MANUALPROF_matematica_8_PNLD2020_17214_araribamaismatematica

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Organizadora: Editora Moderna 
Obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna.
Editores responsáveis: 
Mara Regina Garcia Gay 
Willian Raphael Silva º
Organizadora: Editora Moderna 
Obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna.
Editores responsáveis: 
Mara Regina Garcia Gay ºANO
Componente curricular: 
MATEMÁTICA
MANUAL DO 
PROFESSOR
MANUAL DO PROFESSOR
1a edição
São Paulo, 2018
Organizadora: Editora Moderna
Obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna.
Componente curricular: MATEMÁTICA
Editores responsáveis:
Mara Regina Garcia Gay
Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo. Professora de Matemática em escolas públicas 
e particulares de São Paulo por 17 anos. Editora.
Willian Raphael Silva
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor.
ºANO
II
Edição de texto: Juliana Ikeda, Mateus Coqueiro Daniel de Souza, 
Izabel Batista Bueno, Daniela Santo Ambrosio, Edson Ferreira de Souza
Assistência editorial: Alessandra Abramo Felix, Jéssica Rocha Batista, 
Marcos Gasparetto de Oliveira, Paulo César Rodrigues dos Santos
Preparação de texto: Denise Ceron
Gerência de design e produção grá�ca: Everson de Paula
Coordenação de produção: Patricia Costa
Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues
Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite
Projeto grá�co: Daniel Messias, Daniela Sato, Mariza de Souza Porto
Capa: Daniel Messias, Mariza de Souza Porto, Otávio dos Santos
 Fotos: Ratmaner/Shutterstock, Adidas4747/Shutterstock, 
 Maksim Denisenko/Shutterstock, Floral Deco/Shutterstock
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho
Edição de arte: Julia Nakano
Editoração eletrônica: Teclas Editorial
Edição de infogra�a: Giselle Hirata, Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Daniel Messias, Daniela Sato, Mariza de Souza Porto
Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco
Revisão: Know-how Editorial Ltda.
Coordenação de pesquisa iconográ�ca: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográ�ca: Carol Böck, Marcia Sato
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, 
Marina M. Buzzinaro
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, 
Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Impressão e acabamento: 
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
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2018
Impresso no Brasil
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(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Araribá mais : matemática : manual do professor /
organizadora Editora Moderna ; obra coletiva
concebida, desenvolvida e produzida pela Editora
Moderna ; editores responsáveis Mara Regina
Garcia Gay, Willian Raphael Silva. – 1. ed. – 
São Paulo : Moderna, 2018.
Obra em 4 v. do 6o ao 9o ano.
Bibliografia.
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Gay, Mara
Regina Garcia. II. Silva, Willian Raphael.
18-16927 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964
Elaboração de originais do material impresso:
Mara Regina Garcia Gay
Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo. Professora e Editora.
Willian Raphael Silva
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor.
Daniela Santo Ambrosio
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editora.
Everton José Luciano
Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do 
Centro Universitário Fundação Santo André. Professor e Editor.
Fabio Martins de Leonardo
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editor.
Juliana Ikeda
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editora.
Maria José Guimarães de Souza
Mestra em Ciências pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade 
de São Paulo. Professora e Editora.
Mateus Coqueiro Daniel de Souza
Mestre em Ciências pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade 
de São Paulo. Professor e Editor.
Romenig da Silva Ribeiro
Mestre em Ciências pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade 
de São Paulo. Professor e Editor.
Cintia Alessandra Valle Burkert Machado
Mestra em Educação, na área de Didática, pela Universidade de São Paulo. 
Assessora pedagógica.
Dario Martins de Oliveira
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor.
Erica Toledo Catalani
Mestra em Educação pela Universidade Estadual de Campinas. Professora.
Juliane Matsubara Barroso
Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo. Professora e Editora.
Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura
Mestra em Educação pela Universidade de São Paulo. Professora.
Maria Cecília da Silva Veridiano
Licenciada em Matemática pela Universidade de São Paulo. Editora.
Paulo Cesar da Penha
Mestre em Educação pela Universidade São Francisco. Professor.
Selene Coletti
Licenciada em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras 
“Prof. José Augusto Vieira” da Fundação Educacional de Machado. Professora.
Elaboração de originais do material digital:
Mara Regina Garcia Gay
Bacharel e licenciada em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo. Professora e Editora.
Willian Raphael Silva
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e Editor.
Claudia Cristiane Bredariol Lucio
Mestra em Educação pela Universidade São Francisco. Professora.
Dioneia Biraia Vicentini
Licenciada em Matemática pela Universidade São Francisco. Professora.
Luciane de Fatima Bredariol
Licenciada em Matemática pela Universidade São Francisco. Professora.
Luci Mara Gotardo
Licenciada em Ciências pela Universidade São Francisco. Professora.
Monica Thais Bredariol da Silva
Licenciada em Matemática pela Universidade São Francisco. Professora.
Paulo César Rodrigues dos Santos
Bacharel em Sistemas de Informação pelo Instituto de Ciências Matemáticas e 
de Computação da Universidade de São Paulo. Editor.
Selene Coletti
Licenciada em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras 
“Prof. José Augusto Vieira” da Fundação Educacional de Machado. Professora.
III
APRESENTAÇÃO
Caro professor,
Este manual tem a finalidade de auxiliá-lo a desenvolver as situações didáticas propostas nesta coleção, 
ajudando-o no encaminhamento do trabalho durante o ano letivo. 
Ele está dividido em duas partes: 
• Orientações gerais: composta de reflexões sobre o ensino da Matemática; formação do professor; textos 
de aprofundamento; considerações sobre a avaliação; princípios norteadores; estrutura da coleção e 
sugestões de jogos e atividades para completar o trabalho pedagógico.
• Orientações específicas: essa parte apresenta as páginas do Livro do Estudante, em formato menor, e 
ao lado delas as orientações específicas relacionadas ao conteúdo e às atividades propostas. No decorrer 
dessas orientações, são feitas referências a competências gerais, competências específicas e habilidades 
constantes da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), homologada em dezembro de 2017. 
Além deste manual do professor impresso, esta coleção conta com o material do professor digital, que 
oferece mais subsídios para o desenvolvimento anual, dividido em quatro bimestres, dos conteúdos e recursos 
para o dia a dia da sala de aula, como plano de desenvolvimento indicando os conteúdos distribuídos em 
bimestres, projeto integrador envolvendo outras disciplinas além da Matemática, sequências didáticas com 
orientações aula a aula, avaliações bimestrais acompanhadas
de gabarito comentado, grade de correção e 
ficha de acompanhamento bimestral para serem usadas em conselhos de classe, material digital audiovisual 
para uso em sala de aula; tudo isso com o objetivo de contribuir com o trabalho docente. Ressaltamos que 
no manual do professor impresso há remissões aos itens do material digital.
Bom trabalho!
