6- RADICIAÇÃO

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Radiciação 
CONCEITO 
 
Ela é a operação inversa da potenciação, e ela é originada do expoente fracionário, e assim 
trabalhas com raízes. 
 
Representação e nomenclatura 
 
Vejamos como representar a raiz e suas nomenclaturas: 
 
 
√𝒂𝒏
𝒎
 
 
Como já vimos antes ele vem do expoente fracionário, então vejamos agora a nomenclatura: 
M = índice da raiz 
N = expoente do radicando 
a = radicando 
 
√𝒂𝒏
𝒎
 
 
Radiciação inverso da potenciação? 
 
A radiciação é o inverso da potenciação, pois o radicando é resultado de uma potência, assim 
algum número multiplicado por ele mesmo quantas vezes valer o índice gera o radicando, e 
para tirar a raiz bastar saber qual número multiplicado por ele mesmo, igual o índice gera o 
radicando, sabendo o número ele é a raiz. 
 
 
 
√𝒂𝒏
𝒎
⇒ 𝒙𝒎 = 𝒂𝒏; X é a raiz 
 
 
 
Exemplo: √𝟐𝟕𝟏
𝟑
=? 
 
Qual número multiplicado por ele mesmo 3 vezes gera 27? É o 3, assim 3 é a raiz. Pois 3.3.3 
= 27. 
 
 √𝟐𝟕𝟏
𝟑
=3 
 
Exemplo: √𝟏𝟔𝟏
𝟐
=? 
 
Qual número multiplicado por ele mesmo 2 vezes gera 16? É o 4, assim 4 é a raiz. Pois 4.4.4 
= 27. 
 
Exemplo: 𝑨𝒈𝒐𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝒐 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏á𝒓𝒊𝒐 𝟐𝟕
𝟏
𝟑 
=? 
 
 
 
Observação: toda raiz pode ser transformada em uma potência de expoente fracionário, de 
forma a facilitar as operações, ou seja, podemos desfazer a propriedade, pois em algum caso 
pode facilitar. 
 
√𝒂𝒏
𝒎
= 𝒂
𝒏
𝒎 
 
Exemplo: √𝟏𝟔𝟑
𝟐
= 𝟏𝟔
𝟑
𝟐 
 
Observação: se não aparecer nada no índice, é porque ele vale 2. 
Exemplo: √𝟐 = √𝟐 
𝟐
 
Exemplo: √𝟑 = √𝟑 
𝟐
 
PROPRIEDADES 
 
Vejamos as propriedades da radiciação: 
 
1- Raízes de mesmo índice na multiplicação 
 
Nas raízes de mesmo índice, para efetuar a multiplicação, basta repetir os índices e raiz e 
multiplicar os radicandos. 
 
√𝒂
𝒎
⋅ √𝒃
𝒎
= √𝒂 ⋅ 𝒃
𝒎
 
 
Exemplo: √𝟐 
𝟑
. √𝟑
𝟑
= √𝟑. 𝟐
𝟑
= √𝟔
𝟑 
 
Exemplo: √𝟒 
𝟑
. √𝟑
𝟑
= √𝟑. 𝟒
𝟑
= √𝟏𝟐
𝟑
 
 
Podemos resolver essas questões de multiplicação de raízes de mesmo índice transformando 
a raiz em expoentes fracionários. 
 
Exemplo: √𝟐 
𝟑
. √𝟑
𝟑
 
 
 
 
 
 
Exemplo: √𝟒 
𝟑
. √𝟑
𝟑
 
 
Tirando o radicando da raiz 
 
Podemos usar a propriedade da potenciação de bases iguais na multiplicação voltando para 
o produto das potências, para simplificar raízes e tirar elas sem expoente da raiz ou simplificar 
apenas, o índice com o expoente, pois devemos lembrar que eles são uma fração, sendo o 
denominador o índice e o numerador o expoente do radicando, assim podemos simplificar 
eles. 
 
Exemplo: √𝟐𝟕
𝟑
= √𝟐𝟑. 𝟐𝟑. 𝟐𝟏
𝟑
= 𝟐. 𝟐 √𝟐𝟏
𝟑
 = 𝟒 √𝟐
𝟑
 
 
2- Soma ou subtração de radicais 
 
A soma de radicais, ou até mesmo subtração, só será possível se os índices forem iguais e os 
radicandos também. Neste caso, basta colocar a raiz em evidência, somando ou subtraindo, 
conforme o caso, os coeficientes da raiz. 
 
