Questão resolvida - Um homem anda a 1 m_s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 15 m do ponto mais próximo da luz_ - cálculo I

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Q13. Um homem anda a e um holofote o acompanha a do caminho. A que taxa 1 m / s 10 m
o holofote está girando quando o homem está a do ponto mais próximo da luz?15 m
 
Resolução:
 
A situação é ilustrada na figura seguinte;
 
Perceba que a distância do holofote ao homem, a distância do holofote à estrada e a 
distância percorrida pelo homem sobre a estrada formam um triângulo retângulo, dessa 
forma, usando as relações trigonômetricas no triângulo retângulo, sabendo que a distância 
percorrida pelo homem na estrada e o ângulo dependem de um tempo qualquer , 𝜃 t
chegamos a seguinte relação;
 
tg 𝜃 t =( ( ))
x t
10
( )
 
Usamos a tangente, já que tivemos que relacionar o cateto oposto ( ) com o cateto x t( )
adjacente . 10 m
Agora, vamos derivar os 2 membros da equação 1;
 
 
 
10 m
𝜃
farol giratório
homem 
xestrada
(1)
tg 𝜃 t = sec 𝜃 t 𝜃' t =( ( ))
x t
10
( )
→
2( ( )) ( )
x' t
10
( )
 
Das relações trigonométricas temos que;
 
sec 𝜃 t = 1 + tg 𝜃 t2( ( )) 2( ( ))
 
Com isso, a expressão que derivamos fica;
 
sec 𝜃 t 𝜃' t = 1 + tg 𝜃 t 𝜃' t =2( ( )) ( )
x' t
10
( )
→
2( ( )) ( )
x' t
10
( )
 
Vamos substituir a equação 1 na equação 3;
 
1 + 𝜃' t =
x' t
6
( )
2
( )
x' t
10
( )
 
Queremos a que taxa o holofote está girando ( ) quando é igual a , vamos, então, 𝜃' t( ) x 15 m
isolar na expressão 4;𝜃' t( )
 
1 + 𝜃' t = 1 + 𝜃' t = 1 + 𝜃' t =
x t
10
( )
2
( )
x' t
10
( )
→
x t
10
2( )
2
( )
x' t
10
( )
→
x t
100
2( )
( )
x' t
10
( )
𝜃' t =( )
10x' t
100 + x t
( )
2( )
 
 é a velocidade do homem, ; é sua posição , quando queremos saber a x' t( ) 1 m / s 15 m x t( )
taxa de variação do holofote , substituindo essas informações em 5, temos;𝜃' t( )
 
𝜃' t =( )
10 ⋅ 1
100 + 15( )2
Resolvendo;
 
 
𝜃' t = = = ⋅( )
1 +
x' t
10
( )
x t
100
2
( )
x' t
10
( )
100+x t
100
2
( )
x' t
10
( ) 100
100 + x t2( )
10
(2)
(3)
(4)
(5)
 
𝜃' t = =( )
10
100 + 225
10
325
 
𝜃' t = rad / s( )
2
65
 
 
(Resposta )