IV
IVIVIV
IV
SUMÁRIO
ORIENTAÇÕES GERAIS ...............................................................................................................V
• Princípios norteadores da coleção ...............................................................................................V
A Base Nacional Comum Curricular e as competências gerais da Educação Básica........................V
Letramento matemático ..................................................................................................................VI
Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental ..........................................VI
Exploração dos conhecimentos prévios .......................................................................................... VII
Resolução de problemas ................................................................................................................. VII
Unidades temáticas da BNCC .......................................................................................................... VIII
Níveis de conhecimento .................................................................................................................... XI
O processo de ensino -aprendizagem mediado pelas Tecnologias 
da Informação e Comunicação ......................................................................................................... XI
• Avaliação em Matemática ............................................................................................................ XII
Avaliação de trabalhos em grupo .................................................................................................... XII
Avaliação de relatórios escritos ...................................................................................................... XII
Autoavaliação ..................................................................................................................................XIII
Fichas para acompanhamento ........................................................................................................XIII
• Formação do professor .............................................................................................................. XV
Indicações de leitura para o desenvolvimento profissional do professor ..................................... XV
Sugestão de sites ...........................................................................................................................XVII
Textos de aprofundamento ........................................................................................................... XVIII
• A coleção ..................................................................................................................................... XXV
Estrutura e seções ........................................................................................................................ XXV
As competências gerais e específicas da BNCC na coleção .......................................................XXVIII
As habilidades da BNCC na coleção ..............................................................................................XXXI
• Conteúdos e habilidades correlacionadas ............................................................................ XXXIII
• Fichas de estratégia para a seção Problemas para resolver .......................................... XXXVI
• Resoluções de alguns problemas da seção Problemas para resolver ................................XL
• Sugestões de atividades e jogos .............................................................................................. XLIII
• Algumas respostas ................................................................................................................... XLVII
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS – INÍCIO DO LIVRO DO ESTUDANTE ............................................ 1
Unidade 1 .......................................................................................................................................... 10
Capítulo 1: Potenciação e radiciação ....................................................................................12
Capítulo 2: Retas e ângulos ................................................................................................49
Unidade 2 .........................................................................................................................................78
Capítulo 3: Congruência de triângulos ............................................................................... 80
Capítulo 4: Quadriláteros ................................................................................................. 109
Capítulo 5: Polígonos ....................................................................................................... 132
Unidade 3 ........................................................................................................................................ 158
Capítulo 6: Área e volume ................................................................................................ 160
Capítulo 7: Cálculo algébrico ............................................................................................ 178
Capítulo 8: Problemas de contagem ................................................................................ 208
Unidade 4 ....................................................................................................................................... 228
Capítulo 9: Equações e sistemas de equações ................................................................. 230
Capítulo 10: Proporcionalidade entre grandezas .............................................................. 252
Capítulo 11: Transformações geométricas ....................................................................... 262
V
ORIENTAÇÕES GERAIS
 Princípios norteadores da coleção
A Base Nacional Comum Curricular e as 
competências gerais da Educação Básica
O principal objetivo da Base Nacional Comum Curricular 
(BNCC), documento do Ministério da Educação (MEC), ho-
mologado no final do ano de 2017, é promover a equidade na 
educação e, com isso, reverter a histórica situação de exclusão 
social do país. Para isso, a BNCC visa oferecer igualdade de 
oportunidades por meio da definição das aprendizagens es-
senciais que crianças e jovens precisam desenvolver ano a ano 
durante a Educação Básica. 
Tais aprendizagens são organizadas a partir de compe-
tências, gerais e específicas, e habilidades que direcionam a 
formação integral de todos os estudantes em suas variadas 
dimensões (intelectual, afetiva, ética, física, sociopolítica etc.). 
Esse direcionamento está ligado aos princípios éticos, estéticos 
e políticos das Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação 
Básica (DCN) e da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Na-
cional (LDB – Lei no 9.394/1996) e visa à consolidação de um 
pacto interfederativo, pelo qual diferentes atores educacionais 
(União, Estados, Distrito Federal, Municípios, instituições 
privadas) consolidem um intenso regime de colaboração em 
prol da almejada equidade, permitindo também a participação 
mais consciente de toda a sociedade no acompanhamento das 
práticas educativas propostas.
Apoiada nesses princípios e para atender às demandas do 
século XXI, de formar cidadãos participativos, conscientes, 
integrados à sociedade e ao mundo do trabalho, a BNCC pro-
põe que, ao longo do percurso escolar, da Educação Infantil ao 
Ensino Médio, sejam desenvolvidas dez competências gerais 
da Educação Básica que se inter-relacionam, sobrepondo-se e 
interligando-se na construção de conhecimentos e habilidades 
e
na formação de atitudes e valores. São elas:
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente 
construídos sobre o mundo físico, social, cultural e 
digital para entender e explicar a realidade, continuar 
aprendendo e colaborar para a construção de uma socie-
dade justa, democrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem 
própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a 
análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investi-
gar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver 
problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com 
base nos conhecimentos das diferentes áreas.
3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e 
culturais, das locais às mundiais, e também participar 
de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.
4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-
-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora 
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens 
artística, matemática e científica, para se expressar e par-
tilhar informações, experiências, ideias e sentimentos 
em diferentes contextos e produzir sentidos que levem 
ao entendimento mútuo.
5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de 
informação e comunicação de forma crítica, signifi-
cativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais 
(incluindo as escolares) para se comunicar, acessar 
e disseminar informações, produzir conhecimentos, 
resolver problemas e exercer protagonismo e autoria 
na vida pessoal e coletiva.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais 
e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe 
possibilitem entender as relações próprias do mundo 
do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da 
cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, auto-
nomia, consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações con-
fiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos 
de vista e decisões comuns que respeitem e promovam 
os direitos humanos, a consciência socioambiental e o 
consumo responsável em âmbito local, regional e global, 
com posicionamento ético em relação ao cuidado de si 
mesmo, dos outros e do planeta.
8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e 
emocional, compreendendo-se na diversidade humana 
e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com au-
tocrítica e capacidade para lidar com elas.
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e 
a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o res-
peito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento 
e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos 
sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencia-
lidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, respon-
sabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 
tomando decisões com base em princípios éticos, demo-
cráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. 
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 9.)
Esse conjunto de competências, que deve ser desenvolvido 
no decorrer dos anos do Ensino Fundamental (anos iniciais e 
finais), explicita o compromisso da educação brasileira com a 
formação humana integral e com a construção de uma socie-
dade justa, democrática e inclusiva.
Esta coleção favorece o desenvolvimento dessas competên-
cias na medida em que propõe diferentes situações de ensino 
nas quais os alunos devem ser capazes de identificar proble-
mas, compreender os conceitos, propor e testar soluções, 
interagir com os colegas, argumentar, expressar princípios e 
valores que se relacionam com as dimensões da vida social e 
da natureza, da tecnologia, das manifestações culturais, das 
VIVI
VI
relações com o mundo do trabalho, do consumo responsável, 
do cuidado de si, do outro e do planeta, contribuindo para 
o letramento matemático. No tópico “A coleção”, descreve-
remos com detalhes de que forma é feito esse trabalho com 
as competências gerais.
Letramento matemático
O termo “letramento matemático” é definido no PISA 
2012, p. 18, como “... a capacidade individual de formular, 
empregar e interpretar a matemática em uma variedade de 
contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar 
conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas 
para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os 
indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no 
mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexi-
vos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as 
decisões necessárias”.
