04_Series_de_Pgtos_CFC_AaZ_v 3

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Aula 04
ANUIDADES: 
Postecipadas, 
Antecipadas, 
Diferidas e 
Variáveis
SUMÁRIO 
1 APRESENTAÇÃO…………………………………………………………………………………………3 
2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO…………………………………………………………………………4 
3 INTRODUÇÃO…..……………………………………………………………………………….……..…5 
4 SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES………………………………………………..………….………6 
4.1 ANUIDADES POSTECIPADAS……………………………………….………………..………….……7
4.1.1 Anuidades Imediatas Postecipadas………………..……………………………………………7 
4.1.1.1 Cálculo do Valor Presente…………………………………………………………………….……8
4.1.1.2 Cálculo do Valor Futuro…………………………………………………………………………..10
4.1.1.3 Cálculo da Prestação……………………………………………………………………………..12
4.1.2 Anuidades Diferidas Postecipadas……………………………………………………………..14 
4.1.2.1 Cálculo do Valor Presente…………………………………………………………………….….14
4.1.2.2 Cálculo da Prestação……………………………………………………………………………..17
4.2 ANUIDADES ANTECIPADAS………………………………………………….……….…………..…19
4.2.1 Anuidades Imediatas Antecipadas…………………………………………..…………………19 
4.2.2.1 Cálculo do Valor Presente…………………………………………………………………….….20
4.2.2.2 Cálculo do Valor Futuro……………………………………………………………………….….21
4.2.2.3 Cálculo da Prestação………………………………………………………………………….….22
5 SÉRIES PERIÓDICAS (ANUIDADES) VARIÁVEIS…………………………………………………23 
5.1 CÁLCULO DO VPL PARA FLUXOS DE CAIXA NÃO AGRUPADOS…..……………….…………25
5.2 CÁLCULO DO VPL PARA FLUXOS DE CAIXA AGRUPADOS…..……….…………….…………27
6 SÉRIES PERPÉTUAS…………………….……………………………………………………….……29 
7 QUESTÕES DE EXAMES ANTERIORES……………………………………………………….……30 
7.1 QUESTÕES DE EXAMES ANTERIORES COM COMENTÁRIOS…………………………………30
7.2 QUESTÕES DE EXAMES ANTERIORES SEM COMENTÁRIOS………………………………….41
8 GABARITO……………………………………………………….……………………………………….44 
9 FINALIZANDO……………………………………..……….……………………………………………45 
2
1 APRESENTAÇÃO 
Olá, querido(a) colega e aluno(a)!
Aqui é Talita novamente!
Hoje vamos falar sobre Séries de Pagamentos.
Se tiver dúvidas, fique à vontade para colocar lá nos comentários da aula ou me procurar no 
nosso grupo do Telegram!
Visite também o meu canal do Youtube para acessar mais conteúdos sobre a HP12C!
Um grande abraço e vamos juntos!
Talita Kuroda.
	 	 	 	 youtube.com/user/talitakuroda
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3
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2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
	 a) Juros Simples e Compostos.
b) Taxas Nominal, Proporcional, Efetiva e Equivalente; 
 
c) Descontos: Desconto simples. Desconto composto. Desconto comercial (por fora). 	 	
	 Desconto racional (por dentro).
	 d) Séries de Pagamentos: Anuidades postecipadas. 
Anuidades antecipadas. Anuidades diferidas. Anuidades 
variáveis.
	 e) Correção Monetária e Inflação: Índices de atualização e inflação. Variação dos índices. 	
	 Taxa de juros nominal e real. Depósito com correção monetária.
	 f) Sistema de Amortização: Sistema Price. Sistema SAC. Sistema SACRE.
	 g) Análise de Investimentos: Conceito e aplicação de fluxos de caixa. Métodos de análise 	
	 de investimentos. Valor Presente. Custo anual. Taxa Interna de Retorno (TIR). Payback. 		
	 Taxa Mínima de Atratividade (TMA). 

4
3 INTRODUÇÃO 
É muito comum que tanto as empresas quanto as pessoas físicas muitas vezes só consigam 
viabilizar compras, vendas ou investimentos através do parcelamento dos pagamentos.
O termo “Séries de pagamentos” também pode ser chamado de “renda certa”, “série de 
recebimentos”, “série de prestações” ou “anuidades”. Ele pode ser definido como “toda 
sequência finita ou infinita de pagamentos ou recebimentos em datas previamente 
estipuladas.” 
Cada um dos recebimentos ou pagamentos é chamado de “termo” da série ou da anuidade. 
Existem vários critérios de classificação das séries. São eles:
Quanto à periodicidade:
	 Periódica: todos os períodos são iguais.
	 Não periódica: os períodos diferem entre si.
Quanto ao valor dos termos:
	 Uniformes (ou constantes): todos os termos são iguais.
	 Variáveis: os termos diferem entre si.
Quanto à forma de pagamento ou recebimento:
	 Imediatas: os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
Imediatas Postecipadas (ou vencidas): os termos ocorrem ao final de cada 	 	
	 	 período. 
Imediatas Antecipadas: os termos ocorrem no início de cada período. 
Diferidas: os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período, 	
	 ou seja, após um prazo de carência. 
Diferidas Postecipadas (ou vencidas): os termos são exigíveis no fim dos 	 	
	 	 períodos. 
Diferidas Antecipadas: os termos são exigíveis no início dos períodos.
Quanto ao prazo:
	 Temporárias: com duração limitada.
	 Perpétuas: com duração ilimitada.
5
4 SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES 
Nas séries periódicas uniformes todos os períodos são iguais entre si (ex.: meses) assim como os 
termos (todas as parcelas com o mesmo valor).
Independente da série periódica ser antecipada ou postecipada, o número de pagamentos deve 
ser igual ao número de períodos de capitalização.
Na HP12C, quando trabalharmos com anuidades postecipadas devemos apertar as teclas g 
END. Esse é o modo padrão, não havendo nenhuma indicação no visor.
Quando trabalharmos com anuidades antecipadas, devemos apertar as teclas g BEG, 
aparecendo o indicador de estado BEGIN no visor.
Se o indicador BEGIN não estiver presente no visor, a calculadora estará em modo postecipado.


