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WIMERSON SANCHES BAZAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE 
CÂMARAS DIGITAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRESIDENTE PRUDENTE 
2008 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
Faculdade de Ciências e Tecnologia 
Campus de Presidente Prudente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WIMERSON SANCHES BAZAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE 
CÂMARAS DIGITAIS 
 
 
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ciências Cartográficas da Faculdade de 
Ciências e Tecnologia da UNESP, como parte dos 
requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre 
em Ciências Cartográficas. 
 
Orientador: Prof. Dr. Antonio M. G. Tommaselli 
Co-orientador: Prof. Dr. Mauricio Galo 
 
 
 
PRESIDENTE PRUDENTE 
2008
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos meus pais Orestes e Marlene, todos os 
familiares e amigos, e à minha querida 
namorada Etiene, por todo o carinho, incentivo 
e apoio. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 Meus sinceros agradecimentos aos Professores Antonio Maria 
Garcia Tommaselli e Mauricio Galo pela orientação que tem se estendido ao longo 
destes últimos anos e tem sido essencial na minha formação. Sem dúvida alguma, 
vocês são modelos de caráter, profissionalismo e ética que pretendo seguir na 
minha vida profissional. 
 Ao colega Roberto da Silva Ruy pelo envolvimento e colaboração, 
no que diz respeito ao desenvolvimento de todo o fluxo de entrada e saída do 
programa, além das principais rotinas do ajustamento pelo método combinado. 
Agradeço também à sua participação e dedicação na etapa de coleta das imagens, 
além de outras tarefas relacionadas ao trabalho desenvolvido. 
 Aos colegas Tiago, Rodrigo e José Marcato Junior, pela colaboração 
na etapa de coleta das imagens, entre outras tarefas. 
 Aos demais professores do Programa de Pós-graduação em 
Ciências Cartográficas que contribuíram de alguma maneira com o desenvolvimento 
deste trabalho. 
 Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico 
(CNPq) pelo auxílio financeiro concedido através de uma bolsa pesquisa e à 
empresa Engemap pelo empréstimo das câmaras. 
 Aos amigos que fiz no laboratório de Ciências Cartográficas e sala 
de permanência dos alunos de Pós-Graduação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Fui moço, e agora sou velho; mas nunca vi 
desamparado o justo, nem a sua descendência 
a mendigar o pão” 
 
 (Salmos, 37:25) 
 
 
RESUMO 
 
Os sistemas de aquisição de imagens baseados em arranjos de câmaras digitais de 
quadro, são alternativas que possibilitam um maior recobrimento da área imageada 
em comparação a um único sensor. Um problema relevante é a determinação dos 
elementos de orientação relativa entre estas câmaras que permitem a fusão das 
imagens retificadas e geração de uma imagem com maior cobertura. O cálculo 
destes parâmetros com base na calibração individual das câmaras não se revelou 
uma estratégia adequada, tendo se verificado experimentalmente que as variações 
nestes foram significativamente maiores que as variações físicas esperadas. Para 
resolver este problema, propõe-se neste trabalho a calibração simultânea de duas 
câmaras, estabelecendo-se, por meio de injunções, a condição de que os 
parâmetros de orientação relativa, no caso, a matriz de rotação relativa e a distância 
entre os centros perspectivos das câmaras são constantes ao longo das aquisições, 
admitindo-se que a estrutura de suporte das câmaras possua uma certa 
estabilidade. Foram realizados testes com imagens coletadas por um arranjo 
composto por duas câmaras Hasselblad H2D, admitindo-se diferentes opções de 
processamento. Os resultados com dados reais mostraram que a introdução das 
injunções de orientação relativa permite a obtenção de melhores resultados em 
relação a calibração individual. 
 
Palavras-chave: Calibração de câmaras digitais, calibração de um sistema 
multicâmaras, fototriangulação com parâmetros adicionais, injunções de orientação 
relativa, Fotogrametria Digital. 
 
 
ABSTRACT 
 
Image acquisition systems based on multi-head arrangement of digital cameras are 
attractive alternatives enabling larger imaging area when compared with a single 
frame camera. A key problem is computing the relative orientation (RO) parameters 
between cameras aiming at rectified image fusion and generation of a higher 
coverage image. Single camera calibration followed by RO parameters estimation 
has not presented suitable results because the dispersion in the estimated RO is 
higher than expected physical variation. In order to solve this problem, this work 
presents an approach based on simultaneous calibration of two cameras using 
relative orientation constraints, which can be introduced by the relative rotation matrix 
and the distance between the perspective centers of each cameras, considering a 
stable arrangement. Experiments were accomplished with images acquired by an 
arrangement of two Hasselblad H2D cameras, using different processing options. 
The experiments shown that the calibration process with RO constraints allows better 
results than the approach based on single camera calibration 
 
 
Key-Words: Digital camera calibration, multi-camera system calibration, bundle 
adjustment with additional parameters, relative orientation constraints, Digital 
Photogrammetry. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO..................................................................................................... 12 
 1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS................................................................................... 12 
 1.2 OBJETIVOS........................................................................................................ 13 
 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO................................................................................. 14 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................... 16 
 2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE................ 16 
 2.1.1 Sistema de referência do espaço imagem.................................................. 18 
 2.1.2 Sistema de referência do espaço objeto..................................................... 20 
 2.2 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS.................................................................................. 21 
 2.2.1 Parâmetros de orientação interior............................................................... 22 
 2.2.1.1 Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada......... 22 
 2.2.1.2 Ponto principal de autocolimação e de simetria..................................... 22 
 2.2.1.3 Distorção radial simétrica........................................................................ 23 
 2.2.1.4 Distorção descentrada............................................................................ 24 
 2.2.1.5 Coeficientes de afinidade........................................................................ 24 
 2.2.2 Parâmetros de orientação exterior.............................................................. 25 
 2.2.3 Métodos de Calibração............................................................................... 26 
 2.2.3.1 Métodos de laboratório........................................................................... 26 
 2.2.3.1.1 Método do multicolimador................................................................... 26 
 2.2.3.1.2 Método do goniômetro........................................................................ 28 
 2.2.3.2 Métodos de campo.................................................................................. 29 
 2.2.3.2.1 Equações de colinearidade com parâmetros adicionais.....................29 
 2.2.3.2.2 Método dos campos mistos................................................................ 30 
 2.2.3.2.3 Método das câmaras convergentes.................................................... 31 
 2.2.4 Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração............................ 31 
 2.2.4.1 Calibração em serviço (on-the-job)......................................................... 32 
 2.2.4.2 Autocalibração (self-calibration).............................................................. 32 
 2.2.5 Calibração de estereocâmaras................................................................... 33 
 2.2.5.1 Calibração de uma estereocâmara por autocalibração.......................... 33 
 2.2.5.2 Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico.............................. 35 
 2.2.5.3 Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de 
 vídeo...................................................................................................... 
37 
 2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ).............................................. 37 
 2.3.1 Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com 
 injunções..................................................................................................... 
 
38 
 2.3.2 Teste de hipótese do ajustamento.............................................................. 46 
3 CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS......................... 48 
 3.1 GEOMETRIA DO ARRANJO DUAL........................................................................... 48 
 3.2 SISTEMA SAAPI................................................................................................ 50 
 
 
 3.3 CAMPO DE CALIBRAÇÃO...................................................................................... 51 
 3.4 MEDIDAS DE FOTOCOORDENADAS COM PRECISÃO SUBPIXEL................................. 53 
 3.5 SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS COM CÁLCULO 
 POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA....................................... 
 
54 
 3.6 METODOLOGIA DESENVOLVIDA PARA CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL..................... 55 
 3.6.1 Desenvolvimento das equações de injunção de orientação relativa.......... 57 
 3.6.2 Estudo da estrutura das matrizes envolvidas no ajustamento.................... 60 
 3.6.3 Implementação do programa CMC (Calibração Multicâmaras).................. 67 
 3.6.4 Medida da distância entre os CPs localizados a partir das informações 
 técnicas do fabricante................................................................................. 
 
68 
4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS................................................................... 70 
 4.1 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS 
 CÂMARAS E CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA......... 
 
70 
 4.2 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A METODOLOGIA DESENVOLVIDA NA SEÇÃO 
 3.6 QUE FAZ USO DO RECURSO DE CALIBRAÇÃO MULTICÂMARA............................. 
76 
 4.2.1 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa 
 considerando os pontos de apoio originalmente levantados...................... 
 
84 
 4.2.2 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa 
 Considerando os pontos triangulados com injunções de distâncias 
 medidas no espaço objeto...........................................................................
 
88 
 4.2.3 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa............. 92 
 4.2.3.1 Resultados do experimento considerando o primeiro conjunto de 
 injunções admitindo o sistema fisicamente estável, porém não rígido...... 
 
