1 - Um determinado fluido simples se caracteriza pelas seguintes equações de estado-

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1 - Um determinado fluido simples se caracteriza pelas seguintes equações de estado:
e𝑢 = 𝑝𝑣 𝑝 = 𝐴𝑇𝑛
em que e correspondem à energia interna e ao volume por partícula, respectivamente. é a𝑢 𝑣 𝑇
temperatura absoluta, é uma constante positiva e é um expoente.𝐴 𝑛
a) Obtenha o valor do expoente para que essas equações de fato representem um sistema𝑛
termodinâmico.
A partir da seguinte equação:
,𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 + µ𝑑𝑁 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 + µ𝑑𝑁
obtém-se os parâmetros intensivos na termodinâmica nas representações da energia e da entropia:
∂𝑢
∂𝑠( )𝑣 = 𝑇
∂𝑢
∂𝑣( )𝑠 =− 𝑝
∂𝑈
∂𝑁( )𝑆,𝑉 = µ
∂𝑠
∂𝑢( )𝑣 =
1
𝑇
∂𝑠
∂𝑣( )𝑢 =
𝑝
𝑇
∂𝑆
∂𝑁( )𝑈,𝑉 =
−µ
𝑇
Utilizando as expressões para os parâmetros intensivos na representação da entropia e equações de
estados fornecidas:
𝑇𝑛 = 𝑝𝐴 ⇒ 𝑇 =
𝑝
𝐴( )
1/𝑛
⇒ 1𝑇 =
𝐴
𝑝( )
1/𝑛
= 𝑣𝑢( )
1/𝑛
𝐴1/𝑛 = 𝐴1/𝑛𝑣
1/𝑛
𝑢−1/𝑛 = ∂𝑠∂𝑢( )𝑣
⇒ 𝐴1/𝑛𝑣
1/𝑛
𝑢−1/𝑛 = ∂𝑠∂𝑢( )𝑣
𝑝
𝑇 = 𝑝
𝑣
𝑢( )
1/𝑛
𝐴1/𝑛 = 𝑢𝑣 𝑣
1/𝑛𝑢1/𝑛𝐴1/𝑛( ) ⇒ 𝐴1/𝑛𝑣
1/𝑛−1
𝑢1−1/𝑛 = ∂𝑠∂𝑣( )𝑢
Utilizando as mesmas expressões dos parâmetros intensivos, tem-se que:
e e1𝑇 =
∂𝑠
∂𝑢( )𝑣
𝑝
𝑇 =
∂𝑠
∂𝑣( )𝑢 ⇒ 1 = 𝑇
∂𝑠
∂𝑢( )𝑣 1 =
𝑇
𝑝
∂𝑠
∂𝑣( )𝑢
Igualando:
=𝑇 ∂𝑠∂𝑢( )𝑣 
𝑇
𝑝
∂𝑠
∂𝑣( )𝑢
Rearranjando:
∂
∂𝑢
𝑝
𝑇⎡⎣ ⎤⎦𝑣
= ∂∂𝑣
1
𝑇⎡⎣ ⎤⎦𝑢
Resolvendo as derivadas parciais substituindo pelos parâmetros encontrados:
∂
∂𝑢 (𝐴
1/𝑛𝑢1−1/𝑛𝑣1/𝑛−1)⎡⎣
⎤
⎦𝑣
= ∂∂𝑣 (𝐴
1/𝑛𝑢−1/𝑛𝑣1/𝑛−1)⎡⎣
⎤
⎦𝑢
𝐴1/𝑛𝑢−1/𝑛𝑣1/𝑛−1 1 − 1𝑛( ) = 𝐴1/𝑛𝑢−1/𝑛𝑣1/𝑛−1 1𝑛( )
1 − 1𝑛 =
1
𝑛
𝑛 = 2