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Probabilidade Atividade de lançamento de dados Formação de números Problema dos oito casais
Ideias iniciais D1 D2 soma Soma Fi fi dígitos : 1, 4, 7, 8, 9 7por10 15por20 19por30 1 9 3 14 8 1 3 16 5 9 12 10
 - Experimentação 2 5 7 2 2 0,020 147 417 714 814 914 419 791 974 2 10 16 11 3 9 4 6 1 15 4 12
 - Experimentos determinísticos e aleatórios 2 6 8 3 3 0,030 148 418 718 817 917 917 479 918 3 11 c c
5 3 8 4 10 0,100 149 419 719 819 918 871 489 174 4 12
A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecer as possibilidades de 
ocorrência de cada experimento aleatório.
4 1 5 5 11 0,110 174 471 741 841 941 871 491 784 5 13
3 2 5 6 13 0,130 178 478 748 847 947 478 194 741 6 14
Experimento aleatório - É aquele que quando repetido em iguais condições podem 
fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso.
5 4 9 7 17 0,170 179 479 749 849 948 714 789 941 7 15
3 5 8 8 13 0,130 184 481 781 871 971 198 198 748 8 16
Elementos (o que temos que conhecer para se compreender probabilidade) 1 1 2 9 16 0,160 187 487 784 874 974 847 814 948
Espaço amostral - descrição dos possíveis 
resultados de um experimento. Denotamos pela 
letra S
5 2 7 10 8 0,080 189 489 789 879 978 791 947 187
5 3 8 11 6 0,060
194 491 791 891 981 497 189 817
Evento - um dos resultados contidos no 
espaço amostral. Denotamos com as 
letras A, B etc 
5 4 9 12 1 0,010 197 497 794 894 984 417 978
1 2 3 Σ 100 1,000
198 498 798 897 987 481 194
Nomenclatura - Sabemos que, pela teoria dos conjuntos, n(A) é o número de 
elementos do conjunto A. Se A é um subconjunto de S, então P(A) = n(A)/n(S) 
5 4 9 789 498
4 5 9 30por50 479 978
3 6 9 987 841 719
Assim, probabilidade é a associação quantitativa à ocorrência de um evento 
dentro de seu espaço amostral.
4 1 5 981 918 718
5 2 7 978 491 198
O que acabamos de ver foi a definição de probabilidade teórica. Essa 
probabilidade serve apenas para experimentos que se encaixam perfeitamente 
em espaços amostrais bem definidos (que estão em nossas mentes). 
3 1 4 479 814 817
6 5 11 148 718 814
1 5 6 947 491 897
Excercícios iniciais 1 3 4 948 849
No caso de um experimento empírico 1 6 7 198 481
Precisamos de um número, associado a um evento, que avaliará o quão 
verossível será a ocorrência desse evento quando o experimento for realizado.
1 6 7 918 498
3 3 6
917 481
Ao repetirmos um experimento várias vezes, digamos n vezes, veremos que os 
resultados seguirão uma certa tendência. Isso é verificado pela frequência 
relativa f do evento em questão, fA = n(A)/n,ou seja, o número de vezes que o 
evento A se repete dividido pelo número de repetições do experimento. Jogue 
uma moeda para cima e observe o resultado, faça isso umas 1.000 vezes e 
verifique qual a frequência relativa de cada face da moeda. Faça o mesmo com 
um dado de 6 faces e verifique a frequência relativa de cada face.
6 4 10 947 784
2 2 4 184 894
1 1 2 874 198
1 6 7 714 874
1 3 4 198 974
6 1 7 417 971
4 4 8 897
Francês conde de Buffon (1707 - 1788) lançou uma moeda 4.040 vezes 
resultando 2.048 caras. Assim, fC = 2048/4040 = 0,507 = 50,7% . O Sul-
africano John Kerrich durante a 2° guerra lançou uma moeda 10.000 vezes e 
obteve 5.067 caras, ou seja, fC = 0,507 = 50,7%. Antes disso, em 1900, o inglês 
Karl Pearson lançou uma moeda 24.000 vezes resultando 12.012 caras. Então, 
fC = 12012/24000 = 0,5005 = 50,05% .
3 5 8 894
2 1 3 894
2 4 6 978
4 6 10 187
5 4 9
941
É possível mostrar matematicamente, mas também empiricamente, que para n 
suficientemente grande (geralmente tendendo ao infinito) fA ~ P(A) . 
4 2 6 419
3 2 5 471
6 4 10 978
Propriedades : 2 2 4 817
1 5 6 784
1) P(A) estará sempre entre 0 e 1 , podendo assumir valor 0, se o evento nunca 
ocorrer e, assumir valor 1, se o evento ocorrer em todas as repetições do 
experimento.
6 3 9 784
4 3 7
487
2) Σ pi = 1 ( a soma de todas as probabilidades de S é 1,00) 5 6 11 189
3) A U B (união de eventos) significa que A ou B ocorre, ou ambos. 6 2 8 481
4) A ∩ B (interseccão de eventos) significa que A e B ocorreram . 5 1 6 789
5) A' (ou A barra, ou A complementar) significa que o evento não 
ocorreu. 1 5 6 984
3 4 7 791
Operações: 1 2 3 918
1) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 2 2 4 719
2) P(A') = 1- P(A) 3 6 9 847
3) P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) probabilidade condicionada 4 4 8 487
Observações importantes que devem ser consideradas em muitas situações 5 1 6 741
Se P(A/B) for igual a P(A), então os eventos A e B são independentes. 1 5 6 487
Se dois eventos são independentes, então P(A ∩ B) = P(A).P(B) 3 3 6 871
Se dois eventos são mutuamente excludentes, P(A ∩ B) = 
0, então P(A U B) = P(A) + P(B)
6 5 11 879
5 5 10 784
5 4 9 814
Exemplo: Lançaremos dois dados equilibrados. Qual a probabilidade da soma 
ser 8 e um dos dados apresentar 6 pontos? Verifique a dependência desses 
eventos.
6 6 12 471
5 3 8
481
4 3 7 184
Utilizaremos uma tabela de contingência para colocar a frequência relativa de 
cada evento, um evento na linha e outro na coluna com seus respectivos 
complementares. (isso nos traz um entendimento melhor das operações).
4 3 7 149
4 5 9 847
4 5 9 917
Espaço amostral n(S) = 36 5 2 7
A : a soma dá 8 {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} 1 2 3 4 5 6 2 2 4
B: um dos 
dados apresenta 
6 
{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),
(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),
(6,3),(6,4), (6,5)}
1 2 3 4 5 6 7 3 2 5
2 3 4 5 6 7 8 3 1 4
3 4 5 6 7 8 9 6 5 11
A ∩ B : {(2,6),(6,2)} 4 5 6 7 8 9 10 1 5 6
n(A ∩ B) = 2 5 6 7 8 9 10 11 3 1 4
P(A ∩ B) = 2/36 = 0,056 6 7 8 9 10 11 12 6 5 11
e 4 3 7
n(A) = 5 --> P(A) = 5/36 = 0,139 1 6 7
n(B) = 11 --> P(B) = 11/36 = 0,306 3 5 8
P(A') = 0,861 P(B') = 0,694 2 3 5
No total, temos a probabilidade de 
cada evento e seu complementar, no 
interior temos as probabilidades das 
intersecções dos eventos (evento e).
3 1 4
A A' total 3 2 5
B 0,056 0,250 0,306 4 2 6
B' 0,083 0,611 0,694 4 5 9
total 0,139 0,861 1,000 2 5 7
5 3 8
Pelo que foi visto, se P(A∩B) for igual a P(A).P(B), então A e B são independentes 4 6 10
P(A).P(B) = 0,139*0,306 = 0,043 ≠ P(A∩B) 4 1 5
5 2 7
Exemplo de evento união. 6 4 10
Qual a probabilidade de apresentar soma 8 ou um dos dados apresntar 6? 1 5 6
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,139 + 0,306 - 0,056 = 0,389 6 4 10
6 5 11
Probabilidade condicional (a probabilidade da soma ser 8, sabendo que um dos 
dados apresenta 6 pontos).
3 4 7
3 6 9
P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = 0,056/0,306 = 0,183 3 6 9
5 5 10
Atividades 2 3 5
exercícios cap. 4 do livro do Martins 3 6 9
atividade probabilidade condicional morettin (site) 4 1 5
1 4 5
Considerações sobre o espaço amostral. 6 2 8
O espaço amostral é formado pelos resultados de um experimento realizado 
numa determinada população. Se o experimento consiste em escolher uma 
quantia de individuos de uma população, o espaço amostral será composto de 
uma combinação específica de indivíduos....
4 4 8
6 3 9
Operaçãoes com probabilidades. (Utililizando Tabelas de contingência, dupla entrada)
Numa universidade foi feito um levantamento que resultou num cruzamento 
entre as variáveis gênero e curso escolhido.
Gênero façamos:
Curso MasculinoFeminino Total A -> Ser masculino
Administração 60 80 140 B -> ser do curso de Adm.
Outro 258 200 458
Total 318 280 598 Escolhendo-se um estudante ao acaso 
(aleatoriamente), 
Gênero 
Curso A A' Total
B 0,100 0,134 0,234
B' 0,432 0,334 0,766
Total 0,532 0,468 1,000
 
Qual a probabilidade de ele ser do sexo masculino? P(A)
Qual a probabilidade de ele ser do curso de Adm? P(B)
Qual a probabilidade de ele ser do sexo masculino e do curso de Adm? P(A 
e B) , P(A ∩ B)
Qual a probabilidade de ele ser do sexo masculino ou do curso de Adm? P
(A ou B) , P(A U B)
Sabendo que o aluno escolhido é do curso de Adm, qual a probabilidade de 
ele ser do sexo masculino? P(A/B)
 
Agora faça você mesmo.
1) Num quartel 2) Num clube
promoção
sexo
total Idade
Estado civil
totalM F solteiro casado
sim 288 36 324 < 30 77 14 91
não 672 204 876 >= 30 28 21 49
total 960 240 1.200 total 105 35 140
P(M|S) 0,89
P(M|N) 0,77
P(F|S) 0,11P(F|N) 0,23
De acordo com o quadro 01, 80% dos indivíduos que servem o quartel são 
do sexo masculino enquanto que 20% são do sexo feminino. Quanto à 
promoção, tem-se a seguinte análise: Dentre os homens, 30% foram 
promovidos, enquanto que dentre as mulheres, apenas 15% tiveram algum 
tipo de promoção. Nota-se, assim, que os homens são promovidos duas 
vezes mais que as mulheres. olhando por outro lado, apenas 27% do quadro 
geral foi promovido. Sendo desses, 89% do sexo masculino e 11% do sexo 
feminino. Mais umas vez comprovando que mais homens são promovidos 
do que mulheres. De acordo com o que foi expoto, temos indícios de que a 
promoção nesse quartel depende do sexo do indivíduo.
