ESTATISTICA APLICADA Slides de Aula Unidade II

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Prof. Me. Luiz Felix
UNIDADE II
Estatística Aplicada
 Vamos supor o conjunto de dados a seguir, referente às idades de uma amostra de 100 
alunos formandos em Gestão. Os dados já estão em ordem crescente de grandeza.
Distribuição de frequências para dados contínuos
Fonte: Livro-texto
Fonte: Livro-texto
Distribuição de frequências
1) Calcular a amplitude total: AmplitudeTotal = ValorMáximo – ValorMínimo = 40 – 20 = 20
2) Número de classes = = 100 = 10
3) Amplitude de classes = = 20/10 = 2
Obs.: Usaremos essa
distribuição de frequências
em vários exemplos.
Construção da distribuição de frequências 
Fonte: Livro-texto
Agora vamos criar mais duas colunas: 
a) frequência acumulada 
b) frequência relativa
Construção da distribuição de frequências 
Fonte: Livro-texto
Análise da distribuição de frequências que apresenta a quantidade de creatinina em pacientes. 
Observar 
a) Classe
b) Limite de classes
 Li = limite inferior
 Ls = limite superior
c) Frequência absoluta (fi)
d) Ponto médio (Pm ou xi)
e) Frequência relativa (fr)
f) Frequência relativa (f%)
g) Frequência relativa acumulada (F%)
h) Frequência acumulada (F)
i) Amplitude da classe: Ls – Li (exemplo: 1,26 – 1,08 = 0,18)
Distribuição de frequências 
Fonte: Livro-texto
Exemplo: A empresa JCC fez levantamento entre 30 funcionários para descobrir o número de 
filhos dos seus funcionários. Foram encontrados os seguintes valores:
a) Quantos empregados têm dois filhos? R: 10
b) Quantos empregados têm menos de dois filhos? R: 6
c) Quantos empregados têm mais de dois filhos? R: 14
d) Quantos empregados têm quatro filhos? R: 5
e) Quantos empregados têm menos de quatro filhos? R: 22
f) Quantos empregados têm mais de quatro filhos? R: 3
g) Qual o percentual de funcionários que têm 4 filhos? R: 16,7%
Distribuição de frequências
Fonte: Livro-texto
Dada a seguinte distribuição de frequências, indique qual a porcentagem de pessoas com 
estatura maior ou igual a 155 cm e menor que 160 cm.
a) 10%
b) 15%
c) 5%
d) 20%
e) 7%
Interatividade
Dada a seguinte distribuição de frequências, indique qual a porcentagem de pessoas com 
estatura maior ou igual a 155 cm e menor que 160 cm.
a) 10%
b) 15%
c) 5%
d) 20%
e) 7%
Resposta
Resolução:
Dada a distribuição de frequência de idades, calcule a média da idade.
Para calcularmos a média de uma distribuição de 
frequências com intervalo de classes, utilizamos a fórmula:
= 2872 = 28,72
100 
Observação: Utilizaremos esse valor da média em 
outros exemplos.
Distribuição de frequências – Média 
Fonte: Livro-texto
Fonte: Livro-texto
 Dada uma distribuição de frequência, o cálculo da mediana é dado pela fórmula:
Distribuição de frequências – Mediana 
Fonte: Livro-texto
 Dada a distribuição de frequência, 
calcule a mediana.
Distribuição de frequências – Mediana 
Fonte: Livro-texto
Passo 1 – Acrescentar a coluna de frequência acumulada.
Passo 2 – Determinar a classe da mediana, dividindo n por 2. 
Como n = 100, temos o resultado 50. Constatamos a classe 5
Passo 3 – Usar a fórmula 
Distribuição de frequências – Mediana 
Fonte: Livro-texto
Dada a distribuição de frequência de idades, calcule a moda.
Passo 1 – Determinar a classe modal (com a maior frequência).
Passo 2 – Usar a fórmula
Distribuição de frequências – Moda 
Fonte: Livro-texto
Dada a seguinte distribuição de frequências, determine a estatura média. 
a) 152
b) 157,5
c) 163,5
d) 169,5
e) 170 
Interatividade
Dada a seguinte distribuição de frequências, determine a estatura média. 
a) 152
b) 157,5
c) 163,5
d) 169,5
e) 170 
Resposta
Resolução: Utilizar a fórmula 
Classe Estatura (cm) Num. de alunos (fi) Xi fi .Xi
1 150 I- 155 2 152,5 305
2 155 I- 160 3 157,5 472,5
3 160 I- 165 7 162,5 1137,5
4 165 I- 170 5 167,5 837,5
5 170 I- 175 3 172,5 517,5
TOTAL 20 3270
= 3270 = 163,5
20 
Obs.: Utilizaremos essa média em outro exercício.