6
MODO POSTECIPADO
MODO ANTECIPADO
4.1 ANUIDADES POSTECIPADAS (g END) 
 4.1.1 Anuidades Imediatas Postecipadas 
Relembrando a classificação que vimos na introdução:
Quanto à forma de pagamento ou recebimento, as anuidades podem ser:
	 Imediatas: os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
Imediatas Postecipadas (ou vencidas): os termos ocorrem ao final de cada 	 	
	 	 período.
Nas anuidades postecipadas, os pagamentos ou recebimentos ocorrem ao final de cada intervalo 
de tempo a que se refere a taxa de juros compostos considerada. 
Por exemplo: numa série de pagamentos com n = 3 meses, a uma certa taxa mensal, os termos 
aparecem ao final de cada mês.
Alguns exemplos de anuidades postecipadas trazidos pelo manual da HP12C:
7
4.1.1.1 Cálculo do Valor Presente (PV)
O fator que multiplica o valor da prestação, , é chamado FATOR DE VALOR 
ATUAL (FVA), e pode ser representado por ou ainda, .
Pode ser que alguma questão forneça o valor do FVA, bastando multiplicá-lo pelo valor da 
parcela para encontrar o Valor Presente.
EXEMPLO 1: Você comprou um relógio numa promoção em que a loja oferecia as seguintes 
condições de pagamento: 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$180,38, com o 
primeiro pagamento para 1 mês após a compra, à taxa de 2% ao mês, no regime de juros 
compostos. Qual o valor à vista do relógio?


CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
Fórmula HP12C
g END
f CLEAR REG
f 2
(valor da prestação) CHS PMT
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
PV
 
OU
 
PV = PMT [ (1 + i)
n − 1
(1 + i)n ⋅ i ]
PV = PMT . an¬i
[ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ]
an¬i a (n, i)
8
Também poderíamos calcular o valor presente utilizando a fórmula da (des)capitalização 
composta para cada termo, somando os resultados:
 
Porém, para questões onde aparece um maior número de termos, esse método pode se tornar 
um pouco trabalhoso.
RESPOSTA: O valor à vista do relógio é de aproximadamente R$520,20.

Fórmula HP12C
Teclas Mostrador
g END
f CLEAR REG
f 2
180.38 CHS PMT
3 n
2 i
PV
0,00
0,00
0,00
-180,38
3,00
2,00
520,19
 PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ]
 
 
PV = 180,38 [ (1 + 0,02)
3 − 1
(1 + 0,02)3 ⋅ 0,02 ]
PV = 180,38 [ (1,02)
3 − 1
(1,02)3 ⋅ 0,02 ]
PV = 180,38 [ 1,061208 − 11,061208 × 0,02 ]
PV = 180,38 ×
0,061208
0,021224
PV = 180,38 × 2,883883
PV = 520,19
VP =
VF
(1 + i )n
VP =
180,38
(1 + 0,02)1
+
180,38
(1 + 0,02)2
+
180,38
(1 + 0,02)3
VP =
180,38
1,02
+
180,38
1,04
+
180,38
1,06
VP = 176,84 + 173,38+ 169,98
VP = 520,20
9
4.1.1.2 Cálculo do Valor Futuro (FV)
Semelhante ao que vimos no cálculo do Valor Atual, temos um fator que multiplica o valor da 
prestação para encontrar o Valor Futuro.
O fator é chamado de Fator de Valor Futuro de séries uniformes ou Fator de 
Acumulação de Capitais em uma série de pagamentos.
Pode ser representado por ou .
EXEMPLO 2: Você comprou um relógio numa promoção em que a loja oferecia as seguintes 
condições de pagamento: 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$180,38, com o 
primeiro pagamento para 1 mês após a compra, à taxa de 2% ao mês, no regime de juros 
compostos. Qual o Valor Futuro?
CÁLCULO DO VALOR FUTURO
Fórmula HP12C
g END
f CLEAR REG
f 2
(valor da prestação) CHS PMT
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
FV
 
OU
 
FV = PMT [ (1 + i)
n − 1
i ]
FV = PMT . sn¬i
[ (1 + i )
n − 1
i ]
sn¬i s(n, i)
10
Também poderíamos calcular o valor futuro utilizando a fórmula da capitalização composta para 
cada termo, somando os resultados:
VF = VP ( 1 + i )n
 
RESPOSTA: O Valor Futuro é de aproximadamente R$552,04.

Fórmula HP12C
Teclas Mostrador
g END
f CLEAR REG
f 2
180.38 CHS PMT
3 n
2 i
FV
0,00
0,00
0,00
-180,38
3,00
2,00
552,03
 FV = PMT [ (1 + i )
n − 1
i ]
 
 
FV = 180,38 [ (1 + 0,02)
3 − 1
0,02 ]
FV = 180,38 [ 1,061208 − 10,02 ]
FV = 180,38 ×
0,061208
0,02
FV = 180,38 × 3,0604
FV = 552,03
VF = 180,38 (1,02)2 + 180,38 (1,02)1 + 180,38
VF = 180,38 × 1,0404 + 180,38 × 1,02 + 180,38
VF = 187,67 + 183,99 + 180,38
VF = 552,04
11
4.1.1.3 Cálculo da Prestação (PMT)
EXEMPLO 3: Você comprou um relógio cujo valor à vista era de R$520,19. Porém, você optou 
pela seguinte condição de pagamento oferecida pela loja: 3 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos, com o primeiro pagamento para 1 mês após a compra, à taxa de 2% ao mês, no 
regime de juros compostos. Qual o valor de cada prestação?
CÁLCULO DA PRESTAÇÃO
Utilizar a fórmula do 
Valor Presente (PV) ou do Valor Futuro (FV), 
de acordo com os dados fornecidos.
g END
f CLEAR REG
f 2
(valor atual) CHS PV
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
PMT (valor da prestação, sendo todas com o 
mesmo valor)
12
RESPOSTA: O valor da Prestação é de R$180,38.