 
Verificamos uma situação hipotética: A probabilidade da Dilma sofrer 
impeachment é de 57%, a do Cunha renunciar a presidência do comgresso é 
de 48%. A probabilidade desses políticos saírem juntos é de 27,36%. Será 
que esses eventos são independentes? Ou seja, será que a ocorrência de um 
deles afeta a probabilidade do outro?
Para responder essa questão, chamamos os eventos:
A: Dilma sofrer impeachment P(A) = 0,57
B : Cunha renunciar a presidência do comgressoP(B) = 0,48
A e B ( A ∩ B) : os dois políticos saírem juntos P(A ∩ B) = 0,2736
Aplicamos a probabilidade condicionada
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,2736/0,4800 = 0,57
Como P(A/B) = P(A) , os eventos A e B são independentes.
A A' Total
B 0,2736 0,4800
B'
Total 0,5700 1,0000
Assim, a renúncia de Cunha não altera a probabilidade do Impeachment de 
Dilma. Poderíamos interpretar de uma forma bem parecida, verificando a 
informação a respeito da ocorrência de um dos eventos. Quer dizer, se 
soubermos que Cunha renunciou, ou poderá renunciar, não podemos 
concluir nada a respeito da mudança das chances de ocorrência do 
Impeachment da presidente.
Assim, a renúncia de Cunha não altera a probabilidade do Impeachment de 
Dilma. Poderíamos interpretar de uma forma bem parecida, verificando a 
informação a respeito da ocorrência de um dos eventos. Quer dizer, se 
soubermos que Cunha renunciou, ou poderá renunciar, não podemos 
concluir nada a respeito da mudança das chances de ocorrência do 
Impeachment da presidente.
Probabilidade total Teorema de Bayes , uma extensão das condicionais e probabilidade total
A probabilidade total é uma forma de escrevermos a probabilidade de 
um evento decomposta em várias parcelas (várias somas)
Essa fórmula reavalia as probabilidades a priori por meio de probabilidades 
posterioris ao evento.
Fórmula geral Fórmula geral
P(B) = Σ P(Ai ∩ B) = Σ P(Ai).P(B/Ai)
(sucessivas somas de intersecções) Sendo Ai um dos eventos causa (a priori) e B um evento efeito (posteriori), 
de acordo com Bayes, é possível verificar a probabilidade de um dos 
eventos causa ter ocorrido tendo conhecimento prévio de um evento efeito.Se tivermos apenas dois eventos em questão, então a probabilidade total fica assim:
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B') , como podemos verificar no esquema a seguir.
P(Ai/B) =(Ai ∩ B)/P(B) 
A A' Total
B P(A ∩ B) P(A' ∩ B) P(A ∩ B) + P(A' ∩ B) P(Ai ∩ B) --> regra do produto --> P(Ai).P(B/Ai)
B' P(A ∩ B') P(A' ∩ B') P(A ∩ B') + P(A' ∩ B')
Total P(A ∩ B) + P(A ∩ B') P(A' ∩ B) + P(A' ∩ B') P(B) --> probabilidade total --> Σ P(Ai).P(B/Ai)
O mesmo se pode fazer para P(B) e os demais eventos.
Exemplo 1 - Um grande gurú do agronegócio consegue prever a germinação 
de plantações de tomate com boa margem de acerto. Sabe-se que plantações 
de tomate, de um modo geral, tem 10% de probabilidade de não 
germinarem. Nosso grande gurú acerta em 90% de todas vezes em que diz 
que a plantação germina e 80% quando diz que a plantação não germina. 
Qual a probabilidade de uma plantação de tomate não germinar, sabendo 
que o gurú disse que ela não germina?
Quando tivermos um evento (D) que faz intersecção como outros três 
eventos mutuamente exclusivos (A , B e C), então a probabilidade total 
fica assim:
P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D)
Como, pelas condicionas, 
P(A ∩ D) = P(A).P(D/A) Sejam os eventos 
P(B ∩ D) = P(B).P(D/B) A: a plantação germina A': a plantação não germina
P(C ∩ D) = P(C).P(D/C) B: o gurú diz que germina B': o gurú diz que não germina
Substituindo, teremos: P(A) = 0,9 P(A') = 0,1 O Gurú de fato anunciou a perda 
da colheita. Então estamos 
interessados e verificar qual a 
prob de isso acontecer.
P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) P(B/A) = 0,9 P(B'/A') = 0,8
P(B'/A) = 0,1 P(B/A') = 0,2
Exemplo 1: Sabendo que o estudante é homem, a probailidade dele ser 
do curso de engenharia é de 30%, se ele for mulher, a probabilidade é 
de 12%. Se 60% dos estudantes da universidade são mulheres, qual a 
probabiilidade de um estudante (aleatoriamente escolhido) ser do curso 
de engenharia?
P(A'/B') = P(A' ∩ B') / P(B')
Eventos: com P(A' ∩ B') = P(A').P(B'/A') 
A: o estudante é homem , A' é mulher e P(A' ∩ B') = 0,1.0,8 = 0,08
B: o estudante é do curso de engenharia, B' outro curso P(B') = P(A ∩ B') + P(A' ∩ B') = P(A).P(B'/A) + P(A').P(B'/A')
P(B/A) = 0,30 P(B') = 0,9.0,1 + 0,1.0,8 = 0,17
P(B/A') = 0,12 Pelo que foi visto inicialmente: 
P(A') = 0,60 P(B) = P(A ∩ B) + P(A' ∩ B) = P(A).P(B/A) + P(A').P(B/A')P(A'/B') = 0,08/0,17 = 0,471
P(A) = 0,40 P(B) = 0,40.0,30 + 0,60.0,12
P(B) = ? P(B) = 0,192 Dessa forma, sabendo que o Gurú disse que plantação não germina, a 
probabilidade de ela não germinar é de 47,1%.
Assim, a probabilidade de um estudante ser do curso de engenharia é de 19,2%.
Exemplo 2: Controle de qualidade. (garantir a conformidade dos produtos 
além de diminuir custos). Numa fábrica, 90% dos produtos com defeito são 
classificados como produtos defeituosos pelo teste de controle de qualidade. 
1% dos produtos bons são classificados como defeituosos. Num lote com 
5% de produtos defeituosos, se o teste de controle indicar que o produto 
deva ser rejeitado, qual a probabilidad e ele estar bom? (Nesse caso, um 
produto bom estaria sendo rejeitado) 
Exemplo 2: O movimento no centro de Cacoal é formado por clientes 
oriundos de várias partes da cidade. 50% deles são da zona leste, 20% 
da zona oeste e 30% da zona sul. Sabendo que o cliente é da zona leste, 
a probabilidade de ele ter consumido algo no centro é de 20%, se for 
da zona oeste, a probabilidade é de 15% e, se o cliente for da zona sul, 
a probabilidade é de 30%. Num certo dia, escolhendo-se um cliente 
que esteja no centro da cidade, qual a probabilidade dele ter consumido 
algum produto?
Sejam os eventos: 
Sejam os eventos: A: o produto é bom
A: clientes da zona leste , P(A) = 0,50 A': o produto tem defeito (não é bom)
B: clientes da zona oeste, P(B) = 0,20 B: O produto foi classificado como bom pelo teste de controle
C: clientes da zona sul , P(C) = 0,30 B': O produto foi classificado como defeituoso pelo teste de controle
D: clientes que adquiriu (consumiu) um produto
P(D/A) = 0,20 Num lote com 5% de produtos defeituosos, tem-se:
P(D/B) = 0,15 P(A) = 0,95 e P(A') = 0,05
P(D/C) = 0,30 Sabendo que
P(B'/A) = 0,01 , P(B'/A') = 0,90 , procura-se P(A/B') .
Pelo que foi visto,
P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) Pelo que foi exposto no início, 
P(D) = 0,50.0,20 + 0,20.0,15 + 0,30.0,30
P(D) = 0,220 P(A/B') = P(A ∩ B')/ P(B')
Dessa forma, a probabilidade de um cliente qualquer vir a consumir 
um produto do centro da cidade de Cacoal é de 22,0%, ou seja, 
somente 22% das pessoas que frequentam o centro da cidade 
efetivamente adquirem algum produto.