93 
 4.2.3.2 Resultados do experimento considerando o segundo conjunto de 
 injunções admitindo o sistema fisicamente rígido...................................... 
 
97 
 4.2.4 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa mais 
 uma injunção de distância entre os CPs .................................................... 
 
101 
 4.3 AVALIAÇÃO DAS DISCREPÂNCIAS DOS PONTOS DE VERIFICAÇÃO RESULTANTES DOS 
 PROCESSAMENTOS DE CALIBRAÇÃO REALIZADOS NOS EXPERIMENTOS DA SEÇÃO 
 4.2.................................................................................................................... 
 
104 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................. 119 
 5.1 SÍNTESE DOS RESULTADOS................................................................................. 119 
 5.2 CONCLUSÕES.................................................................................................... 121 
 5.3 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.................................................... 122 
REFERÊNCIAS...................................................................................................... 124 
ANEXO I ................................................................................................................ 128 
ANEXO II ............................................................................................................... 129 
ANEXO .................................................................................................................. 130 
APÊNDICE ............................................................................................................. 131 
APÊNDICE II .......................................................................................................... 137 
APÊNDICE III ......................................................................................................... 146 
APÊNDICE IV ........................................................................................................ 148 
APÊNDICE V ......................................................................................................... 154 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 2.1 - Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto 
(P) e centro perspectivo da câmara (CP). 
16 
Figura 2.2 - Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P. 17 
Figura 2.3 - Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da 
imagem. 
19 
Figura 2.4 - Obtenção da distância focal calibrada a partir do balanceamento da curva de 
distorção. 
22 
Figura 2.5 - Ponto principal de autocolimação (ppa). 23 
Figura 2.6 - (a) Ponto nodal posterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos 
colimadores e (b) eixo ótico da câmara alinhado com o eixo do colimador central. 
27 
Figura 2.7 - Goniômetro para calibração de câmaras. 28 
Figura 3.1 - (a) Arranjo de câmaras Hasselblad e (b) geometria deste arranjo. 48 
Figura 3.2 - Aquisição das imagens pelo arranjo de câmaras convergentes. 50 
Figura 3.3 - Campo de calibração originalmente construído com recursos do projeto de 
mapeamento móvel. 
51 
Figura 3.4 - Campo de calibração reformado. 52 
Figura 3.5 - Fluxograma do processo de calibração pela metodologia desenvolvida. 57 
Figura 3.6 - (b) Bloco formado por quatro imagens de (a) duas aquisições com o arranjo dual 
de câmaras digitais. 
60 
Figura 3.7 - Estrutura da matriz A de dimensões 100 x 119. 63 
Figura 3.8 - Estrutura da matriz C de dimensões 4 x 119. 64 
Figura 3.9 - Estrutura da matriz N de dimensões 119 x 119. 65 
Figura 3.10 - Estrutura da matriz NC de dimensões 119 x 119. 65 
Figura 3.11 - Estrutura da matriz resultante N + NC de dimensões 119 x 119. 66 
Figura 3.12 - Entrada e saída de dados do programa. 67 
Figura 3.13 - Projeção dos CPs na estrutura de suporte das câmaras do sistema dual. 68 
Figura 3.14 - Medição da distância entre os CPs. 69 
Figura 4.1 - Exemplo de imagens adquiridas sobre o campo de calibração: (a) estações; (b) 
aquisições individuais e; (c) aquisiçõescom o arranjo dual. 
71 
Figura 4.2 - Gráfico de barras dos desvios-padrão apresentados na Tabela 4.3. 75 
 
 
Figura 4.3 - Distribuição dos pontos medidos ao longo das 14 imagens tomadas pela câmara 
1. 
81 
Figura 4.4 - Distribuição dos pontos medidos ao longo das 15 imagens tomadas pela câmara 
2. 
82 
Figura 4.5 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.1. 85 
Figura 4.6 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.1. 86 
Figura 4.7 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.1. 87 
Figura 4.8 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.2. 90 
Figura 4.9 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.2. 90 
Figura 4.10 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0. no experimento da Seção 4.2.2. 91 
Figura 4.11 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o primeiro conjunto de 
injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 95 
Figura 4.12 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o primeiro conjunto de 
injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 
96 
Figura 4.13 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o primeiro conjunto 
de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 
96 
Figura 4.14 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o segundo conjunto de 
injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 
99 
Figura 4.15 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o segundo conjunto de 
injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 
99 
Figura 4.16 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o segundo conjunto 
de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 
99 
Figura 4.17 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.4. 102 
Figura 4.18 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.4. 103 
Figura 4.19 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.4. 103 
Figura 4.20 - Fluxograma do processo de avaliação das discrepâncias considerando os quatro 
processamentos de calibração descritos. 
105 
Figura 4.21 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
primeiro processamento. 
106 
Figura 4.22 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro 
processamento. 
106 
Figura 4.23 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
segundo processamento. 
107 
Figura 4.24 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo 
processamento. 
107 
Figura 4.25 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
terceiro processamento. 
108 
Figura 4.26 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro 
processamento. 
108 
 
 
Figura 4.27 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
quarto processamento. 
109 
Figura 4.28 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto 
processamento. 
109 
Figura 4.29 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
113 
Figura 4.30 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro 
processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
113 
Figura 4.31 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
114 
Figura 4.32 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo 
processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
114 
Figura 4.33 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
115 
Figura 4.34 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro 
processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
115 
Figura 4.35 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do 
quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
116 
Figura 4.36 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto 
processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens. 
116 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 3.1 – Orientação exterior aproximada das imagens apresentadas pela Figura 3.6a. 61 
Tabela 4.1 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 1. 73 
Tabela 4.2 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 2 74 
Tabela 4.3 – Elementos de orientação relativa médios e seus respectivos desvios-padrão. 75 
Tabela 4.4 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.1. 85 
Tabela 4.5 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores 
médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.1). 
88 
Tabela 4.6 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.2. 89 
Tabela 4.7 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores 
médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.2). 
91 
Tabela 4.8 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.1. 94 
Tabela 4.9 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores 
médios com respectivos desvios (para o primeiro conjunto de injunções nos experimentos da 
Seção 4.2.3). 
97 
Tabela 4.10 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.2. 98 
Tabela 4.11 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores 
médios com respectivos desvios (para o segundo conjunto de injunções nos experimentos da 
Seção 4.2.3). 
100 
Tabela 4.12 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.4. 102 
Tabela 4.13 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores 
médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.4). 
103 
 
 
 
 
 
 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
12 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 As câmaras fotogramétricas, ou câmaras métricas, têm por 
finalidade fornecer imagens fotográficas com geometria conhecida, permitindo a 
correta reconstrução do feixe de raios que gerou as imagens, sendo essa uma das 
condições que tornam possível o processo de calibração, ou seja, a determinação 
dos parâmetros geométricos que participam do modelo matemático que relaciona a 
posição de um objeto no espaço real com a sua posição na imagem fotografada 
(ANDRADE, 2003). 
Calibrar uma câmara significa encontrar um conjunto de parâmetros 
de orientação interior (BROWN, 1966), que inclui a modelagem das distorções 
provocadas pelo sistema de lentes da câmara e que pode ser feito usando tanto 
feições pontuais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 1993; TOMMASELLI e 
ALVES, 2001; MACHADO et al, 2003; ANDRADE, 2003) quanto retas (HABIB et al, 
2002; TELLES e TOMMASELLI, 2005). 
Os recentes desenvolvimentos de sensores eletrônicos a base de 
silício e das câmaras digitais, no que diz respeito ao aumento da resolução e à 
redução de custos, têm tornado cada vez mais atrativa a utilização destes 
equipamentos nas tarefas de levantamento fotogramétrico e mapeamento (HABIB e 
MORGAN, 2003). Além destas vantagens, a reutilização da mídia de gravação e a 
possibilidade de se fazer a avaliação da imagem em tempo real, são fatores que 
também contribuem para o aumento do uso dos sensores digitais. 
 Outro problema a ser considerado, diz respeito à pequena área de 
cobertura dos sensores digitais de quadro, atualmente disponíveis. Existem no 
mercado três tecnologias destinadasà solução deste problema: as câmaras 
baseadas nos sensores tri-lineares, podendo-se citar, as câmaras ADS-40 (Leica 
Geosystems - Hexagon), HRSC-A, HRSC-AX e HRSC-AXW (desenvolvidas pelo 
Centro Alemão de Pesquisas Espaciais - DLR); a configuração modular de câmaras 
matriciais convergentes como, por exemplo, o sistema DMC (Z/I Imaging) e, 
finalmente, os sistemas matriciais com câmaras verticais, como a UltracamX 
(Microsoft Vexcel) e a DIMAC (Dimac Systems). 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
13 
 Este trabalho de dissertação foi desenvolvido no contexto do projeto 
ARMOD - Automação dos processos de Reconstrução e orientação de MODelos 
(TOMMASELLI, 2004), o qual propõe como solução para o problema de 
recobrimento o uso de um arranjo de câmaras digitais convergentes disparadas 
simultaneamente, consistindo de uma alternativa de custo reduzido quando 
comparada com os sistemas comerciais supracitados. As imagens podem ser 
retificadas e mosaicadas para formar uma única imagem, ou podem ainda ser 
processadas isoladamente. 
 Um sistema comercial desta natureza está sendo implementado pela 
empresa Engemap em parceria com a UNESP, com financiamento da Fapesp, 
mediante um projeto intitulado SAAPI - Sistema Aerotransportado de Aquisição e 
Pós-Processamento de Imagens. O emprego desta solução, baseada no arranjo de 
câmaras convergentes, exige a calibração de todo o sistema e o método de 
ajustamento aplicado pode envolver o uso de equações de injunções, elaboradas 
com base nas características físicas ou geométricas do problema, o que implica em 
uma maior confiança aos parâmetros estimados no processo. 
 
