Unidade 4 - MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS

Prévia do material em texto

Introdução
MODELAGEM DE SISTEMASMODELAGEM DE SISTEMAS
MODELAGEM DE SISTEMAS MODELAGEM DE SISTEMAS 
DINÂMICOSDINÂMICOS
Au to r ( a ) : M e . G u i l h e r m e A f o n s o B e n to M e l l o
R ev i s o r : Fa b i o J o s e R i c a rd o
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 50 minutos.
Olá, estudante! Vamos iniciar nosso estudo falando sobre os meios existentes para realizar a
modelagem de sistemas , visto que há diversas formas de realizar a modelagem de um
processo.
Nesta unidade, será apresentada a introdução à identi�cação , baseada em mecanismos e
métodos para realizar e reconhecer a modelagem de sistemas, identificar os sistemas pelo
método relé , realizar a estimação de parâmetros de controle através de métodos de otimização
quadrática e regressão linear e, por fim, utilizar softwares para realizar a simulação dos
processos.
Bons estudos!
Prezado(a) estudante, você sabia que a modelagem consiste em uma maneira de poder
representar um sistema de forma �dedigna e com todas as suas características ? Além disso, a
modelagem permite compreender o sistema como um todo, permite-se que sejam possíveis
realizar melhorias , além disso, a representação do processo pode simpli�car a realidade.
O modelo selecionado para representar um sistema pode apresentar diversos níveis de
precisão e isso varia a partir do modelo que for utilizado , sendo que os modelos que estejam
os mais próximos da realidade do processo são considerados melhores, vale ressaltar que não
existe apenas um único modelo correto, mas várias formas de interpretar o sistema
(CALSAVARA, 2005).
Introdução à
identificação de
sistemas
É comum que a representação do sistema dependa do conhecimento de especialistas, de
engenheiros(as), para poder realizar a representação, como as observadas a seguir.
Entretanto há ainda outras possibilidades que permitem a representação de um sistema,
baseadas na utilização ou puramente representativa , como ao desenhar a mão um projeto,
sem especificações. Pode ser representado por meio de cadeias de hierarquia ou mesmo um
esquema de funcionamento do sistema.
Diferentes são as formas de representar um sistema, mas os(as) engenheiros(as) devem
sempre saber a hora de usar cada tipo de modelagem, sendo que não há um único meio de
representar um processo .
Um modelo pode ser definido a partir de um conjunto de equações , que representa um
criterioso modelo matemático , o qual expressa os dados de atributos das entradas e saídas do
sistema, sendo estes obtidos por meio de fenômenos previamente conhecidos.
A modelagem deve ser feita a partir de vários atributos, como substâncias , matérias-primas ,
propriedades químicas , dispositivos , equipamentos , controladores , bem como de todos os
elementos que estejam associados a um dispositivo que se queira modelar. Essa modelagem
pode ser elaborada de várias formas, as mais comuns são a representação por blocos e a
representação matemática.
Reconhecer modelos fenomenológicos, empíricos e mistos
A modelagem matemática de sistemas representa um conjunto de equações matemáticas,
baseado no sistema real , que dispõe de uma ou mais equações, utilizando-se das variáveis de
entrada e saída , além de que pode representar a presença , ou não , de perturbações do
sistema. Deve-se levar em consideração, também, os dispositivos que estão associados ao
sistema, como controladores , medidores , indicadores e, eventualmente , os tipos de operação
que o operador realiza naquele equipamento. Essa modelagem poderá ser originada por três
meios:
fundamentais;
fenomenológicos;
empíricos.
Para Silva (2013), os modelos fundamentais também podem ser denominados modelos
teóricos ou fenômenos de transporte . Eles baseiam-se no uso das leis da física e química, com
o objetivo de descrever o sistema , de tal forma que se obtenha os atributos de entrada e saída
mediante experimentação ou por meio da literatura existente para tais.
Os modelos fenomenológicos , assim como o nome sugere, consistem em descrever os
processos por meio dos fenômenos apresentados, utilizando-se dos princípios da conservação
de energia, Leis de Newton, Lei de Ohm, equações diferenciais, variáveis com condições iniciais
e condições de contorno (PEREIRA, 2011).
Os fenomenológicos podem ser classi�cados de acordo com a natureza (determinístico ou
estocástico), dependência do tempo (estacionário ou dinâmico) e equações resultantes
(algébricas, equações diferenciais ordinárias ou equações diferenciais parciais) (PEREIRA,
2011).
A modelagem empírica é oriunda da interação do homem com o sistema . Esse modelo é
bastante restrito , super�cial e pode ainda não representar adequadamente o sistema
(ADORNO; MARTINS; SILVA, 2013). Então, necessita da utilização de técnicas para
operacionalizar as variáveis com o desempenho do processo.
Há, ainda, a modelagem híbrida ou mista , que correlaciona os tipos existentes de modelagens.
Reconhecer as etapas de modelagem empírica
Nos modelos empíricos, devido à sua característica limitada e muitas vezes super�cial , para
realizar a modelagem de sistemas por esse método, é necessário utilizar um conjunto de
técnicas de regressão , a fim de que se possa operacionalizar pelo método empírico (SILVA,
2013).
Para Pereira (2011), o modelo empírico é comumente identificado como uma “ caixa-preta ”, da
qual não se conhece quais foram os meios pelos quais ela foi gerada/construída , entretanto
devem-se utilizar técnicas que permitam a relação entre as variáveis dependentes e as
independentes, através das funções de transferência .
A função de transferência apresenta a relação da saída do sistema com a entrada , sendo que a
saída do sistema é aquilo que se espera medir ou avaliar , frequentemente são as variáveis que
são mensuradas no processo, como a pressão, o nível, a temperatura, a vazão, a velocidade etc.
Florêncio (2009, p. 14) descreve etapas para o desenvolvimento de modelagem empírica por:
1.Especi�cação do modelo estatístico a ser utilizado; 
2.Estimação dos parâmetros das variáveis; 
3.Teste de especi�cação do modelo; 
4.Veri�cação das violações das premissas da técnica selecionada; 
5.Testes de hipóteses; 
6.Identi�cação de pontos in�uenciantes; 
7.Escolha da técnica.
Vale ressaltar que a especificação das variáveis do processo neste modelo depende da escolha
do profissional, desde que a variável faça parte do sistema . Para cada um dos elementos
listados na modelagem empírica, deve-se realizar um tipo de teste para a veri�cação dos
pontos, como: teste de normalidade Jarque-Bera; método dos mínimos quadrados; teste Reset
de Ramsey; teste de significância parcial e geral de coeficientes; teste sobre os outliers etc.
(FLORÊNCIO, 2009).
Um dos métodos para diagnosticar o modelo selecionado é a análise de regressão linear . O
método da regressão consiste em analisar a relação entre duas ou mais variáveis do processo,
de forma que se possa identi�car e estimar outras a partir destas variáveis (ÁVILA; SILVA;
RODRIGUES, 2020). Um exemplo disso é determinar o número de tomadas em uma sala
baseado na área total do ambiente, ou, ainda, determinar a vazão de ar frio de um condicionador
de ar para resfriar um ambiente.
Para isso, geralmente, há a construção de um grá�co que apresenta a relação entre duas
variáveis do processo, denominado grá�co de dispersão . Através do diagrama de dispersão, é
possível compreender melhor como funciona a relação entre as variáveis do processo, permite
um maior rendimento , e�ciência , capacidade de melhorias do processo, a identi�cação de
possíveis problemas , dentre outros (PEREIRA, 2016).
Com o gráfico de dispersão, é possível determinar a correlação , que mede a relação entre as
variáveis, e, com a regressão, fornece uma função de reta que relaciona as variáveis. O cálculo
da correlação é dado na Equação 4.1.
Na Equação 4.1, ‘r’ é o coeficiente de correlação de Pearson , um índice que varia de -1 a +1 e
que demonstra a intensidade de relação linear entre as variáveis, sendo que:
r = -1 our = 1, correlação perfeita negativa ou positiva;
-1 < r < -0,95 ou 0,95 > r > 1, correlação muito forte, negativa ou positiva;
-0,95 < r < -0,65 ou 0,65 > r > 0,95, correlação forte, negativa ou positiva;
-0,65 < r < -0,35 ou 0,35 > r > 0,65, correlação moderada, negativa ou positiva;
-0,35 < r < -0,03 ou 0,03 > r > 0,35, correlação fraca, negativa ou positiva;
-0,03 < r < 0,03, correlação nula.
A correlação é interpretativa . Portanto, pode-se identi�car e interpretar o resultado obtido.
