capitulo-3---secao-3-6-loe

Prévia do material em texto

3.6 Correlação e Densidade Espectral
A correlação concentra-se em médias temporais e sinais de energia ou de potência.
Correlação de Sinais de Potência 
Seja v(t) um sinal de potência, embora não necessariamente periódico.
A única hipótese que deve ser satisfeita é que possua uma potência média bem definida:
Média temporal
A operação de média temporal é interpretada de forma geral como
onde z(t) é uma função arbitrária do tempo.
Propriedades:
• Conjugado
• Delay
• Linearidade
Produto escalar
Se v(t) e w(t) são sinais de potência, a média  v(t)w*(t)  é chamado produto escalar de v(t) e w(t),
sendo denotada por v(t),w(t) , ou, simplesmente v,w .
Propriedades: 
• Existe um elemento nulo θ tal que 
• Conjugado
• Multiplicação por escalares , α e β escalares
• Produto escalar de somas
O produto escalar é um número, possivelmente complexo, que serve como uma medida da similaridade 
entre dois sinais.
Sinais proporcionais (similares) → | v,w| é grande
Sinais ortogonais (não similares) → | v,w| = 0
0, =θv
*,, vwwv =
wvwv ,*, αββα =
ywxwyvxvyxwv ,,,,, +++=++
Exemplo: Outra condição na qual  v(t),w(t)=0 é
“Quando as funções v(t) e w(t) reais possuem simetria oposta, isto é, quando uma é par e outra é 
ímpar.”
Prova:
Se v(−t) = v(t) e w(− t) = − w(t) , e, substituindo λ por −t na primeira integral  dλ =−dt 
λ = ±Τ/2 → , vem :
#








+== 
−
∞→
−
∞→
dttwtvdttwtv
T
dwv
T
wv
T
T
T
T
T
T
)(*)()(*)(1lim)(*)(1lim,
2/
0
0
2/
2/
2/
λλλ
2/Tt =
0)(*)()(*)(1lim
)(*)()](*)[(1lim)(*)()(*)(1lim,
2/
0
2/
0
2/
0
0
2/
2/
0
0
2/
=








+−=








+−−=








+−−−=


∞→
−
∞→∞→
dttwtvdttwtv
T
dttwtvdttwtv
T
dttwtvdttwtv
T
wv
TT
T
T
T
T
T
T
T
Funções ortogonais vn(t) e vm(t) são tais que: 
e assim: 
ou seja, o produto escalar de funções ortogonais é nulo.
_______________________________________________________ 
 

=
≠
=
2
1
constante,se
se0
)()(
t
t
mn KmnK
mn
dftvtv



=
≠
=
mnK
mn
vv mn se
se0
,
Desigualdade de Schwarz
Dadas as funções complexas v(t) e w(t) demonstra-se que:
a qual relaciona o produto escalar v(t),w(t) = v(t)w*(t) com as potências dos sinais, Pv e Pw.
________________________________________________________
Prova: Para provar a desigualdade emprega-se a função auxiliar
cuja potência média é:
o qual é sempre positivo (ver 3.6-1), e na qual foi usada a propriedade de linearidade (3.6-2c).
Da propriedade do conjugado (3.6-2a), se f=a* v(t)w*(t) , então, f*=a v*(t)w(t), e assim,
f+f* = 2Re{f}, e portanto, 
Pz
na qual aplicou-se (3.6-1) para as potências médias Pv e Pw, as quais são puramente reais.
continua...
__________________________________________________
Escolhendo-se arbitrariamente: 
resulta: 
Portanto, 
a partir da qual se atinge a desigualdade de Schwarz:
____________________________
A igualdade ocorre quando v(t) e w(t) são proporcionais (similares), v(t)=a w(t):
, (de 3.6-1), e
Por outro lado, se v(t) e w(t) forem ortogonais, então #
ww P
twtv
a
P
twtv
a
)()(*
*
)(*)(
==
w
w
ww
w P
twtv
P
P
twtv
P
twtv
Paa
2
)(*)()()(*)(*)(
* ==
0
)(*)()(*)(
Re2
)(*)(
222
≥−=