1.2 OBJETIVOS 
 
 O objetivo geral do trabalho consiste no estudo e desenvolvimento 
de uma metodologia para a calibração do sistema dual de câmaras digitais 
convergentes. Conforme mencionado, alguns elementos dentro do arranjo de 
câmaras se mantêm fixos, podendo ser explorados mediante a elaboração de 
equações de injunções. 
No contexto deste trabalho, as injunções (ou restrições) podem ser 
elaboradas com base na orientação relativa entre as duas câmaras que se mantém 
fixa ao longo da etapa de aquisição, dado que o sistema é sustentado por uma 
estrutura considerada fisicamente estável. Com relação aos objetivos específicos do 
projeto, pretende-se: 
 
1) Testar uma abordagem que se baseia no ajustamento seqüencial dos 
parâmetros de ambas as câmaras que compõem o arranjo dual, seguido do 
cálculo dos elementos de orientação relativa; 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
14 
2) Desenvolver uma metodologia baseada no ajustamento simultâneo de todos 
os parâmetros de ambas as câmaras, considerando algumas restrições 
relacionadas à estabilidade física da orientação relativa; 
3) Implementar os algoritmos para aplicação das injunções de orientação relativa 
na metodologia proposta; 
4) Calibrar o sistema dual de câmaras digitais convergentes; 
5) Analisar os resultados da calibração, no que diz respeito à influência das 
injunções na solução. 
 
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO 
 
 A Seção 1 apresenta as considerações iniciais bem como os 
objetivos gerais e específicos deste trabalho. 
A fundamentação teórica essencial ao desenvolvimento da pesquisa 
é apresentada na Seção 2, que de maneira geral abrange: o desenvolvimento das 
equações de colinearidade como modelo matemático adotado na metodologia de 
calibração desenvolvida; a definição dos principais métodos de calibração, que se 
dividem entre métodos de laboratório e de campo; três métodos de calibração de 
estereocâmaras que fazem uso da orientação relativa; os parâmetros adicionais 
considerados nas equações de colinearidade (parâmetros de orientação interior); e o 
método de ajustamento aplicado na metodologia desenvolvida. 
 A Seção 3 apresenta a geometria do arranjo de câmaras e uma 
solução para calibração do sistema, que se baseia no ajustamento individual dos 
parâmetros de cada câmara (processamento seqüencial), utilizando o aplicativo CC 
(Calibração de Câmaras) desenvolvido por Galo (1993), seguido do cálculo dos 
parâmetros de orientação relativa. Apresenta-se, ainda, a metodologia desenvolvida 
para a calibração do sistema dual de câmaras digitais, baseada no ajustamento 
simultâneo dos parâmetros de ambas as câmaras, fixando-se, por meio de 
injunções, os parâmetros de orientação relativa. 
A Seção 4 apresenta os experimentos e resultados obtidos com a 
solução que se baseia no ajustamento seqüencial. Apresenta, também, os 
experimentos e a avaliação da metodologia desenvolvida, considerando a aplicação 
das injunções de estabilidade da orientação relativa. 
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15 
As conclusões e considerações finais do trabalho, bem como as 
recomendações para trabalhos futuros são apresentados na Seção 5. 
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16 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
 
2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE 
 
 As equações de colinearidade constituem o modelo matemático que 
relaciona os espaços imagem e objeto (LUGNANI, 1987), sendo baseadas no 
modelo de projeção perspectiva central, que descreve o processo de imageamento 
no plano focal da câmara, ou no plano de sensores para o caso de uma câmara 
digital (ATKINSON, 1996; GALO, 1993). Sua dedução se baseia no princípio de que 
um determinado ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e o 
centro perspectivo da câmara (CP), são idealmente colineares (Figura 2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto (P) e 
centro perspectivo da câmara (CP). 
 
A Figura 2.2 mostra as relações entre os vetores envolvendo o CP, o 
ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e a origem O do 
sistema de referência do espaço-objeto. 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Galo (2005) 
z 
y 
O 
Espaço objeto 
Plano da imagem 
Y0 
X0 
CP 
Z0 
p (xp,yp) 
Z 
X 
Y 
Espaço imagem 
y 
x 
P (Xp, Yp, Zp) 
-f 
x 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P. 
 
 Com base na Figura (2.2), a seguinte relação vetorial pode ser 
escrita: 
CPP+OCP=OP (2.1) 
 
O vetor que liga o CP ao ponto objeto P pode ser obtido como 
resultante de um produto do escalar k pelo vetor que liga o CP ao ponto p na 
imagem (GALO, 2005). Como CPp é expresso em função das coordenadas no 
referencial da imagem, considera-se as rotações existentes entre o referencial da 
imagem, com origem no CP, e o referencial do espaço objeto, com origem em O, 
aplicando-se a matriz de rotação inversa 1M− ao vetor CPpk . Deste modo, ao 
considerar CPpkM=CPP
1-
 a Equação 2.1 pode ser reescrita como: 
 
CPpkM+OCP=OP 1- . (2.2) 
 
Isolando-se CPpk na Equação 2.2, tem-se: 
 
O 
z 
Fonte: Adaptado de Galo (2005) 
κ 
φ 
ω 
x 
y 
 
CP 
P 
 
Z 
X 
Y 
y 
x 
 
p 
-f 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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18 
)OCP-OPM(CPpk = . (2.3) 
 
 A matriz de rotação Mkφω = R(k).R(φ).R(ω) é calculada em função 
das rotações k, φ, ω, respectivamente, sendo dada por: 
 












ϕ
−
++−
+−+
=
 cosφ cosωcosφ senωsenφ
cosκ senωsenκ senφ cosωcosκ cosωsenκ senφ senωsenκ cosφ-
senκ senωcosκ senφ cosωsenκ cosωcosκ senφ senωcosκ cosφ
M ωκ , 
 
que aplicada às Equações 2.3, resulta nas equações: 
 




































ϕ












−
−
−
=
−
−
−
=
0
0
0
333231
232221
131211
0
0
0
ωκ
ZZ
YY
XX
.
mmm
mmm
mmm
ZZ
YY
XX
.M
z
y
x
k (2.4) 
 
 As Equações 2.4 podem ser desenvolvidas a partir de um produto 
matricial, e escritas conforme segue: 
 
[ ]
[ ]
[ ])Z(Zm)Y(Ym)X(Xmkz
)Z(Zm)Y(Ym)X(Xmky
)Z(Zm)Y(Ym)X(Xmkx
033032031
023022021
013012011
1
1
1
−+−+−=
−+−+−=
−+−+−=
−
−
−
 (2.5) 
 
 Considerando z = -f (f distância focal) na Equação 2.5, conforme 
ilustra a Figura 2.1, e dividindo as duas primeiras igualdades pela terceira, obtêm-se: 
 
)Z(Zm)Y(Ym)X(Xm
)Z(Zm)Y(Ym)X(Xm
fy
)Z(Zm)Y(Ym)X(Xm
)Z(Zm)Y(Ym)X(Xm
fx
033032031
023022021
033032031
013012011
−+−+−
−+−+−
−=
−+−+−
−+−+−
−=
. (2.6) 
 