𝑥. √𝑎
𝑚
± 𝑦. √𝑎
𝑚
= (𝑥 ± 𝑦). √𝑎
𝑚
 
 
Exemplo: 𝟐 √𝟐
𝟑
− √𝟐
𝟑
= 𝟐 √𝟐
𝟑
− 𝟏 . √𝟐
𝟑
= ( 𝟐 − 𝟏). √𝟐
𝟑
=
 𝟏 √𝟐
𝟑
 
 
 
Exemplo: 𝟕 √𝟓 − 𝟑 √𝟓 = 𝟒 √𝟓 
 
3- Divisão de radicais de mesmo índice 
 
Na divisão de radicais de mesmo índice, devemos repetir os índices e dividir os radicandos, 
colocando assim, tudo sob a mesma raiz. 
 
√𝒂
𝒎
√𝒃
𝒎 = √
𝒂
𝒃
𝒎
 
 
Exemplo: 
√16
3
√2
3 = √
16
2
3
= √8
3
= 2 
 
 
4- Raiz dentro de raiz 
 
 
Quando temos uma raiz dentro de uma outra raiz, basta multiplicar os índices e repetir o 
radicando. 
√ √𝒂
𝒏𝒎
= √𝒂
𝒎⋅𝒏
 
 
Exemplo:√√2 = √2
2.2
= √2
4 
 
Exemplo:√3√2 = √2. 32
2.2
= √2.9
4
= √18
4
 
 
De onde vem? Vejamos: 
 
[(𝑎)
1
𝑛]
1
𝑚
= 𝑎
1
𝑚
⋅
1
𝑚 =
1
𝑎𝑚.𝑛
= √𝑎
𝑚.𝑛
 
 
5- Raiz dentro de um parêntese elevado a um expoente 
 
Quando temos uma raiz dentro do parêntese elevado a um expoente, vamos elevar o 
expoente do parêntese ao radicando. 
 
( √𝒂
𝒎
)
𝒏
= √𝒂𝒏
𝒎
 
 
 
Exemplo: (√2
3
)
2
= √22
3
= √4
3
 
 
De onde vem? Vejamos: 
 
( √𝒂
𝒎
)
𝒏
⇒ [𝒂
𝟏
𝒎]
𝒏
⇒ 𝒂𝒏.
𝟏
𝒎 ⇒ 𝒂
𝒏
𝒎 ⇒ √𝒂𝒏
𝒎
 
 
6- colocar um número que está multiplicando uma raiz dentro da 
mesma raiz. 
 
Como vimos anteriormente a forma de tirar um radicando da raiz, podemos coloca-lo de 
volta, mas para colocar ele de volta temos que ver se ele está multiplicando a raiz se sim, 
vamos apenas elevar ele ao índice para colocar ele dentro. 
 
𝒂 √𝒃
𝒏
= √𝒃. 𝒂𝒏
𝒏
 
 
 
Exemplo: 𝟑 √𝟑
𝟐
= √𝟑. 𝟑𝟐
𝟐
= √𝟐𝟕
𝟐
 
 
De onde vem? 
 
𝒂. √𝒃 = 𝒂𝒎.
𝟏
𝒎 ⋅ 𝒃
𝟏
𝒎 = [𝒂𝒎 ⋅ 𝒃]
𝟏
𝒎 = √𝒂𝒎 ⋅ 𝒃
𝒎
 
 
7- Simplificando ou multiplicando índices de raízes e expoente do 
radicando. 
 
Temos que lembrar que a simplificação ou multiplicação do índice com o expoente do 
radicando é igual a de frações, já que eles também são frações, vamos simplificar 
multiplicando ou dividindo pelo mesmo número tanto o índice quanto o expoente. 
 
 
√𝒃𝒏
𝒎
= √ 𝒃𝒏.𝒑
𝒏.𝒑
 
 
 
 
√𝒃𝒏
𝒎
= √ 𝒃𝒏÷𝒑
𝒏÷𝒑
 
 
 
Exemplo: √𝟐
𝟑
⋅ √𝟒
𝟔
= √𝟐
𝟑
⋅ √𝟐𝟐
𝟔
= √𝟐
𝟑
⋅ √𝟐𝟐÷𝟐
𝟔÷𝟐
= √𝟐
𝟑
⋅ √𝟐
𝟑
=
√𝟐. 𝟐
𝟑
= √𝟒
𝟑
 
 
Exemplo: √𝟐𝟏
𝟑
⋅ √𝟑𝟏
𝟔
= √𝟐𝟐
𝟑⋅𝟐
⋅ √𝟑
𝟔
= √𝟒
𝟔
⋅ √𝟑
𝟔
= √𝟏𝟐
𝟔
 
 
 
Observação: Essa propriedade usamos para tirar o radicando da raiz, pois quando 
simplificamos ambos o índice e o expoente, por um número que tornará o índice “1” e o 
expoente 1, tirando esse radicando da raiz, ou seja, quando o expoente é igual o índice. 
 