−−=
w
v
ww
vz P
twtv
P
P
twtv
P
twtv
PP
)(*)(*)(**)()()( 22 twtwaatwatawtawtvPv ==== )(*)()(
2 twtwtwPw ==
wv PPtwtwtwtwaatwtwatwtwatwtwatwtawtwtv ===== )()(*)(*)(**)(*)(*)(*)()(*)()(*)()(*)(
222
0)(*)(0)(*)(
2
== twtvtwtv
Convolução cruzada de dois sinais de potência
A convolução cruzada é definida como um produto escalar com um segundo sinal, atrasado por τ em 
relação ao primeiro, ou, equivalentemente, de um primeiro adiantado por τ em relação ao segundo:
O deslocamento relativo τ é a variável independente, sendo que a variável t é eliminada durante o
cálculo da média temporal.
Conclui-se que Rvw(τ) mede a similaridade entre v(t) e w(t−τ) como função de τ.
A correlação cruzada é uma medida mais significativa que o produto escalar comum, desde que 
detecta similaridades ou diferenças com tempo deslocado, as quais seriam ignoradas no primeiro.
Propriedades:
•
que resulta da desigualdade de Schwarz.
•
a qual informa que: .)()( ττ wvvw RR ≠
Exemplo: Mostrar que
O teorema de Schwarz para potência estabelece que:
isto é:
ou explicitamente:
Assim a correlação será:
Como se sabe: e 
então, 
o que comprova o desejado. #
222 )()()(*)( twtvtwtv ≤
2222 )()()(*)()( τττ −≤−= twtvtwtvRvw
22 )()( tvtv =
2222 )()()(*)()( twtvtwtvRvw ≤−= ττ
222 )()()( twtwtw =−=− ττ

∞
∞−
∞→
∞
∞−
∞→
∞
∞−
∞→
×≤ dttw
T
dttv
T
dttwtv
T TTT
22
2
)(1lim)(1lim)(*)(1lim
Função de autocorrelação
A autocorrelação é a correlação de um sinal consigo mesmo:
a qual proporciona alguma informação sobre a variação no tempo de v(t), pelo menos na média.
Se | Rv(τ) | é grande, infere-se que v(t−τ) é muito similar a v(t) para este valor de τ.
Se | Rv(τ) | é pequeno, então, os sinais v(t) e v(t−τ) devem parecer muito diferentes entre si.
Propriedades:
•
•
as quais revelam que o valor máximo de Rv(τ) ocorre na origem e é igual à potência de sinal.
•
informando-se que a autocorrelação tem simetria hermitiana.
Como se observa, se v(t) for real, então, Rv(τ) também é uma função real e par.
• Se v(t) for periódica, então, Rv(τ) terá a mesma periodicidade.
Exemplo: Mostrar que Rv(τ) é hermitiano.
Dado que , então
Como , então, .
Seja então 
Substituindo t por λ+τ, ocorrem : dt = dλ, λ=t−τ, . 
E então
Uma vez que no limite, quando T/2→±∞.
Portanto, se v(t) for real, o resultado da integral é real, e assim, .
Ou seja, Rv(τ) é real e par. #
dttvtvR
T
T
v )(*)(lim)(
2/
2/
ττ
τ
−= 
−
∞→
dttvtvR
T
T
v )(*)(lim)(
2/
2/
ττ
τ
+=− 
−
∞→
*
2
*
121 )*( zzzz +=+ dttfdttf
T
T
T
T
)(*)(
2/
2/
*2/
2/

−−
=





dttvtvdttvtvdttvtvR
T
T
T
T
T
T
T
T
Tv
)()(*lim*)](*)([lim)(*)(lim)(
2/
2/
2/
2/
*2/
2/
* ττττ −=−=