Fórmula HP12C
Teclas Mostrador
g END
f CLEAR REG
f 2
520.19 PV
3 n
2 i
PMT
0,00
0,00
0,00
520,19
3,00
2,00
-180,38
 PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ]
 
 
520,19 = PMT [ (1 + 0,02)
3 − 1
(1 + 0,02)3 ⋅ 0,02 ]
520,19 = PMT [ (1,02)
3 − 1
(1,02)3 ⋅ 0,02 ]
520,19 = PMT [ 1,061208 − 11,061208 ⋅ 0,02 ]
520,19 = PMT ×
0,061208
0,021224
520,19 = PMT × 2,883883
PMT =
520,19
2,883883
PMT = 180,38
13
4.1.2 Anuidades Diferidas Postecipadas 
Vamos relembrar a classificação que vimos na introdução:
Quanto à forma de pagamento ou recebimento:
	 Diferidas: os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período, 	
	 ou seja, após um prazo de carência. 
Diferidas Postecipadas (ou vencidas): os termos são exigíveis no fim dos 	 	
	 	 períodos.
4.1.2.1 Cálculo do Valor Presente (PV)
EXEMPLO 4: Você comprou um relógio numa promoção onde a loja oferecia as seguintes 
condições de pagamento: 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$180,38, com o 
primeiro pagamento para 3 meses após a compra, à taxa de 2% ao mês, no regime de juros 
compostos. Qual o valor à vista do relógio?
Comentário:
O valor à vista é o Valor Presente na data 0. Para chegar a esse valor, primeiro temos que calcular 
o Valor Presente no período que antecede o primeiro pagamento. 

CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
g END
f CLEAR REG
f 2
(valor da prestação) CHS PMT
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
PV
PASSO 1) Calcular o Valor 
Presente no período anterior à 
ocorrência do primeiro termo.
CHS FV
0 PMT
(n. de períodos até a data 0) n
PV
PASSO 2) A partir do VP 
encontrado, calcular o Valor 
Presente da série considerando o 
número de períodos até a data 0.
 PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ]
 PV =
FV
(1 + i )n
14
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (VP)
Fórmulas
PASSO 1 PASSO 2
PV =
FV
(1 + i )n
 
 
PV = 180,38 [ (1 + 0,02)
3 − 1
(1 + 0,02)3 ⋅ 0,02 ]
PV = 180,38 [ (1,02)
3 − 1
(1,02)3 ⋅ 0,02 ]
PV = 180,38 [ 1,061208 − 11,061208 × 0,02 ]
PV = 180,38 ×
0,061208
0,021224
PV = 180,38 × 2,883883
PV = 520,19
 
 
 
PV =
520,19
(1 + 0,02)2
PV =
520,19
(1,02)2
PV =
520,19
1,0404
PV = 500
 PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ]
HP12C
Teclas Mostrador Descrição
PASSO 1
g END
f CLEAR REG
f 2
180.38 CHS PMT
3 n
2 i
PV
0,00
0,00
0,00
-180,38
3,00
2
520,19
Operação postecipada
Limpar registros
Duas casas decimais
Valor da Parcela
Número de parcelas
Taxa de juros compostos
Valor Presente na data 2
PASSO 2
CHS FV
0 PMT
2 n
PV
-520,19
0,00
2,00
500,00
Registra como Valor Futuro
0 pagamentos
2 meses até a data 0
Valor Presente na data 0
15
Nesse exemplo, temos o seguinte fluxo de caixa:
O cálculo do Valor Presente também pode ser calculado utilizando os comandos de Fluxo de 
Caixa (CF - Cash Flow) da HP12C, que veremos com mais detalhes na sequência de aula.
HP12C - Funções de Cash Flow
Teclas Mostrador Descrição
g END
f CLEAR REG
f 2
0 g CFo
0 g CFj
2 g Nj
180,38 g CFj
3 g Nj
2 i
f NPV
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2,00
180,38
3,00
2,00
500,00
Operação postecipada
Limpar registros
Duas casas decimais
Primeiro fluxo de caixa (data 0)
Fluxo de caixa nas datas 1 e 2
Número de vezes consecutivas que o valor se repete
Valor das prestações
Número de vezes consecutivas que o valor se repete
Taxa de juros
Valor Presente Líquido (VPL)
16
4.1.2.2 Cálculo da Prestação (PMT)
EXEMPLO 5: Você comprou um relógio cujo valor à vista era de R$500,00. Porém você optou 
pela seguinte condição de pagamento oferecida pela loja: 3 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos, com o primeiro pagamento para 3 meses após a compra, à taxa de 2% ao mês, 
no regime de juros compostos. Qual o valor de cada Prestação?
Aqui, temos que fazer o caminho inverso do exemplo anterior. 
Partindo do Valor Presente na data 0, temos que encontrar o valor na data 2, e a partir dele 
calcular o valor das prestações.
CÁLCULO DA PRESTAÇÃO (PMT)
Fórmulas
PASSO 1 PASSO 2
VF = VP ( 1 + i )n
VF = 500 ( 1 + 0,02 )2
VF = 500 ( 1,02 )2
VF = 500 . 1,0404
VF = 520,20
(R$520,00 será o PV no passo 2)
 
