim, (A.109) gera 
 
 


dh
dds 

 (A.110) 
 
e assim, 
2/1
222
2
2 11






































zyx
hl


 (A.111) 
 
e, analogamente, 
 
2/1
222
2


































z
m
y
m
x
mhm(A.112) 
2/1
222
2


































z
n
y
n
x
nhn (A.113) 
 
em termos de derivadas em x, y e z. 
 
_____________________________________________________________________________ 
Exemplo 5: Calcular as métricas h, hm e hn para os sistemas de coordenadas retangular, 
cilíndrico e esférico. 
 
Solução: Na Fig.A.17 ilustra-se os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas 
relativamente ao sistema de coordenadas retangular 
 
P

z
r
x
y
z
 
(a) 
P

R
x
y
z

 
(b) 
Figura A.17 – Sistemas de coordenadas curvílineas. a) Coordenadas cilíndricas. b) 
Coordenadas esféricas. 
 
a) Para o sistema retangular, tem-se que (, m, n)=(x, y, z), então, aplicando-se (A.97) a 
(A.101a-b) mostra-se que 
 
h = hx =1, hm = hy = 1, hn = hz = 1 
 
b) Para o sistema cilíndrico, (, m, n)=(r, , z), tal que x = r.cos, y = r.sene z=z. Portanto, 
aplicando-se (A.111) a (A.113), obtém-se as métricas 
 
h = hr = 1, hm =h = r, hn =hz = 1 
 
c) Para o sistema esférico, (, m, n)=(r, ), tal que x = R.sen cos, y = R.sen sen e 
z=R.cos. Portanto, aplicando-se (A.111) a (A.113), obtém-se as métricas 
 
h = hr = 1, hm =h = R, hn =hz = R.sen
 
 
 
 
A.4.1- O Gradiente no sistema curvilíneo 
 
 A diferencial total no sistema ortogonal , m, n vale: 
 
dn
n
dm
m
dl
l
d









 (A.114) 
 
Usando novamente a propriedade (A.18 b), ou seja rdd   , a qual é válida para sistemas 
ortogonais 
 
 dnh
nh
dmh
mh
dh
h
drd n
n
m
m

























 111 


 

 (A.115) 
 
 Usando (A.102) conclui-se que  deve possuir a seguinte forma, a fim que (A.115) seja 
satisfeita: 
 
 000 ˆ
1
ˆ
1ˆ1 n
nh
m
mhh nm 








 

 (A.116) 
 
A.4.2- O Divergente no sistema curvilíneo 
 
 Por sua vez, o divergente no sistema curvilíneo é calculado usando-se a definição (A.61). 
A partir de (A.98), é construída a Fig. A.18. 
 
curva n
curva lcurva m
A
B
C
D
hmdm
h d
hndn
 
 
 
Figura A.18 – Cálculo do fluxo que atravessa a face ABCD. 
 
 O fluxo na direção 0̂ , que atravessa a área ABCD, é dada por 
 
 dndmhhudnhdmhu nmnmABCD )(   (A.117) 
 
Expandindo-se (uhmhn) em Série de Taylor 
 
 )()()()( P
P
nm
P
P
nm
P
P
nm
P
nmnm nnn
hhumm
m
hhuhhuhhuhhu 








  

 (A.118) 
 
pois hm, hn também são funções de , m e n. 
 Seguindo uma análise semelhante a desenvolvida na seção A.3.5, o fluxo será 
 
 dndmdhhu
P
nm ..)( 



 (A.119) 
 
 Considerando-se as contribuições das outras quatro faces, e dividindo-se pelo volume 
dnhdmhdhV nm .. , obtém-se finalmente 
 
 











 )()()(
1
nmnmnm
nm
hhu
n
hhu
m
hhu
hhh
u 
 

 (A.120) 
 
o divergente no sistema (, m, n). 
 
 
 
 
A.4.3- O Rotacional no sistema curvilíneo 
 
 O rotacional no sistema curvilíneo é calculado por 
 
 






S
rdu
u
S 
 
 00
limˆ)( x (A.121) 
 
Considerando-se um elemento de malha da Fig.A.19. 
 
curva n
curva m
A
B
C
D u
um
un
u
hndn
hmdm
 0ds̂

 
 
Figura A.19- Figura usada no cálculo da circulação no caminho ABCD. 
 
   
A
D
D
C
C
B
B
A
rdurdurdurdurdu  (A.122) 
 
 O vetor u

 no sistema (, m, n) é escrito como: 
 
 000 ˆˆˆ numuuu nml  

 (A.123) 
 
Primeiramente, avalia-se a soma de integrais 
 
 
dnhuhu
dnhudnhurdurdu
ADnnBCnn
ADnnBCnn
A
D
C
B
].)()[(
)()(

 





 (A.124) 
 
pois dn é o mesmo para os trechos BC e AD. 
 Expandindo-se unhn no caminho BC em Série de Taylor, 
 
 
 )()()( AD
AD
nn
AD
AD
nn
AD
AD
nn
AD
nn
BC
nn nnn
hu
mm
m
huhu
huhu 








 

 
 (A.125) 
 
 Sobre AD e BC, tem-se -AD=0, n-nAD=0, m-mAD=dm. Então, a partir de (A.125) obtém-
se 
 
dm
m
hu
huhu
AD
nn
AD
nn
BC
nn 

 (A.126) 
 
e assim, (A.124) conduz a 
 
 dndm
m
hu
rdurdu nn
A
D
C
B
.