A evolução de técnicas e tecnologias representa um desafio 
para a formação de cidadãos construtivos, engajados e reflexi-
vos tais como citados no documento do PISA. Dessa forma, é 
necessário formar pessoas que compreendam e consigam usar 
essas técnicas e tecnologias em sua vida pessoal e no mercado 
de trabalho. Uma habilidade importante nesse contexto é de-
nominada pensamento computacional (PC), que atualmente 
tem recebido destaque em vários currículos de Educação 
Básica pelo mundo. Entende-se pensamento computacional 
como uma habilidade voltada à resolução de problemas de 
maneira sistemática, ou seja, uma habilidade que consiste em 
abstrair as informações de determinado problema, encontrar 
um padrão que gera esse tipo de problema e, finalmente, propor 
uma solução algorítmica, na qual se obtém a solução de uma 
classe de problemas por meio de uma sequência finita e bem 
definida de passos a serem seguidos. 
A Matemática está bastante relacionada ao PC na medida 
em que diversas ferramentas, por exemplo, da Álgebra, fazem 
parte da linguagem e construção dos algoritmos. São exem-
plos dessa proximidade a ideia de variável e a identificação de 
padrões em sequências. Além disso, em Matemática é muito 
comum encontrarmos o termo “algoritmo”; por exemplo, 
algoritmo da adição, algoritmo da subtração, algoritmo da 
divisão euclidiana e afins. Assim, em consonância com as 
ideias propostas na BNCC e no PISA, esta coleção dá início ao 
desenvolvimento de habilidades relacionadas ao pensamento 
computacional. 
Os conceitos e as atividades sobre PC podem ser encon-
trados em um boxe denominado Pensamento computacional, 
entre os conteúdos ou em atividades próximas dos contextos 
matemáticos adequados. Um exemplo de atividade é a análise 
e a composição de algoritmo para determinar se um número 
natural qualquer é par ou não, em que o conceito de seleção 
de fluxo de um algoritmo é trabalhado intuitivamente.
Competências específicas de Matemática para 
o Ensino Fundamental 
De acordo com a BNCC, o componente curri cular de Ma-
temática deve garantir aos alunos, no decorrer dos anos do 
Ensino Fundamental (anos iniciais e finais), o desenvolvimento 
das seguintes competências específicas: 
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, 
fruto das necessidades e preocupações de diferentes 
culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma 
ciência viva, que contribui para solucionar problemas 
científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas 
e construções, inclusive com impactos no mundo do 
trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação 
e a capacidade de produzir argumentos convincentes, 
recorrendo aos conhecimentos matemáticos para com-
preender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos 
dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álge-
bra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras 
áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à 
própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseve-
rança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos 
e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, 
de modo a investigar, organizar, representar e comunicar 
informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las 
crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive 
tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver 
problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhe-
cimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, 
incluindo-se situações imaginadas, não diretamente 
relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expres-
sar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando 
diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, 
esquemas, além de texto escrito na língua materna e 
outras linguagens para descrever algoritmos, como flu-
xogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretu-
do, questões de urgência social, com base em princípios 
éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizan-
do a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos 
sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba-
lhando coletivamente no planejamento e desenvolvimen-
to de pesquisas para responder a questionamentos e na 
busca de soluções para problemas, de modo a identificar 
aspectos consensuais ou não na discussão de uma de-
terminada questão, respeitando o modo de pensar dos 
colegas e aprendendo com eles.
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 265.)
VII
Há vários caminhos para o desenvolvimentos dessas com-
petências. Destacamos dois: exploração dos conhecimentos 
prévios do aluno e resolução de problemas.
Exploração dos conhecimentos prévios
Hoje, considera -se que o conhecimento escolar não é restrito 
aos conteúdos dos livros didáticos, nem somente aos conheci-
mentos dos professores. O aluno desse segmento já passou por 
diversas vivências escolares e familiares e, portanto, já acumulou 
uma certa “bagagem”. Esses conhecimentos, adquiridos, na esco-
la ou não, são chamados de conhecimentos prévios. Para muitos 
teóricos, como David Ausubel, eles são considerados uma âncora 
na aprendizagem de um novo conceito, em que o antigo conceito 
é modificado ou detalhado para se obter um novo conhecimento. 
Ou seja, o novo conhecimento se integra à estrutura cognitiva 
do aluno, ancorando -se em um conhecimento antigo.
Segundo Ausubel, a essência do processo de aprendi-
zagem significativa está em que ideias simbolicamente 
expressas sejam relacionadas de maneira não arbitrária 
e substantiva (não literal) ao que o aprendiz já sabe, ou 
seja, a algum aspecto relevante da sua estrutura de conhe-
cimento (i.e., um subsunçor que pode ser, por exemplo, 
algum símbolo, conceito ou proposição já significativo).
MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem 
signi�cativa: a teoria de David Ausubel. 
São Paulo: Moraes, 1982. p. 13 -14.
Entendemos, então, que a aprendizagem terá significado 
se, antes de introduzir um novo conceito, o professor retomar 
um conteúdo matemático que os alunos já dominem ou partir 
de uma situação do dia a dia, para que haja interação desse 
conhecimento com o novo.
Esse processo se contrapõe ao aprendizado mecânico, em 
que os alunos devem saber resolver tipos de exercícios ou de-
corar um conceito. A retomada de um conteúdo matemático e 
a conexão com um novo conceito permitem perceber algumas 
relações da rede de conceitos.
Outro aspecto relevante é a introdução de um conceito 
ancorado em uma situação cotidiana, o que, além de resgatar 
os conhecimentos prévios, pode ser motivador, criando um 
ambiente favorável ao aprendizado. 
Também é preciso lembrar que o conhecimento matemá-
tico pode ser apresentado em relação com os contextos que 
lhe deram origem ou que demandam sua aplicação. Trata -se 
de um conhecimento historicamente construído, em estreita 
conexão com a realidade das comunidades que o produziram 
e com as outras ciências que nele se embasam, que lhe pro-
põem novos problemas, ou que utilizam seus instrumentos. 
Da mesma forma, internamente, também devem ser realizadas 
conexões entre os diferentes campos da Matemática, como a 
Aritmética, a Geometria, a Álgebra etc. Organizar o trabalho 
para favorecer diferentes relações, além de muito importante, 
oferece a possibilidade de otimizar o tempo.
Resolução de problemas
É importante destacar que os aspectos estruturais da Ma-
temática incluem conhecimentos de termos, procedimentos 
e conceitos usualmente ensinados nas escolas, mas também 
incluem saber de que forma esses aspectos são estruturados 
e empregados. Muitas vezes, os alunos estão familiariza-
dos com os aspectos estruturais da Matemática, mas não 
conhecem a natureza desse conhecimento ou a maneira 
de utilizá -lo na resolução de um problema. Eles devem ser 
capazes de aplicar a Matemática aprendida na escola – pro-
blemas de livros didáticos – na vida diária, em contextos 
menos estruturados, nos quais as instruções não são tão 
claras. Devem, assim, tomar decisões quanto à relevância 
de certo conhecimento naquela situação e à maneira de aplicá-
-lo da forma mais útil, ou seja, devem aprender a empregar a 
Matemática em situações diversificadas.
Muitos estudos discutem as etapas da resolução de um 
problema, como os do conhecido pesquisador George Polya, 
mas ressaltamos o documento Estrutura de Avaliação do PISA 
(Programa Internacional de Avaliação de Estudantes) – 2003, que 
aborda a resolução de problemas de forma bastante interessante.