P(A/B') = P(A).P(B'/A) / P(A).P(B/A) + P(A').P(B/A')
P(A/B') = 0,95.0,01 / 0,95.0,01 + 0,05.0,90
P(A/B') = 0,0095 / 0,05450
P(A/B') = 0,174
Distribuição de variáveis categóricas
Tabela 03 - Gênero dos funcionário da companhia XPTO
Gênero Frequência Porcentagem
Masculino 28 56,0%
Feminino 22 44,0%
Soma 50 100,0%
Fonte: Martins, 2011
Tabela 08 - Grau de ralacionamento dos funcionários da companhia XPTO
Grau de satisfação com o chefeFrequência Porcentagem Faça os gráficos
Muito bom 14 28,0%
Bom 15 30,0%
Regular 14 28,0%
Ruim 2 4,0%
Muito Ruim 5 10,0%
Soma 50 100,0%Fonte: Martins, 2011
Tabela 3 - Percentual, por área, de estudantes que 
pretendem um nível superior
Área de estudo Frequência Percentual
Artes & Humanidades 323 13,5
Ciências Biológicas 222 9,3
Administração 404 16,9
Educação 196 8,2
Engenharia 225 9,4
Ciências Físicas 76 3,2
Profissional 330 13,8
Ciências Sociais 275 11,5
Técnico 24 1,0
Outra 315 13,2
Soma 2.390 100,0
Fonte: Moore, 2014
Tabela 4 - Impactos causados sobre sua vida pelos 
aparelhos/plataformas 
Plataforma/Aparelho Percentual de usuários que disseram grande impacto
Celunar 54,0
Banda Larga 49,0
iPhone 45,0
Blackberry 44,0
Televisão 34,0
Radio Satélite 27,0
iPod 27,0
Gravador Vídeo Digital 27,0
E-Leitora 24,0
Rádio AM-FM 22,0
Redes Sociais 20,0
Fonte: Moore, 2014
Tabela 5 - Níveis de audiência em um 
dado instante de tempo, para os formatos 
mais populares de programa de rádio
Formato Nível Audiência (%)
Notícias/Conversa/Informação12,6
Sertaneja 12,5
Contemporâneo Adulto 8,2
Sucessos Contemporâneos Pop 5,9
Rock Clássico 4,7
Sucessos Clássicos 3,9
Sucesso Contemporâneo Rítmico3,7
Contemporâneo Urbano Adulto3,6
Contemporâneo Adulto Picante 3,5
Contemporâneo Urbano 3,3
Regional Mexicano 2,9
Esportes 2,5
Soma 67,3
Fonte: Moore, 2014
Tabela 6 - Fontes de recursos que os 
estudantes utilizam para as despesas da 
faculdade
Fonte Percentual
Recursos Familiares 78,2
Recursos Estudante 62,8
Ajuda Não Reembolsável 70,0
Ajuda Reembolsável 53,4
Outra 6,5
Fonte: Moore, 2014
Tabela 7 - Números médios de bebês nascidos em cada 
dia da semana, em 2008
Dia Nascimentos Porecentagem
Dom 7.534
Seg 12.371
Ter 13.415
Qua 13.171
Qui 13.147
Sex 12.919
Sab 8.617
Σ 81.174
Fonte: Moore, 2014
Distribuição de variáveis quantitativas contínuas
Quadro 1 - Dados dos funcionários da companhia XPTO (anexo A do livro texto)
Ordem Idade Escolaridade em anosGenero Renda anual em 1.000,00Renda familiar anual em 1.000,00Tempo de trabalho em anosTempo de trabalho na empresaGrau de ralacionamento entre empregado e chefe
43 18 12 Masculino 11,5 55,5 1 1 Muito ruim 2
20 20 11 Masculino 10,5 14,3 3 1 Muito bom 5
47 21 14 feminino 16,3 60,7 3 0,66 Muito bom 16
4 23 14 Masculino 20,2 20,2 3 1,5 Muito bom 17
22 24 12 feminino 24,3 27,4 7 5 Bom 20
8 25 13 feminino 18 49,5 10 1,5 Bom 26
19 25 16 Masculino 33,1 33,1 7 1 Bom 27
48 26 16 feminino 44,7 65,3 13 3,5 Muito bom 28
35 27 17 feminino 20,4 36,2 11 7 Bom 38
42 28 16 feminino 17 20 7 2 Muito ruim 39
50 28 10 Masculino 15 20 6 5 Bom 40
24 30 16 Masculino 33,8 33,8 14 5 Regular 41
40 32 12 Masculino 15,4 15,4 16 0,16 Regular 42
3 33 15 Masculino 40,5 85,6 12 9 Bom 45
5 33 12 feminino 25,2 25,2 15 4 Muito bom 46
23 33 10 Masculino 33,3 42,8 17 5 Bom 47
37 33 16 feminino 21,6 46,6 12 2,58 Muito ruim 48
44 33 16 feminino 17,7 19,3 14 3 Muito bom 52
13 34 12 feminino 33,3 55,2 12 6 Regular 56
30 34 12 feminino 31,3 67,7 18 3 Bom 59
32 34 12 feminino 30,3 34,2 15 8 Regular 60
45 34 9 feminino 11,8 43,7 18 1,5 Bom 61
1 35 20 Masculino 78,3 85,3 14 3 Regular 62
10 35 16 Masculino 38,4 38,4 15 3 Bom 63
11 35 12 feminino 31 33,5 13 1,5 Regular 68
27 35 15 Masculino 42,7 51,8 18 0,5 Bom 69
28 35 16 Masculino 14,7 46,9 15 0,75 Bom 70
7 37 14 feminino 15 15 10 1,5 Muito bom 72
21 37 13 feminino 35,7 35,7 20 3 Regular 74
38 38 19 Masculino 48,7 68 19 15 Muito bom 80
9 39 18 Masculino 60,8 60,8 15 5 Regular 81
16 39 16 Masculino 64,2 67,2 23 0,5 Muito bom 82
49 39 18 Masculino 75,6 91,8 23 3 Muito bom 83
36 40 13 Masculino 26,3 29,9 23 10 Bom 84
33 41 13 Masculino 16,4 18,5 24 2 Muito bom 85
39 41 15 Masculino 18,4 19,2 23 1 Regular 93
29 42 16 feminino 23,7 51,2 25 5,5 Bom 86
25 43 13 Masculino 25,2 91,8 27 12 Bom 87
34 44 16 feminino 17,9 34,2 9 5,5 Bom 88
46 48 17 feminino 32,8 33,5 22 6 Bom 90
12 49 13 Masculino 76,6 93,5 30 5 Muito bom 92
15 49 4 Masculino 27,5 27,6 31 22,08 Regular 96
14 50 14 feminino 15,8 17,4 20 10 Regular 100
31 50 14 feminino 24,1 69,6 33 3,5 Regular 101
26 56 16 feminino 36,1 36,9 36 30 Muito bom 104
41 58 14 Masculino 53,7 56,5 42 36 Muito bom 107
18 59 16 Masculino 26,6 35,4 43 1,5 Muito bom 108
6 60 14 Masculino 36,7 35,7 40 20 Muito bom 117
17 61 12 feminino 32 34,6 20 0,75 Muito bom 119
2 64 14 feminino 25,7 81,9 25 11 Muito bom 120
51 30 15 feminino 22 32 20 20 Muito bom
52 18 6 Masculino 18 24,5 0,5 0,5 Regular
53 60 14 Masculino 35 45,2 42 25 Bom
54 32 12 Masculino 28 37,8 12 12 Ruim
55 35 15 feminino 30 40,7 10 4 Muito ruim
56 42 15 Masculino 42 42 20 2,5 Bom
57 50 10 feminino 53 60 30 15 Muito bom
58 27 12 Masculino 22,5 32,5 10 5 Muito bom
59 40 17 Masculino 20,1 35,1 18 11,83 Bom
60 27 9 feminino 11,6 48,9 4 4 Muito bom
61 53 16 Masculino 50,6 75,1 36 10 Regular
62 39 13 feminino 22,5 50,3 23 1 Muito bom
63 47 14 Masculino 56,7 59,5 27 5 Regular
64 27 11 feminino 15,5 30,4 5 2 Bom
65 40 10 feminino 17 19,3 13 4 Bom
66 27 12 Masculino 16,5 17 27 0,5 Muito bom
67 35 15 Masculino 43,3 43,3 18 10 Muito bom
68 25 16 Masculino 22 52,3 8 2,5 Muito bom
69 53 9 Masculino 10,2 15,6 34 5 Regular
70 35 16 Masculino 41,3 41,3 13 6,41 Bom
71 43 12 Masculino 54,2 67,9 26 11 Regular
72 33 14 feminino 19,8 62,5 12 2 Bom
73 48 12 Masculino 50 54,1 32 21 Regular
74 29 16 Masculino 23,6 34,8 11 1 Muito bom
75 26 13 feminino 19,3 19,6 10 40 Bom
76 23 16 feminino 16 16,9 6 0,75 Bom
77 30 14 feminino 18,1 41,8 4 1 Muito bom
78 53 12 feminino 21,7 35,7 15 12,5 Ruim
79 53 12 Masculino 39 43,9 30 0,08 Bom
80 43 14 Masculino 30,9 30,9 37 2 Muito bom
81 30 13 Masculino 32,3 39,3 11 10 Bom
82 27 14 Masculino 17,9 46,5 17 0,5 Bom
83 59 15 Masculino 39,8 69 42 6 Muito bom
84 36 16 feminino 37,2 38,8 19 12,5 Regular
85 52 16 Masculino 54,6 56,7 30 21 Regular
86 40 14 Masculino 18,8 57,4 24 1,5 Muito bom
87 29 17 Masculino 39,6 46,6 8 2,83 Ruim
88 40 14 Masculino 78 92,9 23 4,33 Muito ruim
89 36 12 feminino 25,2 25,9 20 10 Bom
90 38 20 Masculino 64,5 65,7 21 4 Bom
91 64 13 feminino 28,6 35,2 21 7 Bom
92 43 16 feminino 61,7 78,8 35 18 Bom
93 28 16 feminino 35,1 38,3 12 0,16 Bom
94 52 14 feminino 20,6 47,3 20 3 Bom
95 48 12 feminino 13,7 36,1 15 1,66 Muito bom
96 52 12 Masculino 40,8 96,2 35 0,08 Muito bom
97 43 12 feminino 19,7 57,8 27 9,41 Bom
98 39 13 feminino 27,1 31,2 21 16 Regular
99 29 15 Masculino 39,2 63,6 8 1 Bom
100 34 14 Masculino 21,1 33,4 17 10 Muito bom
101 25 14 Masculino 28,4 29,9 8 3 Muito ruim
102 32 12 Masculino 15 15 14 1 Muito ruim
103 49 12 feminino 14,6 82,5 20 4 Muito bom
104 40 12 feminino 17,8 17,8 20 0,5 Muito bom
105 39 18 Masculino 29,2 62,6 18 2 Regular
106 32 16 Masculino 23 23,5 15 3 Bom
107 25 10 Masculino 20 20 8 2 Bom
108 42 16 feminino 23,1 34,2 25 12 Ruim
109 37 13 Masculino 26,8 34 18 16 Muito ruim
110 28 12 feminino 19,3 19,3 8 3 Regular
111 23 16 Masculino 10,3 38,4 6 1 Bom
112 37 12 feminino 16,7 26,5 20 10 Muito bom
113 35 12 feminino 15,9 15,9 8 1,5 Regular
114 63 12 feminino 25,8 38,7 45 22 Muito bom
115 29 13 Masculino 23,9 43 10 3 Bom
116 33 14 Masculino 18,9 22,4 16 1 Regular
117 26 12 Masculino 36,3 36,3 10 2,5 Regular
118 50 20 feminino 58 98,7 34 8 Ruim
119 49 15 feminino 25,7 50,8 25 3,41 Regular
120 44 17 Masculino 51,8 61,6 27 22 Muito bom
Total 38,1 13,9 120 3632,2 120 120 120 120
25,70
18,325
Faça uma distribuição de frequência para cada variável
Calcule as medidas de tendência central e dispersão.
Faça interpretações razoáveis
23
Tabela 01 - Idade dos funcinários da companhia XPTO
Idade Ponto médio Frequência Porcentagem Acumulada (%)
18|----------28 23 6 12,0% 12,0%
28|----------38 33 17 34,0% 46,0%
38|----------48 43 12 24,0% 70,0%
48|----------58 53 12 24,0% 94,0%
58|----------68 63 3 6,0% 100,0%
Σ --------- 50 100,0% -------
Fonte: Martins, 2011
Tabela 3 - Anos de escolaridade dos funcinários................