2.1.1 Sistema de referência do espaço imagem 
 
 Com relação às tradicionais câmaras métricas, o sistema de 
coordenadas do espaço imagem é definido a partir das marcas fiduciais que 
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19 
integram o corpo da câmara, que são registradas no plano da imagem devido à 
incidência de iluminação que passa pelo sistema de lentes da câmara, ou por 
iluminação independente (ATKINSON, 1996). Além da realização do sistema de 
referência da imagem, as marcas fiduciais permitem ainda corrigir os efeitos da 
deformação do filme a partir de uma transformação geométrica plana (afim, isogonal 
ou projetiva), dado que as coordenadas das marcas fiduciais são fornecidas pelo 
certificado de calibração da câmara. 
 No caso de uma câmara digital, o sistema matricial usado na 
medição das fotocoordenadas é definido como sendo um sistema cartesiano plano 
retangular, com origem no canto superior esquerdo da imagem. Os eixos x e y 
coincidem com as primeiras linha e coluna, respectivamente, sendo o sentido do 
eixo y definido por uma rotação de 90º em relação ao eixo x, no sentido horário. 
 As coordenadas medidas no sistema matricial, na unidade de pixel, 
podem ser transformadas para o sistema central da imagem (equivalente ao 
fiducial), na unidade de milímetros. Para isto, deve-se conhecer a largura (W) e 
altura (H) da imagem (em pixels), além das dimensões sx e sy do pixel (em 
milímetros). A Figura 2.3 mostra a relação entre o sistema matricial de medida e o 
sistema com origem no centro da imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da 
imagem. 
 
c = 0 c = largura - 1 
 l = 0 
 l = altura - 1 
W (largura) 
H (altura) 
y 
x 
(cx, cy) 
Colunas ( c) 
 Linhas ( l) 
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20 
 As Equações 2.7, deduzidas a partir da Figura 2.3, representam esta 
relação: 
][
][
yy
xx
clsy
ccsx
−−=
−=
 (2.7) 
 
sendo ( xc , yc ) = (
2
1W −
,
2
1H −
). 
 
 As coordenadas transformadas pelas Equações 2.7 estão 
referenciadas ao sistema de coordenadas com origem no centro da imagem, 
equivalente ao sistema fiducial utilizado para o caso das câmaras métricas 
convencionais. 
 
2.1.2 Sistema de referência do espaço objeto 
 
 Em Fotogrametria, a posição de um ponto no espaço objeto é 
comumente referida a um sistema cartesiano tridimensional, cuja origem, escala e 
orientação são definidos arbitrariamente, de acordo com o que for mais conveniente, 
tendo em vista a tarefa a ser realizada (ATKINSON, 1996). 
 Deste modo, uma operação de calibração em campo, por exemplo, 
pode adotar um sistema de coordenadas cartesiano local, definido com origem 
próxima ao campo de calibração. Este sistema tem a vantagem de poder ser 
relacionado com um sistema de coordenadas geodésicas, e vice-versa, a partir de 
transformações envolvendo rotações e translações (MONICO, 2000). 
 Um exemplo de conveniência na adoção do sistema de referência do 
espaço objeto, diz respeito à consideração do CP de uma das duas fotos como 
sendo origem do referencial no processo de orientação relativa analítica (WOLF e 
DEWITT, 2000). Como exemplo pode-se adotar o CP da foto 1 como origem (X0 = 
Y0 = Z0 = 0), mais a coordenada X0 do CP da foto 2 como sendo igual à fotobase b, 
o que permite a redução dos parâmetros de 12 (6 parâmetros de orientação exterior 
para cada foto) para 5 parâmetros de orientação relativa (k, φ, ω, Y0 e Z0 da foto 2). 
 
 
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21 
2.2 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS 
 
 Os parâmetros resultantes do processo de calibração descrevem a 
geometria interna de uma câmara, incluindo a modelagem das distorções 
provocadas pelas imperfeições no sistema de lentes, as quais podem comprometer 
a precisão dos processos fotogramétricos. Para o caso das câmaras digitais, o 
conjunto de parâmetros de orientação interior a ser considerado na calibração 
destes equipamentos compreende: 
 
f - Distância focal gaussiana equivalente da câmara; 
x0 e y0 - Coordenadas do ponto principal; 
K1, K2 e K3 - Parâmetros de distorção radial simétrica; 
P1 e P2 - Parâmetros de distorção descentrada; 
A e B - Coeficientes de afinidade. 
 
 No que se refere à Fotogrametria Analítica, um processo de 
calibração trata da atribuição de valores às propriedades que descrevem o caráter 
métrico de um sistema de medida, bem como à qualidade desta estimação 
(MERCHANT, 1979). A calibração realizada pelas empresas fabricantes das 
câmaras é documentada na forma de um certificado que contém os parâmetros 
determinados no processo de calibração, o método utilizado, além dos parâmetros 
estatísticos que lhes definem o grau de confiabilidade (ANDRADE, 2003). 
 Um processo de calibração de um sistema composto por duas 
câmaras, por exemplo, deve considerar também a calibração dos elementos de 
orientação relativa entre as câmaras, que podem ser obtidos em função da 
orientação exterior de ambas as câmaras, como será visto na Seção 3.2. Neste 
caso, atenta-se para a importância de se realizar periodicamente, o processo de 
calibração em condições de uso, para que se possa verificar a estabilidade destes 
parâmetros. 
 
 
 
 
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22 
2.2.1 Parâmetros de orientação interior 
 
2.2.1.1 Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada 
 
 A distância focal gaussiana equivalente, é aquela que satisfaz a 
equação das lentes, coincidindo com a constante da câmara c (para o caso aéreo), 
podendo ser calculada por um processo de calibração. Já a distância focal calibrada 
é definida como sendo aquela que permite uma distribuição média das distorções 
das lentes, a partir de um balanceamento da curva de distorção radial simétrica 
(WOLF e DEWITT, 2000; ANDRADE, 2003). 
A curva de distorção radial simétrica, correspondente à distânciafocal gaussiana equivalente, é aquela apresentada mais adiante, pelas Equações 
2.8. A Figura 2.4 ilustra as curvas de distorções considerando ambas a definições de 
distância focal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Curvas de distorção para a distância focal calibrada e distância focal gaussiana 
equivalente. 
 
2.2.1.2 Ponto principal de autocolimação e de simetria 
 
 Entre as várias definições de ponto principal adotadas pelos 
fotogrametristas, cita-se duas bastante usuais (MERCHANT, 1979; ANDRADE, 
2003; MIKHAIL et al, 2001): ponto principal de autocolimação, definido pela 
intersecção de um raio de luz com o plano da fotografia, o qual é perpendicular a 
este plano antes de passar pelo sistema de lentes; e ponto principal de simetria, 
definido como sendo o ponto de melhor simetria das curvas de distorção, sendo 
Fonte: Adaptado de Galo (2005a). 
Curva de distorção para a distância focal 
calibrada 
Curva de distorção para a distância 
focal gaussiana equivalente 
δr 
r 
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23 
denominado ainda como “ponto principal calibrado” (ANDRADE, 2003; MERCHANT, 
1979). 
 Independente da definição adotada para o ponto principal, suas 
coordenadas x0 e y0 representam a sua posição com relação ao sistema fiducial, ou 
sistema com origem no centro da imagem (para as câmaras digitais). Este sistema 
de referência da imagem passa a ser definido como sistema fotogramétrico, quando 
sua origem é transladada para o CP da imagem. A Figura 2.5 ilustra o ponto 
principal de autocolimação que pode ser estimado por um método de calibração de 
câmaras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Ponto principal de autocolimação (ppa). 
 
2.2.1.3 Distorção radial simétrica 
 
 É a componente simétrica da distorção que ocorre ao longo das 
linhas radiais da imagem, a partir do ponto principal (WOLF e DEWITT, 2000). Esta 
distorção é resultante da dificuldade dos fabricantes em produzir lentes com 
curvatura perfeita e pode ser entendida como a parcela não desejável da refração 
sofrida por um raio de luz ao atravessar o sistema de lentes, sendo seu modelo 
estabelecido através dos seguintes polinômios: 
 
)y...)(ykK(Kδy
)x...)(xKK(Kδx
0
6r3
4r2
2r1r
0
6r3
4r2
2r1r
-
-
++=
++=
 (2.8) 
onde, 
Plano do negativo ppa 
 Fonte: Adaptado de Galo (2005a). 
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24 
r
δx e 
r
δy - Componentes do deslocamento para um ponto da imagem (x, y); 
r - Distância radial deste ponto ao ponto principal (x0, y0); 
K1, K2, K3, ... - Parâmetros do polinômio a serem estimados no ajustamento. 
 