√𝒃𝒏
𝒏
= √ 𝒃𝒏÷𝒏
𝒏÷𝒏
= 𝒃 
 
Exemplo: √𝟐𝟐
𝟐
= 𝟐 
 
8- Expoente igual o índice 
 
Quando temos um expoente que é igual o índice, podemos cancelar eles. 
 
√𝒂𝒎.𝑷
𝒎
= 𝒂𝑷 
Exemplo: √𝟐𝟑
𝟑
= √𝟐𝟑.𝟏
𝟑
= 𝟐 
 
Exemplo: √𝟐𝟏𝟕
𝟓
= √𝟐𝟑 ⋅ 𝟓. 𝟐𝟐
𝟓
= 𝟐𝟑 ⋅ √𝟒
𝟓
= 𝟖 √𝟒
𝟓 
 
CUIDADOS COM MÓDULO E RAÍZES 
 
Temos que ter cuidado com a propriedade do cancelamento nas raízes de índices pares, pois 
não podemos ter um radicando negativo (dentro dos números reais), assim quando se trata 
de letras ou operações com elas nas quais não sabemos seus valores nem seus sinais, 
podemos cancelar, mas vamos tirar elas em módulo. 
 
 
√𝒂𝟐 = |𝒂| 
 
 
Não sabemos se o “a” é positivo ou negativo, e estamos em uma raiz de índice par, por isso 
tiramos em módulo. 
 
 
√(𝒂 ± 𝒃)𝟐 = |𝒂 ± 𝒃| 
 
Nesse caso não sabemos se o “a” é maior que o “b”, nem seus sinais, assim não sabemos qual 
é maior que qual nem o resultado dessa operação, assim temos que tirar em módulo. 
 
Exercícios módulo com raízes 
 
Exercício 1: Considere a, b e c 𝜖𝑅; com “a > b > c” sendo positivos e informe 
se para cancelar com a raiz vai precisar ou não sair em módulo. 
 
a) √𝒂𝟐 = 𝒂 
b) √(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂 − 𝒃 
c) √(𝒂 − 𝒄)𝟐=𝒂 − 𝒄 
d) √(𝒃 − 𝒄)𝟐 = 𝒃 − 𝒄 
e) √(𝒃 − 𝒂)𝟐 = |𝒃 − 𝒂| 
f) √(𝒄 − 𝒂)𝟐 = |𝒄 − 𝒂| 
g) √(𝒄 − 𝒂)𝟑
𝟑
= 𝒄 − 𝒂 
h) √𝒂𝟑
𝟑
= 𝒂 
 
Exercício 2: Considere √(1 − √2)
2
 e informe se esse valor é em módulo ou ele 
não precisa de módulo. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: Considere √(𝒙 − 𝒚)𝟐 e informe se esse valor é em módulo ou ele 
não precisa de módulo. 
 
 
 
Exercício 4: Considere 𝒂 𝝐 𝑹, tal que a<o, e responda as perguntas a seguir: 
 
a) a2 é positivo ou negativo? 
 
É positivo, pois: 
 
 
 
b) - a2 é positivo ou negativo? 
 
É negativo, pois: 
 
 
 
c) (a)2 é positivo ou negativo? 
 
É positivo, pois: 
 
 
Observação: Variável elevada a um expoente par! 
 
 
𝒂𝟐𝒌 = (𝒂)𝟐𝒌 
 
A variável elevada a um expoente par, quando substituída por um valor, esse valor vem entre 
parênteses. 
 
Exemplo: considere “a = -2” então “a2” é igual a ? 
a2 = (-2)2=4 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Se x<0, então √𝑥2 = −𝑥 é verdadeiro? 
 
Sim, é verdadeiro, pois na hora de cancelar índice com raiz, vamos 
tirar em módulo por se tratar de um número negativo, assim pela 
propriedadede módulo vamos inverter o sinal do resultado por 
ele ser negativo, por isso “-x”. 
 
 
2- Se x ≥ 0, então √𝑥2 = 𝑥 é verdadeiro? 
 
Sim, é verdadeiro, pois como o número é positivo não vamos 
inverter seu sinal, por isso “x”. 
 
3- Resolva as seguintes raízes com potências: 
 
a) (2√2−1)
√2+1
 
 
 
 
 
 
 
b) √24
2
3
 
 
 
 
 
c) √2
3
⋅ √2
6
 
 
 
 
 
 
 
 
d) (
2√27.8√75
4√48
)
√3
2