Segundo esse documento, a resolução de problemas requer 
dos alunos o uso de competências e habilidades adquiridas 
durante sua escolarização e em experiências de vida. O docu-
mento chama de matematização o processo de resolução de 
problemas e apresenta suas etapas:
• partir de um problema situado na realidade;
• organizá -lo de acordo com conceitos matemáticos e 
identificar ideias matemáticas relevantes;
• delimitar gradualmente a realidade por meio de proces-
sos, como formular premissas, generalizar e formalizar, 
que promovem os aspectos matemáticos da situação e 
transformam o problema do mundo real em um problema 
matemático que represente a situação;
• resolver o problema matemático;
• dar sentido à solução em termos de situação real, identi-
ficando as limitações da solução do problema real.
A “matematização” (ou modelagem matemática) envolve 
inicialmente traduzir um problema da vida real para a Mate-
mática. Esse processo inclui atividades como:
a) identificar a Matemática relevante em relação a um proble-
ma situado na realidade;
b) representar o problema de forma diferente, organizá -lo de 
acordo com conceitos matemáticos e formular premissas 
apropriadas;
c) compreender relações entre a linguagem do problema e a 
linguagem simbólica e formal necessária para interpretá -lo 
matematicamente;
d) encontrar regularidades, relações, padrões;
e) reconhecer aspectos isomórficos em relação a problemas 
conhecidos;
f) traduzir o problema para um modelo matemático.
Uma vez traduzido o problema para o modelo matemático, todo 
o processo deve prosseguir dentro da Matemática, empregando 
VIIIVIII
VIII
habilidades matemáticas conhecidas. Essa parte do processo de 
modelagem matemática, denominada parte dedutiva do ciclo de 
modelação, inclui o uso de:
• diferentes representações e a conversão entre tais repre-
sentações;
• linguagem e operações simbólicas, formais e técnicas;
• modelos matemáticos;
• argumentação;
• generalização.
O último passo do processo de resolução de problemas 
envolve a reflexão sobre todo o processo de modelagem mate-
mática e seus resultados. Há necessidade, então, de interpretar 
os resultados com atitude crítica e de validar todo o processo. 
Nesse ponto, o processo de modelagem passa da solução ma-
temática para a solução real.
Um problema, segundo o documento do PISA, envolve três 
componentes: as situações ou contextos em que se situa o proble-
ma, o conteúdo matemático que deve ser utilizado para resolver 
o problema e as competências a serem ativadas para conectar a 
Matemática e o mundo real em que o problema é gerado.
Situações ou contextos
As situações ou contextos em que se situam os
proble-
mas podem ser da vida real ou da própria Matemática. O 
contexto envolve todos os elementos para a resolução de 
um problema.
Um aspecto importante a avaliar é o “fazer Matemática em 
qualquer situação”. Estudos mostram que a escolha de proce-
dimentos e representações matemáticos depende da situação 
em que um problema é apresentado. Para o PISA, a situação 
mais próxima do aluno é sua vida pessoal; depois vêm suas 
vivências escolar, profissional e de lazer; em seguida, vêm a 
comunidade local e a sociedade como se encontram em sua 
vida diária. As situações científicas são mais abstratas.
O contexto de um problema inclui todos os elementos 
detalhados usados para formular o problema, incluindo os 
elementos matemáticos.
Um problema da vida real deve oferecer um contexto autên-
tico para o uso da Matemática. Se uma tarefa se refere a objetos, 
símbolos ou estruturas matemáticas e não faz referência a termos 
estranhos ao mundo da Matemática, o contexto da tarefa é consi-
derado intramatemático, e a tarefa é classificada como pertencente 
a uma situação científica. Mas os problemas encontrados nas vi-
vências dos alunos não são formulados em termos explicitamente 
matemáticos; eles se referem a objetos do mundo real. Esses con-
textos de tarefa são denominados extramatemáticos, e os alunos 
precisam traduzi -los para uma forma matemática. Cabe destacar 
que é possível ainda introduzir nas atividades matemáticas um 
contexto hipotético, desde que apresente alguns dados reais, isto 
é, desde que não esteja tão distante da vida real, e permita o uso 
da Matemática para solucioná -lo.
Conteúdos matemáticos
O próximo componente do mundo real que deve ser con-
siderado é o conteúdo matemático a que os alunos recorrem 
na resolução de um problema. Os conteúdos matemáticos são 
apresentados nos currículos organizadamente em torno de 
grandes eixos ou temas. O documento do PISA destaca essa or-
ganização apresentando os temas: números e operações, gran-
dezas e medidas; espaço e forma; tratamento da informação.
Já a BNCC orienta a formulação de habilidades a serem 
desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental por meio 
de cinco unidades temáticas: Números, Álgebra, Geometria, 
Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística, que devem 
ser exploradas de forma integrada e com ênfase variável de-
pendendo do ano de escolarização. Mais adiante, neste manual, 
comentamos de forma resumida cada unidade temática na 
perspectiva dos anos finais do Ensino Fundamental. Nossa co-
leção trabalha as unidades temáticas conforme a BNCC orienta.
Competências
Uma competência pressupõe a existência de recursos mo-
bilizáveis, mas não se confunde com eles. Nenhum recurso 
pertence exclusivamente a uma competência, pois pode ser 
mobilizado por outras. Dessa forma, a maioria dos conceitos 
é utilizável em muitos contextos e está a serviço de muitas 
intenções. Ocorre o mesmo com os conhecimentos. Philippe 
Perrenoud define competência como a capacidade de agir 
eficientemente em determinado tipo de situação, com o apoio 
de conhecimentos, mas sem se limitar a eles. Quase toda ação 
mobiliza conhecimentos, algumas vezes elementares, outras 
vezes complexos e organizados em rede.
As competências matemáticas necessárias para resolver 
um problema relacionam -se com a natureza  do problema, 
com o sistema de representações utilizado, com os conteúdos 
envolvidos. Quando se fala em competências matemáticas, com 
alguma frequência elas são identificadas com as competências 
elementares de cálculo, ou no máximo com competências para 
efetuar algumas operações algébricas. Trata -se de uma ideia 
equivocada. Aprender procedimentos de cálculo isolados, por 
si só, não promove o contato dos alunos com as ideias e os mo-
dos de pensar fundamentais da Matemática e não garante que 
sejam capazes de ativar os conhecimentos relevantes quando 
tiverem de enfrentar as situações -problema – mesmo as mais 
simples – que surgem em contextos diferentes.
Unidades temáticas da BNCC
Este item apresenta as unidades temáticas em que são or-
ganizados os conteúdos matemáticos de acordo com a BNCC .
Números
A unidade temática Números tem como finalidade 
desenvolver o pensamento numérico, que implica o 
conhecimento de maneiras de quantificar atributos de 
objetos e de julgar e interpretar argumentos baseados 
em quantidades. No processo da construção da noção de 
número, os alunos precisam desenvolver, entre outras, as 
ideias de aproximação, proporcionalidade, equivalência 
e ordem, noções fundamentais da Matemática. Para essa 
construção, é importante propor, por meio de situações 
IX
significativas, sucessivas ampliações dos campos nu-
méricos. No estudo desses campos numéricos, devem 
ser enfatizados registros, usos, significados e operações.
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 266.) 
Durante o Ensino Fundamental, os conhecimentos numé-
ricos devem ser construídos pelos alunos num processo dia-
lético, a fim de serem utilizados como instrumentos eficazes 
para resolver determinados problemas e como objetos que 
serão estudados, considerando -se suas propriedades, relações 
e o modo como se configuram historicamente.
