Intervalo de Confiança para Proporção

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Estimando parâmetros populacionais
Intervalo de confiança para a proporção
Intervalos de Confiança
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela,
Instituto de Qúımica - UNESP
Araraquara, SP
capela@iq.unesp.br
Araraquara, SP - 2016
Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Inst. Qúımica, Unesp - 2016
Estimando parâmetros populacionais
Intervalo de confiança para a proporção
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Teorema do Limite Central
Se amostras de tamanho n ≥ 30 são tiradas de qualquer população
com média µ e desvio padrão σ, então a distribuição amostral das
médias das amostras se aproxima de uma distribuição normal de
média µ e desvio padrão (erro padrão) σ√
n
.
X ∼ N
(
µ,
σ√
n
)
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Exemplo 1
Imagine uma população hipotética de 4 valores somente:
X = 10; 20; 30; 40⇒ X = 25
Retiram-se, dessa população todas as amostras aleatórias posśıveis
de dois elementos, com reposição. As médias posśıveis são dadas
na tabela a seguir:
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Exemplo 1: Distribuição de frequências
X f frelat
10 1 0.0625
15 2 0.1250
20 3 0.1875
25 4 0.2500
30 3 0.1875
35 2 0.1250
40 1 0.0625
Total: 16 1
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Intervalo de confiança para a proporção
Estimativa pontual da média populacional
É um valor único estimado para o parâmetro média populacional. A
estimativa pontual menos tendenciosa de uma média populacional
µ é a média amostral X .
Estimativa intervalar da média populacional
Em vez de usar a estimativa pontual podemos estimar que µ está em
um intervalo centrado em X com amplitude dada por uma margem
de erro.
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Intervalo de confiança para a proporção
Estimativa pontual da média populacional
É um valor único estimado para o parâmetro média populacional. A
estimativa pontual menos tendenciosa de uma média populacional
µ é a média amostral X .
Estimativa intervalar da média populacional
Em vez de usar a estimativa pontual podemos estimar que µ está em
um intervalo centrado em X com amplitude dada por uma margem
de erro.
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Exemplo 2
Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio
como medida de legibilidade de anúncios de revistas. A seguir está
representada uma amostra aleatória do número de frases encontra-
das em 50 anúncios. Encontre uma estimativa para a média popu-
lacional.
Estimativa pontual: X =
∑
x
n =
620
50 = 12.4
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Exemplo 2: estimativa intervalar
A probabilidade de que a média populacional seja exatamente 12.4
é praticamente zero! Para uma estimativa intervalar precisamos
estabelecer ou determinar uma margem de erro. Por exemplo, se a
margem de erro for 2.1 então a estimativa intervalar seria dada por:
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Critérios para desvios significativos
Um critério cient́ıfico para o estabelecimento de uma diferença ou
desvio significativo entre dois valores não pode ser uma questão de
opinião dependente do sujeito, mas um critério objetivo. O critério
estat́ıstico para a significância de um desvio pressupõe que:
A distribuição dos valores seja Gaussiana.
O valores desviantes sejam uma fração pequena da população
e que esta fração seja determinada a priori.
A fração escolhida (0,95 ou 95%) é arbitrária e denomina-se área
ou região de não-significância, sendo indicada por C ou C%.
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Ńıvel de confiança C
É a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro
populacional.
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Margem de erro
Dado o ńıvel de confiança c , a margem de erro é a maior distância
posśıvel entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que está
estimando:
E = X − µ = zcσX = zc
σ√
n
sendo zc o valor cŕıtico correspondente ao ńıvel de confiança C .
Por exemplo,
c = 0.95 (α = 0.05)⇔ zc = 1.96
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Exemplo 3
Certo pesquisador mediu a pressão arterial sistólica de cinco executi-
vos, na faixa de 40 a 44 anos, escolhidos aleatoriamente, e obteve os
valores 135; 143; 149; 128 e 158 mmHg. A média observada nessa
amostra foi 142.6 mmHg. Revisando a literatura, o pesquisador ve-
rificou que, nessa população e nessa faixa etária, a média da pressão
arterial sistólica é 129 mmHg e o desvio padrão é 15 mmHg. Serão
esses dados suficientes para afirmar que os executivos apresentam
pressão arterial sistólica diferente daquela observada na população
de homens com essa idade? Usar um ńıvel de significância α = 5%.
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Exemplo 3: continuação
µ± 1.96σ(X ) = 129± 1.96 15√
5
= 129± 13.15
Portanto, o intervalo de não-significância é [115.85, 142.15], isto é
as médias amostrais com valor entre 115.85 e 142.15 mmHg não
apresentam desvios significativos em relação à média populacional.
Portanto, para o critério escolhido, a média obtida nos cinco exe-
cutivos (142.6) desvia-se significativamente da média da população
de homens da mesma faixa etária, estando mais elevada.
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Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X .
Escolher inicialmente o critério ou o ńıvel de significância de-
sejado (por exemplo, α = 0.05).