 
520,20 = PMT [ (1 + 0,02)
3 − 1
(1 + 0,02)3 × 0,02 ]
520,20 = PMT [ 1,061208 − 11,061208 × 0,02 ]
520,20 = PMT ×
0,061208
0,021224
520,20 = PMT × 2,883883
PMT =
520,20
2,883883
PMT = 180,38
 PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ]
17
HP12C
Teclas Mostrador Descrição
f CLEAR REG
f 2
0,00
0,00
Limpar registros
Duas casas decimais
PASSO 1
500 PV
2 i
2 n
FV
500
2,00
2,00
-520,20
Registra como Valor Presente
Taxa de juros compostos
2 meses até a data 2
Valor Futuro (data 2)
g END
f CLEAR FIN
0,00
0,00
Operação postecipada
Limpar registros financeiros
PASSO 2
CHS PV
3 n
2 i
PMT
520,20
3,00
2
-180,38
Valor Presente na data 2
Número de parcelas
Taxa de juros compostos
Valor da Parcela
18
PASSO 1
PASSO 2
4.2 ANUIDADES ANTECIPADAS ( g BEG ) 
Vamos relembrar as classificações que vimos na introdução:
Quanto à forma de pagamento ou recebimento:
	 Imediatas: os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
Imediatas Antecipadas: os termos ocorrem no início de cada período. 
Diferidas: os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período, 	
	 ou seja, após um prazo de carência. 
Diferidas Antecipadas: os termos são exigíveis no início dos períodos.
4.2.1 Anuidades Imediatas Antecipadas 
Na anuidade imediata antecipada, a primeira parcela ocorre na data 0 (zero), ou seja, existe uma 
entrada no mesmo valordas demais parcelas. 
Alguns exemplos de anuidades antecipadas trazidos pelo manual da HP12C:
19
4.2.1.1 Cálculo do Valor Presente (PV)
Na anuidade antecipadas, o resultado é o da anuidade postecipada ajustado por um período.
EXEMPLO 6: Você comprou um relógio numa promoção em que a loja oferecia as seguintes 
condições: 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$180,38, sendo o primeiro no 
dia da compra, à taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos. Qual o valor à vista?
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
g BEG
f CLEAR REG
f 2
(valor da prestação) CHS PMT
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
PV
PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ] (1 + i )
Fórmula HP12C
Teclas Mostrador
g BEG
f CLEAR REG
f 2
180,38 CHS PMT
3 n
2 i
PV
0,00
0,00
0,00
-180,38
3,00
2,00
530,60
PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ] (1 + i )
PV = 180,38 [ (1 + 0,02)
3 − 1
(1 + 0,02)3 ⋅ 0,02 ] (1 + 0,02)
PV = 180,38 [ (1,02)
3 − 1
(1,02)3 ⋅ 0,02 ] (1,02)
PV = 180,38 [ 1,061208 − 11,061208 × 0,02 ] (1,02)
PV = 180,38 ×
0,061208
0,021224
× 1,02
PV = 180,38 × 2,883883 × 1,02
PV = 530,60
20
4.2.1.2 Cálculo do Valor Futuro (FV)
Na anuidade antecipadas, o resultado é o da anuidade postecipada ajustado por um período.
EXEMPLO 7: Você comprou um relógio numa promoção em que a loja oferecia as seguintes 
condições: 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$180,38, sendo o primeiro no 
dia da compra, à taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos. Qual o Valor Futuro?
CÁLCULO DO VALOR FUTURO
g BEG
f CLEAR REG
f 2
(valor da prestação) CHS PMT
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
FV
FV = PMT [ (1 + i )
n − 1
i ] (1 + i )
Fórmula HP12C
Teclas Mostrador
g BEG
f CLEAR REG
f 2
180,38 CHS PMT
3 n
2 i
FV
0,00
0,00
0,00
-180,38
3,00
2,00
563,08
FV = PMT [ (1 + i )
n − 1
i ] (1 + i )
 
 
FV = 180,38 [ (1 + 0,02)
3 − 1
0,02 ] (1,02)
FV = 180,38 [ 1,061208 − 10,02 ] (1,02)
FV = 180,38 ×
0,061208
0,02
× 1,02
FV = 180,38 × 3,0604 × 1,02
FV = 563,08
21
4.2.1.3 Cálculo da Prestação (PMT)
EXEMPLO 8: Você comprou um relógio numa promoção, cujo valor à vista era de R$530,60. 
Porém, você optou pela seguintes condições oferecidas pela loja: 3 pagamentos mensais, 
iguais e consecutivos, sendo o primeiro no dia da compra, à taxa de 2% ao mês, no regime 
de juros compostos. Qual o valor de cada prestação?
CÁLCULO DA PRESTAÇÃO
Utilizar a fórmula do 
Valor Presente ou do Valor Futuro
g BEG
f CLEAR REG
f 2
(valor atual) PV
(número de prestações) n
(taxa de juros compostos) i
PMT (valor da prestação, sendo todas com o 
mesmo valor)
Fórmula HP12C
Teclas Mostrador
g BEG
f CLEAR REG
f 2
530,60 PV
3 n
2 i
PMT
0,00
0,00
0,00
530,60
3,00
2,00
-180,38
PV = PMT [ (1 + i )
n − 1
(1 + i )n ⋅ i ] (1 + i )
 