Salienta-se, também, que, eventualmente, pode haver uma in�nidade de valores, os quais
podem impossibilitar a realização dos cálculos a mão e, portanto, recomenda-se o uso de
softwares matemáticos , como o Matlab, o Octave, o Scilab, o Excel ou outros, a fim de
simpli�car e reduzir a carga de cálculos necessários. Inclusive, no Excel e em softwares livres
semelhantes, há fórmulas prontas que facilitam a obtenção dos resultados. Já no Matlab, no
Octave, no Scilab e em semelhantes, necessita-se de conhecimento da linguagem de
programação, para operação no console ou no editor, para se obter a análise adequada dos
resultados.
Equação 4.1 : r =
n.∑ −∑ .∑xiyi xi yi
n. − (∑ .∑i  
2 xi)2 n.∑ − (∑yi  2 yi)2
− −−−−−−−−−−−−−−
√
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
Através da regressão linear , pode-se obter uma reta, que representa a relação entre as variáveis
selecionadas, dada pela Equação 4.2.
Sendo que, para obtenção de 𝝰 e 𝛽, deve-se realizar as Equações 4.3 e 4.4.
Através da Equação 4.2, também é possível identificar o quão forte é a relação entre as
variáveis selecionadas . Observe o gráfico de dispersão apresentado na Figura 4.1 a seguir:
Figura 4.1 - Grá�co de dispersão de duas variáveis 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : é apresentado um gráfico de dispersão de duas variáveis no software Matlab na Figura
4.1. Ele tem forma retangular, sendo que, no eixo horizontal, há a numeração inicial em 213 e finaliza
em 224, escrito variável dependente; no eixo vertical, a numeração inicia em 15, variando de 0,5 até
19,5, escrito variável independente. No gráfico, é apresentado um conjunto de 35 quadrados
vermelhos pequenos, nas seguintes coordenadas (222,7;15,7), (217,7;17), (219,4;16,3), (220,9;16,1),
(214,4;18,6), (216,5;17,8), (213;19,5), (221,7;16), (224,7;15,3), (215,5;18,3), (220;16,3), (218,6;16,7),
(223,5;15,7), (217;17,4), (221,5;16,1), (218,4;16,8), (213,6;19,3), (221,2;16,2), (219,9;15,9), (222,2;19,1),
(213,9;18), (216;17), (218,1;16), (222;15,4), (224,1;18,6), (214,9;18,7), (214,2;15,6), (223,3;17,6),
(216,7;18,5), (215,3;15,5), (223,8;16,1), (220,6;18,2), (215,8;17,3), (217,3;17,3) e (219,2;16,5). Há uma
reta azul em traço-ponto iniciando na coordenada (213,6;19,3) e finalizando em (224,7;15,3). Há três
identificações no gráfico, sendo a primeira y = -0,35627 vezes xis + 94,9574; a segunda r = -0,97596; a
terceira com a escrita “Reta de regressão”. Acima do gráfico, está escrito “Diagrama de dispersão de
correlação muito forte”.
Com a disposição dos pontos, dada pela relação das variáveis selecionadas, também pode-se
determinar o erro entre a reta de regressão e os pontos determinados pelas variáveis. Com esse
erro ou aproximação dos pontos à reta, podemos verificar que a correlação é inversa, pois o
coeficiente de Pearson é negativo, e que a correlação é muito forte, visto que o valor de ‘r’ é
igual a -0,97596, que se localiza entre -1 e -0,95.
Analisar a dinâmica de dados experimentais frente a
modelos lineares
Equação 4.2 :  y = α.x + β
Equação 4.3 :  α =
n.∑( , ) −∑ ∑xi yi xi yi
n.∑( ) − (∑xi  2 xi)2
Equação 4.4 : β = − α.ȳ̄̄ x̄̄̄
Ao analisar um sistema, deve-se sempre estar atento ao estado das variáveis do processo . As
variáveis mais comuns são nível , pressão , temperatura , vazão , velocidade . Geralmente,
presentes em sistemas nos quais há envolvimento de fluidos líquidos e gasosos.
Mas você não deve analisar apenas o estado das variáveis, deve-se conhecer o processo como
um todo.
Em uma malha de sistema, normalmente, há elementos de entrada (variáveis do sistema, dados
de preset , perturbações), os somadores, os controladores, a planta industrial (que geralmente é
o “objeto” a ser controlado) e as saídas , como apresentado na Figura 4.2:
Figura 4.2 - Diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado na figura um diagrama de blocos. No lado esquerdo, há uma
identificação escrita “Entradas”, com uma seta conectada em uma circunferência de fundo branco,
com a identificação do sinal de adição (+); em seguida, uma seta conectada em um bloco quadrado
identificado com o nome “Controle”. Sai do bloco “Controle” uma seta que se conecta a um outro
bloco quadrado, identificado como “Planta”. Da “Planta”, saem duas linhas, uma que está conectada
às saídas do sistema e outra que desce abaixo dos blocos “Controle” e “Planta” e se conecta ao sinal
de subtração (-) do bloco circular, representando um sistema em realimentação.
Vale lembrar que, em uma representação em blocos , pode haver também outros elementos em
um sistema, tal como bloco de medição de sensores (controle de variáveis), ou um bloco para
controlar o erro de medição, erro de assentamento, dentre outros.
A análise deve partir da equaçãoA análise deve partir da equação
característica do processo, que podecaracterística do processo, que pode
ser obtida através da função deser obtida através da função de
transferência. Para Pérez (2012), étransferência. Para Pérez (2012), é
possível descrever um sistema pelapossível descrever um sistema pela
relação da saída com a entrada dorelação da saída com a entrada do
sistema a partir da transformação desistema a partir da transformação de
Por meio da função de transferência, é possível determinar se um sistema é estável , ou não ,
através dos polos e zeros . De fato, pode-se facilmente utilizar a informação para desenvolver
controle para o sistema, projetar outros polos e zeros, atentando-se às outras propriedades para
determinar se um sistema está estável ou tende à estabilidade (OLIVEIRA; AGUIAR; VARGAS,
2016).
Figura 4.3 - Exemplo de sistema em blocos 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentada uma figura composta por E(s) com uma seta da esquerda para direita
apontando para o sinal de positivo de uma circunferência à direita (bloco somador). O bloco somador
é uma circunferência composta por um sinal de positivo do lado esquerdo e por um sinal negativo na
parte inferior. À direita do bloco somador, há uma seta preta conectada a outro bloco, desta vez,
retangular, com a inscrição “s+3”. Saindo deste bloco, há uma seta preta conectada a outro bloco
retangular, com a equação “s” sobre “s mais 6”. Deste bloco sai uma seta preta apontada para a
direita, com a inscrição “Y(s)”, e sai também uma seta que passa por debaixo dos outros dois blocos
retangulares e se conecta ao sinal negativo do bloco somador.
Para resolver esse sistema, deve-se conhecer a função de transferência do sistema ,
promovendo a relação da saída Y(s) dividida pela entrada E(s).
Com a função de transferência, podemos identi�car a equação característica do sistema, além
de poder simular , assim, a resposta do sistema no tempo e identi�car a resposta para
possíveis interferências ; com isso, projetar controladores para evitar estes problemas.
O primeiro passo para identificar a estabilidade do sistema é encontrar os zeros e polos da
função de transferência, de tal forma que, quando os polos e zeros, após a localização destes,
sistema, a partir da transformação desistema, a partir da transformação de
uma equação diferencial ordináriauma equação diferencial ordinária
(EDO), originando a função de(EDO), originando a função de
transferência do processo. transferência do processo. 
Equação 4.5 : =
Y (s)
E(s)
+ 3.ss2
+ 4.s + 6s2
estiverem no semipleno esquerdo (relativo a todo plano de -∞ a 0 em relação ao eixo horizontal
real), o sistema está estável , caso contrário, poderáser considerado não estável .
Como identificar os polos e zeros? Igualar o numerador a zero e o fazer o mesmo com o
denominador (igualar a zero), sendo que os elementos que zeram o numerador encontrarão os
zeros da função de transferência; e, ao igualar o denominador a zero, os polos serão
encontrados.
Os zeros encontrados serão 0 e -3; enquanto os polos serão complexos, sendo -2+1,414j e -2-
1,414j. Observando os elementos, pode-se dizer que o sistema é estável , uma vez que os
elementos estão contidos no semiplano esquerdo do sistema.
praticar
Vamos Praticar
A regressão linear corresponde a um método que permite identi�car a relação entre duas
variáveis. Esse tipo de mecanismo é uma estratégia para testar conhecimentos empíricos,
além de desenvolver sistemas que podem realizar a conferência e a veri�cação de parâmetros
em uma linha industrial.
Uma das aplicações é o desenvolvimento de próprias funções que representam um sistema
de refrigeração e variação de temperatura.
Sejam (0,1), (1,6), (-1,-1), (-2,-7) e (5,11) os pontos medidos em uma linha de produção que
avalia a relação de temperatura de dois cilindros conectados, analise os pontos e calcule a
correlação de Pearson e a reta que representa a dispersão das variáveis de temperatura.