Escolaridade em anosIdade Média Frequência Porcentagem Acumulada (%)
 4|------------8
 8|-----------12
12|-----------16
16|-----------|20
Σ
Fonte: Martins, 2011
Tabela 4 - Renda anual dos funcinários................
Renda em 1000 reaisRenda Média Frequência Porcentagem Acumulada (%)
10|------------25
25|------------40
40|------------5555|------------70
70|------------85
Σ
Fonte: Martins, 2011
Tabela 5 - Renda anual familiar dos funcinários................
Renda em 1000 reaisRenda Média Frequência Porcentagem Acumulada (%)
10|------------25
25|------------40
40|------------55
55|------------70
70|------------85
85|------------100
Σ
Fonte: Martins, 2011
Tabela 6 - Tempo de trabalho dos funcionários ................
Tempo em anosTempo médio Frequência Porcentagem Acumulada (%)
 0|------------10
10|------------20
20|------------30
30|------------40
40|------------50
Σ
Fonte: Martins, 2011
Sendo a variável explorada uma variável quantitativa, então, antes de 
seguirmos com as análises de correlação, devemos calcular as medidas de 
centro e dispersão dessa variável. São as medidas descritivas.
Moda (Mo)
A moda de um conjunto de valores é o valor que mais aparece. Em outras 
palavras, é o valor de maior frequência, consequentemente maior 
probabilidade em relação aos demais. Se um conjunto de valores não houver 
pelo menos uma repetição, então esse conjunto é amodal. Também é possível 
que num conjunto de valores haja mais de uma moda. 
Medidas de centro (média , moda e mediana)
Média aritmética simples
A média aritmética simples é a medida mais difundida num conjunto de 
dados numéricos. Por definição, a média aritmética é um valor x cuja a soma 
das distâncias dos valores abaixo dela é igual à soma das distâncias dos 
valores acima dela, sendo todas as distâncias centradas em x. 
Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum Como podemos 
verificar, a moda está 
entre 10 e 20 minutos. O 
valor representativo 
desse intervalo é o ponto 
médio 15 minutos.
0|--10 5 8 0,211 0,211
10|--20 15 16 0,421 0,632
20|--30 25 10 0,263 0,895
Seja um conjunto de dados ordenados 30|--40 35 4 0,105 1,000
Digamos que a média aritmética desse conjunto esteja entre o terceiro e o 
quarto elementos. Então, pela definição, tem-se:
Σ ---------- 38 1,000 ----------
Pelo que foi exposto, a maioria das pessoas, 42,1%, utilizam o celular por 15 
minutos em média durante todo o dia.
Na planilha "variáveis quantitativas", compare a moda da variável antes de 
organizar os dados numa tabela com a moda depois dos dados organizados 
em intervalos.
Percentis (Pi) Os percentis são probabilidades acumuladas [mais pra 
frente veremos que os percentis fazem parte de uma função 
de probabilidade acumulada]
De um modo geral, a média aritmética de um conjunto de dados é a soma de 
todos os valores dividida pelo número de elementos do conjunto.
(ou quantis)
Em estatística, a média aritmética é representada pela letra x com um traço 
acima. E as fórmulas como seguem. Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum Percentil é um valor da 
variável que abaixo dele 
há um percentual pré 
estabelecido de valores. 
Esses valores devem 
estar em ordem 
crescente. 
caso os valores sejam pontuais e 0|--10 5 8 0,211 0,211
10|--20 15 16 0,421 0,632
20|--30 25 10 0,263 0,895
ou caso os valores sejam intervalares 30|--40 35 4 0,105 1,000
Σ ---------- 38 1,000 ----------
Estas últimas são denominadas médias ponderadas.
De acordo com a frequência relativa acumulada (probabilidade acumulada), 
21,1% dos usuários de culular utilizam o aparelho por no máximo 10 
minutos durante o dia. 63,2%, utilizam o aparelho por no máximo 20 
minutos por dia de uso. Assim,P21 = 10 minutos e P63 = 20 minutos. 
A média amostral (x barra) será um valor próximo à média da população (µ), 
a diferença é denominada erro amostral da média (e). Assim, , com 
certa probabilidade de aceitação.
Vamos exemplificar com uma variável X: tempo em que a pessoa fica no 
celular durante dia, em minutos. (essa variável será usada em todas as 
estatísticas).
Há sempre uma pergunta ralacionada ao percentil: Qual é o tempo de uso do 
celular (neste caso em minutos) que abaixo desse tempo encontramos 25% 
de todos os usuários? De outra forma, qual é o tempo cuja probabilidade de 
estar abaixo dele é de 25%?
Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum
0|--10 5 8 0,211 0,211 Neste caso estamos interessados no P25
10|--20 15 16 0,421 0,632
20|--30 25 10 0,263 0,895 Alguns percentis mais usuais: (quartis)
30|--40 35 4 0,105 1,000 P25 --> 1° Quartil, Q1 (abaixo dele se encontram os primeiros 25% 
elementos do conjunto de valores da variável).Σ ---------- 38 1,000 ----------
P50 --> 2° Quartil, Q2 (também conhecido como mediana, abaixo dele econtramos os primeiros 50% elementos da série), é uma das 
medidas de centro.
 P75 --> 3° Quartil, Q3 (abaixo dele encontramos os primeiros 75% 
elementos da variável).
Com este cálculo, conclui-se que o tempo médio de uso do celular durante 
um dia é de 17,6 minutos, com algum erro probabilístico. Há duas meneiras de encontrar um percentil. Uma, quando os dados formam 
um ROL (uma lista de valores ordenados) e outra, quando os dados 
estiverem numa tabela estatística. De qualquer forma, o conjunto de valores 
deve estar em ordem crescente.
Na planilha "variáveis quantitativas", calcule a média, bem como todas as 
outras estatísticas descritivas.
1 3 3 6 7 8 8 9 10
10 11 11 12 14 14 14 15 16
17 17 17 17 19 19 20 20 21
21 23 24 25 25 26 28 30 33
33 37
25% de 38 dá 9,5 , isso quer dizer que o décimo elemento separa os 
primeiros 25% elementos da série. Olhando a série, o décimo elemento 
corresponde a 10 minutos. Assim, 25% dos usuários de celular utilizam o 
aparelho por no máximo 10 minutos durante um dia.
Caso os valores da variável esteja resumida numa tabela de frequência, 
utilizamos a seguinte fórmula:
i --> é a proporção desejada para o percentil, vai de 1 a 100;
Linf --> é o limite inferior do intervalo que contém o percentil desejado;
h --> é a amplitude do intervalo;
Fi --> é a frequência absoluta do intervalo que contém o percentil;
n --> é o número de elementos da amostra;
ΣFant --> é a soma das frequencias anteriores à classe do percentil.
 
Vamos usar esta fórmula para estimar o P25 dos dados da tabela acima.
Antes, porém, devemos identificar na tabela qual é o intervalo de classe que 
contém o percentil 25, isto se verifica por meio da frequência acumulada 
relativa (fi acumulada). Veja que na primeira linha (classe) encontramos os 
primeiros 21,1% elementos da série, enquanto que na segunda linha 
encontramos acumuladamente 63,2% dos elementos da variável. Então, é 
razoável crermos que o percentil 25 está no intervalo de 10 a 20 minutos.
Listamos os elementos da fórmula de acordo com as instruções anteriores.
i = 25 ; Linf = 10; h = 10; Fi = 16; n = 38; ΣFant = 8
Substituindo na fórmula, teremos:
Assim, concluí-se que 25% dos usuários utilizam o celular por no máximo 
10,9 minutos durante um dia.
Perceba que tanto pelo rol quanto pela fórmula, os resultados são bem próximos.
Agora faremos uma análise dos percentis por meio de um gráfico de 
probabilidade. No eixo horizontal iremos colocar o limite inferior do 
primeiro intervalo, que neste caso será zero, com probabilidade 0, e todos os 
limites superiores com suas respectivas probabilidades acumuladas.
Classes fi Acum
0 0
10 0,211
20 0,632
30 0,895
40 1,000
Pelo gráfico, verifica-se que 30% dos usuários utilizam o aparelho por 12 
minutos no máximo, P30. Também nota-se que 10% dos usuários gastam 
mais de 30 minutos por dia no celular, P90.
Assista no canal Aulanet Unir como fazer um gráfico desses no Excel 2013.
Medidas de dispersão Desvio padrão (Dp; s; σ ) Simetria Escores padronizados (z) e Outliers
A dispersão, em estatística, mede o quão dispersos estão os valores de um 
conjunto de dados. As mais comuns são: A amplitude total (R) , variância, 
desvio padrão, coeficiente de variação e intervalos de variação da média.
O desvio padrão é determinado pela raiz quadrada da variância, é uma 
medida de dispersão absoluta em torno da média. Numa distribuição 
simétrica é possível determinar a probabilidade de um elemento estar a K 
desvio padrão distante da média, tanto acima quanto abaixo dela. 
Simetria diz respeito à coisas idênticas, porém opostas por um eixo, como se 
fosse um espelho. Váriosobjetos são simétricos, isto é, possuem um eixo 
imaginário que corta-os ao meio longitudinal ou transversalmente de forma 
que surjam duas partes idênticas, mas opostas por este eixo.
O escore padronizado é uma medida de dispersão que indica a distância que 
um valor está da média em desvios padrão. Os escores padronizados variam 
de - ∞ a + ∞, porém, 99,7% deles variam de -3 a +3. 
Amplitude toal ( R)
Os valores de uma variável podem estar distribuídos simetricamente em 
torno de algum valor central (média, moda ou mediana) onde estará situado o 
eixo de simetria. De fato, existirá simetria perfeita se os percentis estiverem 
equidistantes da mediana, algo que pode ser visualizado por meio de um 
histograma, gráfico de pontos ou mesmo por um diagrama de caixa (box-
plot). Se, numa distribuição de probabilidade, tivermos a média = mediana = 
moda, então esta variável apresentará distribuição simétrica. Caso o gráfico 
dessa variável tenha forma de sino, então a distribuiçao de probabilidade é 
dita NORMAL. Para maiores detalhes sobre simetria consultar Martins 
(2011, p. 93) e Morettin (2011, p. 51).
A amplitude total de um conjunto de valores é a diferença entre o maior 
valor e menor valor da série. Assim, com a amplitude todal, é possível 
verificar qual a maior diferença encontrada dentro dos valores coletados. 
Fórmula O desvio padrão é 
expresso nas mesmas 
unidades de medida da 
média
Fórmula:
ou
ou 
O sinal do escore indica se o valor x é menor ou maior que a média. 