Um aspecto importante ao tratar de quantidades é o racio-
cínio quantitativo. São componentes essenciais aqui o senso 
numérico, a compreensão da magnitude do número, o signi-
ficado das operações, a representação dos números de várias 
formas. Ainda em relação ao raciocínio quantitativo, é preciso 
destacar a existência de diversas categorias numéricas criadas 
em função de diferentes problemas que a humanidade teve 
de enfrentar – números naturais, números inteiros positivos e 
negativos, números racionais (com representações fracionárias 
e decimais) e números irracionais. À medida que se deparam 
com novas situações -problema envolvendo as operações, os 
alunos aprimoram seu conceito de número.
O trabalho a ser realizado com as operações deve ser amplia-
do nos últimos anos do Ensino Fundamental, concentrando -se 
na compreensão dos diferentes significados de cada uma, nas 
relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, 
contemplando seus diferentes tipos – exato e aproximado, men-
tal e escrito –, e ainda no uso de diferentes campos numéricos.
O trabalho deve ter continuidade no Ensino Médio, princi-
palmente com a ampliação do estudo dos campos numéricos.
Álgebra
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como 
finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de 
pensamento – pensamento algébrico – que é essencial 
para utilizar modelos matemáticos na compreensão, 
representação e análise de relações quantitativas de gran-
dezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, 
fazendo uso de letras e outros símbolos. Para esse de-
senvolvimento, é necessário que os alunos identifiquem 
regularidades e padrões de sequências numéricas e não 
numéricas, estabeleçam leis matemáticas que expressem 
a relação de interdependência entre grandezas em dife-
rentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar 
entre as diversas representações gráficas e simbólicas, 
para resolver problemas por meio de equações e inequa-
ções, com compreensão dos procedimentos utilizados. 
As ideias matemáticas fundamentais vinculadas a essa 
unidade são: equivalência, variação, interdependência 
e proporcionalidade. Em síntese, essa unidade temática 
deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o 
estabelecimento de generalizações, a análise da interde-
pendência de grandezas e a resolução de problemas por 
meio de equações ou inequações.
[...]
No Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudos de 
Álgebra retomam, aprofundam e ampliam o que foi traba-
lhado no Ensino Fundamental – Anos Iniciais. Nessa fase, 
os alunos devem compreender os diferentes significados 
das variáveis numéricas em uma expressão, estabelecer 
uma generalização de uma propriedade, investigar a re-
gularidade de uma sequência numérica, indicar um valor 
desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer
a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, 
que os alunos estabeleçam conexões entre variável e fun-
ção e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução 
de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, 
devem ser desenvolvidas como uma maneira de repre-
sentar e resolver determinados tipos de problema, e não 
como objetos de estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem 
de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros 
campos da Matemática (Números, Geometria e Probabi-
lidade e estatística), podem contribuir para o desenvolvi-
mento do pensamento computacional dos alunos, tendo 
em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma 
situação dada em outras linguagens, como transformar 
situações-problema, apresentadas em língua materna, 
em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.
Associado ao pensamento computacional, cumpre 
salientar a importância dos algoritmos e de seus fluxogra-
mas, que podem ser objetos de estudo nas aulas de Mate-
mática. Um algoritmo é uma sequência finita de procedi-
mentos que permite resolver um determinado problema. 
Assim, o algoritmo é a decomposição de um procedimento 
complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e 
ordenando-as, e pode ser representado graficamente por 
um fluxograma. A linguagem algorítmica tem pontos em 
comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação 
ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à álgebra 
que mantém estreita relação com o pensamento compu-
tacional é a identificação de padrões para se estabelecer 
generalizações, propriedades e algoritmos.
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 268.)
Geometria
A Geometria envolve o estudo de um amplo conjunto 
de conceitos e procedimentos necessários para resolver 
problemas do mundo físico e de diferentes áreas do 
conhecimento. Assim, nessa unidade temática, estudar 
posição e deslocamentos no espaço, formas e relações entre 
elementos de figuras planas e espaciais pode desenvolver 
o pensamento geométrico dos alunos. Esse pensamento é 
necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas 
e produzir argumentos geométricos convincentes. É impor-
tante, também, considerar o aspecto funcional que deve 
estar presente no estudo da Geometria: as transformações 
geométricas, sobretudo as simetrias. As ideias matemáticas 
fundamentais associadas a essa temática são, principal-
mente, construção, representação e interdependência.
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 269.)
XX
X
O trabalho com Geometria implica o desenvolvimento de 
um tipo especial de pensamento, que permite compreender, 
descrever e representar, de forma organizada, o mundo onde 
vivemos. O trabalho com noções geométricas contribui para 
a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a obser-
var, perceber características comuns e diferenças, identificar 
regularidades e vice -versa. Além disso, esse trabalho é feito 
com base na exploração dos objetos do mundo físico, de obras 
de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, permitin-
do que os alunos estabeleçam conexões entre a Matemática 
e outras áreas do conhecimento.
É preciso compreender as propriedades dos objetos, suas 
posições relativas, representações no plano, perspectivas etc.
O trabalho com o espaço e as figuras geométri cas vem sen-
do negligenciado no Ensino Funda mental e pouco explorado 
no Ensino Médio. Ele pode ser iniciado nos primeiros anos 
do Ensino Fundamental, com a exploração de macroespaços 
e de figuras tridimensionais. Deve ser continuamente desen-
volvido e ampliado com o estudo de pro priedades de figuras 
geométricas, pequenos estu dos axiomáticos.
No Ensino Médio, os estudos devem ser ampliados, in-
cluindo noções de Geometria analítica.
Grandezas e medidas
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e 
são fundamentais para a compreensão da realidade. As-
sim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o 
estudo das medidas e das relações entre elas – ou seja, das 
relações métricas –, favorece a integração da Matemática a 
outras áreas de conhecimento, como Ciências (densidade, 
grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) 
ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográ-
fica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática 
contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção 
de número, a aplicação de noções geométricas e a construção 
do pensamento algébrico. 
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 271.)
Essa unidade temática caracteriza -se por sua forte relevância 
social, com evidente caráter prático. Os temas desempenham 
papel importante no currículo, por mostrarem claramente aos 
alunos a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. 
Para isso, eles devem viven ciar, na sala de aula, a dimensão real 
de unidades de medida e os processos de medição.
Vale a pena explorar as noções de grandeza e de medida 
relacionando -as com conceitos relativos ao espaço e às for-
mas. As situações contextualizadas que envolvem grandezas 
e medidas são ricas para o trabalho com os significados dos 
números e das operações, com a ideia de proporcio nalidade e 
escala, e são um campo fértil para uma abordagem histórica.
A complexidade dos fenômenos associados a grandezas e 
medidas exige múltiplas abordagens. Comparar superfícies 
para avaliar qual delas ocupa maior lugar é uma atividade hu-
mana desenvolvida desde a Antiguidade. O aperfeiçoamento 
dessa operação levou o ser humano a desenvolver processos de 
medição da área de uma superfície. Na determinação da área, 
atribui -se um número a cada superfície plana, ou seja, constrói-
-se uma função real (função área) com valores numéricos, de 
modo que comparar superfícies planas reduz -se a comparar 
os valores numéricos de área. Esse processo não é simples de 
ser com preendido pelos alunos, e o trabalho com cálculo de 
perímetros, áreas e volumes deve se estender ao Ensino Médio.