 (A.127) 
 
Analogamente, mostra-se que 
 
 
dndm
n
hu
dmhudmhurdurdu
nn
ABmmCDmm
B
A
D
C
.
)(
)()(









 (A.128) 
 
 Portanto, de (A.122), (A.127) e (A.128) obtém-se 
 
 dndm
n
hu
m
hu
dnhdmhS
rdu
nnnn
nm
..
.
1


















 (A.129) 
 
 De forma similar, calcula-se as demais componentes 0ˆ)( mu 
x e 0ˆ)( nu 
x . A partir 
daí, conclui-se que o rotacional total deve ser da forma: 
 
 000 ˆ.
1
ˆ.
1ˆ.
1 n
m
hu
l
hu
hh
m
l
hu
n
hu
hh
l
n
hu
m
hu
hh
u llmm
ml
nnll
ln
mmnn
nm




























x 
 (A.130) 
 
A.4.4- O Laplaciano escalar no sistema curvilíneo 
 
 O Laplaciano escalar em coordenadas curvilíneas pode ser obtido por 
 







































nh
hh
nmh
hh
mh
hh
hhh n
m
m
nnm
nm
 
 

12 (A.131) 
_____________________________________________________________________________ 
Exemplo 6: Expressar o gradiente, divergente, rotacional e laplacianos no sistema de 
coordenadas cilíndricas (, m, n) = (r, , z). 
 
Solução: Utilizando-se as métricas deduzidas no Exemplo 5, e as fórmulas generalizadas 
(A.116), (A.120), (A.130) e (A.131), calculam-se as expressões dos gradiente, divergente, 
rotacional e laplacianos: 
 
z
z
ff
r
r
r
ff ˆˆ1ˆ








 

 
z
uu
rr
ur
r
u zr









)()(1)(1


 
z
u
r
ur
rr
u
z
u
r
z
uu
r
ux rzrz ˆ
)()(1ˆ)()(ˆ
)()(1



































 
2
2
2
2
22
2
2 11
z
ff
rr
f
rr
ff













 
zu
r
u
u
r
ur
r
uu
r
uu zrrr ˆˆ]
2
[ˆ]
2
[ 2
22
2
22
22 





 




 
 
(conferir estes resultados!). 
 
Exemplo 7: Expressar o gradiente, divergente, rotacional e laplacianos no sistema de 
coordenadas esféricas (, m, n) = (R, ). 
 
Solução: Utilizando-se as métricas deduzidas no Exemplo 5, e as fórmulas generalizadas 
(A.116), (A.120), (A.130) e (A.131), calculam-se as expressões dos gradiente, divergente, 
rotacional e laplacianos: 
 




ˆ
.
1ˆ1ˆ









f
senR
f
R
R
R
ff 





















)(
.
1
cot
)(12)( u
senR
gu
u
RR
u
R
u
u RR 






 ˆ1ˆ
.
1ˆcot.
.
11





































R
uu
RR
u
R
u
R
uu
senR
R
R
guu
senR
u
R
ux RR
 
2
2
222
2
2
2 111


 






















f
senR
fsen
senRR
fR
RR
f 













ˆ]
12cos2
[
ˆ]
2cos22
[
ˆ]
22
)(
2
[
22222
2
22222
2
222
22
u
senr
u
senr
u
senr
u
u
senr
u
senr
u
r
u
ru
r
u
senr
usen
senr
uu
r
r
rr






















 
 
(conferir estes resultados!). 
 
 
 É importante ressaltar que as propriedades deduzidas com o sistema de coordenadas 
generalizadas não se aplicam somente aos sistemas esférico e cilíndrico, mas também, a outros 
sistemas como, por exemplo, ao sistema de coordenadas parabólicas, ao sistema cilíndrico-
parabólico, às coordenadas paraboloidais, ao sistema cilíndrico-elíptico, ao sistema esferoidal 
prolato, esferoidal oblato, às coordenadas bipolares, coordenadas toroidais, coordenadas cônicas, 
às coordenadas elipsoidais confocais, paraboloidais confocais, dentre outras. 
 
 
A.5 Algumas Identidades Envolvendo Integrais 
 
 Antes de se concluir este apêndice, apresenta-se abaixo algumas identidades obtidas do 
cálculo vetorial, e que podem ser importantes no estudos de eletromagnetismo avançado:a) Teorema do gradiente 
 
  V S dSdV  (A.132 a) 
Primeira identidade de Green 
 
  SV SddV

 )()}()({ 2  (A.132 b) 
 
c) Segunda identidade de Green 
 
   SV SddV

)(}{ 22  (A.132 c) 
 
d) Vários teoremas integrais 
 
uSddVu
SV

  xx )( (A.132 d) 
  SV SduuSdudVuuuxux ]2
1
)[(])[(
2 




 (A.132 e) 
  SC Sdrd
 x (A.132 f) 
 
 Os resultados aqui apresentados são particularmente úteis ao estudo de propagação de 
ondas eletromagnéticas, guiadas ou irradiadas. Estes resultados também podem ser úteis em 
estudos de propagação de ondas elásticas em meios isotrópicos gasosos, líquidos ou sólidos, à 
propagação de ondas térmicas por condução, convecção e radiação, etc. Para maiores detalhes, 
sugere-se ao leitor pesquisar na bibliografia abaixo selecionada. 
 
 
A.6 Bibiografia 
 
[1] Wylie, C.R., Barrett, L.C., Advanced Engineering Mathematics, fifth edition, McGraw- 
 Hill, 1982. 
[2] Butkov, E., Física Matemática, Guanabara Koogan, 1988. 
[3] Sadiku, M.N.O, Electromagnetics, second edition, Saunders College Publishing, 1994. 
[4] Johnk, C.T.A., Engineering Electromagnetic Fields and Waves, John Wiley & Sons, 
 1988.