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EDITORA APROVAÇÃO 7Raciocínio Lógico Exercícios de Fixação 7.) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a.) 2! = 2 → 0! = 1 b.) 22 = 4 → 32 = 6 c.) 20 = 0 → 0! = 0 d.) 22 = 4 → 32 = 9 e.) 2 é impar v 3 é impar f.) 2 - 1 = 1 ↔ 5 + 7 = 3 x 4 g.) 52 = 25 → 3 - 4 = -1 h.) 2 é par ↔ 3 é impar i.) 52 = 125 → 3 - 4 = 7 j.) 2 é impar ↔ 3 é par k.) 52 = 5 → 3 - 4 = -1 l.) 52 = 25 → 3 - 4 = 1 m.)5 - 4 = 1 → 2 = 20 n.) 5 - 3 ≠ 8 ↔ 8 ≠ 4 . 5 8.) Sejam as proposições: p: A vaca foi para o brejo q: O boi seguiu a vaca. Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo: a) p → q b) ¬p → ¬q c) ¬(p ↔ q) d) (p ^ q) → ¬q e) p → ¬(p v q) f ) ¬p → q g) p ↔ q h) ¬p ↔ ¬q i) p → ¬(p ^ q) j) ¬p → ¬(p v q) k) p → ¬q l) ¬p ↔ q m) p → (p ^ q) n) ¬p → ¬(p ^ q) o) ¬(p v q) → ¬q p) ¬(p → q) q) p ↔ ¬q r) ¬p → (p ^ q) s) ¬(p ^ q) → ¬q t) p ↔ (p ^ q) 9.) Sejam as proposições: p: João é alto q: João é jogador de Basquete Escreva na forma simbólica a.) Se João não é alto então ele é jogador de bas- quete. b.) Se João não é alto então ele não é jogador de basquete. c.) É mentira que se João não é alto então ele é jogador de basquete. d.) João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. e.) João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete. f.) João não é alto se e somente se ele não é jo- gador de basquete. g.) É mentira que João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete. h.) É mentira que João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. i.) Se João é alto então ele é jogador de basquete. j.) Se João é alto então ele não é jogador de bas- quete. k.) Não é verdade que se João é alto então ele é jogador de basquete. l.) Não é verdade que se João é alto então ele não é jogador de basquete. m.) João é alto se e somente se ele é jogador de basquete. n.) É mentira que se João não é alto então ele não é jogador de basquete. o.) Não é verdade que João é alto se e somente se ele é jogador de basquete. p.) Não é verdade que João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete. Montagem de Tabelas Verdades Pelo uso repetido dos conectivos estudados e da negação, podemos construir proposições compostas progressivamente mais complexas, cujos valores lógicos não temos condições de determinar imediatamente. No entanto, o valor de uma proposição sempre pode ser de- terminado a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes e dos conectivos utilizados. Um modo organizado, sistemático, de fazer isso é a utiliza- ção de uma tabela com todas as possíveis combinações entre os valores lógicos das proposições componentes e com o correspondente valor lógico da proposição com- posta. A partir do uso desta técnica, podemos descobrir os valores lógicos das proposições compostas e verificar se elas são equivalentes, ou negações, ou tautológicas, contraditórias ou ainda contingentes. 8 Raciocínio Lógico EDITORA APROVAÇÃO Dupla Negação ¬(p) A dupla negação nada mais é do que a própria proposição. Isto é, p = ¬(¬p) p ¬p ¬(-p) V F V F V F ¬(¬p) = p Exemplos Vamos determinar todos os possíveis valores ló- gicos da proposição p ^ ¬q, construindo a seguinte tabela-verdade p q ¬q p ^ ¬q V V F F V F V V F V F F F F V F Vamos determinar todos os possíveis valores ló- gicos da proposição ¬p v ¬q construindo a seguinte tabela-verdade: p q ¬p ¬q ¬p v ¬q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Contingência Sempre que uma proposição composta recebe valores lógicos falsos e verdadeiros, independente- mente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em ques- tão é uma CONTINGÊNCIA. Contradição Vamos determinar os possíveis valores lógicos da proposição p. ¬p, construindo a seguinte tabela verdade: p q p ^ ¬p V F F F V F Exemplo: “Hoje é sábado e hoje não é sábado” Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos falsos, inde- pendentemente dos valores lógicos das proposições simples componentes, dizem que a proposição em questão é uma CONTRADIÇÃO Tautologia Vamos determinar todos os possíveis valores ló- gicos da proposição p v ¬p, construindo a seguinte tabela verdade p ¬p p v ¬p V F V F V V Exemplo: “O céu está claro ou não está. Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos verdadeiros, independentemente dos valores lógicos das propo- sições simples componentes, dizemos que a propo- sição em questão é uma Tautologia Equivalências Lógicas: Dizemos que duas proposições compostas são equivalentes quando os valores lógicos das suas ta- belas verdades são equivalentes. Vejamos se essas duas frases são equivalentes: p v q e ¬p v q p q ¬p p → q ¬p v q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V Percebe-se que os valores lógicos das duas propo- sições compostas analisadas são equivalentes. Desse modo podemos dizer que elas são equivalentes. Analisando outras frases. A proposição “Não é verdade que nossos produ- tos são caros e duram pouco” é equivalente a “Nossos produtos não são caros ou não duram pouco”. Vamos verificar: p: Nossos produtos são caros ¬p: Nossos produtos não são caros q: Nossos produtos duram pouco ¬q: Nosso produtos não duram pouco ¬(p ̂ q): Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco. ¬p v ¬q: Nossos produtos não são caros ou não duram pouco. p q ¬p ¬q p ^ q ¬(p ^ q) ¬p v ¬q V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V EDITORA APROVAÇÃO 9Raciocínio Lógico Como podemos notar ¬(p ^ q) ≡ ¬p v ¬q Analogamente, podemos verificar que a propo- sição “Não é verdade que Bráulio passou no concur- so ou se matou.” Garante o mesmo que “Bráulio não passou no concurso e não se matou.” Vamos verificar: p: Bráulio passou no concurso. ¬p: Bráulio não passou no concurso. q: Bráulio se matou. ¬q: Bráulio não se matou. ¬(p v q): Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou. ¬p ^ ¬q: Bráulio não passou no concurso e não se matou. p q ¬p ¬q p v q ¬(p v q) ¬p ^ ¬q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Como podemos notar ¬(p v q) ≡ ¬p ^ ¬q Negação de Proposições Compostas Dizemos que uma proposição composta é a ne- gação da outra quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são opostas. Vejamos se uma frase é a negação da outra e vice-versa: p → q e p ^ ¬q p q ¬q p → q p ^ ¬q V V F V F V F V F V F V F V F F F V V F Como podemos notar ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q. Em outras palavras, a negação da proposição p → q é p ^ ¬q Percebe-se que os valores lógicos das duas pro- posições compostas analisadas são opostas. Desse modo podemos dizer que uma é a negação da outra e vice versa. Exercício de Fixação 10. Se A, B e C são enunciados verdadeiros e X, Y e Z são enunciados falsos. Classifique os enun- ciados abaixo em verdadeiros ou falsos: a) (C v Z) ^ (Y v B) b) (A ^ B) v (X ^ Y) c) ¬(B v X) ^ ¬(Y v Z) d) ¬(C v B) v ¬(¬X ^ Y) e) ¬B v X f ) ¬X v A g) ¬X v Y h) ¬[(¬B v A) v (¬A v B)] i) ¬[(¬Y v Z) v (¬Z v Y)] j) ¬[(¬C v Y) v (¬Y v C)] k) ¬[(¬X v A) v (¬A v X)] l) ¬[A v (B v C)] v [(A v B) v C] m) ¬[X v (Y v Z)] v [(X v Y) v Z] n) ¬[X ^ (¬A v Z)] v [(X ^ ¬A) v (X ^ Z)] o) ¬{[(¬A v B) ^ (¬B v A)] ^ ¬[(A ^ B) v (¬A ^ ¬B)]} p) [B v (¬X ^ ¬A)] ^ ¬[(B v ¬X) ^ (B v A)] q) A → (B → C) r) A → (B → Z) s) A → (Y → Z) t) X → (B → Z) u) X → (Y → Z) v) (X→ Y) → Z w) (A → B) → Z 11. Sendo: p: “Tânia é cantora” q: “Tânia é pernambucana” Escreva na linguagem natural as proposições e aponte quais delas podem ser equivalentes: a.) p ^ q b.) ¬p v ¬q c.) ¬(¬p v ¬q) d.) ¬( p ^ q ) e.) ¬( p v q ) f.) ¬p ^ ¬q 12. Mostre que a proposição (p ^ q) ^ ¬p é uma contradição. 13. Mostre que a proposição (p v q) v ¬p é uma tautologia. 14. Mostre que a proposição (p v q) ^ ¬p é uma contingência.
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