530,60 = PMT [ (1 + 0,02)
3 − 1
(1 + 0,02)3 ⋅ 0,02 ] (1 + 0,02)
530,60 = PMT [ (1,02)
3 − 1
(1,02)3 ⋅ 0,02 ] (1,02)
530,60 = PMT [ 1,061208 − 11,061208 × 0,02 ] (1,02)
530,60 = PMT ×
0,061208
0,021224
× 1,02
530,60 = PMT × 2,883883 × 1,02
530,60 = PMT × 2,941561
PMT =
530,60
2,941561
PMT = 180,38
22
5 SÉRIES PERIÓDICAS (ANUIDADES) VARIÁVEIS 
Nas séries variáveis é necessário tratar cada pagamento ou recebimento como uma série única.
Os intervalos de tempo são constantes, mas os valores das parcelas são diferentes ao longo do 
tempo.
Não é possível aplicar as fórmulas usadas nas séries uniformes. Por isso, vamos utilizar a fórmula 
da (des)capitalização composta para cada termo, VP = VF / ( 1 + i )n , trazendo cada fluxo a Valor 
Presente e somando todos os VP’s.
Com isso, vamos iniciar o estudo do Valor Presente Líquido (VPL), o qual veremos com mais 
detalhes quando estudarmos o assunto análise de investimentos.
Na HP12C, cada fluxo de caixa é representado pela sigla CF, (do inglês, Cash Flow), sendo CFo o 
comando que registra o fluxo de caixa na data 0 e CFj para os fluxos dos demais períodos.
O VPL é calculado somando o investimento inicial (CFo) com o Valor Presente dos demais fluxos 
de caixa futuros projetados.
23
Se o valor do VPL for positivo, o valor do investimento aumentará, ou seja, ele será atrativo em 
termos financeiros.
Se o VPL for zero, o valor investido não mudará, ou seja, o investidor seria indiferente ao 
investimento em termos financeiros (desconsiderando a inflação).
Se o VPL for negativo, o valor do investimento será reduzido, ou seja, o investimento não será 
atrativo em termos financeiros.
 
 
 
24
Cash Flow 
data 0
Cash Flow 
demais períodos
Valor Presente Líquido 
(VPL) 
Net Present Value 
(NPV)
5.1 CÁLCULO DO VPL PARA FLUXOS DE CAIXA NÃO AGRUPADOS 
EXEMPLO 9: Você passou no exame do CFC e conseguiu um excelente trabalho. Teve 
oportunidade de investir R$80.000,00 num imóvel e gostaria de ter um retorno de no mínimo 13% 
ao ano. Você pretende manter o imóvel por 5 anos e depois vendê-lo por R$130.000,00. Os 
fluxos de caixa previstos são os do diagrama abaixo: 
Calcule o VPL para determinar se o investimento será atrativo em termos financeiros, de acordo 
com o retorno desejado.
*Referência: manual HP12C 
HP12C
Teclas Mostrador Descrição
f CLEAR REG 0,00 Limpar registros
f 2 0,00 Duas casas decimais
80000 CHS g CFo -80.000,00 Armazena CFo (fluxo negativo)
500 CHS g CFj -500,00 Armazena CF1 (fluxo negativo)
4500 g CFj 4.500,00 Armazena CF2 (fluxo positivo)
5500 g CFj 5.500,00 Armazena CF3 (fluxo positivo)
4500 g CFj 4.500,00 Armazena CF4 (fluxo positivo)
130000 g CFj 130.000,00 Armazena CF5 (fluxo positivo)
RCL n 5,00
Exibe o número de fluxos de caixa 
armazenados (além do CFo).
13 i 13,00 Taxa de retorno esperada no período
f NPV 212,18 VPL
25
Para o cálculo com as fórmulas, temos que trazer cada termo a Valor Presente e somá-los para 
encontrar o VPL:
RESPOSTA: O VPL é positivo, portanto, o investimento é atrativo em termos financeiros.
VPL = VP +
VF1
(1 + i )1
+
VF2
(1 + i )2
+
VF3
(1 + i )3
+
VF4
(1 + i )4
+
VF5
(1 + i )5
VPL = − 80000 −
500
(1,13)1
+
4500
(1,13)2
+
5500
(1,13)3
+
4500
(1,13)1
+
130000
(1,13)5
VPL = − 80000 − 442,48 + 3524,16 + 3811,78 + 2759,93 + 70558,79
VPL = 212,18
26
5.1 CÁLCULO DO VPL PARA FLUXOS DE CAIXA AGRUPADOS 
Caso existam vários fluxos consecutivos com valores repetidos, podemos utilizar ainda o 
comando (valor do fluxo) g CFj seguido do comando (número de vezes) g Nj:
EXEMPLO 10: Você passou no exame do CFC e conseguiu um excelente trabalho. Teve 
oportunidade de investir R$79.000,00 num imóvel e gostaria de ter um retorno de no mínimo 
13,5% ao ano. Você pretende manter o imóvel por 10 anos e depois vendê-lo por R$100.000,00. 
Os fluxos de caixa previstos são os da tabela abaixo:
27
Número de 
repetições
*Referência: Manual HP12C 
Assim como nos fluxos não agrupados, para o cálculo com as fórmulas, temos que trazer cada 
termo a Valor Presente e somá-los para encontrar o VPL:
 + ….
Perceba que, como temos muitos fluxos nesta série, resolver através da fórmula seria um 
trabalho bastante dispendioso. Por isso, é extremamente recomendável o uso da calculadora 
nesse caso.

