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Cálculo 2: As Integrais Triplas
Prof. André Amarante
Departamento de Matemática
UNESP – Faculdade de Engenharia e Ciências de Guaratinguetá
Segundo semestre de 2022
andre.amarante@unesp.br
www.feg.unesp.br/amarante
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Sumário
1 Integrais triplas em retângulos
2 Integrais triplas em regiões genéricas
3 Mudanças de coordenadas em integrais triplas
Coordenadas Ciĺındricas
Coordenadas Esféricas
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Introdução
As referências para estas notas estão em [1], [2], [3], [4] e [5]
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Integrais triplas em retângulos
Sumário
1 Integrais triplas em retângulos
2 Integrais triplas em regiões genéricas
3 Mudanças de coordenadas em integrais triplas
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Tem o mesmo raciocı́nio utilizado em integrais de uma e duas dimensões,
considere as seguintes etapas em um domı́nio de integração de três di-
mensões.
Imagine uma função w = f (x , y , z) definida em uma caixa
B = [a,b]× [c,d]× [r , s] = {(x , y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}.
divida B em subcaixas, ie., divida [a,b], [c,d] e [r , s] em n, m e l
partes iguais, de maneira que ∆x = (b − a)/n, ∆y = (d − c)/m e
∆z = (s − r)/l
Cada uma das mnl caixas Bijk tem volume de ∆V = ∆x∆y∆z
Tome um ponto amostral (x∗i , y
∗
j , z
∗
k ) dentro de Bijk . Assuma que w
seja cont́ınua, e portanto, podemos considerar que sobre Bijk , w
seja constante
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Então, podemos formar a soma
n∑
i=1
m∑
j=1
l∑
k=1
f (x∗i , y
∗
j , z
∗
k )×∆x∆y∆z
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Definição: Integral Tripla em retângulos
A Integral Tripla de f sobre a caixa B é dada por∫∫∫
B
f (x , y , z)dV = lim
n,m,l→∞
n∑
i=1
m∑
j=1
l∑
k=1
f (x∗i , y
∗
j , z
∗
k )∆V
Observação
Se o limite anterior existe, dizemos que w = f (x , y , z) é integrável. Em
cursos avançados, prova-se que toda função cont́ınua é integrável.
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
A operacionalização das integrais triplas é fundamentada no seguinte
teorema:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ s
r
f (x , y , z)dzdydx ,
ou qualquer ordem de integração desde que haja coerências com os
limites de integração
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Modo 1:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ s
r
f (x , y , z)dzdydx ,
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Modo 2:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ d
c
∫ b
a
∫ s
r
f (x , y , z)dzdxdy ,
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Modo 3:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ s
r
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y , z)dxdydz,
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Modo 4:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ b
a
∫ s
r
∫ d
c
f (x , y , z)dxdzdy ,
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Modo 5:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ s
r
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y , z)dydxdz,
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Modo 6:
Teorema de Fubini (1879-1943)
Se f é cont́ınua em B então∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ b
a
∫ s
r
∫ d
c
f (x , y , z)dydzdx ,
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Operacionalização
Para operar uma integral tripla cuja região de integração é uma caixa, integra-
mos uma variável de cada vez, mantendo as remanescentes constantes, até
que todas sejam integradas. Por exemplo:∫∫∫
B
f (x , y , z)dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ s
r
f (x , y , z)dzdydx ,
integrando-se primeiramente a variável z (e manter x e y como constantes) e
avaliá-la nos extremos r e s. Em seguida, integra-se a variável y mantendo x
constante e avaliando-se nos extremos c e d. Finalmente, integra-se a variável
x e avalia-se nos extremos a e b
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Integrais triplas em retângulos
Integrais triplas em retângulos
Exemplo
Avalie a integral ∫∫∫
B
xyz2 dydxdz
onde B = [0, 1]× [−1, 2]× [0, 3].