2.2.1.4 Distorção descentrada 
 
 Dentre as distorções resultantes das imperfeições do sistema de 
lentes, a distorção descentrada é aquela que resta após a compensação da 
distorção radial simétrica, segundo Wolf e Dewitt (2000). É provocada pela 
impossibilidade do fabricante em realizar um alinhamento perfeito dos eixos ópticos 
das lentes que compõem o sistema óptico, sendo composta pelas componentes 
tangencial e radial assimétrica. O modelo desta distorção foi apresentado 
originalmente por Conrady em 1919 e Modificado por Brown (1966), sendo expresso 
por: 
])y-2(y[rP)y-)(yx-(x2Pδy
)y-)(yx-(x2P])x-2(x[rPδx
2
0
2
2001d
002
2
0
2
1d
++=
++=
 (2.9) 
onde, 
d
δx e 
d
δy - Deslocamentos de um ponto de coordenadas (x, y); 
r - Distância radial; 
P1 e P2 - Parâmetros do polinômio a serem recuperados na calibração. 
 
2.2.1.5 Coeficientes de afinidade 
 
 Os parâmetros de afinidade permitem a modelagem da não 
ortogonalidade e diferença de escala entre os eixos x e y do sistema de 
coordenadas da imagem, caso estes efeitos ocorram (MONIWA, 1972; GALO, 
1993). Tommaselli e Alves (2001) citam que nas modernas câmaras digitais a forma 
do pixel é geralmente quadrada, apresentando a mesma escala em x e y. Se houver 
diferença nas dimensões do pixel em x e y e esta diferença não for fornecida pelo 
fabricante da câmara, o fator de escala em x absorverá essa diferença. 
 Este efeito pode ser parametrizado por diferentes modelos, como o 
proposto por Moniwa (1972), para o caso das câmaras analógicas não métricas, e 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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25 
que pode ser também utilizado para câmaras digitais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; 
GALO, 2003). Outro modelo, apresentado por Habib e Morgan (2003), e que foi 
adotado neste trabalho, é expresso por: 
 
)yA(yδy
)yB(y)xA(xδx
0a
00a
−=
−+−−=
 (2.10) 
 
sendo A e B os parâmetros de afinidade. 
 
2.2.2 Parâmetros de orientação exterior 
 
 Um método de calibração de câmaras pode incluir ainda a estimativa 
dos parâmetros de orientação exterior. Os métodos de campo, como serão vistos 
mais adiante, permitem esta determinação, ao passo que os métodos de laboratório 
permitem uma solução que considera apenas a determinação da distância focal 
gaussiana equivalente, das coordenadas do ponto principal de autocolimação e da 
distorção radial simétrica. Os parâmetros de orientação exterior são constituídos por 
k, φ, ω, X0, Y0 e Z0 onde: 
 
k, φ e ω - Rotações entre o referencial fotogramétrico e o referencial do 
espaço objeto, no momento da aquisição da imagem; 
X0, Y0 e Z0 - Coordenadas do CP no referencial do espaço objeto, no 
momento da aquisição. 
 
 Os ângulos k, φ, ω permitem o cálculo da matriz de rotação que é 
aplicada na transformação do sistema de coordenadas do espaço objeto para um 
sistema paralelo ao sistema fotogramétrico do espaço imagem. 
 
 
 
 
 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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26 
2.2.3 Métodos de Calibração 
 
2.2.3.1 Métodos de laboratório 
 
 Os métodos de calibração em laboratório constituem uma das 
alternativas que podem ser usadas para a calibração de câmaras (ANDRADE, 2003; 
CLARKE e FRYER, 1998; CRAMER, 2004; MIKHAIL et al, 2001). Os métodos de 
calibração em laboratório a serem apresentados neste trabalho são os métodos do 
Multicolimador e do Goniômetro. 
 Os modernos sensores digitais aerotransportados, inclusive aqueles 
com configuração multicâmaras, também fazem uso de técnicas de laboratório para 
calibração das câmaras individuais que os compõem. É o caso do sensor DMC (Z/I 
Imaging) (CRAMER, 2004). 
 No entanto, a calibração de uma câmara digital a partir destes 
métodos de laboratório, deve considerar algumas adaptações devido à 
impossibilidade de se instalar uma placa de vidro no plano focal desta câmara. Esta 
impossibilidade se deve ao fato de que a matriz de sensores se encontra 
rigidamente instalada neste plano. 
 
2.2.3.1.1 Método do multicolimador 
 
 Neste método, utiliza-se de uma matriz de colimadores fixos, 
arranjada na forma de um leque, com ângulos bem definidos entre as diferentes 
direções de visada (ANDRADE, 2003; CLARKE e FRYER, 1998). A luz que emerge 
de cada colimador, focalizado para o infinito, passa pelo sistema de lentes e projeta 
a sua posição em uma placa fotográfica fixada no plano focal da câmara. 
 O arranjo de colimadores compreende dois planos verticais, com 90º 
entre si, constituindo um banco de colimadores. A Figura 2.6 ilustra um dos planos 
verticais do banco de colimadores para calibração de cones de até 90º de abertura. 
Os colimadores apresentam entre si, ângulosde 7,5º com distribuição simétrica até 
que se atinja 45º para cada lado com relação ao colimador central. Sendo assim, 
chega-se a um total de 25 colimadores para um banco de colimadores, considerando 
cones com 90º de abertura angular. Para o caso de uma abertura de 120º, o banco 
passa a ter 33 colimadores. 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – (a) Ponto nodal exterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos 
colimadores e (b) eixo óptico da câmara alinhado com o eixo do colimador central. 
 
 Segundo Cramer (2004) e Mikhail et al (2001), para calibrar a 
câmara usando um multicolimador, a câmara é primeiramente posicionada de 
maneira que o ponto nodal exterior coincida com o ponto de convergência dos eixos 
dos colimadores (Figura 2.6a). Em seguida, o eixo óptico da câmara é alinhado com 
o eixo do colimador central, utilizando-se de técnicas de autocolimação e do 
colimador central como referência (Figura 2.6b). 
 Na autocolimação, uma placa refletora é colocada no plano focal da 
câmara e esta câmara é ajustada até que o retículo do telescópio autocolimador se 
alinhe com a sua imagem refletida pela placa. Para realização destes passos, o 
banco de colimadores deve possuir recursos para posicionar o cone da câmara, 
nivelar e rotacionar o cone em torno do eixo óptico, devendo possuir ainda, um 
telescópio autocolimador (ANDRADE, 2003). 
 O processo segue com o imageamento dos colimadores e das 
marcas fiduciais em uma placa fotográfica de vidro, instalada no plano focal da 
câmara. A posição de cada colimador imageado, bem como de cada marca fiducial, 
é então medida por um instrumento de alta precisão. A partir destas medidas, 
calcula-se a distância focal gaussiana equivalente (considerando apenas os pontos 
Telescópio autocolimador 
(a) (b) 
Fonte: Baseado em Andrade (2003). 
45º 45º 
Ponto nodal exterior 
colimadores 
Placa fotográfica de vidro 
45º 45º 
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28 
mais próximos do centro da imagem), além da distorção radial para cada ponto 
medido. 
 
2.2.3.1.2 Método do goniômetro 
 
 O método consiste basicamente na medição de ângulos através de 
um goniômetro, de maneira que um telescópio possa mirar para marcas gravadas 
numa placa colocada no plano focal da câmara (ANDRADE, 2003). A Figura 2.7 
ilustra um goniômetro usado na calibração de câmaras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 – Goniômetro para calibração de câmaras. 
 
 Ao se calibrar uma câmara por este método, deve-se colocar o seu 
ponto nodal exterior aproximadamente sobre o eixo de rotação do limbo do 
goniômetro (ANDRADE, 2003). Prossegue-se colocando no plano focal da câmara, 
uma placa de vidro contendo uma rede de pontos. Estes pontos são observados 
pelo telescópio focalizado para o infinito, à medida que a placa é iluminada. 
 Para cada ponto observado, o ângulo α entre o eixo do telescópio e 
o eixo do sistema de lentes é medido. A distância focal gaussiana é então calculada 
a partir das distâncias conhecidas entre alguns pontos mais próximos do centro da 
malha e dos respectivos ângulos lidos pelo goniômetro. Pode-se calcular ainda, a 
distorção radial para qualquer ponto de distância d cujo ângulo α tenha sido medido. 
Fonte: Adaptado de Andrade (2003) 
Ponto nodal 
exterior 
α 
d 
Eixo das lentes 
c (distância principal) 
luneta 
“Grid” 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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29 
2.2.3.2 Métodos de campo 
 
 Segundo Andrade (2003), os métodos de campo oferecem soluções 
mais completas na calibração de câmaras, permitindo a recuperação de todos os 
parâmetros de calibração, contando ainda com uma superabundância de 
observações que torna possível um controle estatístico do processo. 
 Apresenta-se a seguir, os métodos dos campos mistos e das 
câmaras convergentes. Estes métodos são muito conhecidos pela comunidade 
fotogramétrica, já que permitem, dentro de suas respectivas particularidades, 
minimizar a correlação entre os parâmetros de calibração (f, x0 e y0) e a posição do 
centro perspectivo (Z0, X0 e Y0), respectivamente, evitando desta maneira a 
singularidade no sistema de equações normais. 
 