HP12C
Teclas Mostrador Descrição
f CLEAR REG 0,00 Limpar registros
f 2 0,00 Duas casas decimais
79000 CHS g CFo -79.000
Armazena CFo 
(fluxo negativo = investimento)
14000 g CFj 14.000,00 Armazena CF1
11000 g CFj 11.000,00 Armazena CF2
10000 g CFj 10.000,00 Armazena CF3
3 g Nj 3,00
Número de vezes que o valor 
anterior aparece consecutivamente 
(em CF3, CF4 e CF5)
9100 g CFj 9.100,00 Armazena CF6
9000 g CFj 9.000,00 Armazena CF7
2 g Nj 2,00
Número de vezes que o valor 
anterior aparece consecutivamente 
(em CF7 e CF8)
4500 g CFj 4.500,00 Armazena CF9
100000 g CFj 100.000,00 Armazena CF10
RCL n 7,00
Sete valores diferentes de fluxo de 
caixa foram armazenados.
13,5 i 13,50 Taxa de retorno anual
f NPV 907,77 VPL
VPL = VP +
VF1
(1 + i )1
+
VF2
(1 + i )2
+
VF3(1 + i )3
+
VF4
(1 + i )4
+
VF5
(1 + i )5
28
6 SÉRIES PERPÉTUAS 
Vamos relembrar a classificação que vimos na introdução:
	 Quanto ao prazo:
	 	 Temporárias: com duração limitada.
	 	 Perpétuas: com duração ilimitada.
As Séries Perpétuas são muito utilizadas em cálculos de aposentadoria, por exemplo.
O Valor Presente de uma série uniforme postecipada perpétua é calculado pela seguinte fórmula:
PV = PMT / i 
EXEMPLO 11: Quanto deve ser investido, considerando uma taxa de juros de 1%a.m., para ter 
uma renda mensal vitalícia de R$4.000,00?
PV = PMT / i 
PV = 4000 / 0,01 
PV = 400.000,00 
29
HP12C
Teclas Mostrador Descrição
f CLEAR REG 0,00 Limpar registros
f 2 0,00 Duas casas decimais
g END 0,00 Série postecipada
1 i 1,00 Taxa de juros
4000 PMT 4.000,00 Valor de cada pagamento
9999999999 n 9.999.999.999, Maior número de períodos possível
PV -400.000,00
Valor investido necessário para a 
renda perpétua
7 QUESTÕES DE EXAMES ANTERIORES 
7.1 QUESTÕES DE EXAMES ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
1. (CONSULPLAN - Exame de Suficiência CFC - 2019.2) 
Uma pessoa contraiu um financiamento no valor de R$20.000,00 para pagamento em 6 
prestações bimestrais, iguais e sucessivas, devendo a primeira prestação ser paga 60 dias após 
contrair o financiamento. A taxa de juros compostos contratada para esta dívida foi de 3% ao 
bimestre e os juros bimestrais estão embutidos no valor das prestações. Considerando somente 
as informações apresentadas e desconsiderando a incidência de impostos e taxas, assinale o 
valor mais próximo de cada prestação a pagar. Caso necessário, admita o ano comercial com 
360 dias.
a) R$3.333,33
b) R$3.433,33
c) R$3.510,50
d) R$3.691,95 
Comentário: 
A questão pede o valor de cada prestação a pagar, sendo que são bimestrais, iguais e 
sucessivas. A primeira prestação é após 60 dias, ou seja, ao final de 1 período. Portanto, temos 
uma série uniforme imediata postecipada.
VP = R$20.000,00 
n = 6 prestações 
i = 3% a.b. 
PMT = ? 
Gabarito: D 
HP12C: 
f CLEAR REG
f 2
g END
20000 PV
3 i
6 n
PMT (resultado = -3.691,95)
30
2. (FBC - Exame de Suficiência CFC - 2015.1) 
Uma empresa adquiriu um bem destinado ao imobilizado por meio de uma transação de 
financiamento. O financiamento será pago em duas prestações de R$150.000,00, cada, vencíveis 
ao final de cada ano. A taxa de juros compostos pactuada para a operação foi de 4% ao ano.
O valor presente na data em que foi efetuada a transação de financiamento é de, 
aproximadamente:
a) R$277.778,.
b) R$282.914,. 
c) R$283.120,.
d) R$294.231,.
Comentário: 
A questão pede o Valor Presente na data da transação (data 0).
Esse Valor Presente será o resultado da soma do VP da P1 com o VP da P2.
VALOR PRESENTE = 144.230,77 + 138.683,43 = 282.914,20 
HP12C: 
f CLEAR REG
g END
2 n
4 i
150000 CHS PMT
PV (resposta = 282.914,20)
Gabarito: B 
Parcela 1
n = 1 ano
i = 4% a.a.
VF = 150.000
VP = ?
Parcela 2
n = 2 anos
i = 4% a.a.
VF = 150.000
VP = ?
VP = VF / ( 1 + i )^n
VP = 150.000 / ( 1 + 0,04 )^1
VP = 150.000 / 1,04
VP = 144.230,77
VP = VF / ( 1 + i )^n
VP = 150.000 / ( 1 + 0,04 )^2
VP = 150.000 / (1,04)^2
VP = 150.000 / 1,0816
VP = 138.683,43
31
3. (CONSULPLAN - Exame de Suficiência CFC - 2018.2) 
Em 17/08/2018 um cliente tomou um empréstimo para pagamento em 4 prestações mensais, 
iguais e sucessivas, no valor de R$500,00 cada, devendo a primeira prestação ser paga em 
17/09/2018. A taxa de juros contratada para essa dívida foi de 2% ao mês de juros 
compostos. Considerando somente as informações apresentadas e desconsiderando-se a 
incidência de impostos, assinale, entre as alternativas a seguir, o valor aproximado que o 
cliente tomou como empréstimo em 17/08/2018. Admita que o plano para pagamento da 
dívida adota o mês comercial de 30 dias e que os juros mensais estão embutidos no valor das 
prestações.
a) R$1.851,85
b) R$1.903,86 
c) R$1.980,00
d) R$2.000,00
Comentário: 
A questão pede o valor do empréstimo em 17/08/2018, ou seja, o Valor Presente na data 0.
A primeira prestação foi paga em 17/09/2019, um mês depois, portanto, é uma série 
postecipada.
n = 4 meses 
PMT = 500 
i = 2% a.m. 
VP = ? 
 