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Integrais triplas em regiões genéricas
Sumário
1 Integrais triplas em retângulos
2 Integrais triplas em regiões genéricas
3 Mudanças de coordenadas em integrais triplas
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Integrais triplas em regiões genéricas
Integrais triplas em regiões genéricas
Queremos calcular integrais triplas sobre regiões E quaisquer do R3. Ba-
sicamente há três formas de determinar os domı́nios de integração do
sólido E :
Sólido Tipo 1: projetá-lo sobre o plano xy e ver a variação máxima
e mı́nima de z
Sólido Tipo 2: projetá-lo sobre o plano yz e ver a variação máxima
e mı́nima de x
Sólido Tipo 3: projetá-lo sobre o plano xz e ver a variação máxima
e mı́nima de y
Veremos cada um destes casos
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Integrais triplas em regiões genéricas
Integrais triplas em regiões genéricas
Um sólido é do Tipo 1 quando E = {a ≤ x ≤ b,g1(x) ≤ y ≤ g2(x),u1(x , y) ≤ z ≤
u2(x , y)}
Neste caso, a integral tripla sobre E é dada por:∫∫∫
E
f (x , y , z)dV =
∫∫
D
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x , y , z)dz
]
dA
=
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x , y , z)dzdydx
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Integrais triplas em regiões genéricas
Integrais triplas em regiões genéricas
Um sólido é do Tipo 2 quando E = {c ≤ y ≤ d,g1(y) ≤ z ≤ g2(y),u1(y , z) ≤ x ≤
u2(y , z)}
Neste caso, a integral tripla sobre E é dada por:∫∫∫
E
f (x , y , z)dV =
∫∫
D
[∫ u2(y,z)
u1(y,z)
f (x , y , z)dx
]
dA
=
∫ d
c
∫ g2(y)
g1(y)
∫ u2(y,z)
u1(y,z)
f (x , y , z)dxdzdy
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Integrais triplas em regiões genéricas
Integrais triplas em regiões genéricas
Um sólido é do Tipo 3 quando E = {a ≤ x ≤ b,g1(x) ≤ z ≤ g2(x),u1(x , z) ≤ y ≤
u2(x , z)}
Neste caso, a integral tripla sobre E é dada por:∫∫∫
E
f (x , y , z)dV =
∫∫
D
[∫ u2(x,z)
u1(x,z)
f (x , y , z)dy
]
dA
=
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,z)
u1(x,z)
f (x , y , z)dydzdx
Prof. André Amarante (UNESP–FEG) Cálculo 2 Segundo semestre de 2022 21 / 35
Integrais triplas em regiões genéricas
Integrais triplas em regiões genéricas
Significado de uma Integral Tripla
Se w = f (x , y , z) = 1, então∫∫∫
B
1 dV = volume(B).Se w = f (x , y , z) é uma densidade, então a massa M de B é calcu-
lada por
M =
∫∫∫
B
f (x , y , z)dV
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Integrais triplas em regiões genéricas
Integrais triplas em regiões genéricas
Exemplo
Determine a massa do sólido no primeiro octante delimitado pelo
plano x + y + z = 1 sabendo que sua densidade δ em um ponto
(x , y , z) ∈ R3 é dada por δ(x , y , z) = z
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas
Sumário
1 Integrais triplas em retângulos
2 Integrais triplas em regiões genéricas
3 Mudanças de coordenadas em integrais triplas
Coordenadas Ciĺındricas
Coordenadas Esféricas
Prof. André Amarante (UNESP–FEG) Cálculo 2 Segundo semestre de 2022 24 / 35
Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Ciĺındricas
Coordenadas Ciĺındricas
Imagine que queiramos avaliar∫∫∫
E
f (x , y , z)dV ,
mas esta integral é dif́ıcil de ser computada em x , y e z.
Exemplo
Escreva a integral tripla que for-
nece o volume do cone z =√
x2 + y2 abaixo do plano z = 2.