Dada a distribuição de frequência, calcule o desvio médio.
Observação:
|3| = 3
|-3| = 3
Distribuição de frequências – Desvio médio 
Fonte: Livro-texto
A média de idade já calculada anteriormente é 28,72 
Passo 1 – Acrescentar as colunas necessárias.
Passo 2 – Inserir os valores na fórmula.
O desvio médio da distribuição de frequência será de 3,51. 
Em média, a diferença da idade de cada formando em relação à 
média aritmética da distribuição das idades será de 3,51.
Distribuição de frequências – Desvio médio 
Fonte: Livro-texto
Dmédio
Dmédio
Dmédio
Variância Populacional
Variância Amostral
Distribuição de frequências – Variância e desvio padrão
Dada a distribuição de frequência de uma amostra,
calcule a variância e o desvio padrão.
Distribuição de frequências – Variância e desvio padrão
Fonte: Livro-texto
A média de idade já calculada anteriormente é 28,72 
Passo 1 – Acrescentar as colunas necessárias.
Passo 2 – Inserir os valores na fórmula.
Logo, a variância amostral de nosso exemplo é 19,315.
Passo 3 – Calcular o desvio padrão:
Distribuição de frequências – Variância e desvio padrão
Fonte: Livro-texto
Dada a seguinte distribuição de frequências de uma amostra, determine respectivamente a 
variância e o desvio padrão. 
a) 13,85 e 3,72
b) 21,50 e 4,64
c) 28,43 e 5,33
d) 35,79 e 5,98
e) 41,38 e 6,43
Interatividade
Dada a seguinte distribuição de frequências de uma amostra, determine respectivamente a 
variância e o desvio padrão. 
a) 13,85 e 3,72 Resolução: Cálculo da variância amostral: 
b) 21,50 e 4,64 Média já calculada: 163,5
c) 28,43 e 5,33
d) 35,79 e 5,98
e) 41,38 e 6,43
Variância: S2 = 
680
20 −1
= 35,79
Desvio Padrão: S = 35,79 = 5,98
Resposta
Classe Estatura 
(cm)
Num. de alunos 
(fi)
Xi (Xi – x)
2 (Xi – x)
2.fi
1 150 I- 155 2 152,5 121 242
2 155 I- 160 3 157,5 36 108
3 160 I- 165 7 162,5 1 7
4 165 I- 170 5 167,5 16 80
5 170 I- 175 3 172,5 81 243
TOTAL 20 680
 A probabilidade é uma técnica estatística utilizada para expressar a chance de ocorrência de 
determinado evento.
 O evento é o resultado que se espera de determinado experimento. Por exemplo, ele pode 
ser cara (no caso do lançamento de uma moeda), um número compreendido de 1 a 6 (no 
caso do lançamento de um dado).
 A probabilidade de ocorrer determinado evento será sempre um número entre 0 e 1, 
indicando aproximadamente a chance de ocorrência desse mesmo evento. 0 ≤ P(A) ≤ 1
 Quanto mais próxima de 1, maior é a probabilidade de ocorrer esse evento; quanto mais 
próxima de zero, menor a chance de o evento ocorrer.
 Quando a probabilidade de um evento é zero, diz-se que esse 
é um evento impossível.
Probabilidade
 Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. Quando jogamos um dado, há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, portanto 
o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O número de elementos desse conjunto é indicado 
por n(S) e nesse caso n(S) = 6.
 Evento: é um subconjunto do espaço amostral. Exemplo: no dado, podemos ter como evento 
a ocorrência de um número par: X = {nº par}; X = {2, 4, 6}, n(X) = 3.
Probabilidade
Evento
Espaço amostral
Fonte: Livro-texto
 Em um experimento aleatório equiprovável (que apresenta as mesmas probabilidades de 
ocorrência), a probabilidade de ocorrer o evento X dentro do espaço amostral S é dada por:
 Exemplo: Em um lançamento de dado, qual a probabilidade de sair um número par?
Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 que é o número de casos possíveis.
Evento X = {nº par}; X = {2, 4, 6}, n(X) = 3 que é o número de casos favoráveis.