Probabilidade e Estatística
A incerteza e o tratamento de dados são estudados na 
unidade temática Probabilidade e Estatística. Ela propõe 
a abordagem de conceitos, fatos e procedimentos pre-
sentes em muitas situações-problema da vida cotidiana, 
das ciências e da tecnologia. Assim, todos os cidadãos 
precisam desenvolver habilidades para coletar, organi-
zar, representar, interpretar e analisar dados em uma 
variedade de contextos, de maneira a fazer julgamentos 
bem fundamentados e tomar as decisões adequadas. Isso 
inclui raciocinar e utilizar conceitos, representações e 
índices estatísticos para descrever, explicar e predizer 
fenômenos.
Merece destaque o uso de tecnologias – como calcu-
ladoras, para avaliar e comparar resultados, e planilhas 
eletrônicas, que ajudam na construção de gráficos e nos 
cálculos das medidas de tendência central. A consulta a 
páginas de institutos de pesquisa – como a do Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) – pode oferecer 
contextos potencialmente ricos não apenas para aprender 
conceitos e procedimentos estatísticos, mas também para 
utilizá-los com o intuito de compreender a realidade.
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 272.)
Com relação à Estatística, a finalidade é construir procedi-
mentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, 
por meio de tabelas, gráficos e representações que aparecem 
frequentemente no dia a dia. A Estatística não se restringe ao 
uso de fórmulas e à realização de cálculos matemáticos; ela 
requer certa sensibilidade do indivíduo que se aproxima de 
dados que envolvem a incerteza e a variabilidade. Incorporá-
-la às aulas de Matemática, focalizando uma formação crítica, 
exige uma abordagem dos conhecimentos estatísticos na 
perspectiva da análise de dados coletados de um problema 
significativo para um grupo de alunos.
O trabalho com gráficos exige a aprendizagem de lingua-
gem gráfica. Apresenta -se aqui uma série de dificuldades que 
requerem atenção, pois é preciso um tratamento qualitativo
paralelo ao quantitativo, já que a linguagem gráfica deve reve-
lar seu valor instrumental e atribuir significado à informação 
a ser comunicada.
Com relação à probabilidade, a principal finalidade é os 
alunos compreenderem que grande parte dos acontecimentos 
do cotidiano é de natureza aleatória e que é possível identifi-
car alguns dos prováveis resultados desses acontecimentos. 
As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuiti-
vamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas 
quais os alunos realizam experimentos e observam eventos 
(em espaços equiprováveis).
XI
Níveis de conhecimento
Este item descreve os três níveis de conhecimento que 
podem ser acionados em uma atividade matemática. 
Para promover uma diversidade de possibi lidades, é 
fundamental considerar o nível de conhecimento ativado 
na resolução de uma questão. Sugere -se como referência a 
classificação de Aline Robert, que, em seu artigo “Ferramen-
tas de análise dos conteúdos matemáticos a ensinar” (1998), 
classifica o tipo de conheci mento acionado pelo aluno em 
três níveis: técnico, mobi lizável e disponível.
Os alunos põem em funcionamento um conhecimento 
de nível técnico quando resolvem uma atividade simples que 
corresponde à aplicação imediata de um conhecimento. Em 
geral, há indicação do método a adotar. 
Os descritores principais são: reproduzir atividades já 
praticadas e realizar operações de rotina, como “resolva a 
equação”, “calcule a média aritmética”, “identifique as arestas 
do cubo”.
No nível de funcionamento mobilizável, os conheci-
mentos a serem utilizados estão bem identificados no 
enunciado da atividade, mas necessitam de alguma adap-
tação ou de alguma reflexão antes de serem colocados em 
funcionamento.
Os itens associados a esse nível de conhecimento reque-
rem alguma evidência do conteúdo presente na tarefa, por 
exemplo: “Uma porção de alimento de 500 g custa R$ 12,00, 
e uma porção do mesmo alimento de 800 g custa R$ 15,00. 
Qual das duas porções de alimento tem o melhor preço pro-
porcionalmente?”.
O nível de funcionamento disponível corresponde a re-
solver uma situação proposta sem nenhuma indicação ou 
sugestão em seu enunciado. É preciso achar os conhecimentos 
que favorecem a resolução, como: “Num campo de futebol 
de 100 m por 50 m, foi realizado um show. Todos os lugares 
cobertos foram vendidos, e muitos espectadores ficaram na 
parte descoberta. É possível estimar o número de pessoas 
que havia nesse show?”.
Entendemos que para a aprendizagem acontecer de forma 
significativa o tipo de conhecimento acionado pelo aluno 
deve circular entre os três níveis, o técnico, o mobilizável e o 
disponível, dependendo do momento em que os conteúdos 
são explorados. Procuramos dosar isso nesta coleção.
O processo de ensino -aprendizagem mediado 
pelas Tecnologias da Informação e Comunicação 
O uso de tecnologias nos ambientes escolares vem se 
desenvolvendo intensamente nos últimos anos, com a am-
pliação de salas de informática e a capacitação de professo-
res para atuar nessa área. Essa demanda está diretamente 
relacionada à velocidade das transformações tecnológicas 
vividas pela sociedade atual. A cada ano, as grandes em-
presas de tecnologia, que dominam o mercado mundial, 
divulgam e comercializam equipamentos e softwares cada 
vez mais potentes, mais ágeis, mais leves, mais interativos e 
mais acessíveis.
De acordo com a BNCC:
Em decorrência do avanço e da multiplicação das 
tecnologias de informação e comunicação e do cres-
cente acesso a elas pela maior disponibilidade de 
computadores, telefones celulares, tablets e afins, os 
estudantes estão dinamicamente inseridos nessa cultu-
ra, não somente como consumidores. Os jovens têm se 
engajado cada vez mais como protagonistas da cultura 
digital, envolvendo-se diretamente em novas formas 
de interação multimidiática e multimodal e de atuação 
social em rede, que se realizam de modo cada vez mais 
ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte 
apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e 
à efemeridade das informações, privilegiando análises 
superficiais e o uso de imagens e formas de expressão 
mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argu-
mentar característicos da vida escolar. Todo esse quadro 
impõe à escola desafios ao cumprimento do seu papel 
em relação à formação das novas gerações. É importante 
que a instituição escolar preserve seu compromisso de 
estimular a reflexão e a análise aprofundada e contribua 
para o desenvolvimento, no estudante, de uma atitude 
crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de 
ofertas midiáticas e digitais. Contudo, também é im-
prescindível que a escola compreenda e incorpore mais 
as novas linguagens e seus modos de funcionamento, 
desvendando possibilidades de comunicação (e também 
de manipulação), e que eduque para usos mais demo-
cráticos das tecnologias e para uma participação mais 
consciente na cultura digital. Ao aproveitar o potencial 
de comunicação do universo digital, a escola pode 
instituir novos modos de promover a aprendizagem, a 
interação e o compartilhamento de significados entre 
professores e estudantes.
(BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, 2018, p. 59.)
Nesse novo cenário, o professor assume o papel de prota-
gonista, pois cabe a ele criar novas atividades e maneiras de 
utilizar o conhecimento, tendo nos recursos digitais a possi-
bilidade de ampliar seu campo de ação didática. 
Em relação à Matemática, o uso das tecnologias digitais é 
um facilitador, pois há inúmeros recursos disponíveis, como 
objetos de aprendizagem e softwares educativos, que podem 
auxiliar na construção de conhecimentos matemáticos. 
