MATEMÁTICA IME, ITA, FUVEST E CONCURSOS - QUESTÕES EXPLICADAS

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1 
 
 
QUESTÕES EXPLICADAS: 
1) Sejam , , ,r s t v números inteiros positivos tais que: 
r t
s v
 
Considere as seguintes relações: 
( )
( )
( )
( )
r s t v
I
s v
r t
II
r s t v
r r t
III
s s v
r t r t
IV
s v
+ +


+ +
+

+
+ +

 
Quais destas relações podemos garantir que serão sempre corretas para quaisquer 
valores inteiros: 
SOLUÇÃO! 
Como , , ,r s t v números inteiros positivos tais que: 
r t
s v
 
Temos as seguintes relações decorrentes: 
( ) 1 1
r t r s t v
i
s v s v
+ +
+  +   
Portanto a relação (I) é verdadeira. 
( ) ( )( )
rt r t
ii rv st rv rt st rt r v t t s r
s r v t
+
  +  +  +  +  
+ +
 
Portanto a relação (II) é verdadeira. 
( ) ( )( )
rs r t r
iii rv st rv rs st rs r v s s t r
s v s
+ +
  +  +  +  +  
+
 
Portanto a relação (III) é verdadeira. 
Vamos analisar a relação (IV): 
1
r t r t v r t v
v s
s v s r t s
+ + +
      
+
 
2 
 
Mas não temos esta informação no enunciado, portanto, não podemos afirmar sua 
veracidade. 
ALTERNATIVA C. 
 
2) Calcule o determinante da matriz abaixo: 
5
1 1 1 1 1
1 3 0 0 0
0 1 3 0 0
0 0 1 3 0
0 0 0 1 3
−
 = −
−
−
 
SOLUÇÃO! 
Como a primeira coluna apresenta apenas seus dois primeiros elementos diferentes de 
zero vamos aplicar o Teorema de Laplace a esta coluna. 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1
5
1 1 1 1 1
3 0 0 0 1 1 1 1
1 3 0 0 0
1 3 0 0 1 3 0 0
1 1 1 10 1 3 0 0
0 1 3 0 0 1 3 0
0 0 1 3 0
0 0 1 3 0 0 1 3
0 0 0 1 3
+ +
−
− −
 = = + − −−
− −
−
− −
−
 
4
5
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 3 0 0 0
1 3 0 0
30 1 3 0 0
0 1 3 0
0 0 1 3 0
0 0 1 3
0 0 0 1 3
−
−
 = = +−
−
−
−
−
 
Como a primeira coluna desta matriz 4 4 apresenta apenas seus dois primeiros 
elementos diferentes de zero vamos aplicar o Teorema de Laplace a esta coluna. 
( ) ( )
2 11 1 3
4
2 2
3
3 2
4
1 1 1 1
3 0 0 1 1 1 1 1 1
1 3 0 0
1 1 1 3 0 1 1 1 3 0 3 1 3 0
0 1 3 0
0 1 3 0 1 3 0 1 3
0 0 1 3
1 1 1
1 3 0 3 1 3 3 3 1
0 1 3
3 3 3 1
++
−
 = =  − + − − − = + −
−
− − −
−
 = − = + + = + +
−
 = + + +
 
Portanto 4 3 2 1 0
5 3 3 3 3 3 81 27 9 3 1 121 = + + + + = + + + + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3) Considere o círculo de centro O inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do 
segmento AO. 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Usando a notação da figura acima o perímetro 2 p e a área S do triângulo ABC são 
dados por: 
( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( ) 2 3 5 2
2 28 26 18 72
36 36 26 36 18 36 28
36 10 18 8 6 2 5 3 2 2 6 2 3 5 6 4 3 2 5
72 10
p
S p p AB p AC p BC
S
S
S
= + + =
= − − −
= − − −
= =     = =   
=
 
Mas considerando r o raio do círculo inscrito e o triângulo ABC subdividido em três 
triângulos ABO , BCO e ACO temos: 
ABO BCO ACOS S S S  = + + 
Mas: 
26
13
2 2
ABO
AB r r
S r