2.2.3.2.1 Equações de colinearidade com parâmetros adicionais 
 
 As equações de colinearidade (Equações 2.6), na forma como foram 
apresentadas, permitem obter as coordenadas (x, y) no sistema fotogramétrico, 
definido na Seção 2.2.1.2. No entanto, as imperfeições inerentes ao sistema óptico 
fazem com que o feixe de raios projetados geometricamente no plano focal da 
câmara, ou plano de sensores, não coincida com o feixe real de raios que incide na 
câmara no momento da exposição. 
 Logo, deve-se considerar uma parametrização adicional às 
Equações 2.6, compreendendo os parâmetros de orientação interior apresentados 
na Seção 2.2. As equações de colinearidade com parâmetros adicionais são dadas 
por: 
 
0=
)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xm
)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xm
f∆y-y-y=F
0=
)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xm
)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xm
fx-x-x=F
033032031
023022021
02
033032031
013012011
01
++
++
+
++
++
+∆
. 11) 
 
Estas equações são usadas nos métodos de calibração em campo a 
serem apresentados. Dentro das particularidades de cada método, a principal 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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30 
diferença se dá com relação à forma como as fotografias são adquiridas, bem como 
o espaço objeto fotografado. 
 No método dos campos mistos, por exemplo, o espaço objeto conta 
com dois campos: um com variações de relevo, da ordem de 20% da altura de vôo e 
outro que pode ser aproximadamente plano, no qual são identificados mais pontos. 
Já no método das câmaras convergentes, o espaço objeto é fotografado de maneira 
convergente, com rotações significativas em torno do eixo z. 
A calibração de câmaras por meio das Equações 2.11 constitui um 
método analítico cujas funções (∆x, ∆y) permitem a modelagem dos erros 
sistemáticos apresentados na Seção 2.2.1, conforme segue: 
 
































++=
a
a
d
d
r
r
δy
δx
δy
δx
δy
δx
∆y
∆x
. (2.12) 
 
2.2.3.2.2 Método dos campos mistos 
 
 O método dos campos mistos surgiu quando o professor Dean 
Merchant1, 2 (1968 e 1971 apud Andrade, 2003) analisou a dependência linear entre 
os parâmetros de um ajustamento de aerotriangulação. Os resultados desta análise 
mostraram a impossibilidade na determinação simultânea dos três pares de 
parâmetros (f e Z0, x0 e X0, y0 e Y0), quando a razão entre as derivadas das 
equações de colinearidade com relação a estes pares era constante. 
 Esta constância, no entanto, ocorre no caso de (Z - Z0) ser 
constante e ω = φ = 0, ou seja, quando a altura de vôo é constante, o terreno plano 
e as fotos perfeitamente verticais. Deste modo percebeu-se então que ao utilizar um 
campo com alvos apresentando desníveis acentuados poderia quebrar a correlação 
entre os parâmetros. Com este propósito, no ano de 1972 o professor Merchant3 
(1972 apud Andrade, 2003) utilizou dois campos de testes com alvos: um 
montanhoso, com poucos alvos de coordenadas bem definidas, para quebrar a 
 
1 MERCHANT, D. C.Calibration of the aerial photogrammetric system. Rome Air Development. Center, 
1968. 
2 MERCHANT, D. C. An investigation into dynamic aerial photographic system calibration. RADC-R-71-
174, Final Technical Report, 1971. 
3 MERCHANT, D. C. Metric Calibration of the Aerial Photographic System by de Method mixed Ranges. 
AFSC (RADC) TR-72-178, 1972. 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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31 
correlação entre os parâmetros; e outro plano, com muitos alvos, para uma boa 
determinação dos outros parâmetros de calibração. 
 Este método foi adaptado no Brasil por Andrade e Olivas (1981), que 
implantaram um campo de calibração na região da Serra de São Luiz de Purunã -
Paraná, no inicio dos anos 80. Além disso, desenvolveram os procedimentos 
teóricos necessários à realização da calibração. 
 
2.2.3.2.3 Método das câmaras convergentes 
 
 Segundo Andrade (2003), o método das câmaras convergentes foi 
utilizado pela primeira vez para calibrar a câmara Hasselblad 500, usada para 
fotografar a Lua durante a missão APOLLO 14. A princípio, não foi possível a 
calibração deste equipamento e a NASA contratou então a DBA Systems para 
realização desta tarefa. 
 A calibração deste equipamento foi realizada, utilizando-se de 
fotografias convergentes e rotacionadas em torno do eixo z (ANDRADE, 2003). Este 
processo só foi possível devido ao fato de que as fotografias convergentes não 
apresentavam a dependência linear verificada para fotos verticais. Mais tarde a 
câmara pôde ser calibrada pelo método estelar, confirmando a consistência dos 
resultados de ambas as calibrações. 
 
2.2.4 Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração 
 
 O processo de calibração por um método de campo faz uso das 
equações de colinearidade com parâmetros adicionais, aplicadas em um processo 
denominado ajustamento por feixes de raios (Bundle Adjustment). Diferentes 
técnicas podem ser adotadas na realização deste processo, a citar: a autocalibração, 
do inglês self-calibration e a calibração em serviço (on-the-job calibration) 
A definição destas técnicas se apresenta de maneira não 
homogênea na literatura, que muitas vezes define, erroneamente, a técnica de 
calibração abordada (CLARKE e FRYER, 1998). Deste modo, apresenta-se a seguir 
as definições para autocalibração e calibração em serviço. 
 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
32 
2.2.4.1 Calibração em serviço (on-the-job) 
 
Consiste de um ajustamento por feixes de raios considerando as 
equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações 2.11 da Seção 
2.2.3.2.1) e requer a colocação de pontos de controle na área do objeto a ser 
imageado, sendo considerada a técnica mais utilizada na Fotogrametria a curta 
distância (CLARKE e FRYER, 1998). Cramer (2004) utiliza o termo “calibração in-
situ” para se referir à técnica de calibração on-the-job, e ao contrário do que se 
verifica para a autocalibração, o principal interesse na aplicação desta técnica é a 
reconstrução de feições do espaço objeto que ocorre em conjunto com o processo 
de calibração. 
 
2.2.4.2 Autocalibração (self-calibration) 
 
 Atkinson (1996) trata o conceito desta técnica como sendo uma 
extensão do conceito de calibração on-the-job. No entanto, a autocalibração não 
requer qualquer controle do espaço objeto para a realização da calibração, sendo 
necessário fixar somente a posição e orientação de uma das câmaras e uma escala 
no espaço objeto, compondo as 7 injunções mínimas para fixar um referencial no 
espaço objeto. Além disso, alguns critérios devem ser adotados para que o processo 
de calibração seja executado (BROWN, 1989): 
 
(1) Uma única câmara deve ser utilizada para tomar um mínimo de três 
imagens do objeto; 
(2) Tanto a geometria interna da câmara quanto os pontos a serem 
medidos devem permanecer estáveis durante o processo de medida; 
(3) A rede fotogramétrica deve ser rígida; 
(4) No mínimo uma imagem deve ser tomada com um ângulo 
significativamente diferente dos outros; 
(5) Um grande número de pontos bem distribuídos deve ser utilizado. 
 
 Mediante o cumprimento de tais critérios, Brown (1989) garante o 
sucesso na execução da calibração. 
 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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33 
2.2.5 Calibração de estereocâmaras 
 
 Esta Seção compreende o estudo de três abordagens de calibração 
de estereocâmaras. A primeira delas, apresentada por Zhuang (1995), trata da 
determinação dos parâmetros de orientação exterior de uma estereocâmara a partir 
da técnica de autocalibração e a outra apresentada por Tommaselli e Alves (2001), 
trata da calibração de um sistema de vídeo estereoscópico Nu-View, utilizando-se de 
injunções aos parâmetros de orientação exterior. Uma terceira abordagem, estudada 
por Espinhosa (2006), trata da avaliação dos resultados de uma fototriangulação 
com injunção de distância na estéreo-base entre duas vídeo-câmaras digitais. 
 