Equação 4.6 :   + 3.s = 0s2
Equação 4.7 :   + 4.s + 6 = 0s2
Os processos podem ser identi�cados baseados na sua complexidade e nas suas
funcionalidades , também podem ser discriminados conforme a sua composição . Como
mencionado anteriormente, um processo pode sofrer interferências mediante perturbações ,
que podem ocorrer em quaisquer elementos do processo. Algumas dessas interferências são
forçadas sobre os sistemas, a fim de verificar a estabilidade dos processos.
Reconhecer um sistema em malha fechada
Os sistemas podem ser representados de duas formas: malha aberta (Figura 4.4) e malha
fechada (Figura 4.5). No sistema em malha aberta, a saída a ser controlada depende apenas
dos dados da planta , dos dados de entrada do sistema e de possíveis perturbações que podem
ocorrer no processo; no sistema em malha fechada, a saída a ser controlada depende da ação
da própria saída para ser controlada, além do elemento de entrada, é também chamada de
sistema em realimentação ou sistema com feedback (OGATA, 2010).
Figura 4.4 - Representação em blocos de um sistema em malha aberta 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama sequencial
realimentado. No início, é informado um elemento denominado “Entrada”; posteriormente, o bloco
denominado “Planta”, que se refere ao ambiente que será modelado; e, por fim, o indicativo de “Saída”.
No sistema em malha aberta, observando a Figura 4.4, a saída depende única e exclusivamente
da natureza da entrada em relação ao elemento “Planta”, ou seja, o impacto da saída é
Identificação pelo
método relé
controlado apenas pela “Planta”, o que pode representar uma condição de pouco ou nenhum
controle, dependendo do que há na entrada do processo. Nesse tipo de processo, a variação da
entrada, por exemplo, uma perturbação, pode interferir completamente no resultado de saída.
Já a Figura 4.5 representa um sistema em malha fechada, na qual há uma realimentação no
sistema. Portanto, pode-se controlar o processo utilizando alguns mecanismos, como o
elemento somador, ou mesmo um bloco de controle por meio de análise de variáveis
(sensoriamento).
Figura 4.5 - Representação em blocos de um sistema em malha fechada 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama sequencial
realimentado. No início, é informado um elemento denominado “Entrada”; a seguir, o bloco somador
com dois ícones, apresentando adição e subtração; posteriormente, o bloco denominado “Planta”, que
se refere ao ambiente que será modelado; e, por fim, o indicativo de “Saída”. Entre o bloco de planta e
a saída, há uma conexão que se liga até o bloco somador no sinal de subtração.
Os sistemas em malha fechada comumente são utilizados para realizar um controle de uma
determinada variável desejada, como controlar a quantidade de fluido dentro de um
reservatório, ou mesmo controlar os gastos de uma casa quanto ao consumo energético diário.
Na verdade, o controle em malha fechada possui inúmeras aplicações na área industrial.
Entretanto há outros métodos para determinar se um sistema é estável, ou não. Identi�car os
polos e zeros consiste no método do lugar das raízes (ou root locus ); os critérios de Routh , de
Jury e os diagramas de Bode e de Nyquist podem ser utilizados também na avaliação de
estabilidade de um sistema (TOGNETTI; FIORILLO, 2015).
Reconhecer a resposta senoidal de um sistema em malha
fechada
As perturbações são interferências que podem acontecer em qualquer momento de
funcionamento de um sistema, há interferências passageiras e há aquelas que causam dano e,
de fato, impedem o correto funcionamento do processo. Contudo há um conjunto de
perturbações de testes , que são utilizadas para simular e experimentar o funcionamento de um
sistema (RAMIREZ, 2009):
impulso;
degrau;
pulso;
rampa;
senoidal.
Essas perturbações são as mais comuns e são utilizadas em testes e experimentos, a fim de
analisar a resposta do sistema a interferências que podem acontecer, como a troca de dados
em um display de interface homem-máquina (IHM), alteração de parâmetros de controladores
lógicos programáveis, inversores de frequência etc.
As perturbações podem ser quaisquer sinais que ocorrem e impactam o funcionamento do
sistema. Entretanto, essas variações podem ser utilizadas para testar o bom funcionamento e a
qualidade do controlador do processo.
Um exemplo de interferência senoidal são as harmônicas na rede de distribuição de energia,
comuns perturbações no ambiente industrial que correspondem a composições do tipo seno na
linha de energia. Tais perturbações impactam diretamente, como com ruídos de períodos
Perturbação do tipo degrau : representa uma variação da amplitude do sistema em
um determinado instante que se mantém por tempo indeterminado. Um exemplo
disso é uma mudança brusca na entrada do processo.
Perturbação do tipo impulso : representa algo instantâneo, pode ser uma vibração
ou variação do próprio sistema. A vibração do tipo degrau representa uma
alteração da amplitude do sistema que se mantém constante até que seja
interrompida (momento em que se acaba a interferência, a presença de novas
interferências ou a ação de controladores para minimizar ou eliminar a
interferência) (RAMIREZ, 2009). A interferência do tipo pulso corresponde a uma
ação semelhante ao degrau, contudo é passageira, ocorre em um determinado
período e se encerra.
Perturbação do tipo rampa : interfere gradativamente no sistema, é comumente
relacionada à alteração de valores de setpoint ou valores de referência em
sistemas supervisórios e IHM; e, por fim, a perturbação do tipo senoidal,
representa uma alteração em forma de sinal de senoide, ou seja, uma entrada seno
ou cosseno no sistema.
indeterminados, que podem promover a leitura incorreta de sensores, atuadores, odômetros
etc.
É justamente a ação desta perturbação, a senoidal, que serão apresentadas as seguintes
considerações. As características de um sinal senoidal são amplitude (A), comprimento de
onda (λ) e frequência (f). E a representação matemática é dada na Equação 4.8 (RESNICK;
HALLIDAY; KRANE, 2007).
Para sinais elétricos ou a perturbação em si, deve-se levar em consideração a contribuição
angular e o impacto dela nos sistemas.
No caso das harmônicas , são as composições da Equação 4.9 apresentada que interferem nos
sinais, dispositivos, equipamentos e quaisquer outros equipamentos elétricos e
eletroeletrônicos, mas que, infelizmente, as interferências na composição da onda fundamental
senoidal não apresenta frequência de�nida (DECKMANN; POMILIO, 2020). A transformada de
Laplace para a função senoidal é dada por (PÉREZ, 2012).
A função senoidal também possuicurva característica, apresentada na Figura 4.6 a seguir.
Como que uma função seno pode agir em um sistema?
S A I B A M A I S
Uma harmônica consiste em um distúrbio em frequência de vibração que causa o fenômeno de
ressonância na rede elétrica, de forma similar à frequência fundamental. Esse tipo de perturbação é
comum em dispositivos que estejam sujeitos à saturação magnética, como transformadores e
motores elétricos. Fontes chaveadas, como encontradas em computadores e outros dispositivos
eletrônicos, também são equipamentos que podem originar harmônicos nas redes elétricas.
Saiba mais em: https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/a5.pdf
Fonte: Deckmann e Pomilio (2020).
Equação 4.8 : y(θ) = A.sen(θ)
Equação 4.9 : v(t) = A.sen(2.π.f. t + φ)
Equação 4.10 : V (s) =
ω
+s2 ω2
https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/a5.pdf
Figura 4.6 - Sinal senoidal de uma fase da rede de energia elétrica 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado um gráfico retangular, em que no eixo horizontal mostra o tempo em
segundos, que se inicia em 0 e finaliza em 0,05 segundos, variando em 0,01 segundos; no eixo
vertical, apresenta-se a tensão em Volts, iniciando em -127 Volts e finalizando em 127 Volts,
apresentando outros valores, como -100, -50, 0, 50 e 100 Volts. Cada item desse em cruzamento dos
itens do eixo horizontal com eixo vertical possui um tracejado ao fundo. Dentro do gráfico, a curva
característica em cor vermelha demonstra que, quando varia o período (tempo), há alteração da curva
com semiplanos positivos e semiplanos negativos, sendo que há um semicírculo positivo conectado
em um negativo, e assim sucessivamente. Acima da figura, há um título escrito “Sinal senoidal de 60
Hz”.
Então, o impacto da função senoidal corresponde da mesma forma em circuitos , assim como
as composições da função senoidal (harmônicas). De certo modo, pode-se dizer que a função
senoidal “ reescreve ” a equação final, tal que sistemas que já possuem uma curva
característica podem sofrer danos irreversíveis , prejudicando o funcionamento, a leitura
incorreta dos sensores e dispositivos e, consequentemente, produz efeitos no controle de
alguns processos.