= = = 
28
14
2 2
BCO
BC r r
S r

= = = 
18
9
2 2
ACO
AC r r
S r

= = = 
Portanto: 
72 10
13 14 9 72 10 36 72 10
36
2 10
r r r r r
r
+ + =  =  =
=
 
Mas: 
18 26 28 2 2 16 8
AB x y
BC y z AC AB BC x z x y y z x x x
AC x z
= +

= +  + − = + + + − −  + − =  =  =
 = +
 
4 
 
Observando o triângulo retângulo AOE e aplicando o Teorema de Pitágoras: 
( )
2
2 2 2 2 2
2
8 2 10
64 40 104
104
AO x r AO
AO
AO
= +  = +
= + =
=
 
 
4) Considere o sistema: 
3 2 2 3 2 2
5
2 2 6
xy x y
x y x y x y xy
+ − =

− − + =
 
Onde x e y são números inteiros. 
Determine o valor numérico da expressão 2 2x y+ . 
SOLUÇÃO! 
Trabalhando a segunda equação: 
( ) ( )
( )( )
3 2 2 3 2 2 2 22 2 6 2 6
2 6
x y x y x y xy x y x y xy x y
xy x y xy
− − + =  − − − =
− − =
 
Da primeira equação do sistema: 
5x y xy− = − 
Substituindo esta expressão na equação anterior: 
( )( )
( )( )
2 6
5 2 6
xy x y xy
xy xy xy
− − =
− − =
 
Considerando, por hipótese x e y números inteiros, temos que: 
( ) ( )
3
5 5 3 2
2 3 2 1
5 2 3 2 1 6
xy
xy
xy
xy xy xy
=

− = − =
 − = − =
− − =   =
 
Como 3xy = os possíveis valores inteiros para x e y são: 
3 1
3 1
1 3
1 3
x y
x y
x y
x y
=  =
= −  = −
=  =
= −  = −
 
Então, 2 2 9 1 10x y+ = + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
5) Cada um dos quatro quadradinhos numerados do cartão abaixo é pintado nas cores 
vermelho, amarelo, preto ou rosa. 
 
Por exemplo: 
 
Qual a probabilidade de que dois quadradinhos com um lado em comum não sejam 
pintados da mesma cor? 
SOLUÇÃO! 
Sejam 1P , 2P , 3P e 4P o número de cores que podemos pintar os quadradinhos 1, 2, 3 e 
4, respectivamente. 
1º caso: 1 e 4 foram pintados da mesma cor. 
Isto pode ocorrer de 4 maneiras. Para os quadradinhos 2 e 4 temos 2 3 3P P= = (cores 
diferentes dos outros) 
Pelo Princípio Multiplicativo da Combinatória temos 4 3 3 36  = possibilidades. 
2º caso: 2 e 3 foram pintados da mesma cor. 
Este caso é semelhante ao primeiro, então, temos também 4 3 3 36  = possibilidades. 
3º caso: 1 e 4 foram pintados de cores diferentes. 
Neste caso temos: 
1
4
2 3
4
3
2
P
P
P P
=
=
= =
 
Pelo Princípio Multiplicativo da Combinatória temos 4 3 2 2 48   = possibilidades. 
4º caso: 2 e 3 foram pintados de cores diferentes. 
Este caso é semelhante ao anterior, então, temos também 4 3 2 2 48   =
possibilidades. 
O número de formas possíveis para pintar os quadradinhos atendendo a exigência de 
dois quadradinhos com um lado em comum não sejam pintados da mesma cor é: 
36 36 48 48 168N = + + + = . 
O número de total T de formas possíveis para pintar os quadradinhos sem se 
preocupar em atender à exigência de dois quadradinhos com um lado em comum não 
sejam pintados da mesma cor é: 
1 2 3 4 4P P P P= = = = 
4 4 4 4 256T =    = 
A probabilidade de cumprir a exigência será: 
168 21
256 32
N
P
T
= = =