Se uma distribuição é simétrica, então as seguintes probabilidades são observadas:
Exemplo: De acordo com a tabela, a amplitude total é de 40 minutos, pois o 
valor máximo é 40 e o valor mínimo é 0.
A probabilidade dos elementos amostrais estarem a uma distância de 1 desvio 
padrão para mais ou para menos da média é de aproximadamente 68%.
Exemplos práticos 
1) Comparando performances em testes e concursos
Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum A probabilidade dos elementos amostrais estarem a uma distância de 2 desvio 
padrão para mais ou para menos da média é de aproximadamente 95%.
Vamos supor que você tirou 7,5 em português e 6,0 em matemática. É claro 
que sua nota de português é maior que a de matemática, então a conclusão é 
de que você se saiu melhor em português do que matemática. Vamos olhar 
por um outro ângulo. Vamos supor que os professores tenham informado a 
média e o desvio padrão de cada matéria. Agora é possível saber qual a sua 
posição relativa às duas médias da turma. Veja: 
0|--10 5 8 0,211 0,211 Qualquer outra diferença entre 
outros dois valores é menor que 
40 minutos. A medida R e suas 
variações é largamente utilizada 
em gráficos de controle de 
qualidade.
O grau de asssimetria pode ser mensurado por duas fórmulas: uma fórmula 
que ralaciona a mediana e os quartis e outra que relaciona moda e média com 
o desvio padrão. 
10|--20 15 16 0,421 0,632 A probabilidade dos elementos amostrais estarem a uma distância de 3 desvio 
padrão para mais ou para menos da média é de aproximadamente 99%.20|--30 25 10 0,263 0,895
30|--40 35 4 0,105 1,000 Fórmulas.
Σ ---------- 38 1,000 ---------- Esses intervalos (dados em desvios padrão) são denominados Intervalos de Variação
para o intervalo com 1 dp Ainda é possível determinar a 
probabilidade para qualquer 
intervalo em torno da média
Variância (Var(x); s²; σ² ) para o intervalo com 2 dp A interpretação é bastante simples: Se As = 0 , então a distribuição dos 
valores da variável é simétrica, caso contrário, é dita assimétrica, negativa ou 
positiva, conforme o caso. 
Matéria Média Dp
A variância é uma medida de dispersão que auxilia o pesquisador nos 
estudos da variabilidade de dados quantitativos. Com a variância é possível 
determinar o desvio padrão, fazer comparações entre médias amostrais, 
realizar testes de correlação entre variáveis, além de ser muito útil para 
quem deseja de aprofundar em análise quantitativa de dados. Para maiores 
detalhes sobre a teoria da variância convém consultar nossa bibliografica 
indicativa do curso.
para o intervalo com 3 dp Português 6,5 1,2
Matemática 5 0,9
Coeficiente de variação (Cv) (coeficiente de variação de Pearson)
O coeficiente de variação é utilizado para verificar a variabilidade relativa 
dos dados e para comparar variabilidade relativa entre duas amostras de 
populações distintas. Se o coeficiente de variação for pequeno, então diz-se 
que os dados são homogêneos (estão próximos da média), caso contrário, são 
heterogêneos (estão bem distantes da média).
Gráficos para visualização da assimetria dos dados
Diaframa de caixa e histograma
Para calcular a variância é necessário conhecer o desvio que cada elemento 
apresenta em relação à média, já que a variância é uma medida de dispersão 
em relação à média aritmética. Depois de calcular os desvios, é necessário 
elevar cada diferença ao quadrado para que todos os valores fiquem 
positivos, já que a soma dos desvios em relação à média é zero. Aí é só 
somar e dividir pela quantidade de elementos da amostra. (melhor usar um 
computador!)
Assim, concluí-se que no quesito comparativo com a média da turma, você 
se saiu melhor em matemática, apesar da nota mais baixa.
Fórmula 2) Verifacando Outliers (valores atípicos)
O resultado geralmente é expresso em 
termos percentuais.
Um valor atípico é um valor não muito frequente, com probabilidade bem 
próxima de zero. Uma regra simples verifica se um determinado valor é um 
outlier. Diz que x é um outlier se este estiver a mais de 3 desvios padrão 
distante da média. Se Cv < 15%, então a amostra apresenta baixa dispersão relativa, os dados 
são homogênios;Fórmulas da variância Vejamos:
Para dados amostrais distribuidos num ROL Se 15% < Cv < 30% então a amostra apresenta média dispersão relativa, os 
dados são mais ou menos homogêneos;
Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum
0|--10 5 8 0,211 0,211 Esta é a distribuição do 
tempo de uso do celular 
pelos usuários em 1 dia.
Para dados amostrais numa tabela estatística Se Cv > 30%, então a amostra apresenta alta dispersão relativa, os dados são 
heterogêneos. A média não os representa bem!
10|--20 15 16 0,421 0,632
20|--30 25 10 0,263 0,895
* Em inferência, em vez de nos referirmos á variabilidade da amostra, 
referimo-nos à variabilidade da população com base nesse coeficiente. 
Percebe-se, de acordo com o histograma, que a distribuição do tempo de uso 
do celular é assimétrica positiva, pois a cauda direita é maior que a esquerda, 
em relação ao intervalo mais frequente (moda).
30|--40 35 4 0,105 1,000
Σ ---------- 38 1,000 ----------
Para toda população de pesquisa
Exemplo: Determiniar o desvio padrão do tempo de uso do celular durante 
um dia, interpretar o os três intervalos de variação e interpretar o coeficiente 
de variação.
Sabendo que a média é de 17,6 min e o desbio padrão de 9,2 min, 
verificaremos se o menor valor (0) e o maior valor (40) são outliers.Gráfico de caixa (box plots)
Para o desvio padrão precisamos da 
variância que neste caso é de 84,8 min².
Para construir um gráfico de caixa necessitamos das medidas: Min, P25, P50, 
P75 e Máx. Isso mostrará em qual lado da mediana os dados estão mais 
dispersos.
* Ainda existem outros métodos computacionais para o cálculo da variâcia.
Intervalos: De acordo com nosso exemplo, as medidas são:
Exemplo: Vamos calcular a variância para o tempo de uso do celular durante o dia. Min 0 Assim, cocluímos que não há outliers nessa série de dados, pois o menor 
valor e o maior valor se encontram a menos de 3 desvios padrão da média. Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum P25 10,9
0|--10 5 8 0,211 0,211 Lembrando que a média 
já foi determinada 
anteriormente e é 17,6 
min
P50 16,9
10|--20 15 16 0,421 0,632 P75 24,5
20|--30 25 10 0,263 0,895 Coeficiente de variação Máx 40
30|--40 35 4 0,105 1,000 Como o coeficiente de variação é 
maior que 30%, então o tempo de 
uso do celular durante o dia é 
bastante disperso.
Σ ---------- 38 1,000 ----------
Assim, a variância do tempo de uso do celular durante umdia é de 84,8 
minutos ao quadrado. A variância amostral (s²) contém algum erro em 
relação à variância populacional de acordo com a probabilidade associada. 
* A variância não tem interpretação prática. Porém, ela é utilizana na 
correlação envolvendo variáveis quantitativas
Medidas de associaçao entre variáveis Análise gráfica Associação entre variáveis qualitativas e quantitativas Análise gráfica Associação entre variáveis quantitativas (regressão linear simples)
A associação de variáveis quali e quanti exige um conhecimentto prévio da 
variância dos dados quantitativos, o que pode ser visto no capitulo medidas 
de dispersão. A ideia principal é analisar o que acontece com a variável 
quantitativa dentro de cada categoria da variável qualitativa. 
As medidas de associação entre variáves são indicadas para verificar: O 
grau de dependência estatística entre duas variáveis qualitativas, a existência 
de correlação entre duas variáveis quantitativas e o grau de associação entre 
uma variável quali e outra quanti. Seguiremos com duas metodologias em 
paralelo: uma numérica e outra gráfica.
A análise gráfica é feita por meio de um gráfico de probabilidades 
condicionadas. Cores iguais devem apresentar as mesmas 
probabilidades dentro de cada grupo. Em geral a variável disposta na 
linha estará condicionada à variável da coluna. O gráfico pode ser feito 
com uma tabela de contingência de frequência absoluta ou relativa.
Aqui utilizamos o Action para facilitar 
Quadro 1 - Instrução, 
procedência e salário dos 
funcionários da companhia MB
Média e variância dos salários 
total e por grau de instrução
Grau de associação entre variávies qualitativas (coeficiente de contingência)
Instrução Salário Procedência Grau de instrução Média
A medida Qui-quadrado (X²), largamente utilizado em inferência, é utilizado 
na fórmula do cálculo do coeficiente de contingência de Pearson, C. Ainda 
temos os coeficientes de Tschuprow,T e de Cramér,V. Os cálculos podem 
ser feitos com uso de softwares estatísticos apropriados, como Action, 
Minitab, Spss, etc. Em geral, esses coeficientes variam de 0 e 1, com uma 
classificação para cada faixa de valores.
ensino fundamental4,00 Interior Fundamental 7,8
ensino fundamental4,56 Capital Médio 11,5
ensino fundamental5,25 Capital Superior 16,9
ensino fundamental6,26 Outro Todos 11,1
ensino fundamental6,66 Interior
Para C entre 0 a 0,1 temos associação fraca ou nenhuma; C de 0,1 a 0,3 
associação baixa; C entre 0,3 a 0,5 associação moderada e C maior que 0,5 
associação forte.
ensino fundamental6,86 Interior Grau de instrução n Var
ensino fundamental7,39 Capital Fundamental 12 7,8
ensino fundamental8,46 Capital Médio 18 13,1
Considere a tabela de contingência abaixo ensino fundamental8,95 Outro Superior 6 16,9
Curso Gênero Fórmula
ensino fundamental9,80 Outro Todos 36 20,5
Masculino Feminino Total ensino fundamental12,00 Outro
Administração 60 80 140 ensino fundamental13,60 Outro Se a variância dentro de cada 
categoria for pequena e menor do 
que a global, significa que a 
variável qualitativa melhora a 
capacidade de previsão da 
quantitativa e portanto existe 
uma relaçao entre as duas 
variáveis.
Outro 258 200 458 ensino médio 5,73 Outro
Total 318 280 598 ensino médio 7,59 Capital
ensino médio 7,44 Outro
Com o uso do programa Action, obtivemos os seguintes resultados: ensino médio 8,12 Interior
ensino médio 8,74 Outro
Teste Qui-Quadrado Essa estatística é comparada com uma tabela 
de valores que indicam a existência ou não de 
dependência. Porém, o p-valor indica a 
probabilidade das variáveis serem 
independentes, sendo mais utilizado entre os 
pesquisadores. 
ensino médio 9,13 Interior Percebe-se, pela figura, que o grau de instrução melhora a previsão dos salários
Estatistica X² 7,287167654 ensino médio 9,35 Outro Dessa forma, define-se o grau de 
associação entre as duas 
variáveis como o ganho relativo 
na variância, obtido pela 
introdução da variável 
qualitativa.