Obter o valor cŕıtico de z da tabela (neste caso, zα = 1.96).
Padronizar o afastamento X − µ
zcal =
X − µ
σ/
√
n
=
142.6− 129
15/
√
5
= 2.03
A média amostral está a 2.03 erros padrão acima de µ
Decisão:
Se |zcal | ≥ zα então o desvio é significativo
Se |zcal | < zα então o desvio não é significativo
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Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X .
Escolher inicialmente o critério ou o ńıvel de significância de-
sejado (por exemplo, α = 0.05).
Obter o valor cŕıtico de z da tabela (neste caso, zα = 1.96).
Padronizar o afastamento X − µ
zcal =
X − µ
σ/
√
n
=
142.6− 129
15/
√
5
= 2.03
A média amostral está a 2.03 erros padrão acima de µ
Decisão:
Se |zcal | ≥ zα então o desvio é significativo
Se |zcal | < zα então o desvio não é significativo
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Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X .
Escolher inicialmente o critério ou o ńıvelde significância de-
sejado (por exemplo, α = 0.05).
Obter o valor cŕıtico de z da tabela (neste caso, zα = 1.96).
Padronizar o afastamento X − µ
zcal =
X − µ
σ/
√
n
=
142.6− 129
15/
√
5
= 2.03
A média amostral está a 2.03 erros padrão acima de µ
Decisão:
Se |zcal | ≥ zα então o desvio é significativo
Se |zcal | < zα então o desvio não é significativo
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Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X .
Escolher inicialmente o critério ou o ńıvel de significância de-
sejado (por exemplo, α = 0.05).
Obter o valor cŕıtico de z da tabela (neste caso, zα = 1.96).
Padronizar o afastamento X − µ
zcal =
X − µ
σ/
√
n
=
142.6− 129
15/
√
5
= 2.03
A média amostral está a 2.03 erros padrão acima de µ
Decisão:
Se |zcal | ≥ zα então o desvio é significativo
Se |zcal | < zα então o desvio não é significativo
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Exemplo 4
Deseja-se saber se a alcalinidade da água de um rio esta alterada,
partindo-se de dados de uma amostra de 16 pontos do rio. A média
obtida entre os 16 valores foi X = 16.2 mg de CaCO3 por litro.
Sabe-se que a média de alcalinidade deste rio costuma ser µ = 19.6
mg de CaC03 por litro e que a variabilidade observada em diferentes
determinações, medida pelo desvio padrão, é σ = 7.7 mg por litro.
zcal =
16.2− 19.6
7.7/
√
16
= −1.77
Portanto |zcal | = 1.77 < z0.05 = 1.96. Então não há evidências
suficientes para se afirmar que houve alteração na alcalinidade deste
rio, para α = 0.05.
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Exemplo 4
Deseja-se saber se a alcalinidade da água de um rio esta alterada,
partindo-se de dados de uma amostra de 16 pontos do rio. A média
obtida entre os 16 valores foi X = 16.2 mg de CaCO3 por litro.
Sabe-se que a média de alcalinidade deste rio costuma ser µ = 19.6
mg de CaC03 por litro e que a variabilidade observada em diferentes
determinações, medida pelo desvio padrão, é σ = 7.7 mg por litro.
zcal =
16.2− 19.6
7.7/
√
16
= −1.77
Portanto |zcal | = 1.77 < z0.05 = 1.96. Então não há evidências
suficientes para se afirmar que houve alteração na alcalinidade deste
rio, para α = 0.05.
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Intervalo de confiança para a proporção
Intervalo de confiança para a proporção
Para estimar a proporção de elementos da população com uma certa
caracteŕıstica usa-se a proporção com que essa caracteŕıstica foi ob-
servada em uma amostra. Desde que a amostra seja grande, pode-
se tomar a distribuição normal como aproximação para a binomial.
Um intervalo de confiança aproximado para p, ao ńıvel de confiança
1− α, é dado por
p̂ ± zα
√
p̂(1− p̂)
n
sendo p̂ uma estimativa amostral para a proporção p.
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Exemplo 5
Retirando-se uma amostra de 100 itens da produção de uma
máquina, verificou-se que 10 eram defeituosas. Encontre um inter-
valo de 95% de confiança para a proporção p de peças defeituosas
dessa máquina.
p̂ =
10
100
= 0.1⇒ IC : 0.1± 1.96
√
0.1(1− 0.1)
100
IC : 0.1± 0.0588⇒ [0.0412, 0.1588]
Entre 4% e 16 %
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Retirando-se uma amostra de 100 itens da produção de uma
máquina, verificou-se que 10 eram defeituosas. Encontre um inter-
valo de 95% de confiança para a proporção p de peças defeituosas
dessa máquina.
p̂ =
10
100
= 0.1⇒ IC : 0.1± 1.96
√
0.1(1− 0.1)
100
IC : 0.1± 0.0588⇒ [0.0412, 0.1588]
Entre 4% e 16 %
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