−1
0
1
2
−1 0 1
0
1
2
x
y
z
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Ciĺındricas
Coordenadas Ciĺındricas
Fórmulas para mudança de cartesiana para ciĺındricas
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
onde x2 + y2 = r2 e θ = arctan yx (polar no plano xy)
Imagine que a integral∫∫∫
E
f (x , y , z)dV
deva ser calculada, onde E é o se-
guinte sólido ao lado, onde
E = {(x , y , z)|(x , y) ∈ D,u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)}
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Ciĺındricas
Coordenadas Ciĺındricas
Escrevendo-se D em coordenadas polares, x = r cos θ e y = r sin θ, z = z,
temos que
E = {(r , θ, z)|α ≤ θ ≤ β,h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ),u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y)},
e ai a integral tripla fica
Mudança de coordenadas∫∫∫
E
f (x , y, z)dV =
∫ β
α
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(r cos θ,r sin θ)
u1(r cos θ,r sin θ)
f (r cos θ, r sin θ, z)r dzdrdθ.
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Ciĺındricas
Mudanças de coordenadas em integrais triplas
Cuidado!
Não esqueça que o elemento de volume em coordenadas ciĺındricas
é
dV = rdrdθdz
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Ciĺındricas
Coordenadas Ciĺındricas
Exemplo
Determine o volume do sólido entre
os parabolóides z = x2 + y2 e z =
36 − 3x2 − 3y2.
−20
2−2 0 2
0
10
20
30
xy
z
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
Fórmulas de mudanças de cartesianas para esféricas
x = ρ sinϕ cos θ, y = ρ sinϕ sin θ, z = ρ cosϕ
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
Suponha que E = {(ρ, θ, ϕ)|a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β,c ≤ ϕ ≤ d} em coorde-
nadas esféricas.
Assim,
dV = ρ2 sinϕdρdϕdθ.
Prof. André Amarante (UNESP–FEG) Cálculo 2 Segundo semestre de 2022 31 / 35
Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
Mudança para coordenadas esféricas
A integral ∫∫∫
E
f (x , y , z)dV ,
pode ser calculada em coordenadas esféricas usando as mudanças
x = ρ sinϕ cos θ, y = ρ sinϕ sin θ, z = ρ cosϕ
do seguinte modo:∫ b
a
∫ β
α
∫ d
c
f (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) ρ2 sinϕ dρdϕdθ
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Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
Exemplo
Determine o volume do sólido limi-
tado acima pela esfera x2 + y2 +
z2 = 16 e abaixo pelo cone z =√
x2 + y2.
−2
0
2
−2 0 2
0
2
4
xy
z
Prof. André Amarante (UNESP–FEG) Cálculo 2 Segundo semestre de 2022 33 / 35
Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Esféricas
Coordenadas Esféricas
Exemplo
Determine o volume da calota
esférica, limitada acima pela esfera
x2 + y2 + z2 = 4 e abaixo pelo plano
z = 1.
−101−1 0 1
−2
−1
0
1
2
xy
z
Prof. André Amarante (UNESP–FEG) Cálculo 2 Segundo semestre de 2022 34 / 35
Mudanças de coordenadas em integrais triplas Coordenadas Esféricas
Referências I
H. L. Guidorizzi, Um curso de cálculo, vol. 2 .
Grupo Gen-LTC, 2000.
J. Stewart, “Cálculo vol. 2, 5a ediçao,” Cengage Learning, Sao
Paulo, 2009.
A. HOWARD, “Cálculo, um novo horizonte. vol. 1 e 2,” 2000.
L. Leithold, M. d. G. G. del Villar, R. S. Reyes, and C. R. Orta, El
cálculo con geometŕıa anaĺıtica, vol. 2.
Harbra, 1977.
A. Aliano, Notas de Aula e Curso Tikz do LaTeX.
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/angeloaliano.
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