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Lista de Exerc´ıcios no3 1. O pivotamento parcial serve para: a) minimizar o efeito dos erros de arredondamento na resoluc¸a˜o de sistemas lineares, por eliminac¸a˜o; b) testar a singularidade do sistema; c) evitar a divisa˜o por zero. (i) So´ a e´ correta (ii) a e c sa˜o corretas (iii) Todas as afirmativas sa˜o corretas. 2. Seja o sistema linear { 2x1 − 6αx2 = 3 3αx1 − x2 = 32 Usando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss (MEG): a) Encontre valores de α para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o; b) Encontre valores de α para os quais o sistema tem um nu´mero infinito de soluc¸o˜es; c) Supondo que o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o para um dado α, encontre a soluc¸a˜o (em func¸a˜o de α). 3. Me´todo de Gauss-Jordan: consiste em transformar o sistema dado Ax=b num sistema equivalente diagonal atrave´s das operac¸o˜es elementares sobre os elementos da matriz A. Desta forma, os elementos abaixo e acima da diagonal sa˜o eliminados em cada esta´gio. Aplique este me´todo para resolver o sistema: 4x1 − x2 + x3 = 8 2x1 + 5x2 + 2x3 = 3 x1 + 2x2 + 4x3 = 11 A soluc¸a˜o exata do sistema acima e´ (1,−1, 3)t. 4. Calcule a inversa da matriz A = 2 0 10 3 2 1 −3 1 usando a fatorac¸a˜o LU e o me´todo de Gauss-Jordan. 5. Usando a fatorac¸a˜o LU : a) resolva o sistema linear: 1 3 −12 2 4 2 1 2 x1x2 x3 = −20 1 ; b) calcule o determinante da matriz dos coeficientes. 1 6. Uma matriz tridiagonal e´ uma matriz da forma: A = a1 c1 0 . . . . . . 0 b2 a2 c2 . . . ... 0 b3 a3 c3 . . . ... ... . . . . . . . . . . . . 0 ... . . . bn−1 an−1 cn−1 0 . . . . . . 0 bn an a) Escreva um algoritmo para resolver o sistema Ax = b, pelo MEG, de modo que a estrutura especial da matriz A seja explorada; b) Teste seus resultados com o sistema: 2x1 − x2 = 1 −xi−1 + 2xi − xi+1 = 0, −xn−1 + 2xn = 0 2 ≤ i ≤ (n− 1) 7. Considere o sistema linear: 2 3 43 2 −1 5 −4 3 x1x2 x3 = −24 8 a) Resolva-o pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss com pivotamento parcial, tra- balhando com arredondamento para treˆs algarismos significativos em todas as operac¸o˜es. b) Refine uma vez a soluc¸a˜o obtida em a). 8. Resolver o sistema a seguir pelo me´todo da decomposic¸a˜o LU , com a estrate´gia de pivotamento parcial: 1 2 3−5 −1 4 2 4 1 x1x2 x3 = 17−2 24 9. a) Considere a matriz A, n× n, com todas as sub-matrizes principais na˜o singulares. Exiba as fo´rmulas da decomposic¸a˜o LU , onde L e´ matriz triangular inferior e U e´ matriz triangular superior com 1 na diagonal. (Este tipo de decomposic¸a˜o e´ conhecido como Me´todo de Crout). b) Usando a decomposic¸a˜o do item a), resolva o sistema linear Ax = b, onde: A = 2 3 −11 0 2 0 3 −1 , x = x1x2 x3 e b = 43 2 . 10. Resolva o sistema Ax = b com fatorac¸a˜o de Cholesky, onde A = 1 1 01 2 −1 0 −1 3 e b = 21 5 2 11. A existeˆncia da fatorac¸a˜o de Cholesky de uma matriz e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que essa matriz seja positiva definida. Verifique se a matriz abaixo e´ positiva definida: A = 3 −6 9−6 14 −20 9 −20 29 12. a) A matriz A = 0 0 −1 1 1 1 −1 2 1 1 0 3 1 2 −1 3 na˜o pode ser fatorada no produto LU . Por queˆ? b) Aplique a eliminac¸a˜o de Gauss, com pivotamento parcial, em A, para obter uma matriz A¯ triangular superior. c) Multiplique A pela matriz de permutac¸a˜o P , onde P = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 e verifique que a eliminac¸a˜o de Gauss pode ser executada sobre a matriz PA sem troca de linhas. c) Obtenha a fatorac¸a˜o LU da matriz PA e verifique que U = A¯. 13. Compare as soluc¸o˜es dos sistemas lineares abaixo:{ x1 + 2x2 = 3 1.0001x1 + 2x2 = 3.0001 e { x1 + 2x2 = 3 0.9999x1 + 2x2 = 3.0001 O que acontece e por queˆ? 3
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