Um exemplo disso é o funcionamento inadequado de inversores de frequência, que podem ser
dependentes de entradas que sofreram danos relativos à variação da entrada. Veja, a seguir, na
Figura 4.7, a resposta no domínio do tempo da Equação 4.5 e o impacto da função senoidal e
harmônica na Equação 4.5.
Figura 4.7 - a) Resposta no domínio do tempo para a Equação 4.5; b) Resposta à entrada senoidal
no domínio do tempo para a Equação 4.5; c) Resposta à entrada de composição senoidal no
domínio do tempo para a Equação 4.5 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foram apresentados três gráficos retangulares, em que, na horizontal, há identificação
de números crescentes, iniciando em 0,5 até 10, variando em 0,5, com tempo em segundos; na
vertical, escrito y (t), iniciando de -1,2 até 0, variando em 0,1, crescente, amplitude dos sinais.
Identificados os gráficos por a, b e c. Sendo “a” a “Resposta no domínio do tempo para a Equação
4.5”, a resposta em azul inicia em y = -1.1, há uma curva suave com pico para baixo que sobe
exponencialmente até mais ou menos 2,8 segundos e entre em modo de regime permanente; em b, há
um sinal representado em y = -0,4, resposta da Equação 4.5 à entrada senoidal, representado por
vários elementos senos com semiplanos positivos e semiplanos negativos, como se fossem ondas
na cor vermelha, acima, há identificação de “Resposta à entrada senoidal de 5 rad/s”; em ‘c’ há a
identificação de uma “Resposta a composição senoidal”, em verde, com picos indefinidos, porém
arredondados, como na senoidal, entretanto cada qual com picos diferentes, sem amplitude definida,
com início em y = -0,5.
Como é possível visualizar graficamente, há uma grande diferença quando o sistema sofre a
entrada de senoides . Consequentemente, altera a equação característica do sistema.
Equação4.11 : Y (s) = ⋅
+ 3.ss2
+ 4.s + 6s2
ω
+s2 ω2
REFLITA
No caso das composições de senoides , como nas harmônicas , a tendência do sistema é não
estabilizar , deve-se, entretanto, sempre conhecer as ações de cada uma das entradas ou poder
prever quais tipos de entradas ou quais tipos de in�uências o processo pode vir a sofrer com o
passar do tempo. É claro que isso varia de processo para processo e também depende de
inúmeras ações desde a tomada de decisões por parte de humanos, assim como o
processamento de informações por parte do próprio sistema.
Método de sintonia do relé
Como dito anteriormente, todo processo está sujeito a ocorrências de perturbações e
interferências , oriundas das mais diversas fontes , desde vibrações de equipamentos devido à
fixação incorreta do equipamento no solo/piso até variações advindas da rede de energia, as
quais podem prejudicar a performance e o rendimento do sistema. Entretanto há métodos de
sintonia de parâmetros que permitem a simpli�cação , a redução e até a eliminação destas
imperfeições.
Obviamente, quando se busca realizar a sintonia do sistema, também se objetiva encontrar
meios que tornem o sistema mais estável ou que tenda para estabilidade . Para Saraiva (2011),
o critério do controle de um sistema é a estabilidade e a medição do tempo morto , tendo como
ponto de partida a função de transferência do sistema.
O tempo morto consiste em um intervalo de tempo em que o sistema sofre uma alteração de
qualquer espécie e o tempo em que são identi�cados por componentes do sistema. Pode-se
associar ao momento em que o equipamento entra em contato com o meio e o tempo que leva
para dar resposta , sendo que há vários métodos para realizar a sintonia de sistemas (SENAI,
1999).
Tentativa e erro ou método de aproximação sucessiva.
Ziegler-Nichols em malha fechada.
Autossintonia.
Método de Chidambaram.
Observe que a entrada senoidal no sistema provoca a entrada
forçada de dois pólos iguais em j⍵. Isso é capaz de tornar o
sistema não estável, tendo em vista que a Equação 4.5 já
possui dois polos em -2+1,414j e -2-1,414j?
Método de Luyben.
Método dos relés em malha fechada.
Dentre outros.
O método dos relés em malha fechada, proposto por Åström e Hägglund, em 1994, indica impor
oscilações de amplitude controlada , utilizando-se de relés , com a finalidade de obter a
amplitude de oscilação e o período de atuação do relé e, com isso, poder determinar o período
último ( ) e o ganho último ( ) do sistema; para utilizar a técnica do método relé na
sintonia de controladores, baseia-se na função descritiva dos relés (NEVES, 2009).
Na literatura, é possível encontrar o controle/sintonia pelo método dos relés como controlador
ON-OFF, de tempo morto reduzido e auto tuning de Åström-Hägglung (SANTOS; MAGRO, 2016).
Para Seidel (2004), a função descritiva também pode ser utilizada para representar sistemas
não lineares, assim como em Pinto (2014, p. 28).
Na análise por função descritiva, supõe-se que apenas a componente harmônica
fundamental da saída é signi�cativa. Tal suposição é frequentemente válida, uma vez
que harmônicas superiores de saída de um elemento não-linear são frequentemente
de menor amplitude do que a amplitude da harmônica fundamental.
Conhecendo os parâmetros e a função descritiva do relé, é possível determinar os parâmetros
para sintonia de um controlador PID (proporcional, integrador e derivativo), sendo que a função
descritiva do relé é dada na Equação 4.12.
Sendo “h” a amplitude atuado no relé e “a” a amplitude da oscilação. Dessa forma, para uma
entrada senoidal x(t), a saída pode ser expressa por (PINTO, 2014):
A representação do método relé em malha fechada em blocos é dada pela Figura 4.8 a seguir,
vamos analisar seu conteúdo.
TU KU
Equação 4.12 : N(a) =
4.h
a.π
Equação4.13 : y(t) = + .sen(n.ω. t + φ)A0 ∑
n=1
∞
Yn
Figura 4.8 - Representação em blocos do sistema de sintonia pelo método relé 
Fonte: Adaptada de Pinto (2014).#PraCegoVer : há uma representação em blocos do sistema, em que há um “E(s)” com uma seta
apontando para uma circunferência (bloco somador) no sinal de positivo. À direita, há um bloco
retangular em vermelho, escrito "Erro'' e três retas paralelas, sendo, de baixo para cima, “-h”, sem
identificação e “+h”, que representa o bloco de sintonia do relé. À direita, há uma seta conectando
outro bloco retangular escrito “Planta”, à direita do bloco “Planta” há uma seta apontando para Y(s) e
também conectando o sinal de negativo do bloco somador, passando por baixo dos blocos de
sintonia do relé e da planta.
Sendo sua curva característica semelhante a um conjunto de pulsos retangulares de amplitude
“h”, assim como demonstrada na Figura 4.9 a seguir. Vamos analisá-la.
Figura 4.9 - Saída do controlador pelo método relé 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : há um gráfico retangular, em que, na horizontal, há a identificação de números
crescentes, iniciando em 0 até 30, variando em 5, com tempo em segundos; na vertical, está escrito
“Amplitude (V)”, iniciando em -100 até 100, apresentando outros valores de baixo para cima, -100 a
100, variando em 25, crescente, amplitude dos sinais em Volts. No gráfico, há um sinal em azul
representando a amplitude da saída do controlador relé (com duas barras uma em cada extremidade,
delimitando a altura da amplitude com um “h” escrito). Esse sinal azul retangular, iniciando em -50
Volts, sobe até +50 Volts, mantém-se por T segundos e reinicia o processo.
Portanto, pode-se definir os parâmetros através do método do relé e, utilizando os parâmetros
de ganho do método de oscilação de Ziegler-Nichols , configurar o controlador do método relé
para sintonia de controladores PID em malha fechada (NEVES, 2009).
Considerando que o controlador PID possui a configuração característica, sendo:
Dessa forma, substituindo-se os valores das Equações 4.14, 4.15 e 4.16 na equação
característica do controlador PID, pode-se determinar a sintonia pelo método do relé em malha
fechada. Com isso, a resposta do sistema à aplicação senoidal e à sintonia pelo método do relé,
obtém-se a seguinte leitura de saída, apresentada na Figura 4.10. Vamos analisá-la para
entender melhor esse conceito.
Figura 4.10 - Saída do controlador pelo método do relé 
Fonte: Pinto et al. (2015, p. 4).
#PraCegoVer : na figura, é apresentado um gráfico retangular, em que, na horizontal, consta o tempo
em segundos e, na vertical, a amplitude em Volts. No interior do gráfico, há a representação do modo
de pulsar do relé, como ciclos retangulares em um instante semiplano positivo e semiplano negativo
em outro instante, como uma senoide, porém retangular de amplitude “h”. Mais ao centro do gráfico,
há a forma de onda resultante do sistema, ou resposta à sintonia do método do relé, com a redução
da amplitude do sinal de saída e com atenuação dos picos, com formato de barbatana de tubarão, de
amplitude “a” e período Tu.
