matrizes-e-algumas-aplicacoes-para-uso-em-sala-de---francieli-jordao

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1 
 
Câmpus de São José do Rio Preto IBILCE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRANCIELI JORDÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES E ALGUMAS APLICAÇÕES PARA USO EM SALA DE 
AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São José do Rio Preto 
2012 
 
2 
 
FRANCIELI JORDÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZES E ALGUMAS APLICAÇÕES PARA USO EM SALA DE 
AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada à Universidade Estadual Paulista “Júlio de 
Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Curso 
de Graduação em Matemática, como requisito para a obtenção do título 
de Licenciado em Matemática, sob a orientação do Prof. Ms. Hermes 
Antonio Pedroso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São José do Rio Preto 
2012 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico esse trabalho aos meus pais, Irineu e 
Sonia, que tanto se empenharam, me ajudando 
assim a chegar onde estou nos dias de hoje, e que 
fizeram de mim um ser humano melhor. 
 
4 
 
Agradecimentos 
 
Agradeço a Deus que me deu o dom da vida e me proporcionou a oportunidade de estar 
aqui hoje. Em seguida aos meus pais Irineu e Sonia e a minha irmã Danieli que tanto 
me apoiaram e me incentivaram nesses quatro anos de faculdade. 
Também agradeço a todos os professores que me deram aula durante todos os meus anos 
de estudos desde os professores da pré-escola até os da faculdade, nesses últimos 
destacando o professor Hermes Antonio Pedroso que aceitou me orientar na elaboração 
deste trabalho e a professora Adriana de Bortoli que me auxiliou nas aulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
RESUMO 
 
Este trabalho tem como objetivo apresentar uma perspectiva diferente para as aulas de 
matemática principalmente para as relacionadas a matrizes, no contexto do ensino de 
matemática nota-se que esta não é a disciplina preferida dos alunos, questionamentos tais 
como “porque tenho que aprender isso?”, “para que isso serve?”, sempre ocorrem diante 
de um novo conteúdo. Para a elaboração deste trabalho foi analisado a apostila dos 
alunos, fornecida pelo Governo do Estado, percebemos que ela baseia-se nas aplicações e 
deixa lacunas na teoria, em contraposto notamos que alguns livros didáticos não trazem as 
aplicações, a teoria é seu enfoque principal. Sendo assim é proposto aqui uma junção de 
teoria e aplicações, primeiramente apresentar a teoria com o seu rigor necessário para 
assim tendo uma boa conceituação teórica entender as aplicações. Em seguida sanar os 
questionamentos frequentes mostrando para que serve, onde são encontradas e como 
podem ser aplicadas no nosso cotidiano. Portanto, o trabalho é composto por um 
embasamento teórico, alguns dados históricos e aplicações. 
 
Palavras-chave: aulas de matemática, matrizes, aplicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
SUMÁRIO 
 
Introdução .......................................................................................................... 7 
Embasamento teórico ......................................................................................... 8 
O que é uma matriz? ........................................................................................... 8 
Alguns dados históricos sobre as matrizes........................................................... 12 
Aplicações ........................................................................................................... 13 
 Sudoku ..................................................................................................... 13 
 Quadrado mágico ..................................................................................... 16 
 Resolução de imagens: os pixels .............................................................. 21 
 Computação gráfica: rotação, escala e translação .................................... 22 
 Computação gráfica: composição de transformações geométricas .......... 23 
Considerações finais ............................................................................................. 24 
Referências bibliográficas .................................................................................... 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Durante as observações feitas no estágio supervisionado I e também com a 
regência do estágio supervisionado II foi possível perceber que as aulas de matemática 
não são as preferidas dos alunos. Pensando nisso trazer materiais que prendem a atenção 
dos alunos, que os chame a aula é sempre importante, mas sem deixar de lado o rigor 
da teoria. 
 Analisando o material fornecido pelo Governo do Estado, nota-se que este é 
baseado nas aplicações e deixa lacunas na teoria, em contraposto temos que alguns livros 
didáticos apresenta apenas a teoria. 
Começamos com a ideia geral de matriz do tipo mxn ( lê-se m por n ) que é a de 
quadro retangular com mn elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Na maioria das 
vezes esses elementos são números. 
É comum encontrar em jornais e revistas exemplos tais como 
 
Renda 
Perfil da população pobre*, por cor/raça autodeclarada no Brasil e por região, em 2011 ( 
em % ) 
1002,55,106,27497,7
649,679,255,536,758,78
369,306,73461,2421
Total
Negra
Branca
BrasilOesteCentroSulSudesteNordesteNorte 
 
* com renda de até R$ 75,50 per capita, em valores de 2000 
Dados IBGE/Pnad microdados 
Fonte: Folha de S. Paulo, 17-11-2005 
 
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: 
8 
 
Aluno \ Disciplina Química Inglês Literatura Espanhol 
 A 8 7 9 8 
 B 6 6 7 6 
 C 4 8 5 9 
 