P(X) = 3 = 1 = 0,5 ou 50%
6 2
Probabilidade
Conjuntos disjuntos são os conjuntos que não possuem elementos em comum.
A = {3, 5, 7} e B = {9, 11}
Como A e B não possuem elementos em comum, o resultado da união desses conjuntos irá 
gerar um novo conjunto cujo número de elementos serádado pela soma dos elementos de A e 
dos elementos de B. Temos, então:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
n(A ∪ B) = 5
Conjuntos disjuntos
Fonte: Livro-texto
Conjuntos não disjuntos são os conjuntos que possuem elementos em comum.
A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {8, 10, 12}
Nesse caso, o número de elementos da união dos dois conjuntos 
será dado pela soma dos elementos de cada conjunto, 
subtraindo-se os elementos que estes possuem em comum. 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B);
n(A ∪ B) = 5 + 3 – 2 = 6
Conjuntos não disjuntos
Fonte: Livro-texto
 Dois eventos são complementares quando completam determinado espaço amostral.
 Por exemplo: podemos considerar como eventos complementares ocorrer cara ou coroa no 
lançamento de uma moeda.
 Os eventos completam o espaço amostral.
Eventos complementares 
Fonte: Livro-texto
 Dois ou mais eventos que não possuem elementos comuns, ou que não podem ocorrer 
simultaneamente, são ditos eventos mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos).
 Diferentemente dos eventos complementares, eles não necessariamente completam o 
espaço amostral.
 Por exemplo: no lançamento de um dado, podem ocorrer as faces 1, 2, 3, 4, 5, 6. São seis 
eventos mutuamente excludentes, já que dois não podem ocorrer simultaneamente, então a 
ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. São eventos mutuamente exclusivos e que 
não são complementares.
Eventos mutuamente excludentes 
Fonte: Livro-texto
 Quando dois eventos apresentam elementos em comum ou podem ocorrer simultaneamente, 
diz-se que eles são eventos não mutuamente excludentes.
 Exemplo: 
A: apresentar idade entre 20 e 26 anos no momento da formatura.
B: apresentar idade entre 22 e 30 anos no momento da formatura.
 Como entre esses dois eventos
existem elementos em comum,
ou seja, os intervalos de 22 a
26 anos, eles não são 
mutuamente excludentes.
Eventos não mutuamente excludentes 
Fontes: Livro-texto
 Uma lista de eventos coletivamente exaustivos contém todos os eventos elementares 
possíveis para um experimento. 
 Por exemplo, para o experimento de arremesso de um dado, o conjunto de eventos consiste 
de 1, 2, 3, 4, 5, e 6. 
 O conjunto é coletivamente exaustivo porque ele inclui todos os resultados possíveis.
Eventos coletivamente exaustivos 
 Ao lançarmos dois dados, qual a probabilidade de obtermos resultados cuja soma é sete?
P(X) = 6 = 1
36 6
Exemplo
Fonte: Livro-texto
Os princípios da probabilidade ajudam a traçar uma ponte entre o mundo da estatística 
descritiva e o mundo da estatística inferencial. Analise as alternativas sobre a probabilidade e 
indique qual está incorreta.
a) A coletânea de todos os eventos possíveis é chamada de espaço amostral.
b) A probabilidade corresponde a uma proporção ou fração cujo valor varia de 0 a 1.
c) Um evento que não apresente nenhuma chance, em absoluto, de vir a ocorrer (evento 
impossível) apresenta uma probabilidade igual a 0.
d) Um evento cuja ocorrência totalmente garantida, em absoluto, 
de vir a ocorrer (evento certo) apresenta uma probabilidade 
igual a 1.
e) No lançamento de um dado, a probabilidade de sair um 
número ímpar é de 60%.
Interatividade
Os princípios da probabilidade ajudam a traçar uma ponte entre o mundo da estatística 
descritiva e o mundo da estatística inferencial. Analise as alternativas sobre a probabilidade e 
indique qual está incorreta.
a) A coletânea de todos os eventos possíveis é chamada de espaço amostral.
b) A probabilidade corresponde a uma proporção ou fração cujo valor varia de 0 a 1.
c) Um evento que não apresente nenhuma chance, em absoluto, de vir a ocorrer (evento 
impossível) apresenta uma probabilidade igual a 0.
d) Um evento cuja ocorrência totalmente garantida, em absoluto, 
de vir a ocorrer (evento certo) apresenta uma probabilidade 
igual a 1.
e) No lançamento de um dado, a probabilidade de sair um 
número ímpar é de 60%.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!