2.2.5.1 Calibração de uma estereocâmara por autocalibração 
 
 A abordagem apresentada por Zhuang (1995) trata da calibração 
aplicada com o objetivo de se determinar apenas os parâmetros de orientação 
relativa entre as duas câmaras (posição e orientação de uma câmara com relação à 
outra). A técnica de autocalibração não requer a medida de pontos de controle no 
espaço objeto, como citado na Seção 2.2.4.2, e na abordagem proposta por Zhuang 
(1995), pressupõe o conhecimento de uma distância fixa, medida no espaço objeto. 
 Esta abordagem é considerada como sendo uma solução parcial, já 
que assume a orientação interior como sendo conhecida, pré-determinada por um 
método qualquer. Enquanto o objeto se move, os pontos extremos que delimitam a 
distância conhecida no espaço objeto têm suas coordenadas medidas na seqüência 
de imagens tomadas. 
 A função que relaciona os parâmetros incógnitos às medidas 
(Equação 2.13) é então formulada e a minimização desta função é obtida pela 
aplicação do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). As medidas compreendem as 
fotocoordenadas dos pontos extremos e a distância fixa no espaço objeto. 
 
沸
m
1=j
=E [d - gj (k, ϕ, ω, ∆X, ∆Y, ∆Z)]
2 (2.13) 
onde 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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34 
gj Distância calculada como função indireta dos parâmetros de orientação 
relativa (incógnitos) para j = 1, 2,..., m medidas; 
d Distância fixa medida no espaço objeto. 
 
 O termo gj é obtido pela Equação 2.14, sendo expresso como uma 
função direta dos pontos extremos que delimitam uma feição com distância d 
conhecida no espaço objeto. 
 
2
21
2
e,22,1e1
2
e,22,1e1
)Z- (Z)yZ- y(Z)xZ- x(Zg ++= (2.14) 
onde 
( ,1ex , ,1ey ) e ( 2,ex , 2,ey ) Coordenadas dos pontos extremos (na imagem da 
esquerda), normalizadas e corrigidas da distorção radial simétrica (ZHUANG, 
1995); 
i
Z , para i = 1,2 Coordenada Z dos pontos extremos, no espaço objeto. 
 
 A partir dos valores de 
i
Z é possível obter as coordenadas 
(
i
X ,
i
Y ,
i
Z ) dos pontos extremos no espaço objeto, de acordo com a Equação 2.15. 
O sistema de coordenadas do espaço objeto é adotado como sendo o sistema de 
coordenadas da imagem da esquerda, e o valor de Z calculado pela solução 
explícita apresentada em Zhuang (1995), desenvolvida com base na Equação 2.16, 
que relaciona os elementos de orientação relativa (ω, ϕ, k, ∆X, ∆Y, ∆Z).























=
1
y
x
Z
Z
Y
X
ie,
ie,
i
i
i
i
 (2.15) 




































+=
∆Z
∆X
∆X
1
y
x
RZ
1
y
x
λ ie,
ie,
iid,
id,
 (2.16) 
onde 
λ Fator de escala; 
R Matriz de orientação relativa entre as duas câmaras (função de k, φ e ω); 
∆X, ∆Y e ∆Z Componentes da translação entre as duas câmaras; 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
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35 
d
x e 
d
y Coordenadas de um ponto na imagem da direita; 
e
x e 
e
y Coordenadas do mesmo ponto na imagem da esquerda. 
 
 Portanto, o problema de calibração, na abordagem proposta por 
Zhuang (1995), se reduz a encontrar os parâmetros k, φ, ω, ∆X, ∆Y e ∆Z (Equação 
2.13) que minimizem a função E, de acordo com o critério dos mínimos quadrados. 
Como pode ser notado neste método não são estimados os parâmetros de OI, como 
nas abordagens clássicas de calibração em Fotogrametria. 
 
2.2.5.2 Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico 
 
 A abordagem de calibração de uma estereocâmara apresentada por 
Tommaselli e Alves (2001), foi aplicada a um sistema de captura de imagens 
estereoscópicas Nu-View. Este sistema permite a gravação de estereopares em 
campos entrelaçados, gravados em formato VHS, que podem ser digitalizados e 
separados, permitindo uma posterior reconstrução da cena imageada. 
 Esta abordagem utiliza as equações de colinearidade com 
parâmetros adicionais (Seção 2.2.3.2.1), considerando algumas relações que são 
mantidas fixas, visando-se obter uma maior rigidez do sistema. Estas relações, 
segundo Tommaselli e Alves (2001), podem ser convertidas em injunções conforme 
segue: 
 
0B-ZYXXG 2)d
0
e
0
(Z2)d
0
e
0
(Y2)d
0
e
0
(1 =−+−+−= (2.17) 
0∆κrrrrrrG d
13
e
23
d
12
e
22
d
11
e
212
=−++= (2.18) 
0∆rrrrrrG d
13
e
33
d
12
e
32
d
11
e
313
=ϕ−++= (2.19) 
0∆rrrrrrG d
23
e
33
d
22
e
32
d
21
e
314
=ω−++= (2.20) 
onde 
G1 Equação de distância entre os CPs das imagens da esquerda e da 
 direita, sendo a distância B (base) também uma incógnita a ser 
 determinada; 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
36 
G2, G3 e G4 Equações de diferenças de cossenos diretores (também 
constantes). Estes elementos diferenciais podem ser estimados no 
ajustamento, sendo obtidos a partir da combinação entre as matrizes de 
rotação das imagens esquerda e direita segundo a relação: 
 












=−
ϕ−
−
ϕ−
1∆ω∆
∆ω1∆κ
∆∆κ1
RR 1
diresq
 (2.21) 
 
sendo Resq e Rdir as matrizes de rotação das imagens da esquerda e direita, 
respectivamente. 
 De acordo com Tommaselli e Alves (2001), a matriz anti-simétrica no 
segundo membro da Equação 2.21 resulta da soma das matrizes de Rodriguez com 
a identidade, que nada mais é do que a expressão diferencial da matriz de rotação 
da imagem direita em relação à esquerda (o referencial da imagem da esquerda é 
adotado como origem). Os termos desta matriz podem ser considerados como 
invariantes para duas câmaras quaisquer, quando elas são rigidamente fixas e com 
rotações pequenas entre elas, o que permite a elaboração das equações G2, G3, G4 
(Equações 2.18, 2.19 e 2.20, respectivamente). 
 Considerando as Equações 2.11 (equações de colinearidade com 
modelagem das distorções), e ainda, as equações de injunções apresentadas 
(Equações 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20), o vetor dos parâmetros a serem estimados no 
ajustamento é dado por: 
 
]ωϕϕϕ ∆ ∆ ∆κ BZYXω...κZYXωκ f d K c [cX m
e
 
m
e
 
m
e
 
m
e
 
m
e
 
m
e
1
e
 
1
e
 
1
e
 
1
e
 
1
e
 
1
es1yx
T
a = (2.22) 
 
 Para o caso do sistema de captura de imagens mencionado (Nu-
View), os parâmetros de orientação interior constituem um único conjunto, pois as 
duas imagens (esquerda e direita) são geradas pela mesma câmara, a partir de um 
deslocamento provocado pelo espelho. Um ajustamento pelo método dos Mínimos 
Quadrados, considerando as injunções, permite a solução do sistema e a 
determinação dos parâmetros. 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
37 
 No caso da metodologia a ser desenvolvida neste projeto, isto não 
ocorre, já que o sistema é composto por duas câmaras, devendo ser considerados 
dois grupos de parâmetros de orientação interior no modelo de ajustamento a ser 
desenvolvido. 
 
2.2.5.3 Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo 
 
Espinhosa (2006) apresentou um trabalho que avaliou o 
comportamento dos parâmetros de orientação interior e exterior das câmaras e das 
coordenadas dos pontos triangulados, estimados na fototriangulação com 
parâmetros adicionais considerando uma injunção de distância na estéreo-base 
entre as duas vídeo-câmaras. Experimentalmente, pôde-se concluiu que, para as 
câmaras utilizadas, os resultados não apresentaram diferenças significativas ao se 
considerar o uso da injunção de estéreo-base na solução da fototriangulação. 
 