−= 
−
∞→
−
∞→
−
∞→
τλ −±=±= 2/2/ TTt
)()()(*lim)()(*lim)(
2/
2/
2/
2/
* τλλτλλλτλτ
τ
τ
−=+=+=  −∞→
−
−−∞→ v
T
TT
T
TTv
RdvvdvvR
2/2/ TT ±=−±= τλ
)()()(* τττ −== vvv RRR
Sinais descorrelacionados
Seja o sinal soma ou diferença a seguir: 
Sua autocorrelação é dada por:
Trocando t’=t−τ  t =t’+τ , e daí, usando (3.6-5), qual seja: ,
Se v(t) e w(t) são descorrelacionados para todo τ, então,
e daí:
Fazendo τ = 0, obtém-se:
na qual se informa que ocorre superposição da potência média para sinais descorrelacionados. 
)(*)()(*)()(*)()(*)(
)](*)(*)][()([)(*)()(
ττττ
ττττ
−±−±−+−=
−±−±=−=
tvtwtwtvtwtwtvtv
twtvtwtvtztzRz
)()'(*)'()(*)( τττ wvRtvtwtvtw =+=−
Exemplo 3.6-1: Correlação de fasores e senoides.
Considere-se o seguinte produto escalar:
Usando (2.1-18):
e assim, para f =f1−f2, tem-se:
Aplicando o resultado aos sinais fasoriais:
e
onde Cv e Cw são constantes complexas,
Portanto, os fasores são descorrelacionados, a menos que tenham frequências idênticas. 
π
ππωω
π 2
])([2
21
2121
)(
1lim Tff
T
tjtj sen
Tff
ee −
∞→
−
−
=
continua...
_____________________________________________________
Na autocorrelação, v(t) = w(t)  Cv = Cw e ωv = ωw , e assim
No caso do sinal senoidal:
pode-se escrever que:
sendo e 
para 
Usando (3.6-9b):
com (3.6-11c):, e 
resulta
Isto revela que Rz(τ) é real, par e periódico.
)()(
2
)(
)()( 00
twtveeAtz
tjtj
+=+=
+−+ φωφω
tj
v
tjjtj eCeeAeAtv 000
22
)( )( ωωφφω === + tjv
tjjtj eCeeAeAtw 000
22
)( )( ωωφφω −−−+− ===
00
* ,,
2
ωωωωφ −==== wvw
j
v Ce
AC
tjj
vv
ov eAeCR ωτωτ
2
2
2
)( 




== tjjww ow e
AeCR ωτωτ −




==
2
2
2
)(
continua...
___________________________________________________
Valor máximo:
Sendo que este máximo ocorre quando ω0τ é um múltiplo de 2π rad  ω0τmax = m2π 
tal que, 
Por outro lado, Rz(τ) = 0 para ω0τmax = mπ/2, ou seja, quando z(t ± τ) e z(t) estão em quadratura de 
fase.
Nota-se que o ângulo de fase φ não aparece em Rz(τ) devido ao efeito da média da correlação.
Isto significa que a função de autocorrelação não define univocamente um sinal. #
zz P
AR ==
2
)0(
2
0
max
2
ω
πτ m=
)()]2cos[])2(cos[])(cos[)( 0
0
0max0max tzmtA
mtAtAtz =±+=+±=+±=± πφωφ
ω
πωφτωτ
Sinais de Energia
Como se sabe, a média de produtos de sinais de energia ao longo do tempo resulta zero.
Neste caso, é mais significativo usar a energia total:
Desde que a operação de integração tem as mesmas propriedades matemáticas que a operação 
de média , todas as propriedades prévias de produto escalar e correlação se mantêm para o caso de 
sinais de energia, se a potência média for substituída pela energia total Ev. 
_____________________________________________________________

∞
∞−
dttz )(
)(tz
Exemplo: Produto escalar (medida da similaridade entre sinais).
O produto escalar para sinais de energia é dado por: 
Sinais proporcionais (similares) → | v,w| é grande
Sinais ortogonais (não similares) → | v,w| = 0

∞
∞−
= dttwtvwv )(*)(,
*
Exemplo: →
Ambos os sinais, f1 e f2, são reais.
Sinais variando em frequência muito distintas. Sinais de frequência próximas. 
Existe pouca similaridade entre f1 e f2. Existe maior similaridade. 
Área líquida pequena. Área líquida maior.
#