Nesta coleção, são propostas atividades que utilizam 
softwares de geometria e planilhas eletrônicas, além do uso da 
calculadora. Também são indicados jogos, vídeos e sites que 
complementam o processo de ensino-aprendizagem. 
XII
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XII
 Avaliação em Matemática
A função da avaliação está ligada ao conceito de melhoria; 
não apenas das aprendizagens do aluno, mas da ação de ensinar. 
A avaliação é uma atividade valorativa e investigativa, que faci-
lita a mudança educativa e o desenvolvimento profissional do 
professor. Mas não se pode esquecer que o objeto da avaliação é 
o conhecimento do aluno e não propriamente o aluno. A escola 
deve desenvolver capacidades de lidar com situações que exijam 
argumentar, sintetizar, planejar e organizar situações de aprendi-
zagem. Essa função traz consequências diretas para a avaliação e 
é uma preocupação permanente dos professores.
Nesse contexto, as propostas de trabalho nas aulas de 
Matemática devem ser adaptadas  e modificadas. Uma das 
inquietações dos professores dessa área está na dificuldade de 
encontrar a melhor forma de avaliar questões como resolução 
de problemas, trabalhos em grupo, atividades com uso de 
tecnologias e de jogos etc.
No entanto, apesar dessas preocupações, a avaliação em 
Matemática pouco modificou nos últimos anos, sendo ainda 
hoje centrada em provas que abordam exercícios e problemas. 
Há necessidade de refletir sobre o modo de avaliar atividades 
em que os alunos participam de forma mais ativa do processo 
de aprendizagem. Algumas atividades matemáticas os levam a 
produzir relatórios escritos ou a fazer apresentações orais. Em 
geral, na avaliação dessas atividades, considera -se muito mais 
o bom senso do que critérios mais detalhados que devem ser 
discutidos com os alunos. A seguir, são apresentadas algumas 
sugestões de avaliação.
Avaliação de trabalhos em grupo
Um trabalho em grupo pode ser avaliado sob três aspectos.
Relatório 
individual
Relatório 
em grupo
Apresentação 
oral
Trabalho em grupo
Os três aspectos devem ser avaliados de forma equilibrada 
e merecem especial atenção do professor. 
Avaliação de relatórios escritos
Os relatórios podem ser avaliados sob diferentes aspectos: 
com relação aos conteúdos desenvolvidos nas aulas de
Matemá-
tica, com relação ao relato dos processos vividos e com relação 
à comunicação de resultados. Alguns descritores podem servir 
para análise dos relatórios em cada uma dessas variáveis. Eles 
podem ainda ser agrupados em uma tabela por nível, do mais 
simples ao mais complexo, o que ajuda o professor a analisar 
com critérios mais objetivos os relatórios de seus alunos.
Tabela de descritores para análise da escrita de relatórios
Nível 0 1 2 3 4
Conteúdos 
matemáticos 
desenvolvidos
O trabalho relatado 
é inadequado, 
irrelevante.
Mostra compreender 
limitadamente os 
conceitos e princípios; 
usa termos inadequados; 
incorre em
erros conceituais.
Mostra compreender 
alguns conceitos; a 
resposta apresenta 
alguns erros; utiliza 
representações com 
algumas incorreções.
Mostra compreender 
conceitos; usa a 
terminologia 
corretamente; usa 
representa ções 
corretas, mas nem 
sempre adequadas; os 
cálculos estão corretos, 
mas apresentam alguns 
erros.
Mostra compreender 
conceitos e 
procedimentos; 
usa terminologia e 
notação apropriadas; 
utiliza representações 
adequadas; executa 
completamente a 
tarefa.
Processos Desenvolve as 
ideias de forma 
ineficaz; às vezes, 
as ilustrações 
não representam 
satisfatoriamente a 
situação.
Não identifica elementos 
importantes; o processo 
de procura de soluções é 
incompleto ou difícil de 
identificar.
Identifica alguns 
elementos 
importantes, mas 
mostra poucas 
relações entre eles; 
a busca de soluções 
ainda é pouco 
sistematizada.
Mostra compreender 
relações entre 
elementos importantes; 
formula questões que 
permitem investigação; 
formula conjecturas; a 
procura de soluções é 
sistemática.
Formula questões 
que orientam 
estratégias de 
validação; a procura 
de soluções é feita de 
forma organizada e 
sistemática.
Comunicação Mostra não 
compreender 
os conceitos e 
princípios da 
situação abordada.
Apresenta elementos 
satisfatórios, mas omite 
partes significativas da 
resolução; os diagramas 
apresentam -se pouco 
claros ou de difícil 
interpretação; a descrição 
do processo não é clara.
Apresenta resposta 
satisfatória, mas a 
descrição é pouco 
clara, os argumentos 
estão incompletos 
ou baseados em 
premissas pouco 
importantes.
Apresenta resposta 
correta e explicação 
adequada; comunica 
de forma eficaz; 
apresenta argumentos 
contendo pequenas 
imperfeições.
Apresenta resposta 
correta; comunica 
de forma eficaz; 
apresenta argumentos 
fortes e consistentes; 
inclui exemplos e 
contraexemplos.
XIII
Autoavaliação
Além da avaliação realizada pelo professor, os alunos e o próprio professor podem elaborar e preencher 
fichas de autoavaliação. Em seguida, apresentamos uma ficha organizada com base em um contrato didático 
específico para o trabalho em equipe. A ficha sugerida foi pensada para ser preenchida por todos os alunos. 
Com base nela, cada aluno do grupo fará posteriormente a autoavaliação.
Contrato didático de trabalho em equipe
Trabalho sobre: 
Grupo: 
Data de início: 
Previsão de término: 
Onde vamos procurar a 
informação? O que temos? O que queremos saber?
Quem 
vai procurar?
O que já sabemos 
sobre o assunto?
Como vamos organizar 
a informação recolhida?
Como vamos comunicar o 
trabalho aos colegas? Quando apresentaremos?
Quem 
apresentará?
Fichas para acompanhamento 
A seguir, apresentamos alguns exemplos de fichas para auxiliar na avaliação.
Ficha para acompanhamento da resolução de problemas
Outra sugestão é fazer uma ficha para acompanhamento da resolução de problemas. Seguem abaixo 
exemplos de fichas que podem ser usadas durante as aulas em que se desenvolve o estudo da resolução 
de problemas. 
Ficha para acompanhamento da resolução de problemas
Data: _____________
O aluno é capaz de: Sim Não Às vezes
Explicitar o problema com suas palavras.
“Enfrentar” a resolução do problema.
Resolver o problema.
Verificar se a solução é adequada.
XIV
Ficha para acompanhamento da resolução de problemas
Data: _____________
O aluno é capaz de: Sim Não Às vezes
Entender o contexto. 
Compreender o texto.
Selecionar dados da questão.
Fazer uso de calculadora.
Esperar sua vez de jogar.
Trabalhar em grupo.
Ficha para acompanhamento do desenvolvimento de atitudes 
Uma ficha para acompanhar o desenvol vimento de atitudes também pode ser feita. Veja o exemplo a seguir.
Ficha para acompanhamento do desenvolvimento de atitudes
Data: _____________
Sobre o aluno , posso afirmar que:
Sim Não Às vezes
Gosta de resolver problemas.
Ao enfrentar desafios, desiste rapidamente.
Usa estratégias criativas.
Demonstra autoconfiança.
Espera ajuda do professor.