Graus de Liberdade 1 ensino médio 9,77 Capital
P-Valor 0,00694488815 ensino médio 10,76 Interior
ensino médio 11,06 Outro
O erro adotado nos testes estatíticos 
geralmente é de 5,0% 
Faça uma análise de dependência para os dados da tabela abaixo ensino médio 11,59 Capital
ensino médio 13,23 Interior
Coeficiente de contingencia 1) Num quartel ensino médio 13,85 Outro O ganho relativo é dado pela fórmula:
Promo
vido
sexo
total
ensino médio 14,69 Interior
= 0,109 M F ensino médio 14,71 Interior
sim 288 36 324 0,24 0,03 ensino médio 15,99 Capital em que
não 672 204 876 0,56 0,17 ensino médio 16,61 Interior
Pelo coeficiente de contingêcia de Pearson, há uma baixa associação de 
dependência entre as variáveis curso escolhido e sexo, pois C está entre 0,1 
e 0,3.
total 960 240 1.200 ensino médio 19,40 Capital
superior 10,53 Interior
Porém, essa associação é significativa, uma vez que a probabilidade de 
independência é menor que 1,0% , indicada pelo p-valor da estatística X².
Fazendo as condicionais na coluna, teremos: superior 12,79 Outro
Veja que dentro do 
masculino há 30% que 
foram promovidos, 
enquanto que dentro do 
feminino há apenas 15% 
promovidos. Todos dois 
diferentes do total da 
linha (sim) que é de 
27%, mesmo 
considerando um erro de 
5,0%
superior 16,22 Outro
Promo
vido
sexo
total
superior 17,26 Capital
A dependência entre variáveis qualitativas (categóricas) pode ser verificada 
por meio das probabilidades condicionais, considerando, para tanto, um erro 
estatístico. Primeiramente organize uma tabela de probabilidades e uma de 
condicionadas na linha ou na coluna. Analise de acordo com a regra 
estudada no tópico independência estatística, porém, devemos considerar 
algum erro probabilístico.
M F superior 18,75 Capital
sim 0,30 0,15 0,27 superior 23,30 Interior
não 0,70 0,85 0,73
total 1,00 1,00 1,00 Assim, fica evidenciado que 41,5% da variação total do salário é explicada 
pela variável grau de instrução.
Assim, no quartel, as variáveis 
promovido e sexo são 
estatisticamente dependentes.
A medida R² é usul em análise da variância e regressão e é dado em termos 
percentuais.Considere as informações na tabela de contingência abaixo. Há evidências 
de que a escolha pelo curso de administração dependa do gênero do 
acadêmico?
Curso Gênero 
Masculino Feminino Total Ao analisar esta atividade hipotética, percebe-se que a promoção 
nesse quartel é mais favorável ao grupo dos homens que das 
mulheres, talvez porque os homens sejam melhores que as 
mulheres, ou porque as mulheres tenham maior dificuldade de 
realizar as tarefas impostas para a promoção. Na probabilidade 
teórica, a dependência se dá pela análise das probabilidades de 
sucesso para um mesmo atributo em categorias diferentes. Dessa 
forma, verifica-se que o indivíduo tem maior probabilidade de 
promoção pelo simples fato de ser homem e não por seus méritos! 
O que estaria fora de nosso alcance por hora.
Administração 10,0% 13,4% 23,4%
Outro 43,1% 33,4% 76,6%
Total 53,2% 46,8% 100,0%
Para fazer as condicionais, basta dividir cada valor da tabela pelo total da 
coluna (ou linha). Posteriormente organize esses resultados em outra tabela. 
Veja: 
Tabela de condicionais por coluna. Curso condicionada ao gênero.
Curso Gênero 
Masculino Feminino Total intervalo de erro
Administração 18,9% 28,6% 23,4% 23,4 - 5 ; 23,4 + 5
Outro 81,1% 71,4% 76,6% 76,6 - 5 ; 76,6 + 5
Total 100,0% 100,0% 100,0%
Olhando para a primeira linha, e considerando um erro de 5,0% , o intervalo 
para o percentual total vai de 18,4% a 28,4%. Já o intervalo percentual para 
o total da segunda linha vai de 71,6% a 81,6%.
Análise: (cada linha com seu total)
Como há valores no interior da tabela que estão fora dos intervalos 
estabelecidos, concui-se que há evidências de que a escolha do curso 
dependa do gênero do estudante.
Variável aleatóriaV.A
Variável aleatória (V.A) é uma função que associa cada elemento do espaço 
amostral a um número real x.
Por exemplo, considere a variável aleatória X representando a quantidadede 
caras num experimento aleatório realizado com 3 moedas. Já conhecemos o 
espaço amostral desse experimento. 
S = {KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC}
 a V.A X poderá assumir os valores {0, 1, 2, 3}, pois nesse espaço amostral 
há eventos em que não aparece caras (0), há eventos que aparece uma cara 
(1), duas (2) e três (3) caras.
S f X
Funçao densidade de probabilidade (fdp)
A função densidade de probabilidade (fdp) é uma função que associa cada 
número da V.A X a uma probabilidade relacionada ao espaço amostral da 
varável aleatória.
Veja: 
X Fi p(x) Lembrando que Fi é a frequência absoluta 
da V.A e p(x) é a frequência relativa fi da 
V.A
0 1 0,125
1 3 0,375
2 3 0,375
3 1 0,125
Σ 8 1,000
Função de distribuição acumulada (Fd)
A função de distribuição de probabilidade acumulada, Fd, é aquela que 
associa cada valor da V.A X a um percentil da distribuiçao de X.(soma de 
todas as probabilidades anteriores ao pondo dado, Pi). 
Assim, F(2) siginifica probabilidade acumulada até x = 2 que dá 0,875, ou 
seja, a probabilidade de x ser menor ou igual a 2 é de 87,5%. Dessa forma, F
(2) = P87,5 (percentil 87,5).
Outra forma de escrever a respeito de probabilidade acumulada é: 
P( x < 2); P(x > 1); entre outras.
Ainda pode-se fazer operações com probabilidades acumuladas, como por 
exemplo quanto que dá F(2) - F(0)? Que ambém pode ser escrita da forma P
(0 < x <=2) que dá 0,875 - 0,125 = 0,750. Em outras palavras, a 
probabilidade de x ser maior que 0 e menor ou igual a 2 é de 75,0%. 
(verifique na tabela!)
A função de distribuição de probabilidade acumulada, Fd, é mais útil do que 
a função densidade de probabilidade (fdp), pois conhecendo as acumuladas 
de X pode-se calcular qualquer p(x) por meio das diferenças, assim como no 
exemplo acima. 
Esperança matemática da V.A X (E(x) ou µ)
A esperança matemática da variável aletória X é o valor esperado para X 
quando o experimento for realizado inúmeras vezes. Por exemplo, quanto eu 
ganharia em média se aplicasse R$ 500,00 todo mês em fundos de renda 
fixa? Ou seja, o que eu espero receber em troca, caso invista meu dinheiro 
nesse fundo?
O valor esperado de X é dado pela fórmula:
que é a mesma fórmula da média aritmética.
De acordo com a tabela acima, o valor esperado de X é:
Assim, no lançamento de 3 moedas, o número de caras esperado é de 1,5 
caras (uma cara e meia). De outra forma, em n lançamentos sairiam 1,5 
caras em média.
Variância da variável aleatória. (Var(x) ou σ²)
A variância da variável aleatória X é dada pela fórmula:
A eperança de x² é a 
soma de x².p(x), eleva-
se x ao quadrado e 
multiplica pela 
probabilidade do x 
associado.
X Fi p(x) x².p(x)
0 1 0,125 0,000
1 3 0,375 0,375
2 3 0,375 1,500
3 1 0,125 1,125
Σ 8 1,000 3,0 este número é a esperança do x²
com E(X) = 1,5 já calculado anteriormente, a variância de X será:
caras²
o desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância
caras 
As interpretações do desvio padrão da V.A será discutido posteriormente no 
estudo da distribuição normal de probabilidade.
Exercícios 5.5; 5.7; 5.10 Martins, 2011.
5.10) 70% das pessos que trabalham em escritórios utilizam computadores 
da IBM. 2 indivíduos são selecionados aleatoriamente, faça a distribuição de 
probabilidade da variável X: número de usuários de pcs IBM. Calcular a 
média e desvio padrão.
p = 0,7 q = 0,3
Se dois indivíduos são selecionados, então a variável X poderá assumir três valores:
0, 1 e 2.
X cálculo P(x) x.P(x) x².P(x)
0 0,3.0,3 0,09 0,00
1 0,7.0,3 +0,3.0,7 0,42 0,42
2 0,7.0,7 0,49 0,98
Σ 1,00 1,4
Distribuições teóricas de probabilidade Atividade prática O processo de Poisson.
Modelo discreto Você faz parte de um jogo de dados e nesse jogo você tem três chances, se 
sair soma 7 no lançamento de dois dados, você ganha um prêmio. Qual a 
probabilidade que você tem de ganhar um prêmio?
Suponhamos que num banco são atendidas 280 pessoas em 3 horas. Isso nos 
dá um parâmetro de 1,6 pessoas por minuto (aproximadamente). Se esse 
parâmetro permanecer constante para todo intervalo de 1 minuto, e sendo a V.
A. X o número de pessoas atendidas no próximo minuto, X terá distribuição 
de Poisson com parâmetro λ = 1,6 . Escreve-se X ~P(λ).
Distribuição teórica de probabilidade é a distribuição de probabilidade de um 
experimento teórico. Os experimentos teóricos são simples, porém 
sofisticados, pois podem descrever várias situações reais. O experimento 
mais simples se chama prova de Bernoulli. Tal experimento admite apenas 
dois resultados possíveis, sucesso ou fracasso. Quando o experimento é 
repetido inúmeras vezes dizemos que foram realizadas n provas de 
Bernoulli. Ex.: laçar uma moeda, cara (sucesso) e coroa (fracasso); escolher 
uma pessoa dentre muitas, mulher (sucesso) e homem (fracasso); escolher o 
candidato Y, sim (sucesso) e não (fracasso). Qual seria a variável aleatória 
para um experimento de Bernoulli? Quais seriam suas características?