−
∞→
=
2/
2/
)(*)(1lim,
T
T
T
dttwtv
T
wv 
−
∞→
=
2/
2/
*
2121 )()(
1lim,
T
T
T
dttftf
T
ff
*
Exemplo de sinais onde v,w=0.
a) Quando v(t) e w(t) não são sobrepostos (disjuntos) no tempo.
b) Quando V(f) e W(f) são disjuntos em frequência.
Isto pode ser percebido pelo teorema de Rayleigh: #
v(t)
w(t)
t1 t2 t
t3 t4 t
0)(*00)()(*)(
4
3
2
1
 =+=
∞
∞−
t
t
t
t
dttwdttvdttwtv
0)(*)()(*)( == 
∞
∞−
∞
∞−
dffWfVdttwtv
Correlação de Sinais de Energia
De forma similar, as funções de correlação para sinais de energia são definidas como:
Desigualdade de Schwarz:
Por similaridade com (3.6-a):
se obtém:
_____________________________________
Um exame detalhado de (3.614a) revela que a correlação de sinal de energia é um tipo de convolução, 
pois, para z=w*(t) e t=λ,
e portanto,
Da mesma forma,
)(*)( ττ zv==)(τvwR
)(**)()( τττ −= vvRv
Relações adicionais em termos da transformada de Fourier V(f)=ℑ{v(t)}
Das relações (2.2-16), 
e (2.2-17):
observa-se que (3.6-14a) 
conduz a:
A partir daí, tem-se:
Então, combinado com (3.6-15): 
para τ =0, ocorre
e daí:
a desigualdade de Schwarz no domínio da frequência (igualdade para V(f) e W(f) proporcionais). 

∞
∞−
−
∞
∞−
=−= dtefWfVdttwtvR fjvw
τπττ 2)(*)()(*)()(

∞
∞−
−
∞
∞−
=−= dtefVfVdttvtvR fjv
τπττ 2)(*)()(*)()(
)0()0()0( 2 wvwvvw RREER =≤

∞
∞−
Λ=−ΠΠ= )()(*)()( τττ dtttRx
)(2)(*2)()(*)()( ττττ Λ=−ΠΠ=−= 
∞
∞−
∞
∞−
dtttdttytxRxy
Reconhecimento de padrões:
Se a correlação cruzada de objetos A e B é similar à autocorrelação de A, então, B é assumido casado 
com A.
___________________________________________
Exemplo: a autocorrelação de x(t)=Π(t) pode ser encontrada realizando a correlação gráfica em 
(3.6-14a),
e (3.6-14b)
como: (verificar isto)
Examinando a similaridade de y(t)=2Π(t) com x(t), encontra-se a correlação cruzada:
donde se conclui que Rxy(τ) é apenas uma versão escalonada de Rx(τ).
Portanto, y(t) se casa com x(t).
Contudo, tomando a correlação cruzada de z(t)=u(t) com x(t)=Π(t),
resulta: (verificar isto)
donde se conclui que z(t)= não se casa com x(t). #

∞
∞−
−Π= dttutRxz )(*)()( ττ
Análise de sistemas no domínio τ
Um sinal x(t) com autocorrelação Rx(τ) é aplicado a um SLIT com resposta impulsiva h(t).
O sinal de saída será:
A função de correlação cruzada entre a entrada e a saída é:
e a função de autocorrelação da saída é:
Substituindo (3.6-18) em (3.6-19),
Observe-se que as relações no domínio τ são convoluções, similares àquelas no domínio do tempo.
___________________________________
Prova: (próxima página)
continua...
Prova: Considere-se que x(t) e y(t) sejam sinais de potência (embora os resultados também se apliquem 
a sinais de energia). 
Hipótese: o sistema é estável [assegura-se que y(t) será o mesmo tipo de sinal que x(t)].
Considera-se, primeiramente, a correlação cruzada (3.6-5): .
Substituindo a integral de convolução h(t)*x(t) para y(t)
e intercambiando a ordem das operações:
Como para qualquer λ, então:
Portanto,
a qual corresponde a prova da primeira parte:
)(*)()( ττ −= txtyRyx
)(*)()()(*)](*)([)( τλλλττ −







