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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - IBILCE - UNESP
2a Lista de Exerćıcios de Cálculo Avançado - 2013 - Profa. Luci Any
1. Seja πi : Rn → R a projeção sobre a i-ésima coordenada, isto é, se x = (x1, . . . , xn) então
πi(x) = xi. Mostre que πi é lipschitziana, portanto uniformemente cont́ınua. Se A ⊂ Rn é
aberto, prove que sua projeção πi(A) ⊂ R também é um conjunto aberto.
2. Seja f : Rn → Rn tal que fi(x) = cixi, onde ci é constante, i = 1, 2, . . . , n. Mostre que f é
lipschitziana, portanto uniformemente cont́ınua. Dê condições para que f seja invert́ıvel e, neste
caso, obtenha a expressão da inversa f−1.
3. Seja T : Rn → Rn uma aplicação linear não nula. Mostre que existem α ≥ 0, β > 0 tais que
α|x| ≤ |T (x)| ≤ β|x|, ∀x ∈ Rn.
Quando T é injetiva, podemos tomar α > 0.
4. Seja X ⊂ Rm um conjunto limitado. Se f : X → Rn é uniformemente cont́ınua, prove que
f(X) ⊂ Rn é também limitado.
5. Se f : X → Rn é uniformemente cont́ınua em X ⊂ Rm, prove que para todo a ∈ X̄, existe
limx→a f(x).
6. Sejam f : X ⊂ Rm → Rn, g : Y ⊂ Rn → Rp com f(X) ⊂ Y . Suponha que a ∈ X ′,
limx→a f(x) = b ∈ Y ′ e limy→b g(y) = L.
(a) Se existe uma vizinhança de a na qual x 6= a⇒ f(x) 6= b, mostre que limx→a g(f(x)) = L.
(b) Se em toda vizinhança de a existe x 6= a com f(x) = b, mostre que ou limx→a g(f(x)) = g(b)
ou o limite não existe.
7. Sejam g : R → R dada por g(0) = 1, g(x) = 0 para x 6= 0. Investigue limx→a g(f(x)) nos
seguintes casos:
(a) f(x) = x e a = 0.
(b) f(x) = [x] e a = 1/2. ([x] é o maior inteiro ≤ x).
(c) f(x) = x se x ∈ Q e f(x) = 0 se x ∈ R−Q, a = 0.
8. Seja f : [a, b] → Rn um caminho diferenciável tal que f(a) = f(b). Prove que existe c ∈ (a, b)
tal que os vetores f(c) e f ′(c) são ortogonais.
9. Sejam f, g : [a, b]→ Rn caminhos de classe C1. Prove que∫ b
a
〈f(t), g′(t)〉dt = 〈f(b), g(b)〉 − 〈f(a), g(a)〉 −
∫ b
a
〈f ′(t), g(t)〉dt.
10. Seja f : R → R3 a hélice definida por f(t) = (a cos bt, a sen bt, ct). Determine uma condição
sobre as constantes a, b e c a fim de que o caminho esteja parametrizado pelo comprimento de
arco.
11. Seja f : Ω ⊂ab Rn → Rm uma função diferenciável tal que f(x) 6= 0 para todo x ∈ Ω. Seja
ϕ : Ω→ R dada por ϕ(x) = 1/|f(x)|(norma euclidiana). Encontre ϕ′(x)h, h ∈ Rn.
12. Se f : U ⊂ Rn → R possui derivadas parciais ∂f∂xi limitadas, prove que f é cont́ınua.
13. Prove que a função f : R2 → R definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) = x3y/(x6+y2) se (x, y) 6= (0, 0)
tem todas as derivadas direcionais, mas não é cont́ınua.