Para solucionar o problema vamos idealizar o seguinte: "devo realizar um 
experimento teórico com dois dados que me forneça todas as 
possibilidades de soma de seus pontos, assim poderei calcular a 
probabilidade da soma ser igual a 7". 
Parêmetro λ (por unidade de tempo, área, etc)
e é o número de Euler = 2,71828...
Como o espaço amostral já é conhecido, temos aqui a distribuição de 
probabiliade de acordo com espaço amostral. A média e a variância, só pra 
constar. 
Características x é o número de sucessos (0, 1, 2, 3, ...)
E(X) = µ = λ 
Var(X) = σ² = λ Comparação entre as distribuições de Poisson e 
a binomial. O número de provas n da binomial 
deve ser grande e p pequeno.
X (soma) p(x) x.p(x) x².p(x)
2 0,028 0,056 0,111 µ E(X) = 7 λ = 1,6
Distribuição binomial (n provas de Bernoulli)X ~ B( n ; p ) 3 0,056 0,167 0,500 σ² Var(x) = 5,8 x = 0, 1, 2, 3, ....
A distribuição binomial é uma função de probabilidade associada à variável 
aleatória número de sucesso para n provas de Bernoulli. Seus parâmetros 
são: n, que é o número de repetições do experimento e p, que é a 
probabilidade de sucesso. A V.A. X assumirá os seguintes valores: 0, 1, 2, ..., 
n. A função binomial é dada pela fórmula: 
4 0,083 0,333 1,333 σ Desv Pad = 2,4 Pela Poisson Pela binomial p 0,027
5 0,111 0,556 2,778 N° sucessos Probabilidade N° sucessosProbabilidade q 0,973
6 0,139 0,833 5,000
Em várias repetições, espera-se 
obter 7 pontos em média, com 
desvio padrão de 2,4 pontos.
x p(x) x.p(x) x p(x) x.p(x) n 60
7 0,167 1,167 8,167 0 0,202 0,000 0 0,198 0,000 média 1,6
8 0,139 1,111 8,889 1 0,323 0,323 1 0,325 0,325
9 0,111 1,000 9,000 2 0,258 0,517 2 0,262 0,525
Características: valor esperado, variância e função acumulada. 10 0,083 0,833 8,333 3 0,138 0,413 3 0,139 0,417
E(x) = n.p F(x) = P(X<= x) = p(0) + p(1) + p(2) + ... + p(x) 11 0,056 0,611 6,722 4 0,055 0,221 4 0,054 0,217
Va(x) = n.p.q P(X >= x) = 1 - P(X < x) 12 0,028 0,333 4,000 5 0,018 0,088 5 0,017 0,083
Σ 1,000 7,0 54,833 6 0,005 0,028 6 0,004 0,025
Vamos supor o seguinte experimento: Lance uma moeda dez vezes. Qual a 
probabilidade de termos 3 caras? Qual o número de caras esperado caso 
repetíssemos este experimento inúmeras vezes?
7 0,001 0,008 7 0,001 0,006
Por meio do modelo da distribuição binomial, pode-se estimar a 
probabilidade de você ganhar o jogo, desde que admita os parâmetros: 
probabilidade de sucesso (sair soma 7) é p= 0,167 e n = 3
8 0,000 0,002 8 0,000 0,001
9 0,000 0,000 9 0,000 0,000
10 0,000 0,000 10 0,000 0,000
sucesso = sair cara n = 10 p = 0,5 q=0,5 11 0,000 0,000 11 0,000 0,000
p = 0,167 n = 3 Solução: P(X > 0) = 0,422 12 0,000 0,000 12 0,000 0,000
q = 0,833
De acordo com o modelo, a 
probabilidade de que saia soma 
7 pelo menos uma vez em três 
jogadas é de 0,422. Dessa 
forma, a probabilidade de eu 
ganhar um prêmio é de 42,2%.
13 0,000 0,000 13 0,000 0,000
x p(x) x.p(x) 14 0,000 0,000 14 0,000 0,000
0 0,578 0,000 15 0,000 0,000 15 0,000 0,000
1 0,348 0,348 Σ 1,000 1,600 Σ 1,000 1,6002 0,070 0,139
Distribuição de probabilidade do número de caras para o lançamento de uma 
moeda 10 vezes.
3 0,005 0,014 Questionamento: Qual a probabilidade de que 5 pessoas sejam atendidas nos 
próximos 3 minutos?Σ 1,000 0,501
N° de caras Probabilidade
Como a média é a mesma em todo instante, 1,6 pessoas por minuto 
corresponde a 4,8 pessoas atendidas em 3 minutos. Dessa forma, teremos um 
novo parâmetro λ = 4,8. Agora, é só substituir na fórmula com x = 5.
x p(x) x.p(x) x².p(x) F(x)
0 0,001 0,000 0,000 0,001 F(0) = P(X=0)
1 0,010 0,010 0,010 0,011 F(1) - F(0) = P(X=1)
2 0,044 0,088 0,176 0,055 F(2) - F(1) = P(X=2) Veja que o parâmetro λ muda quando o intervalo considerado mudar.
3 0,117 0,352 1,055 0,172 F(3) - F(2) = P(X=3) Atividade
4 0,205 0,820 3,281 0,377 . Chegam caminhões a um depósito à razão de 2,8 caminhões/hora, 
segundo uma distribuição de Poisson. Determine a probabilidade de 
chegarem dois ou mais caminhões:
5 0,246 1,230 6,152 0,623 .
6 0,205 1,230 7,383 0,828 .
7 0,117 0,820 5,742 0,945 . a) num período de 30 minutos;
8 0,044 0,352 2,813 0,989 . b) num período de 1 hora; e
9 0,010 0,088 0,791 0,999 . c) num período de 2 horas.
10 0,001 0,010 0,098 1,000 F(10) - F(9)=P(X=10)
Σ 1,000 5,0 27,500 --------- R: 1- [P(0) + P(1)]
a) λ = 1,4 R= 0,40817
b) λ = 2,8 R=0,76892
Modelo contínuo n p (sucesso) c) λ = 5,6 R=0,97559
Distribuição normal de probabilidade X ~ N( µ ; σ² ) 100 0,5
x p(x) F(X) Z Questionamento
Vamos considerar uma distribuição de probabilidade discreta, assim como a 
dada anteriormente. Vamos supor que a área ocupada por cada coluna seja 
representada pela sua probabilidade. Assim, cada coluna é uma fração de 
toda a área da figura que tem probabilidade igual a soma de todas as colunas, 
ou seja, P(0 ≤ X ≤ 10 ) = 1,0.
0 0,0000 0,0000 -10,00 Sabendo que a média de gols é de 1,3 por partida, qual a probabilidade de 
marcar mais de 2 gols em pelo menos 4 das 6 partidas? 1 0,0000 0,0000 -9,80
2 0,0000 0,0000 -9,60 1°) Calcular a probabilidade de sair mais de 2 gols por partida pela poisson
3 0,0000 0,0000 -9,40 2°) Essa será a probabiliadade de sucesso.
Utilizando o exemplo anterior, porém lançando a moeda 100 vezes, podemos 
ter uma noção intuitiva do que venha a ser uma distribuição contínua de 
probabilidade, é como se não houvesse espaços entre um x e outro. Nas 
distribuições contínuas, as probabilidades da V.A é verificada por meio de 
uma função de probabilidade acumulada, Fd. 
4 0,0000 0,0000 -9,20 3°) Depois, calcular a probabilidade de ter sucesso em pelo menos 4 partidas 
nas 6 restantes.5 0,0000 0,0000 -9,00
6 0,0000 0,0000 -8,80
7 0,0000 0,0000 -8,60
8 0,0000 0,0000 -8,40 Distribuição exponencial
Como por exemplo: qual a probabilidade se sair entre 40 e 45 caras? De 
acordo com a distribuição binomial essa probabilidade é dada mediante a 
soma de P(40) a P(45) que dá 16,7%.
9 0,0000 0,0000 -8,20
10 0,0000 0,0000 -8,00 O modelo da distribuiçao exponencial foi idealizado a partir da distribuição de 
Poisson, mas no sentido de querer saber qual a probabilidade do primeiro 
sucesso após um intervalo de tamanho x. Seu parâmetro é λ e a probabilidade 
de ocorrer o primeiro sucesso após x intervalos iguais é dado por :
11 0,0000 0,0000 -7,80
A distribuição NORMAL de probabilidade é uma distribuição contínua que 
tem como parâmetros a média (µ) e a variância (σ²) do fenômeno estudado. 
Os valores das probabilidades acumuladas da distribuição normal estão 
numa tabela denominada Distribuição normal padronizada de acordo com os 
escores padronizados Z. Dessa forma, para encontrar a probabilidade de 
ocorrência de um elemento x da variável aleatória num determinado 
intervalo, devemos converter os valores da V.A em valores padronizados de 
acordo com a fórmula: . Posteriormente, procura-se as 
probabilidades associadas aos valores de Z na tabela. 
12 0,0000 0,0000 -7,60 µ E(X) = 50
13 0,0000 0,0000 -7,40 σ² Var(x) = 25
14 0,0000 0,0000 -7,20 σ Desv Pad = 5
15 0,0000 0,0000 -7,00
16 0,0000 0,0000 -6,80 Características Esperança e variância
17 0,0000 0,0000 -6,60 função densidade e acumulada
18 0,0000 0,0000 -6,40 fdp Fd
19 0,0000 0,0000 -6,20
20 0,0000 0,0000 -6,00
Para exemplificar, vamos considerar o número de caras no lançamento de 
uma moeda 100 vezes, com média de 50 caras e a variância 25 caras². A 
distribuição de probabilidade do número de caras no lançamento de uma 
moeda pode ser comparada a uma distribuição normal, pois seu gráfico é em 
forma de sino. Veja o gráfico ao lado. Então, vamos calcular a probabilidade 
de sair entre 40 e 45 caras de acordo com a distribuição padronizada Z.
21 0,0000 0,0000 -5,80 Fixação - O tempo médio de espera para atendimento numa loja é de 2 
minutos. Qual a probabilidade de você ter de esperar mais de dois minutos 
para ser atendido?