−=−= 
∞
∞−
txdtxhtxtxthRyx
)()( λ+= tztz
↓ ↓
´)(´)(*)(( ττ xRtxtx =−=
τ´
continua...
Por outro lado, de (3.6-7):
Como: 
trocando μ = −λ  dμ=−dλ ,
e assim, 
Portanto,
a qual corresponde a segunda parte da prova. #
)](*)(*)[()(*)()(*)()( txthtytytytytyRy ττττ +=+=−=
λλτττλλττ dtxtythdtxtythRy 
∞
∞−
∞
∞−
−−+−=−+= )(*)()(*)(*)()(*)(
↓ ↓
)(´)(´)(*)()]([*)()(*)( τλττλτλτ +==−=+−=−− yxyx RRtxtytxtytxty
τ´
∞→±∞→ μλ
μμτμτ dRhR yxy 
−∞
∞
−−−= )()(*)(
Função Densidade Espectral
Dado um sinal de potência ou energia v(t), sua função densidade espectral Gv(f) representa a distribuição 
de potência ou energia no domínio da frequência. Na seção 2.2, esta função foi designada por |V(f)|2, e
portanto, Gv(f) = |V(f)|2.
A área sob Gv(f) representa a potência ou energia total:
Se x(t) é a entrada de um SLIT com H(f)=ℑ{h(t)}, então, as funções densidades espectrais de entrada e 
saída estão relacionadas por:
desde que |H(f)|2 é o ganho de potência ou energia para qualquer f.
Estas relações são combinadas em:
a qual expressa a potência ou energia de saída Ry(0) em termos da densidade espectral de entrada.
Se |H(f)|2 for interpretado como um filtro passa baixa estreito atuando sobe um canal arbitrário Gx(f):
Se Δf é suficientemente pequeno, a área sob 
Gy(f) será:
Conclui-se que para qualquer frequência f=fc, 
Gx(f) se iguala à potência ou energia de sinal por
unidade de frequência.
Pode-se mostrar ainda que qualquer função densidade espectral deve ser real e não negativa para todos 
os valores de f.
})({)( 21 fVRv
−ℑ=τ
2)( fV=
Teorema de Wiener-Khintchine
O teorema de Wiener-Khintchine estabelece a seguinte relação entre a autocorrelação e a TF:
sendo a TF com τ substituindo t. 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
Prova: se v(t) é um sinal de energia com , aplicando-se (3.6.16), 
e (3.6-23a)
obtém-se que: 
Fazendo μ=−τ  dμ=−dτ 
Portanto, 
______________________________________________________________________________________________________________
Por outro lado, a TFI será:
Portanto, tem-se o par de TF:
ou seja, a TF da autocorrelação correspondea distribuição espectral de potência ou energia.
{.}τℑ
2)()( fVfGv =
)}({)( tvfV ℑ=
*
22 )()(*)}(*{








−=−=−ℑ −
∞
∞−
−
∞
∞−
 τττττ τπτπτ devdevv fjfj
∞→±∞→ μτ
)(*)()()}(*{
*
2
*
2 fVdevdevv fjfj =








=








−=−ℑ −
∞
∞−
−
∞−
∞+
 μμμμτ μπμπτ
= )(*)()( fVfVfGv
Propriedade: se v(t) for real, Gv(f) é real.
Prova: pelo teorema de Wiener-Khintchine, tem-se:
Como Rv(τ) é real e par, então
par ímpar ímpar real !!
c.q.d. #
_______________________________________________
Sendo v(t) um sinal de potência periódico com expansão em série de Fourier:
a aplicação do teorema de Wiener-Khintchine para sinal de potência fornece a densidade espectral de
potência ou espectro de potência:
Usando (2.5-14b): 
se obtém:
ou então:
(mostrar esta última passagem)
ττ τπ deRfG fjvv
2)()( −
∞
∞−
=
ττπτττπττπτττπτπτ dfRdfjdfRdfjfRfG vvvv 2cos)(2sen2cos)(]2sen2[cos)()( 
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=−=−=
2)( fV=
2
00 )()()( 
∞
−∞=
−=
n
v nfnnfcfG δ
continua...
__________________________________________________
Outra forma de demonstração:
Sabe-se que, se , então, a autocorrelação resulta: .
Além disso, é descorrelacionado com v(t) se n≠ m (relação 3.6-11b).
Desta forma, devido a linearidade, tem-se:
e assim, aplicando a TF a cada parcela (2.5-12), 
o teorema de Wiener-Khintchine:
e o princípio de superposição, resulta:
provando-se o desejado. #
______________________________________________________________________________
Este espectro de potência consiste de impulsos representando a potência média do fasor |c(nf0)|2 ,
concentrada em cada frequência harmônica f=nf0.
tj
nn
neAtv ω=)( τωτ njnvn eAR
2)( =
tj
mm
meAtv ω=)(
tnfj
n
v enfcfR 0
22
0 )()(
π
∞
−∞=
=
Substituindo (3.6-25b) em (3.6-20)
resulta:
Recordando (2.5-8): 
obtém-se
correspondente ao teorema de Parseval.
 