Em matemática, este tipo de tabela é denominado matriz, neste caso elas são 
usadas para organizar dados como podemos ver nas tabelas acima. Essas tabelas foram 
colocadas para exemplificar a ideia de matrizes. 
Pensando nas dificuldades aqui relatadas, material didático e desinteresse por parte 
dos alunos, entre outros que aqui não foram relatados mas que vem prejudicando o 
ensino nos dias atuais é que foi elaborado esse trabalho. 
Começamos com a teoria pois ela é muito importante e é a que dá a sustentação 
para que permita ser compreendida as atividades propostas e principalmente as aplicações 
que é outro ponto tratado neste trabalho e espera-se que seja um estímulo para os 
alunos, aqui foi relatado dois jogos ( sudoku e quadrado mágico ), que traz ao aluno a 
noção de posição dos números na matriz, e também como os alunos estão rodeados de 
tecnologias podemos nos valer dela para levar o conteúdo que o aluno aprende na escola 
até seu cotidiano, que aqui é tratado sob a forma de imagens ( pixels e computação 
gráfica ). 
Concluímos assim este trabalho verificando se é realmente vantajoso essa 
abordagem em aula, se não o alcançarmos ao menos refletiremos sobre o assunto, e 
também poderemos auxiliar aqueles que buscam as mesmas respostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
EMBASAMENTO TEÓRICO 
 
O que é uma matriz? 
 
Definição: Toda tabela de números dispostos em linhas oucolunas, representada sob a 
forma de um quadro 
 
mnmm
n
n
aaalinham
aaalinha
aaalinha
colunancolunacoluna





21
22221
11211
ª
ª2
ª1
ªª2ª1
 
 
Cada elemento da matriz é indicado por dois índices: 
aij = 
Formando assim um conjunto mxn ( m por n ) elementos dispostos em m linhas e n 
colunas em que aij é o elemento associado a i-ésima linha e j-ésima coluna. 
Exemplo: 
A = 





654
321 
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é 
chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]. 
Nesse exemplo, o elemento a12 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do 
quadro. O tamanho de uma matriz é denominado ordem ou dimensão. 
10 
 
As entradas ( símbolos ) de uma matriz também podem ser definidas de acordo 
com seus índices i e j. Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a 
matriz 3x2 
A = 










54
43
32
 
Matrizes Especiais: 
 Matriz linha: é uma matriz formada por uma única linha, A=  naaa 11211  1xn 
 Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna, B=












1
21
11
nb
b
b

nx1 
 Matriz nula: é uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero, 
A=












0...000
0...000
0...000

mxn 
 Matriz quadrada: é uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de 
colunas, B = 












nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
nxn 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos de A cujo índice da linha é 
igual ao índice da coluna constituem a diagonal principal. Os elementos de A cuja soma 
dos índices da linha e da coluna é igual a n+1 constituem a diagonal secundária. 
 Matriz identidade: é uma matriz que possui os elementos da diagonal principal 
11 
 
iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero, A=












1...00
0...10
0...01

nxn 
 Matriz diagonal: é uma matriz que possui os elementos da diagonal principal 
diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero, B= 












nna
a
a




00
00
00
22
11
nxn 
 Matriz triangular: temos dois tipos de matrizes triangulares, as superiores e as 
inferiores, 
 superior: é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais 
a zero, A= 












nn
n
n
a
aa
aaa




00
0 222
11211
nxn 
 inferior: é aquela em que os elementos acima da diagonal principal são iguais 
a zero, B= 












nnnn aaa
aa
a




21
2221
11
0
00
nxn 
Operações entre matrizes 
Para melhor entendimento e sem perder a generalidade serão consideradas matrizes 
quadradas de ordem 2. Sejam A= 





dc
ba
, B= 





hg
fe
, matrizes de coeficientes reais e k 
um número real, definimos: 
 a soma de matrizes, 
12 
 
A + B = 





dc
ba
+ 





hg
fe
= 







hdgc
fbea
 
 a multiplicação de uma matriz por um escalar k, 
k . A = k . 





dc
ba
 = 





kdkc
kbka
 
 a multiplicação de matrizes, 
A . B = 





dc
ba
. 





hg
fe
= 







dhcfdgce
bhafbgae
 
 a matriz oposta de A é representada por –A e é tal que A+(-A)=0, sendo 0 a 
matriz nula, 
A= 





dc
ba
; -A= 







dc
ba
 
No caso da subtração de matrizes, temos que a diferença A-B se dá como a soma de A 
com a oposta de B, ou seja, 
A - B = A + (-B), ou ainda, 
 





dc
ba
- 





hg
fe
= 





dc
ba
+ 







hg
fe
 = 







hdgc
fbea
 
Para todas essas operações citadas acima deve-se levar em consideração as ordens 
das matrizes. Para a adição e a subtração as matrizes devem ter necessariamente a 
mesma ordem, já para a multiplicação deve-se seguir o esquema abaixo: 
A(mxn) . B(nxp) = C(mxp), o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de 
B. 
Sendo assim não existe a multiplicação: B(nxp) . A(mxn), ou seja a multiplicação pode 
não ser comutativa. 
13 
 