Uma vez determinados os valores apresentados nas Equações 4.14, 4.15 e 4.16, pode-se
diminuir o coe�ciente de overshoot até 25%, o sistema forçado por relé promove a oscilação
com amplitude reduzida , e essa amplitude pode ser controlada mediante alterações dos
Equação 4.14 : = 0, 6.N(a)KC
Equação 4.15 : =τI
TU
2
Equação 4.16 : =τD
TU
8
Equação4.17 : C(s) = .(1 + + .S)Kc
1
.sτI
τD
parâmetros de entrada; tanto que esse processo pode ser aplicado a diversos sistemas
instáveis (SANTOS; MAGRO, 2016).
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
A sintonia de sistemas serve como ferramenta para tornar os processos mais estáveis,
processos que já são compostos por controladores, como do tipo PID (proporcional,
integrador e derivativo), que fazem o controle do pico de resposta do sistema, controle de
assentamento para regime permanente e podem fazer com que a curva característica do
sistema seja amortizada.
Entretanto, quaisquer equipamentos estão sujeitos à instabilidade e a incertezas, e o método
dos relés em malha fechada possui objetivo de impor oscilações com amplitude regulada,
utilizando-se de relés (NEVES, 2009).
Considere que a função descritiva do relé é dada por:
E que os parâmetros do controlador PID são:
Determine o controlador PID, sabendo que a amplitude do relé é de 5 Volts, do sistema 2,5
Volts e período da oscilação em 0,5 segundos. Considere ‘A’ para esse sistema hipotético igual
a π.
Assinale a alternativa correta .
a) 
b) 
c) 
N(a) =
4.h
a.π
C(s) = .(1 + + .S)Kc
1
.sτI
τD
C(s) = 0, 25.(1 + + 0, 0625.s)1
1,2.s
C(s) = 0, 5.(1 + + 0, 0625.s)1
0,25.s
C(s) = 1, 2.(1 + + 0, 0625.s)1
0,25.s
d) 
e) 
Prezado(a) estudante, você sabia que uma das grandes problemáticas da estimação de
parâmetros para sistemas é a necessidade computacional ? As simulações requerem grande
capacidade de memória do computador. Ainda, o potencial do equipamento deve ser capaz de
realizar um volume enorme de informações simultaneamente. Então, pode-se dizer que o
gargalo da simulação está associado à capacidade computacional dos dispositivos em poder
gerar a resposta em espaço curto de tempo e com precisão.
Na estimação de parâmetros de controladores não é diferente. Requer seleção dos melhores
métodos e também da modelagem adequada dos sistemas, para poder apresentar valores
fidedignos ao processo.
Regressão de modelos por otimização quadrática
Antes de iniciar esta seção, deve-se entender exatamente do que se trata a otimização
quadrática .
A função quadrática é uma função polinomial de segundo grau , ou seja, é representada por
uma equação que seu maior grau é dois, como uma parábola. Pode-se dizer que a parábola é
um exemplo de função quadrática, já que possui expoente 2 em f(x) = x2. Sua função
característica é definida por:
C(s) = 0, 5.(1 + + 0, 25.s)1
0,0625.s
C(s) = 2.(1 + + 0, 5.s)1
0,5.s
Estimação de
parâmetros pelos
mínimos quadrados
Segundo o Departamento de Métodos Matemáticos (2007), a otimização busca identi�car os
valores máximos e mínimos de uma função em um determinado espaço de tempo .
Comumente, requer conhecimentos de cálculo diferencial, que, no entanto, podem ser reduzidos
à carga massiva de cálculos quando se utiliza funções quadráticas , porém a identificação da
função que representa o sistema nem sempre é tão fácil localizar ou identificar.
Nepomuceno (2015) descreve que, inicialmente, na antiguidade, por volta de 300 a.C., a
otimização era relativa a resolver problemas geométricos . O autor considerou, também, que,
nos séculos XVI e XVII, não houve um grande aprimoramento da otimização, visto que ainda não
havia avançado no tema dos cálculos diferenciais. Sendo marcada a otimização no século XIX,
com o algoritmo criado pelos pesquisadores Hamilton e Jacobi.
Por meio da otimização, é possível identificar os melhores parâmetros e as soluções para cada
situação . Eventualmente, a um sistema, pode haver inúmeras formas de representá-lo ou
resolvê-lo; na otimização, busca-se identificar estes melhores métodos para representar o
sistema.
Então, conhecendo a Equação 4.18, pode-se determinar a extremidade dessa função, que é
também denominada de vértice do gráfico, que possui coordenadas (x,y), sendo:
Os modelos de regressão são utilizados para diversas aplicações, de tal forma que se apresenta
uma relação entre o elemento de saída e o elemento denominado de variável explicativa , assim
como apresentado na Equação 4.18. Esta equação, entretanto, pode ser remodelada baseada
na lei de Mitscherlich (FIORENTIN, 2016).
Para Fiorentin (2016), as vantagens associadas a modelos não lineares estão associadas ao
conhecimento do sistema a ser modelado, sendo que pode apresentar atributos de uso prático ,
conhecimento do diagrama de dispersão , respostas mais satisfatórias e não haver restrições
quanto à forma da função.
Através do método de completar quadrados, baseado na Equação 4.18, divide-se pelo índice do
elemento de maior grau, no caso, grau 2.
Equação 4.18 : f(x) = A. + B.x + Cx2
Equação 4.19: x = −
b
2.a
Equação 4.20 : y = −
+ 4.a.cb2
4.a
Equação 4.21 : f(x) = a.[1 − ]e−b.(x−c)
Equação 4.22 : + .x + = 0x2
B
A
C
A
Isolando-se a variável “x”, podem-se identificar as raízes do sistema, através da equação de
Bhaskara , que também é uma das fórmulas quadráticas.
Por exemplo, seja um sistema cuja equação de carga em um capacitor descrita por:
Baseado na Equação 4.24, pode-se identificar que, no instante 0 , a carga no capacitor será de
-9 C (Coulomb). No caso de uma representação gráfica, apresentada na Figura 4.11, desta
mesma equação, tem-se:
Figura 4.11 - Representação da curva de carga no capacitor, utilizando Matlab 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado um retângulo em que, na horizontal, há a identificação de tempo em
segundos, com valores crescentes iniciados em -6 até 4, variando em 1; na vertical, há a identificação
da carga no capacitor em Coulomb, com valores crescentes iniciados em -10 até 15, variando em 5.
No gráfico, as divisórias dos semiplanos positivo e negativo, esquerdo e direito, são linhas espessas
na cor preta. O gráfico que representa a carga do capacitor na cor azul é uma parábola com o bocal
voltado para cima, em que o vértice da parábola está em (-1;-10), e os pontos que tocam o eixo das
abscissas são: x = -4,2 e x = 2,2, aproximadamente. Acima do retângulo, há a identificação de curva de
carga do capacitor com a função que representa f de tê = 1 vezes t ao quadrado mais 2 vezes tê
menos 9.
Utilizando-se os parâmetros da Equação 4.19, identifica-se o ponto na abscissa na qual a curva
apresenta a extremidade da função, também chamada de vértice , neste caso, em x = -1, neste
ponto, y(-1) = -10.
Entretanto, há diversos mecanismos para realizar uma otimização para sistemas não lineares.
Equação 4.23 : x =
−B+− − 4.A.CB
2− −−−−−−−−−√
2.A
Equação 4.24 : y(t) = + 2.t − 9t2
#PraCegoVer : o infográfico estático está representado por uma imagem com sete linhas horizontais
em tons diferentes de cores, enumeradas de 1 a 7, de cima para baixo. Os números estão em círculos
de fundo branco, escritos na cor que corresponde à cor da linha. O infográfico apresenta essa
estrutura, com o título “Métodos para otimização de sistemas”, apresentando o seguinte texto, na
primeira linha, na cor vermelha, que corresponde ao número 1: “Espaço de estados”. Na segunda
linha, na cor salmão, que corresponde ao número 2, apresenta o seguinte texto: “Transformada de
Laplace”. Na terceira linha, na cor azul ciano, que corresponde ao número 3, apresenta o seguinte
texto: “Linearização por séries de Taylor”. Na quarta linha, na cor azul-claro, que corresponde ao
número 4, apresenta o seguinte texto: “Identificação da função de transferência”. Na quinta linha, na
cor verde, que corresponde ao número 5, apresenta o seguinte texto: “Newton-Raphson”. Na sexta
linha, na cor azul-piscina, que corresponde ao número 6, apresenta o seguinte texto: “Método de Han-
Powell”. Na sétima e última linha, na cor roxa, que corresponde ao número 7, apresenta o seguinte
texto: “Lugar das raízes (polos e zeros)”.
O método de Newton-Raphson (de Isaac Newton e Joseph Raphson), por exemplo, objetiva
localizar e estimar as raízes de uma função, semelhante ao caso da linearização por série de
Taylor e ao método de Newton, por meio de uma aproximação de parâmetros iniciais
(ANDRADE, 1999).