∞
−∞=
∞
∞−
∞
−∞=
∞
∞−
−=−=
nn
v dfnffnfcdfnffnfcR )()()()()0( 0
2
00
2
0 δδ

∞
−∞=
==
n
vv PnfcR
2
0 )()0(
___________________________________________________
Correlação e teorema de Parseval
Seja z(t) um sinal senoidal:
Usando (3.6-12b): 
E então, aplicando o teorema de Wiener-Khintchine:
Por outro lado, pode-se mostrar também que, se o teorema de Wiener-Khintchine for verdadeiro, i.e.,
então,
e
são satisfeitas.
_____________________________________________________________
Prova da primeira parte: segue da TFI dada em (3.6-23b) 
na qual, para τ = 0, resulta (3.6-20). # 
Prova da segunda parte: usa-se a autocorrelação da saída (3.6-19b):
Como e 
o teorema da convolução gera:
Então, se e  resulta em (3.6-21). # )()]([ fGR yy =ℑ ττ )()]([ fGR xx =ℑ ττ
Exemplo 3.6-3: Densidade espectral de energia na saída de um SLIT
Seja x(t)=sinc 10t a entrada de um SLIT cuja resposta em frequência é:
A densidade espectral de energia em x(t) é obtida aplicando (3.6-24):
Como 
ocorre
e assim
Aplicando (3.6-21): 
Energias totais Ex e Ey:
)2/(
2
)(2sinc)( Wf
W
AfZWtAtz Π=↔=
)10/(
10
1)(10sinc)( ffXttx Π=↔=
(somente a região onde as funções se superpõem)
continua...
Ou, alternativamente,
e assim:
Por outro lado, 
Alternativamente,
e daí,
O espectro de saída será: 
enquanto o sinal de saída:
#
τττ 10sinc10
1)]10/(
100
1[)]([ 11 =Πℑ=ℑ= −− ffGR xx
10
1)0( == xx RE
ττ ττ 4sinc25
9)]4/(
100
9[)]([)( 11 =Πℑ=ℑ= −− ffGR yy
25
9)0( == yy RE





 Πℑ=ℑ= −−− 2211 )4/(
4
14
10
2)]([)( fjetfYty π
)2(4sinc
5
6)( −= tty
Exemplo 3.6-4: Filtro comb (ou pente)
A resposta impulsiva é:
tal que
Desta forma: 
O formato de |H(f)|2 justifica o nome do filtro (pente). 
continua...
Se a densidade espectral de entrada for conhecida, a densidade e autocorrelação na saída podem ser 
obtidas por:
Se a autocorrelação de entrada for conhecida, também é possível se calcular Ry(τ) como (3.3-19b):
Calcula-se:
e daí:
Portanto, usando a propriedade:
resulta:
A potência ou energia de saída será então:
# 
)(*)]()(*[1 τxRfHfH
−ℑ= )(*])([)( 21 ττ τ xy RfHR
−ℑ=
]2[])([ 22121 fTjfj eefH πτπττ
−−−− −ℑ=ℑ
)()(*)( dd tvtv =−τδτ
)()()0(2)0( TRTRRR xxxy −−−=