Dessa forma, esperamos contribuir para uma discussão mais profunda sobre as perspectivas de um ensino 
de Matemática voltado à construção da cidadania e para uma reflexão sobre a avaliação em Matemática.
XV
 Formação do professor
Indicações de leitura para o desenvolvimento 
profissional do professor
ALARCÃO, I. Ser professor reflexivo. In: ALARCÃO, I. (Org.). Forma-
ção reflexiva de professores, estratégias de supervisão. Porto: Porto 
Editora, 1996.
. Escola reflexiva e nova racionalidade. Porto Alegre: 
Artmed, 2001.
ARRUDA, J. P.; SOARES, M.; MORETTI, M. T. (Re)afirmando, (re)
negociando e (re)criando relações no ambiente escolar: a influên- 
cia do contrato didático no ensino de Matemática. Revista PEC, 
n. 1, v. 3, Curitiba, p. 19 -30, jun. 2002/jul. 2003.
ARTIGUE, M. Engenharia didáctica. In: BRUN, Jean (Org.). Didáctica 
das matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget; Delachaux et Niestlé, 
1996. p. 193 -217. (Coleção Horizontes pedagógicos.)
AUSUBEL, D. P. et al. Psicologia educacional. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Interamericana, 1980.
AZANHA, J. M. P. Uma reflexão sobre didática. Educação: alguns 
escritos. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1987. p. 70 -77. 
BACHELAR, G. A formação do espírito científico. Trad. Estela dos 
Santos Abreu. Rio de Janeiro: Contraponto, 2002.
BARBOSA, R. M. Matemática, metodologia e complementos para 
professores primários. São Paulo: Nobel, 1966.
BARRETO, R. G. et al. As tecnologias da informação e da comuni-
cação na formação de professores. Revista Brasileira de Educação, 
n. 31, v. 11, p. 31 -42, jan./abr. 2006.
BELLEMAIN, P. M. B.; LIMA, P. F. Um estudo da noção de grandeza e 
implicações no Ensino Fundamental. Natal: SBHMAT, 2002. (Série 
Textos de história da Matemática.)
BICUDO, M. A. V. (Org.). Educação matemática. 2. ed. São Paulo: 
Centauro, 2005.
BONGIOVANNI, V. et al. Descobrindo o Cabri -Géomètre. Caderno de 
atividades. São Paulo: FTD, 1997.
. Utilizando resultados de pesquisa sobre o ensino e 
aprendizagem em geometria. São Paulo: PUC -Proem, 2006.
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Sugestão de sites
Acessados em: 15 maio 2018.
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Disponível em: <http://www.augeeducacional.com.br>.
• Centro de Referência em Educação Mario Covas
Disponível em: <http://www.crmariocovas.sp.gov.br>.
• Edumatec – UFRGS
Disponível em: <http://www.edumatec.mat.ufrgs.br>.
• Portal do Professor – MEC
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.
html>.
• SBEM: Sociedade Brasileira de Educação Matemática 
Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/>.
• CAEM: Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática 
– IME-USP
Disponível em: <https://www.ime.usp.br/caem/>. 
• LEG: Laboratório do Ensino de Geometria da Universidade 
Federal Fluminense 
Disponível em: <http://leguff.weebly.com/>. 
• LEM: Laboratório de Ensino de Matemática da USP 
Disponível em: <https://www.ime.usp.br/lem/>. 
• Proem: Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação 
Matemática – PUC-SP 
Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos-graduacao/
mestrado-e-doutorado/educacao-matematica>. 
• RBHM – Revista Brasileira de História da Matemática
Disponível em: <http://www.rbhm.org.br/>. 
• Cecimig – Centro de Ensino de Ciências e Matemática da 
Faculdade de Educação da UFMG
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• Cempem – Círculo de Estudos, Memória e Pesquisa em Edu-
cação Matemática da Faculdade de Educação da Unicamp
Disponível em: <https://www.cempem.fe.unicamp.br>.
• Furb – Universidade Regional de Blumenau – Departamento 
de Matemática
Disponível em: <http://www.furb.br/dm/>.
• Portal do Ministério da Educação (MEC)
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php>.
• Projeto Fundão – Instituto de Matemática da UFRJ
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• Revista Nova Escola
Disponível em: <https://novaescola.org.br/>.
• Revista Ciência Hoje
Disponível em: <http://cienciahoje.org.br/>.
• Revista Brasileira de Ensino de Ciência e Tecnologia 
(RBECT)
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• RPM – Revista do Professor de Matemática 
Disponível em: <http://www.rpm.org.br>.
• Portal de Periódicos do CAPES – MEC
Disponível em: <http://www.periodicos.capes.gov.br/>.
• Curso sobre pensamento computacional para docentes
Disponível em: <https://computationalthinkingcourse.withgoogle.
com/course?use_last_location=true>. (Site em inglês.)
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http://www.rpm.org.br
http://www.periodicos.capes.gov.br/
https://computationalthinkingcourse.withgoogle.com/course?use_last_location=true
https://computationalthinkingcourse.withgoogle.com/course?use_last_location=true
XVIIIXVIII
XVIII
Textos de aprofundamento
CAPÍTULO 1 
A cardinalidade dos conjuntos numéricos
[O conjunto de números racionais tem a mesma cardinalidade 
do conjunto dos números naturais]
[...]
Um dos primeiros fatos surpreendentes que surge na consi-
deração de conjuntos infinitos diz respeito à possibilidade de 
haver uma equivalência entre um conjunto e um seu subconjun-
to próprio. Galileu (1564-1642) já observara que, se conjuntos 
infinitos fossem admitidos em Matemática, então teríamos de 
aceitar a existência de tantos números pares quantos são os 
inteiros. Isso pode ser visto, facilmente, através da seguinte cor-
respondência (restrita a números positivos, por simplicidade):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ...
 1 __ 
1
 ; 1 __ 
2
 , 2 __ 
1
 ; 1 __ 
3
 , 2 __ 
2
 , 
3
 __ 
1
 
 1 __ 
4
 , 2 __ 
3
 , 
3
 __ 
2
 , 4 __ 
1
 ; 1 __ 
5
 , 2 __ 
4
 , 
3
 __ 
3
 , 4 __ 
2
 , 
5
 __ 
1
 ;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
1 1 __ 
2
 2 1 __ 
3
 3 1 __ 
4
 2 __ 
3
 
3
 __ 
2
 4 1 __ 
5
 ...
É claro que esse procedimento resulta numa lista de todos 
os números racionais. Basta agora enumerá-los na ordem em 
que aparecem, isto é,
r1 = 1, r2 = 
1 __ 
2
 , r3 = 2, r4 = 
1 __ 
3
 ,
r5 = 3, r6 = 
1 __ 
4
 , r7 = 
2 __ 
3
 , r8 = 
3
 __ 
2
 ,
r9 = 4, r10 = 
1 __ 
5
 , r11 = 5, r12 = 
1 __ 
6
 etc.
Dessa maneira, obtemos uma correspondência biunívoca en-
tre o conjunto dos números racionais (positivos) e o dos números 
naturais, que também podemos expressar assim:
Existe aqui uma correspondência biunívoca entre elementos 
dos dois conjuntos (n Ω 2n) de tal sorte que a cada elemento 
de cada conjunto corresponde um único elemento do outro. Se-
gundo Cantor, dois conjuntos são equivalentes, ou têm a mesma 
cardinalidade, quando é possível estabelecer entre