Os parâmetros iniciais auxiliam na parametrização de diversos componentes industriais, como
controladores PID, inversores de frequência, soft-starters, controle de chaveamento de circuitos
eletrônicos, parametrização de banco de capacitores e, consequentemente, podem permitir a
identi�cação de atributos de variáveis .
Enfim, cabe ao especialista determinar qual é o melhor método para atingir determinados
objetivos, assim como compete ao especialista utilizar softwares que permitam a redução da
complicação algébrica, de tal forma que este consiga aplicar os conhecimentos e os resultados
na otimização e sintonia de sistemas.
Modelar sistemas dinâmicos através dos mínimos
quadrados
O método dos mínimos quadrados (MMQ) corresponde a um procedimento para realizar ajuste
de curvas . Assim como em alguns tipos de otimização utilizando funções quadráticas ,
inicialmente, baseou-se no estudo de extremidades, valores mínimos e máximos . Todavia,
como salientado, o MMQ consiste em um mecanismo que, a partir de um conjunto de pontos
representativos , pode identificar uma reta que melhor os representa, semelhante ao processo
de identificação da reta de dispersão (ALMEIDA, 2015).
Observe, por exemplo, os seguintes pontos com suas coordenadas x e y: (1,3), (2,5), (3,1), (4,4),
(5,6) e (6,7). Então, o objetivo deste método é identi�car a “melhor” função que, a partir dos
dados informados, representa esse conjunto de pontos. Para tanto, é necessário realizar o
ajuste linear simples ou regressão linear sobre o conjunto de pontos informados.
A grosso modo, pode-se dizer que o MMQ corresponde a encontrar a equação da reta na qual a
soma das distâncias ao quadrado é mínima, sendo apresentada na Equação 4.25.
Então, a equação que representa os 6 pontos propostos é:
Substituindo os valores dos “x” em relação às coordenadas, apresenta-se a Equação 4.27:
Então, para identificar A e B da equação da função, deve-se realizar as derivadas parciais da
Equação 4.27 em relação a “A”, depois em relação a “B” e igualar a zero.
Dessa forma, obtêm-se duas Equações 4.29 e 4.31, com duas incógnitas. Lembrando que a
equação da reta é dada por y(x) = A.x + B. Simplificando as equações dos sistemas lineares,
obtém-se A = 0,7429 e B = 1,7333.
Portanto, a reta que melhor descreve os seis pontos apresentados é dada por:
Equação 4.25 : d(A,B) = (∑
i=1
n
di)
2
Equação 4.26 : d(A,B) = [(A. + B) − 3 + [(A. + B) − 5 + [(A. + B) − 1 +x1 ]
2 x2 ]
2 x3 ]
2
[(A. + B) − 4 + [(A. + B) − 6 + [(A. + B) − 7x4 ]
2 x5 ]
2 x6 ]
2
Equação 4.27 : d(A,B) = [(A + B) − 3 + [(A.2 + B) − 5 + [(A.3 + B) − 1 +]2 ]2 ]2
[(A.4 + B) − 4 + [(A.5 + B) − 6 + [(A.6 + B) − 7]2 ]2 ]2
Equação 4.28 : = 2.(A + B − 3).1 + 2.(2.A + B − 5).2 + 2.(3.A + B − 1).3+
dF(A,B)
dA
2.(4.A + B − 4).4 + 2.(5.A + B − 6).5 + 2.(6.A + B − 7).6 = 0
Equação 4.29 : = 182.A + 42.B − 208 = 0
dF(A,B)
dA
Equação 4.30 : = 2.(A + B − 3) + 2.(2.A + B − 5) + 2.(3.A + B − 1)+
dF(A,B)
dB
2.(4.A + B − 4) + 2.(5.A + B − 6) + 2.(6.A + B − 7) = 0
Equação 4.31 : = 42.A + 12.B − 52 = 0
dF(A,B)
dB
Figura 4.12 - Representação do sistema de coordenadas com a reta que melhor representa o
conjunto de pontos 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado, na figura, um plano cartesiano xy. Na horizontal, está identificado “x”
com números crescentes de 0 a 8; na vertical, está identificado “y” com números crescentes de 0 a 8.
Na imagem, estão identificados 6 pontos com as seguintes coordenadas (1,3), (2,5), (3,1), (4,4), (5,6) e
(6,7), com a cor azul e com início aproximado em (0;1,85) e término em (8;7,8), uma reta na cor
vermelha.
Vale ressaltar que a melhor função que descreve este sistema de coordenadas é uma reta ,
entretanto, quando o sistema é representado como uma função com ciclos positivos e
negativos , deve-se levar em consideração outras funções possíveis, como é o caso do seno e
cosseno , exponencial e logarítmica , dentre outras. E caso fosse a situação, deverá relacionar
os pontos das coordenadas, posteriormente, realizar as derivas e operacionalizar com sistemas
lineares de primeira ordem.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
O método dos mínimos quadrados (MMQ) corresponde a um mecanismo para realizar ajuste
de curvas, seja qualquer função que o sistema necessite. O desenvolvimento do método
compete no ajuste linear simples ou regressão linear, na qual se refere àquela função que
melhor descreve uma quantidade de pontos.
ALMEIDA, R. N. O método dos mínimos quadrados : estudo e aplicações para o ensino
médio. 2015. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de Ciências e Tecnologia,Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Campos dos Goytacazes, 2015.
Disponível em: https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-
Equação 4.32 : y(x) = 0, 7429.x + 1, 7333
https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf
content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf . Acesso em: 18
maio 2021.
Seja, por exemplo, os seguintes pontos com suas coordenadas x e y: (1,3), (2,5) e (6,7). Calcule
a equação da reta que melhor representa os pontos apresentados.
Atente-se para a função característica do MMQ:
Assinale a alternativa correta.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Prezado(a) estudante, você sabia que os algoritmos são mecanismos que podem ser utilizados
para minimizar os problemas, assim como softwares de computador? A seguir, veremos
algoritmos para otimização e a utilização de métodos para identificação de sistemas utilizando
simulador.
d(A,B) = (∑
i=1
n
di)
2
y(x) = 9.x + 15
y(x) = 82.x + 18
y(s) = 3.A + 1.B − 5
y(x) = 2, 86.x + 0, 71
y(x) = 0, 71.x + 2, 86
Algoritmos para
identificação de
sistemas com simulador
https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/09/28052015Renato-Neves-de-Almeida.pdf
Os algoritmos de otimização para sistemas de função quadrática possuem solução com
número �nito de passos , enquanto os sistemas não lineares podem não haver, tal como a
utilização de grande número ciclos de verificação, entretanto, após a utilização dos algoritmos,
espera-se que o processo seja convergente (PEREIRA, 2002). Vale ressaltar que processos que
sejam divergentes também correspondem a sistemas não estáveis , e um dos fatores a se
considerar em sistemas de otimização é facilitar ou tornar o sistema estável , logo,
convergente.
Os algoritmos em sistemas não lineares são procedimentos iterativos , de tal forma que os
pontos a serem gerados, partem de um ponto de referência x0, pela Equação 4.33 (PEREIRA,
2002).
Sendo “t” o parâmetro escalar e “d” a direção de busca.
O método de Newton-Raphson utiliza-se da expansão das Séries de Taylor para realizar a
otimização do sistema. Vale ressaltar que as Séries de Taylor (Equação 4.34), também são
referências para realizar a otimização de sistemas.
Equação 4.33 : x = + t.dx0
Equação 4.34 : T (x) = [ ]∑
i=0
∞ ( ). (x −f i x0 x0)i
i!
S A I B A M A I S
As séries de Taylor permitem uma aproximação do valor esperado, essa aproximação compete a uma
“qualidade” de poder otimizar funções, como é o caso das equações diferenciais ordinárias (EDO).
Permitindo transformar uma EDO de ordem n em função de uma única variável de expoente 1,
simplificando os cálculos, consequentemente, a resposta, na linearização das EDO.
Saiba mais acessando o link a seguir:
http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf
Fonte: Tognetti e Fiorillo (2015).
http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf
Portanto, conhecendo as Séries de Taylor, é possível aplicar o método de expansão de Newton,
sendo a Equação 4.34 (PEREIRA, 2002; TOGNETTI; FIORILLO, 2015).
Como “d” corresponde a um deslocamento da variável explicativa, neste caso, tem-se “g” como
vetor gradiente da função e “h” como a hessiana da função em :
Substituindo na Equação 4.35, tem-se que:
No MatLab, por exemplo, caso queira localizar os valores máximos e mínimos , pode-se aplicar
as seguintes funções.