2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) 
 
 O ajustamento pelos mínimos quadrados pode ser realizado por três 
métodos (MIKHAIL et al, 2001) que, dependendo do tipo de modelo funcional, 
podem ser denominados: ajustamento somente de observações (adjustment of 
observations only); ajustamento de observações indiretas (adjustment of indirect 
observations); e ajustamento de observações e parâmetros (adjustment of 
observations and parameters). Estes três métodos são também conhecidos, 
respectivamente, por método dos correlatos, paramétrico e combinado (GEMAEL, 
1994). 
 O método combinado é mais geral, já que dele podem ser derivados 
os outros dois. Este método é aplicado quando as equações de condição contêm 
parâmetros e observações ligados por uma função implícita, não sendo possível 
coloca-los na forma explicita. Mikhail e Ackerman (1976) apresentam duas variantes 
deste método, sendo a primeira denominada: método unificado de ajustamento 
pelos mínimos quadrados com injunções (unified aproach least squares adjustment 
and parameters constraints); e a segunda: ajustamento pelos mínimos quadrados 
com equações de condição e injunções (least squares adjustment with conditions 
and constraints). 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
38 
 Esta segunda variante do método combinado requer um número 
maior de produtos matriciais. No entanto, a influência das injunções não afeta a 
estrutura da matriz N, bloco diagonal, que pode ser solucionada de maneira 
otimizada. Já a primeira variante, permite um número menor de produtos matriciais, 
além de uma maior facilidade de aplicação. Contudo, a estrutura bloco diagonal da 
matriz N é perturbada pela influência das injunções como poderá ser verificado mais 
adiante. 
 O método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com 
injunções, ou método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com 
injunções, como será chamado daqui por diante, apresenta maior vantagem e 
facilidade de aplicação e será adotado na metodologia de calibração desenvolvida 
neste trabalho. A outra possibilidade de ajustamento será apresentada no Apêndice 
I, para fins de comparaçãoe testes futuros. 
 No que se refere aos tipos de injunções: a injunção funcional pode 
ser definida como uma restrição imposta aos parâmetros com base nas relações 
levantadas a partir de características físicas ou geométricas do modelo (MIKHAIL e 
ACKERMAN, 1976). A injunção de peso, por exemplo, determina a variabilidade de 
um parâmetro dentro do ajustamento, sendo este peso definido com base na 
confiança que se tem no valor desta variável, conhecido a priori. 
 
2.3.1 Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções 
 
 As operações nos campos da Geodésia, Fotogrametria e 
Levantamentos, segundo Mikhail e Ackerman (1976), necessitam de um método de 
ajustamento que permita utilizar diferentes tipos de dados, de uma maneira mais 
geral e unificada. O fator mais importante associado a esta concepção de 
ajustamento, diz respeito ao fato de que todas as variáveis envolvidas no modelo 
matemático apresentam “valores preliminarmente estimados“, com variâncias 
conhecidas a priori. 
 O método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados 
necessita de um mecanismo de diferenciação entre as variáveis, o qual é dado 
convenientemente pela matriz variância-covariância conhecida, ou ainda, pela matriz 
peso das observações. Deste modo, se uma determinada variável possuir variância 
tendendo ao infinito, ou seja, peso tendendo a zero (P → 0), esta variável poderá 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
39 
variar livremente no ajustamento, assumindo a condição de parâmetro 
desconhecido. 
 Por outro lado, se a mesma variável possuir variância nula, ou peso 
tendendo ao infinito (P → ∞), não será permitida sua variação no ajustamento e esta 
variável assumirá a condição de constante. Deste modo, os parâmetros envolvidos 
nas equações de condição, até então encarados como simples incógnitas, passam a 
ser tratados como “pseudo-observações”. 
 O primeiro passo considerado na aplicação do método de 
ajustamento apresentado, diz respeito à identificação do modelo funcional a ser 
utilizado, além do número mínimo de observações n0, de um total de n (com n > 0), 
necessárias à determinação do modelo de maneira única. Para cada um dos r = n - 
n0 graus de liberdade, deve-se escrever uma equação de condição que relaciona o 
modelo às variáveis do problema. 
 A inclusão de u parâmetros incógnitos ao problema, incrementa o 
número de equações de condição de acordo com c = r + u até um número máximo 
de n equações (0 ≤ u ≤ n0). Assumindo que apenas u’ parâmetros são 
funcionalmente independentes, do total de u, s = u – u’ representa o número de 
parâmetros dependentes. Assim sendo, s equações de injunções devem ser escritas 
para refletir aquela dependência, de modo que s seja menor que u (s < u) para que 
as equações de injunções não se tornem um sistema inconsistente (MIKHAIL e 
ACKERMAN, 1976). Os modelos matemáticos das equações de condição e 
injunções são respectivamente do tipo: 
 
0)aX,a(LF = (2.23) 
0)aX,
a
c(c LF = (2.24) 
onde 
aL Vetor das observações ajustadas de dimensões n x 1; 
a
cL Vetor das observações ajustadas, referente às equações de injunções, de 
dimensões t x 1; 
aX Vetor dos parâmetros ajustados de dimensões u x 1. 
 
 Os vetores dos valores observados são dados, respectivamente, 
por: 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
40 
b
L Vetor das observações de dimensões n x 1 e matriz cofator Q; 
cL Vetor das observações, referente às equações de injunções, de 
dimensões t x 1 e matriz cofator Qc; 
Xx Vetor dos parâmetros observados a priori (pseudo-observações) de 
dimensões u x 1 e matriz cofator Qx. 
 
 Os modelos 2.23 e 2.24, compreendem respectivamente, c 
equações de condição e s equações de injunções. Se os elementos L0, 0cL e X0 
denotam os vetores dos valores aproximados, V, Vc e Vx , os vetores dos resíduos e 
XL, XLc e X os vetores das correções aos valores aproximados, então (MIKHAIL e 
ACKERMAN, 1976; GEMAEL, 1994): 
 
L0ba XLVLL +=+= (2.25) 
Lc
0
ccc
a
c XLVLL +=+= (2.26) 
ba LLV −−−−==== (2.27) 
0XXX a −= (2.28) 
 
 Segue-se com a linearização dos modelos apresentados pelas 
Equações 2.23 e 2.24, que resulta nas equações: 
 
0WAXBV =++ (2.29) 
0W'CXVB cc =++ (2.30) 
nas quais 
 
)]X,F(L)L-[B(LW 000b += ; 
)]X,(LF)L-(L[BW' 0
0
cc
0
ccc += ; 
00
XLb ,
L
F
B
 風
 風
= ; 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
41 
00
L,Xa
X
F
A
 風
 風
= ; 
0
0
XcL
c
c
c
,
L
F
B
∂
∂
= ; 
0
0 cL,X
a
c
X
F
C
 風
 風
= . 
 
 A concepção desenvolvida até então para este método, considera os 
parâmetros como sendo “pseudo-observações”, e embora não faça nenhuma 
distinção entre os parâmetros e observações, os parâmetros são considerados como 
sendo aquelas variáveis de interesse ao final do ajustamento. No entanto, algumas 
considerações podem ser feitas com relação a este método. 
 Seja 
b
L o vetor das observações, V o vetor dos resíduos, X0 o vetor 
dos parâmetros aproximados e X o vetor das correções aos parâmetros 
aproximados, conforme apresentado anteriormente, então, segundo Mikhail e 
Ackerman (1976), se r = n - n0 representa o número de graus de liberdade, pode-se 
escrever c = r + u equações de condição em termos de V, 
b
L , X0 e X. 
 No entanto, considerando-se a existência de mais u “pseudo-
observações” Xx referentes aos parâmetros, o número total de observações passa a 
ser de n + u com r + u graus de liberdade, resultando em um total de r + 2u, ou c + u, 
equações de condição. Deste modo, ao final do ajustamento os valores dos 
parâmetros ajustados deverão ser idênticos às pseudo-observações ajustadas, ou 
seja: 
 
xx0a VXXXX +=+= (2.31) 
que resulta em 
 
xx0x WXXXV =−=− (2.32) 
 
Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais 
BAZAN, W. S. FCT/UNESP 
42 
 Com base nas Equações 2.29, 2.30 e 2.32, Mikhail e Ackerman 
(1976) desenvolvem e apresentam a equação para a estimativa do vetor das 
correções aos parâmetros aproximados, dada por: 
 
)]
x
W
x
P+U+(U[σ)]
x
P+N+(N-[σ=X
c
2
0
1-
c
2
0
 (2.33) 
para a qual 
 
A)(BQBAN 1TT -= ; 
W)(BQBAU 1TT -= ; 
C)BQ(BCN 1Tcccc
T -= ; 
W')BQ(BCU 1Tcccc
T -= ; 
1-
xx QP = ; 
 
sendo 2
0
σ a variância da observação de peso unitário a priori. Na primeira iteração, 
o valor de Wx calculado de acordo com a Equação 2.32 é nulo já que a primeira 
aproximação para o vetor (X0) corresponde aos valores observados (Xx). A partir da 
segunda iteração, Wx passa a acumular o valor das correções aos parâmetros, ou 
seja, na j-ésima iteração: 
 
∑
−
=
=
1j
1i
(j) ix XW , (2.34) 
 
para j = 2, 3, ..., m iterações. O mesmo ocorre com os vetores L0 e 
0
cL que na 
primeira iteração recebem, respectivamente, os valores de bL e cL , anulando as 
primeiras parcelas das equações no cálculo de W e W' . 
 Na Equação 2.33 N e U refletem a contribuição das observações 
convencionalmente