 
 
 
500 = PV × [ (1 + 0,02)
4 × i
(1 + 0,02)4 − 1 ]
500 = PV × [ (1,02)
4 × 0,02
(1,02)4 − 1 ]
500 = PV × [ 1,082432 × 0,021,082432 − 1 ]
500 = PV ×
0,021649
0,082432
32
 
 
HP12C: 
f CLEAR REG
g END
f 2
4 n
2 i
500 CHS PMT
PV (resposta = 1.903,86)
Gabarito: B 
500 = PV × 0,262624
PV =
500
0,262624
PV = 1903,86
33
4. (FCB - Exame de Suficiência CFC - 2012.2)
Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina. As seguintes 
opções estão sendo analisadas:
Opção 1: Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para tanto, a empresa 
terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2%a.m. no Banco X, a 
ser pago em três parcelas de igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da 
liberação do empréstimo.
Opção 2: Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais sucessivas de 
R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após a data da compra.
Com base nos dados informados, é correto afirmar que: 
a) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é 
igual a R$69.350,93. 
b) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$68.000,00.
c) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$70.747,20.
d) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$70.666,67.
Comentário: 
A questão pergunta qual é a proposta mais vantajosa.
Na opção 2, a empresa pagará 3 parcelas de R$70.000,00.
Considerando que a opção 1 possui o mesmo número de parcelas (3), se a parcela do 
empréstimo for menor que R$70.000,00, essa opção será mais vantajosa.
Opção 1: empréstimo (postecipado)
VP = 200.000,00
i = 2% a.m.
n = 3
PMT = ?
34
Gabarito: A 
HP12C:
f CLEAR REG
f 2
g END
200000 PV
3 n
2 i
PMT (resultado = -69.350,93)
PMT = 200.000 × [ (1 + 0,02)
3 × 0,02
(1 + 0,02)3 − 1 ]
PMT = 200.000 × [ (1,02)
3 × 0,02
(1,02)3 − 1 ]
PMT = 200000 × [ 1,061208 × 0,021,061208 − 1 ]
PMT = 200000 ×
0,021224
0,061208
PMT = 200.000 × 0,346755
PMT = 69.350,93
35
5. (FCB - Exame de suficiência CFC - 2017.2) 
Uma sociedade empresária tomou um empréstimo de R$60.000,00, a ser pago em três parcelas 
anuais e consecutivas. A taxa de juros contratada na operação foi de 14,4% ao ano. O sistema 
de amortização do contrato é o Sistema Price, ou seja, as prestações são iguais, periódicas e 
consecutivas, determinadas de acordo com a fórmula a seguir:
Considerando-se apenas as informações apresentadas, o valor desembolsado anualmente 
para pagamento de cada prestação será de, aproximadamente:
a) R$29.943,88
b) R$26.017,52 
c) R$22.880,00
d) R$20.000,00
Comentário: 
A questão pede o valor da cada prestação (PMT).
VP = 60.000,00 
n = 3 anos 
i = 14,4% a.a. 
PMT = ? 
36
Gabarito: B 
HP12C:
f CLEAR REG
f 2
g END
60000 PV
3 n
14,4 i
PMT (resultado = -26.017,52)
PMT = 60.000 × [ (1 + 0,144)
3 × 0,144
(1 + 0,144)3 − 1 ]
PMT = 60.000 × [ (1,144)
3 × 0,144
(1,144)3 − 1 ]
PMT = 60.000 × [ 1,497194 × 0,1441,497194 − 1 ]
PMT = 60.000 ×
0,215596
0,497194
PMT = 60.000 × 0,433625
PMT = 26.017,52
37
6. (FCB - Exame de suficiência CFC - 2016.2) 
Em uma questão judicial envolvendo a cobrança de uma dívida, o Perito Contador foi chamado a 
calcular o saldo devedor de um empréstimo com os seguintes dados:
O devedor realizou duas amortizações parciais sendo a primeira de R$50.000,00 em 31.5.2013 e 
a segunda de R$60.000,00 em 31.5.2016.
Para fins de análise da questão, um dos quesitos formulados pelo Juiz indagava qual o saldo 
final em 31.5.2016, com aplicação dos encargos contratuais até o vencimento, e juros simples 
de 1% ao mês calculados sobre o saldo dadívida em 31.5.2013, para o período seguinte.
Com base nos dados apresentados, o valor a ser informado em resposta ao quesito 
formulado é de aproximadamente:
a) R$196.496,41
b) R$178.496,41 
c) R$169.872,31
d) R$156.896,41
Comentário: 
A questão pede o valor a ser informado em resposta ao quesito formulado.
O quesito formulado indagava qual o saldo da dívida em 31/05/2016.
A linha do tempo a seguir representa as condições originais do empréstimo a juros compostos:
38
Nessa operação, temos que encontrar o VF, que é a parcela única que deveria ser paga no 
vencimento.
A dívida deveria ter sido paga integralmente em 31/05/2013, com valor de R$225.365,01.
Porém, nessa mesma data, o devedor pagou apenas R$50.000,00. Portanto, ficou com o 
seguinte saldo devedor:
Saldo Devedor = Valor Devido - Valor Pago
Saldo Devedor = 225.365,01 - 50.000,00
Saldo Devedor = 175.365,01 
O saldo devedor de R$175.365,01 em 31/05/2013 é o VALOR PRESENTE da dívida nesta data.
Para encontrarmos o que a questão está pedindo, que é o saldo devedor em 31/05/2016, temos 
que calcular o Montante da dívida nesta data, e subtrair o valor amortizado nessa mesma data.
Nesse período, o enunciado diz que o cálculo foi feito a juros simples, portanto, na HP12C temos 
que inserir a taxa ao ano e o período em dias (ano comercial):
VF = VP ( 1 + i )^n HP12C
VF = 200.000 ( 1 + 0,01 )^12 
VF = 200.000 ( 1,01 )^12 
VF = 200.000 x 1,126825 
VF = 225.365,01 
f CLEAR REG
f 2
200000 PV
12 n
1 i
FV ( resultado = -225.365,01)
39
O montante da dívida em 31/05/2016 era de R$238.496,41, sendo que na mesma data o 
devedor fez uma amortização de R$60.000,00.
Portanto, o saldo devedor em 31/05/2016 será de:
Saldo Devedor = Montante da dívida - Valor Amortizado 
Saldo Devedor = R$238.496,41 - R$60.000,00 
Saldo Devedor = R$178.496,41 
Gabarito: B 
n = 36 meses x 30 dias = 1080 dias 