>> Máximo = 
>> Mínimo =  
Considerando a proximidade entre “ ” e “ ”, o método de Newton-Raphson apresenta um
método iterativo que pode ser representado por (ANDRADE, 1999):
Em que “n” é maior ou igual a zero. Observe que, este método, para localizar o próximo valor
(raiz) do sistema, necessita de dados anteriores , da medição da função em um ponto e da
divisão pela sua derivada primeira neste ponto.
Sugere-se a resolução deste tipo de iteração em softwares , como Matlab, Scilab, Octave ou
semelhantes, devido à quantidade de operações matemáticas. Para tanto, pode ser descrito no
Matlab por:
>> syms f(x)
>> x(1) = x0;
>> for i = 1:n
>> x(i+1) = x(i) - f(i)/diff(f(i),x);
Equação 4.35 : f(x) = f( ) + ( )(x − ) + (x − . ( ). (x − )x0 f
′ x0 x0
1
2
x0)
t f ′′ x0 x0
x0
Equação 4.36 : d = (x − ) → x = d +x0 x0
Equação 4.37 : g = ( )f ′ x0
Equação 4.38 : h = ( )f ′′ x0
Equação 4.39 : f(x) = f( ) + .g + .h.x0 d
t 1
2
dt+1
max(f( ) + g. + ( ).h. )x0 dt
1
2 d
t+1
min(f( ) + g. + ( ).h. t + 1))x0 dt
1
2
d(
x x0
Equação 4.40 : = −xn+1 xn
f( )xn
( )f ′ xn
>> end
Observe que, quando “n” possui um valor muito grande, pode impossibilitar a resolução manual,
devido ao número de iterações.
Vale lembrar que se deve determinar os valores baseado na equação característica da função
que descreve o sistema.
fonte: Wattana Langkapayom / 123RF.
Pode-se determinar também as raízes de um sistema via métodos computacionais, visto que,
geralmente, os sistemas industriais são bastante complexos e detêm um grande número de
variáveis. Essas raízes podem servir para identificar os zeros e os polos de um sistema, a fim de
determinar a estabilidade do mesmo, ou para auxiliar o profissional a identi�car a melhor forma
de controlar o sistema.
Conhecendo o numerador e o denominador da função de transferência do sistema, pode-se
utilizar a função solve(x) para identi�car as raízes , ou seja, é como se igualasse cada
componente a zero e fizesse a redução linear até que se encontre os parâmetros desejados.
Para elaboração da Figura 4.12, foi feita a aplicação de um algoritmo para realizar a
composição e a identificação dos parâmetros, conforme o MMQ:
>> x = [1 2 3 4 5 6];
>> y = [3 5 1 4 6 7];
>> plot(x,y,'*b','MarkerSize',8);
Entretanto, como todos os dispositivos que envolvem sistemas computacionais, a resolução de sistemas com múltiplas
entradas e saídas requer equipamentos e dispositivos robustos para que possa realizar a resolução e a simplificação
destes. Para determinados processos, isso pode tornar-se oneroso , tanto monetariamente quanto em tempo para
aguardar a resposta do sistema.
>> syms a b m;
>> F = 0;
>> for i=1:length(x)
>> ;
>> end
>> dFa = diff(F,a);
>> dFb = diff(F,b);
>> B(1) = -1*subs(subs(dFa,a,0),b,0);
>> B(2) = -1*subs(subs(dFb,a,0),b,0);
>> K = subs(subs(dFa,b,0)+B(1),a,1);
>> L = subs(subs(dFb,b,0)+B(2),a,1);
>> M = subs(subs(dFa,a,0)+B(1),b,1);
>> N = subs(subs(dFb,a,0)+B(2),b,1);
>> S = [K M;L N];
>> Saida = inv(S)*(B')
>> fy = Saida(1)*m+Saida(2);
>> t = 0:0.01:8;
>> ffy = subs(fy,m,t);
>> plot(t,ffy,'r','LineWidth',2);
>> xlabel('x'); ylabel('y');
Para tanto, a utilização de softwares para simular , testar e con�gurar parâmetros é sempre
importante , além disso, recomenda-se, fortemente que o estudante treine e se aperfeiçoe no
uso de softwares , principalmente os voltados para área de Engenharia, a fim de reduzir a mão
de obra e o tempo de execução das atividades.
F = F + (((a ∗ x(i) + b) − y(i)) ).2
praticar
Vamos Praticar
Como sabemos, o método de Newton-Raphson utiliza as séries de Taylor para promover a
otimização de sistemas. Entretanto, deve-se realizar a escolha do ponto inicial do qual partirão
as iterações. Para Santos (2018), a escolha de um ponto muito afastado, ou sem qualquer
critério, pode incorrer na quantidade exacerbada de iterações, o que pode impactar
diretamente o tempo de resposta do processo, como apontado na Equação 4.40:
Dessa forma, podemos identi�car as raízes de funções e encontrar os pontos nos quais a
curva/função atinge o eixo das abscissas (eixo x). Seja a seguinte função f(x):
Comando da atividade prática: encontre as raízes da equação pelo método de Newton-
Raphson, nos intervalos de [-4 -3] e [1 e 2].
Equação 4.40 : = −xn+1 xn
f( )xn
( )f ′ xn
f(x) = + 2.x− 4x2
Material
Complementar
F I L M E
Jogador nº 1
Ano : 2018
Comentário : o filme apresenta uma condição futurista na qual a
realidade virtual representa o que deveria ser a vida real dos
personagens. Possui características semelhantesàs do filme Matrix,
explorando o conceito de simulação e aprendizado de máquina,
inteligência artificial e nova existência real. O processo de simulação da
existência corresponde à ação também de realizar o mesmo
procedimento em máquinas e dispositivos.
TRA I LER
L I V R O
Projetos, simulações e experiências de
laboratório em sistemas de controle
Editora : Interciência
Autores : Antonio Carlos Zambroni de Souza, Benedito Isaias Lima Lopes,
Carlos Alberto Murari Pinheiro e Paulo Cesar Rosa.
ISBN : 9788571933491.
Comentário : esse livro apresenta conceitos fundamentais sobre os
sistemas de controle, bem como capítulos sobre estabilidade de
sistemas, utilização de controladores para permitir essa estabilidade.
Além disso, apresenta o método do Lugar das Raízes, sendo um dos
conceitos fundamentais no controle e na modelagem de sistemas. Outro
elemento importante é o caso da sintonia de sistemas, mediante o uso
de técnicas como sistema on-off , semelhante ao método dos relés, e
especificação de controle para processos.
Conclusão
Prezado(a) estudante, como você pôde observar durante nosso estudo, há diversas ferramentas
disponíveis para modelar um sistema . Pode-se realizar a modelagem mediante os conhecimentos
matemáticos , das leis da mecânica , física , química , e, inclusive, por conhecimentos empíricos .
Estes necessitam passar por métodos para realizar a confirmação das hipóteses.
Os meios para realizar a aferição e testes de processos podem ser muito custosos em relação ao
tempo e ao dinheiro , portanto, deve-se promover o teste e a simulação dos sistemas utilizando
softwares especí�cos e, nesse caso, softwares poderosos, como Matlab, Scilab e Octave.
Referências
ADORNO, W. T.; MARTINS, G. A. S.; SILVA, W. G.
Modelagem matemática aplicada à transferência de
massa em alimentos. Enciclopédia Biosfera , Goiânia, v. 9,
n. 16, p. 1465-1478, 2013. Disponível em:
https://bit.ly/3wWLeOK . Acesso em: 13 maio 2021.
ALMEIDA, R. N. O método dos mínimos quadrados : estudo e aplicações para o ensino médio. 2015.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual do
Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Campos dos Goytacazes, 2015. Disponível em: https://bit.ly/3zTuDgF
. Acesso em: 18 maio 2021.
ANDRADE, D. O método de Newton-Raphson . Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência.
Maringá: Universidade Estadual de Maringá, 1999. Disponível em: http://www.dma.uem.br/kit/calculo-
numerico-2/copy_of_kit-newtonraphson.pdf . Acesso em: 18 maio 2021.
ÁVILA, L.; SILVA, R.; RODRIGUES, W. Análise de regressão linear simples . Belo Horizonte, 2020.
Disponível em: ftp://est.ufmg.br/pub/glaura/BioInfo/Apresentacoes/Regress%E3o%20Linear.pdf .
Acesso em: 13 maio 2021.
https://bit.ly/3wWLeOK
https://bit.ly/3zTuDgF
http://www.dma.uem.br/kit/calculo-numerico-2/copy_of_kit-newtonraphson.pdf
ftp://est.ufmg.br/pub/glaura/BioInfo/Apresentacoes/Regress%E3o%20Linear.pdf
CALSAVARA, A. Introdução à modelagem . Curitiba: Pontifícia Universidade Católica, 2005. Disponível
em: https://bit.ly/2T7dyPI . Acesso em: 12 maio 2021.