22 0,0000 0,0000 -5,60
23 0,0000 0,0000 -5,40
24 0,0000 0,0000 -5,20 E(X) = 2 0,5
25 0,0000 0,0000 -5,00
26 0,0000 0,0000 -4,80 x P(X < x) P(X > x) intervalo f(x) 0,05f(x) F(X)
Dados do problema 27 0,0000 0,0000 -4,60 0,05 0,024690087970,975309912 0,05 0,4876549560,02438274780,0243827478
µ = 50 x1 = 39,5 o que queremos saber é P(39,5 < X < 45,5) = ........ 28 0,0000 0,0000 -4,40 0,1 0,04877057550,9512294245 0,05 0,47561471230,023780735610,04816348341
σ = 5 x2 = 45,5 29 0,0000 0,0000 -4,20 0,15 0,072256513670,9277434863 0,05 0,46387174320,023193587160,07135707057
30 0,0000 0,0000 -4,00 0,2 0,095162581960,904837418 0,05 0,4524187090,022620935450,09397800602
Transformações: Procurar na tabela as probabilidades associadas aos 
valores 0,90 e 2,10 (desconsidere o sinal) e fazer as 
operções necessárias. Acomplanhe.
31 0,0001 0,0001 -3,80 0,25 0,11750309740,8824969026 0,05 0,44124845130,022062422560,1160404286
32 0,0001 0,0002 -3,60 0,3 0,13929202360,8607079764 0,05 0,43035398820,021517699410,137558128
33 0,0002 0,0004 -3,40 0,35 0,16054297920,8394570208 0,05 0,41972851040,020986425520,1585445535
Para F(z = 0,90) a acumulada dá 0,3159 e para F(z = 
2,10) a acumulada dá 0,4821. Então, 0,4821 - 0,3159 
= 0,166. 
34 0,0005 0,0009 -3,20 0,4 0,18126924690,8187307531 0,05 0,40936537650,020468268830,1790128223
35 0,0009 0,0018 -3,00 0,45 0,20148378120,7985162188 0,05 0,39925810940,019962905470,1989757278
36 0,0016 0,0033 -2,80 0,5 0,22119921690,7788007831 0,05 0,38940039150,019470019580,2184457474
Assim, se a distribuição de probabilidade do número de caras segue os 
moldes de uma distribuição normal, então, em 100 lançamentos, a 
probabilidade de sair entre 40 e 45 caras é de 16,6%.
37 0,0027 0,0060 -2,60 0,55 0,24042787680,7595721232 0,05 0,37978606160,018989303080,2374350505
38 0,0045 0,0105 -2,40 0,6 0,25918177930,7408182207 0,05 0,37040911030,018520455520,255955506
39 0,0071 0,0176 -2,20 0,65 0,27747264640,7225273536 0,05 0,36126367680,018063183840,2740186898
40 0,0108 0,0284 -2,00 0,7 0,29531191030,7046880897 0,05 0,35234404490,017617202240,2916358921
Considerações 41 0,0159 0,0443 -1,80 0,75 0,31271072120,6872892788 0,05 0,34364463940,017182231970,308818124
a) Numa distribuição contínua não se faz distinção entre os símbolos < e ≤ ; > e ≥ ;42 0,0223 0,0666 -1,60 0,8 0,3296799540,670320046 0,05 0,3351600230,016758001150,3255761252
b) Quando utilizamos uma distribuição contínua para fazer inferência sobre 
uma variável discreta, os valores devem ser ajustados para evitar 
descontinuidade. No nosso exemplo o valor 40 foi substituido por 39,5 e o 
valor 45 pelo valor 45,5.
43 0,0301 0,0967 -1,40 0,85 0,34623021490,6537697851 0,05 0,32688489260,016344244630,3419203698
44 0,0390 0,1356 -1,20 0,9 0,36237184840,6376281516 0,05 0,31881407580,015940703790,3578610736
45 0,0485 0,1841 -1,00 0,95 0,37811494350,6218850565 0,05 0,31094252820,015547126410,3734082
c) A tabela normal padronizada contém probabilidades acumuladas em 
relação à média ( 0 ), que está no centro. Mas há tabelas que trazem as 
acumuladas em relação ao menor valor, que pode ser considerado como -4. 
Por isso deve-se tomar cuidado ao realizar operações entre as probabilidadesacumuladas da tabela Z.
46 0,0580 0,2421 -0,80 1 0,39346934030,6065306597 0,05 0,30326532990,015163266490,3885714665
47 0,0666 0,3086 -0,60 1,05 0,40844463560,5915553644 0,05 0,29577768220,014788884110,4033603506
48 0,0735 0,3822 -0,40 1,1 0,42305018960,5769498104 0,05 0,28847490520,014423745260,4177840959
49 0,0780 0,4602 -0,20 1,15 0,43729513120,5627048688 0,05 0,28135243440,014067621720,4318517176
50 0,0796 0,5398 0,00 1,2 0,45118836390,5488116361 0,05 0,2744058180,01372029090,4455720085
Questionamentos 51 0,0780 0,6178 0,20 1,25 0,46473857150,5352614285 0,05 0,26763071430,013381535710,4589535442
No Brasil, a proporção de microempresas que fecham em até um ano é de 
10%. Em uma amostra aleatória de 20 microempresas, qual a probabilidade 
de no máximo cinco microempresas terem as portas fechadas em até um ano 
de criação?
52 0,0735 0,6914 0,40 1,3 0,47795422320,5220457768 0,05 0,26102288840,013051144420,4720046886
53 0,0666 0,7579 0,60 1,35 0,49084357940,5091564206 0,05 0,25457821030,012728910520,4847335992
54 0,0580 0,8159 0,80 1,4 0,50341469620,4965853038 0,05 0,24829265190,012414632590,4971482317
55 0,0485 0,8644 1,00 1,45 0,5156754310,484324569 0,05 0,24216228450,012108114220,509256346
Se numa comunidade, a proporção de famílias com 4 filhos é de 25%, qual a 
probabilidade de encontrarmos mais de 100 famílias com 4 filhos numa 
amostra de 345 famílias?
56 0,0390 0,9033 1,20 1,5 0,52763344730,4723665527 0,05 0,23618327640,011809163820,5210655098
57 0,0301 0,9334 1,40 1,55 0,5392962190,460703781 0,05 0,23035189050,011517594520,5325831043
58 0,0223 0,9557 1,60 1,6 0,55067103590,4493289641 0,05 0,22466448210,01123322410,5438163284
59 0,0159 0,9716 1,80 1,65 0,56176500750,4382349925 0,05 0,21911749620,010955874810,5547722032
Exemplo: Vamos calcular alguns percentis e comparar com a acumulada padrão Z 60 0,0108 0,9824 2,00 1,7 0,57258506810,4274149319 0,05 0,2137074660,01068537330,5654575765
Tempo de uso do celular durante o dia, em minutos 61 0,0071 0,9895 2,20 1,75 0,58313798030,4168620197 0,05 0,20843100980,010421550490,575879127
Classes xi Fi fi (p(xi)) fi Acum 62 0,0045 0,9940 2,40 1,8 0,59343034030,4065696597 0,05 0,20328482990,010164241490,5860433685
0|--10 5 8 0,211 0,211 63 0,0027 0,9967 2,60 1,85 0,60346858090,3965314191 0,05 0,19826570950,0099132854770,595956654
10|--20 15 16 0,421 0,632 64 0,0016 0,9982 2,80 1,9 0,61325897650,3867410235 0,05 0,19337051170,0096685255860,6056251796
20|--30 25 10 0,263 0,895 65 0,0009 0,9991 3,00 1,95 0,62280764640,3771923536 0,05 0,18859617680,0094298088390,6150549884
30|--40 35 4 0,105 1,000 66 0,0005 0,9996 3,20 2 0,63212055880,3678794412 0,05 0,18393972060,0091969860290,6242519744
Σ ---------- 38 1,000 ---------- 67 0,0002 0,9998 3,40 2,05 0,64120353460,3587964654 0,05 0,17939823270,0089699116350,6332218861
68 0,0001 0,9999 3,60 2,1 0,65006225090,3499377491 0,05 0,17496887460,0087484437280,6419703298
média = 17,6 var(x) = 84,2 Desv pad = 9,2 69 0,0001 1,0000 3,80 2,15 0,65870224470,3412977553 0,05 0,17064887770,0085324438830,6505027737
70 0,0000 1,0000 4,00 2,2 0,66712891630,3328710837 0,05 0,16643554180,0083217770920,6588245508
calcular z x 71 0,0000 1,0000 4,20 2,25 0,67534753260,3246524674 0,05 0,16232623370,0081163116840,6669408625
P35 13,3 P(X < x) = 0,35 -0,38 14,1 72 0,0000 1,0000 4,40 2,3 0,68336323060,3166367694 0,05 0,15831838470,0079159192340,6748567817
P80 26,4 P(X < x) = 0,80 0,84 25,3 73 0,0000 1,0000 4,60 2,35 0,69118102030,3088189797 0,05 0,15440948980,0077204744920,6825772562
74 0,0000 1,0000 4,80 2,4 0,69880578810,3011942119 0,05 0,1505971060,0075298552980,6901071115
75 0,0000 1,0000 5,00 2,45 0,70624229970,2937577003 0,05 0,14687885020,0073439425080,697451054
76 0,0000 1,0000 5,20 2,5 0,71349520310,2865047969 0,05 0,14325239840,0071626199220,7046136739
77 0,0000 1,0000 5,40 2,55 0,72056903180,2794309682 0,05 0,13971548410,0069857742060,7115994481
78 0,0000 1,0000 5,60 2,6 0,7274682070,272531793 0,05 0,13626589650,0068132948260,718412743
79 0,0000 1,0000 5,80 2,65 0,73419704090,2658029591 0,05 0,13290147950,0066450739770,7250578169
80 0,0000 1,0000 6,00 2,7 0,74075973940,2592402606 0,05 0,12962013030,0064810065160,7315388234
81 0,0000 1,0000 6,20 2,75 0,74716040420,2528395958 0,05 0,12641979790,0063209898950,7378598133
82 0,0000 1,0000 6,40 2,8 0,75340303610,2465969639 0,05 0,1232984820,0061649240990,7440247374
83 0,0000 1,0000 6,60 2,85 0,75949153680,2405084632 0,05 0,12025423160,006012711580,750037449
84 0,0000 1,0000 6,80 2,9 0,76542971190,2345702881 0,05 0,1172851440,0058642572020,7559017062
85 0,0000 1,0000 7,00 2,95 0,7712212730,228778727 0,05 0,11438936350,0057194681760,7616211744
86 0,0000 1,0000 7,20 3 0,77686983990,2231301601 0,05 0,11156508010,0055782540040,7671994284
87 0,0000 1,0000 7,40 3,05 0,78237894310,2176210569 0,05 0,10881052840,0054405264220,7726399548
88 0,0000 1,0000 7,60 3,1 0,78775202620,2122479738 0,05 0,10612398690,0053061993460,7779461542
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