i = 1% a.m. = 12%a.a.
VF = VP ( 1 + i . n ) HP12C
VF = 175.365,01( 1 + 0,01 . 36 ) 
VF = 175.365,01 ( 1 + 0,36 ) 
VF = 175.365,01 x 1,36 
VF = 238.496,41 
f CLEAR REG
f 2
175365,01 PV
1080 n
12 i
f INT ( = valor dos juros = -63.131,40)
+ ( = montante da dívida = -238.496,41)
40
7.2 QUESTÕES DE EXAMES ANTERIORES SEM COMENTÁRIOS 
1. (CONSULPLAN - Exame de Suficiência CFC - 2019.2) 
Uma pessoa contraiu um financiamento no valor de R$20.000,00 para pagamento em 6 
prestações bimestrais, iguais e sucessivas, devendo a primeira prestação ser paga 60 dias após 
contrair o financiamento. A taxa de juros compostos contratada para esta dívida foi de 3% ao 
bimestre e os juros bimestrais estão embutidos no valor das prestações. Considerando somente 
as informações apresentadas e desconsiderando a incidência de impostos e taxas, assinale o 
valor mais próximo de cada prestação a pagar. Caso necessário, admita o ano comercial com 
360 dias.
a) R$3.333,33
b) R$3.433,33
c) R$3.510,50
d) R$3.691,95
2. (FBC - Exame de Suficiência CFC - 2015.1) 
Uma empresa adquiriu um bem destinado ao imobilizado por meio de uma transação de 
financiamento. O financiamento será pago em duas prestações de R$150.000,00, cada, vencíveis 
ao final de cada ano. A taxa de juros compostos pactuada para a operação foi de 4% ao ano.
O valor presente na data em que foi efetuada a transação de financiamento é de, 
aproximadamente:
a) R$13.680,00
b) R$13.743,69
c) R$13.830,00
d) R$13.943,69
3. (CONSULPLAN - Exame de Suficiência CFC - 2018.2) 
Em 17/08/2018 um cliente tomou um empréstimo para pagamento em 4 prestações mensais, 
iguais e sucessivas, no valor de R$500,00 cada, devendo a primeira prestação ser paga em 
17/09/2018. A taxa de juros cointratada para essa dívida foi de 2% ao mês de juros compostos. 
Considerando somente as informações apresentadas e desconsiderando-se a incidência de 
impostos, assinale, entre as alternativas a seguir, o valor aproximado que o cliente tomou como 
empréstimo em 17/08/2018. Admita que o plano para pagamento da dívida adota o mês 
comercial de 30 dias e que os juros mensais estão embutidos no valor das prestações.
41
a) R$1.851,85
b) R$1.903,86
c) R$1.980,00
d) R$2.000,00
4. (FCB - Exame de Suficiência CFC - 2012.2)
Uma empresa está analisando a melhor opção para aquisição de uma máquina. As seguintes 
opções estão sendo analisadas:
Opção 1: Adquirir a máquina do Fornecedor A, à vista, por R$200.000,00. Para tanto, a empresa 
terá que obter um empréstimo de R$200.000,00 com juros compostos de 2%a.m. no Banco X, a 
ser pago em três parcelas de igual valor, vencendo a primeira parcela um mês após a data da 
liberação do empréstimo.
Opção 2: Adquirir a máquina do Fornecedor B, em três parcelas mensais sucessivas de 
R$70.000,00, vencendo a primeira parcela um mês após a data da compra.
Com base nos dados informados, é correto afirmar que: 
a) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$69.350,93.
b) É mais vantajosa a opção 1, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$68.000,00.
c) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$70.747,20.
d) É mais vantajosa a opção 2, uma vez que a parcela mensal a ser paga ao Banco X é igual a 
R$70.666,67.
5. (FCB - Exame de suficiência CFC - 2017.2) 
Uma sociedade empresária tomou um empréstimo de R$60.000,00, a ser pago em três parcelas 
anuais e consecutivas. A taxa de juros contratada na operação foi de 14,4% ao ano. O sistema 
de amortização do contrato é o Sistema Price, ou seja, as prestações são iguais, periódicas e 
consecutivas, determinadas de acordo com a fórmula a seguir:
42
Considerando-se apenas as informações apresentadas, o valor desembolsado anualmente para 
pagamento de cada prestação será de, aproximadamente:
a) R$29.943,88
b) R$26.017,52
c) R$22.880,00
d) R$20.000,00
6. (FCB - Exame de suficiência CFC - 2016.2) 
Em uma questão judicial envolvendo a cobrança de uma dívida, o Perito Contador foi chamado a 
calcular o saldo devedor de um empréstimo com os seguintes dados:
O devedor realizou duas amortizações parciais sendo a primeira de R$50.000,00 em 31.5.2013 e 
a segunda de R$60.000,00 em 31.5.2016.
Para fins de análise da questão, um dos quesitos formulados pelo Juiz indagava qual o saldo final 
em 31.5.2016, com aplicação dos encargos contratuais até o vencimento, e juros simples de 1% 
ao mês calculados sobre o saldo da dívida em 31.5.2013, para o período seguinte.
Com base nos dados apresentados, o valor a ser informado em resposta ao quesito formulado é 
de aproximadamente:
a) R$196.496,41
b) R$178.496,41
c) R$169.872,31
d) R$156.896,41
43
8 GABARITO 
1. D
2. B
3. B
4. A
5. B
6. B
44
9 FINALIZANDO 
Muito bem, chegamos ao final da nossa quinta aula! 
Reveja a aula quantas vezes for necessário e refaça os exercícios sem e com a calculadora para 
ir se familiarizando e pegando agilidade.
Com a prática constante, você vai ver como vai ganhar muito tempo na resolução de várias 
questões quando conseguir dominar a HP12C!
Abraços e até a próxima aula!
Talita Kuroda.
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“O insucesso é uma oportunidade para recomeçar com mais inteligência.” 
(Henry Ford)

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Este material é de 
USO EXCLUSIVO 
dos alunos do curso
CFC de A a Z.
Pirataria é CRIME. 
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