DECKMANN, S. M.; POMILIO, J. A. Distúrbios em frequência: causas, efeitos, soluções e normas. In :
DECKMANN, S. M.; POMILIO, J. A. Avaliação da qualidade da energia elétrica . Campinas:
Universidade Estadual de Campinas, 2020. Disponível em:
https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/a5.pdf . Acesso em: 15 maio 2021.
FIORENTIN, L. D. Estratégias de regulação de povoamentos de Pinus ellottii e Pinus taeda utilizando
programação linear . 2016. Dissertação (Mestrado em Engenharia Florestal) – Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Florestal – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2016. Disponível em:
http://www.floresta.ufpr.br/pos-graduacao/defesas/pdf_ms/2016/d717.pdf . Acesso em: 21 maio
2021.
FLORÊNCIO, L. A. Utilização do software (gratuito) R na engenharia de avaliações. In: Congresso
Brasileiro de Engenharia de Avaliação e Perícias, 15., 2009, São Paulo. Anais eletrônicos [...]. São
Paulo: Ibape, 2009. Disponível em: http://www.mrcl.com.br/xvcobreap/65.pdf . Acesso em: 13 maio
2021.
JOGADOR Nº 1 - Trailer Oficial 1 (leg) [HD]. [ S. l.: s. n .], 2018. 1 vídeo (2 min 25 s). Publicado pelo
canal Warner Bros. Pictures Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=q_1OJNcTld0 .
Acesso em: 30 maio 2021.
NEPOMUCENO, E. G. Técnicas de otimização . São João del-Rei: Universidade Federal de São João
del-Rei, 2015. Disponível em: https://www.ufsj.edu.br/portal2-
repositorio/File/nepomuceno/aulaotimhist.pdf . Acesso em: 19 maio 2021.
NEVES, M. G. S. Auto-tuning de controladores PID pelo método Relay : optimização de controle em
automação industrial. 2009. Dissertação (Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de
Computadores) – Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, 2009. Disponível
em: https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/395139427475/Dissertação de Mestrado - Auto-
tuning de Controladores PID pelo método Relay.pdf . Acesso em: 20 maio 2021.
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno . 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
OLIVEIRA, V.; AGUIAR, M.; VARGAS, J. Engenharia de controle : fundamentos e aulas de laboratório.
Rio de Janeiro: GEN LTC, 2016.
PEREIRA, A. Projeto ótimo de pórticos planos com restrição à �ambagem . 2002. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Civil) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Departamento de
Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2002. Disponível
em: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/3332/3332_3.PDF . Acesso em: 18 maio 2021.
PEREIRA, E. R. Diagrama de dispersão . Sapucaia do Sul: Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, 2016.
Disponível em: http://static.sapucaia.ifsul.edu.br/professores/eveline/EST.%20QUAL.%20-
https://bit.ly/2T7dyPI
https://www.dsce.fee.unicamp.br/~antenor/pdffiles/qualidade/a5.pdf
http://www.floresta.ufpr.br/pos-graduacao/defesas/pdf_ms/2016/d717.pdf
http://www.mrcl.com.br/xvcobreap/65.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=q_1OJNcTld0
https://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/nepomuceno/aulaotimhist.pdf
https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/395139427475/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20de%20Mestrado%20-%20Auto-tuning%20de%20Controladores%20PID%20pelo%20m%C3%A9todo%20Relay.pdf
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/3332/3332_3.PDF
http://static.sapucaia.ifsul.edu.br/professores/eveline/EST.%20QUAL.%20-%20T%C3%89C.%20PL%C3%81ST/2%C2%B0Sem/7%20Diagrama%20de%20Dispers%C3%A3o.pdf
%20TÉC.%20PLÁST/2°Sem/7%20Diagrama%20de%20Dispersão.pdf . Acesso em: 13 maio 2021.
PEREIRA, F. M. Introdução a modelagem matemática e simulação de processos . Lorena:
Universidade de São Paulo, 2011. Disponível em: http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/MSP.pdf . Acesso
em: 13 maio 2021.
PÉREZ, S. G. Breves apuntes de la Transformada de Laplace . Málaga, 2012. Disponível em:
http://www2.isa.uma.es/C12/Diapositivas/Document%20Library/Transformada%20de%20Laplace.pdf
. Acesso em: 28 abr. 2021.
PINTO, J. E. M. G. Aplicação prática do método de sintonia de controladores PID utilizando o método
do relé com histerese . 2014. Dissertação (Mestrado em Ciências) – Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, Natal, 2014. Disponível em:
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/15507/1/JanEMGP_DISSERT.pdf . Acesso em:
18 maio 2021.
PINTO, J. E. M. G. et al . Software baseado no método do relé para sintonia de controladores PID a
partir da identificação da dinâmica da malha. In: Congresso Rio Automação, 1., 2015, Rio de Janeiro.
Anais eletrônicos [...]. Rio de Janeiro: IBP, 2015. Disponível em: https://bit.ly/3gVjjtb . Acesso em: 18
maio 2021.
PROBLEMAS de otimização. Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2007. Disponível
em: http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap101s4.html .
Acesso em: 18 maio 2021.
RAMIREZ, N. I. B. Dinâmica e modelagem de processos . Niterói: Universidade Federal do Rio de
Janeiro, 2009. Disponívelem:
http://www.eq.ufrj.br/docentes/ninoska/docs_PDF/Aula_Modelagem_%20LADEQ_1sem09.pdf .
Acesso em: 20 abr. 2021.
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física 2 . 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
SANTOS, J. C. A. O método de Newton-Raphson na solução da equação : uma motivação
para o estudo da existência de logaritmo de números negativos. 2018. Dissertação (Mestrado em
Matemática) – Universidade Federal de Goiás, Catalão, 2018. Disponível em: https://bit.ly/2UzR6PQ .
Acesso em: 24 maio 2021.
SANTOS, T. S.; MAGRO, F. V. G. Análise da resposta do método de sintonia dos relés com Labview.
Revista UNINGÁ Review , Maringá, v. 28, n. 3, p. 108-112, 2016. Disponível em:
https://www.mastereditora.com.br/periodico/20161204_230209.pdf . Acesso em: 21 maio 2021.
SARAIVA, F. A. Métodos de sintonia em controladores PID . 2011. Trabalho de Conclusão de Curso
(Bacharel em Engenharia de Telecomunicações) – Centro Universitário La Salle, Canoas, 2011.
Disponível em: https://silo.tips/download/felipe-de-andrade-saraiva-metodos-de-sintonia-em-
controladores-pid . Acesso em: 18 maio 2021.
=2x x2
http://static.sapucaia.ifsul.edu.br/professores/eveline/EST.%20QUAL.%20-%20T%C3%89C.%20PL%C3%81ST/2%C2%B0Sem/7%20Diagrama%20de%20Dispers%C3%A3o.pdf
http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/MSP.pdf
http://www2.isa.uma.es/C12/Diapositivas/Document%20Library/Transformada%20de%20Laplace.pdf
https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/15507/1/JanEMGP_DISSERT.pdf
https://bit.ly/3gVjjtb
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap101s4.html
http://www.eq.ufrj.br/docentes/ninoska/docs_PDF/Aula_Modelagem_%20LADEQ_1sem09.pdf
https://bit.ly/2UzR6PQ
https://www.mastereditora.com.br/periodico/20161204_230209.pdf
https://silo.tips/download/felipe-de-andrade-saraiva-metodos-de-sintonia-em-controladores-pid
SEIDEL, Á. R. Técnicas de projeto para o reator eletrônico auto-oscilante empregando ferramentas de
controle . 2004. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) – Universidade Federal de Santa Maria,
Santa Maria, 2004. Disponível em:
https://repositorio.ufsm.br/bitstream/handle/1/3695/alysson%20seidel.pdf . Acesso em: 23 maio
2021.
SENAI – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Fundamentos de controle de
processo . Vitória: SENAI/ES, 1999. Disponível em: http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/Controle.pdf .
Acesso em: 18 maio 2021.
SILVA, A. C. Modelagem e simulação . Goiás: UFG, 2013. Disponível em:
https://files.cercomp.ufg.br/weby/up/596/o/3_%20Modelagem%20e%20simulação.pdf . Acesso em:
10 maio 2021.
TOGNETTI, E. S.; FIORILLO, D. Controle de processos : representação de modelos. Brasília:
Universidade de Brasília, 2015. Disponível em:
http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf . Acesso em:
27 abr. 2021.
https://repositorio.ufsm.br/bitstream/handle/1/3695/alysson%20seidel.pdf
http://www.dequi.eel.usp.br/~felix/Controle.pdf
https://files.cercomp.ufg.br/weby/up/596/o/3_%20Modelagem%20e%20simula%C3%A7%C3%A3o.pdf
http://www2.ene.unb.br/estognetti/files/20151/5_Aula4-Representacoes_modelos.pdf