 
 
 
Alguns dados históricos sobre as matrizes 
 
Pelos meados do século XIX os matemáticos alemães estavam acima dos de outras 
nacionalidades no que se referia à análise e à geometria, com as universidades de Berlim 
e Göttingen na liderança e com a publicação centrada no Journal de Crelle. A álgebra, 
por outro lado, foi durante algum tempo quase um monopólio britânico com Trinity 
College, Cambridge, à frente e a Cambridge Mathematical Journal como principal veículo 
de publicação. George Peacock ( 1791-1858 ) e Augustus De Morgan ( 1806-1871 ) eram 
ambos de Trinity, como também Arthur Cayley ( 1821-1895 ), que contribuiu fortemente 
tanto para a álgebra quanto para a geometria, e que se graduara como senior wrangler. 
Mencionamos a obra de Cayley em geometria analítica, especialmente quanto ao uso de 
determinantes; mas Cayley foi também um dos primeiros a estudar matrizes, outro 
exemplo da preocupação britânica com forma e estrutura em álgebra. Essa obra proveio 
de uma memória de 1858 sobre a teoria das transformações. 
 
O início da teoria de matrizes se remonta a um artigo de Cayley 
em 1855. Diga-se de passagem, porém, que o termo matriz já fora 
usado, com o mesmo sentido, cinco anos antes por Sylvester. Neste 
artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a 
ideia de matriz preceda a de determinante, historicamente ocorreu o 
contrário: de fato, os determinantes já eram usados há muito na 
resolução de sistemas lineares. Quanto às matrizes, Cayley 
introduziu-as para simplificar a notação de uma transformação 
linear. (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004) 
 
James Joseph Sylvester ( 1814-1897 ) também compartilhava da mesma ideia de 
14 
 
Cayley sobre as matrizes vista a partir de transformações lineares e invariantes algébricos. 
Eles investigavam expressões que permaneciam invariantes quando as variáveis eram 
transformadas por substituições. 
 
Aplicações 
1- Sudoku 
 
Em 1979, o arquiteto e designer de puzzles norte-americano Howard Garns 
inventou o Sudoku como conhecemos hoje. Sua criação foi publicada na revista Dell 
Pencil Puzzles and World Games, da Dell Magazines ( editora especializada em jogos de 
raciocínio ), com o nome de Number Place, nos EUA, também é chamado de Nanpure. 
Sem repercussão imediata, o passatempo foi levado para o Japão em 1984 pela 
Nikoli ( uma espécie de Coquetel oriental ) e recebeu o nome de "suuji wa dokushin ni 
kagiru", que significa "o número que deve aparecer uma só vez". O presidente da 
companhia fez pequenas alterações e renomeou o jogo para Sudoku. Em japonês, "su" 
quer dizer "número" e "doku" corresponde a "único". 
Um juiz neozelandês aposentado em Hong Kong, Wayne Gould, teve contato com 
a diversão em 1997 e dedicou seis anos para montar um programa de computador que 
gerasse novos jogos rapidamente. Como software em mãos, ele ofereceu a novidade aos 
jornais britânicos e, em 12 de novembro de 2004, The Times deu o pontapé inicial à 
mania. 
Em abril de 2005, o jogo já havia conquistado muitos outros jornais. The 
Guardian chegou a imprimir um Sudoku em cada página do jornal e o passatempo 
ganhou até um programa de rádio e outro de TV. Aqui no Brasil, o Sudoku era 
divulgado desde 1994 pela Coquetel, mas com o nome "de 1 a 9". Somente quando a 
brincadeira explodiu na Europa, a empresa rebatizou seus jogos e começou a ganhar 
público. 
15 
 
 
Origens do jogo 
O Sudoku é, na verdade, a evolução de vários jogos bem mais antigos. No século 
XVIII, quando o suíço Leonhard Euler ( 1707-1783 ) inventou o Quadrado Latino, uma 
matriz com o mesmo número de linhas e colunas, em que os elementos não se repetem 
nas linhas e colunas. Contudo, era só uma invenção para estudos de álgebra. 
Antes do Quadrado Latino, porém, houve alguns predecessores, os Quadrados 
Mágicos, com cerca de 4 mil anos de história. Nesses quadriculados, um mesmo número 
corresponde à soma dos algarismos de cada linha, coluna e diagonal. 
O mais antigo quadrado mágico que se tem notícia é o Lo Shu Square, 
encontrado em manuscritos chineses de 2.800 A.C., que faziam parte da lenda sobre 
como acalmar a fúria do rio Lo. No Egito e na Índia, os quadrados mágicos apareceram 
gravados em pedra ou metal, como forma de talismã e tinham lugar na astrologia e na 
religião. 
No final do século XIX, passatempos com números começaram a ser veiculados 
nos jornais franceses. O Sudoku atual estava quase pronto em 1892, quando o diário 
parisiense Le Siècle publicou o primeiro quadrado mágico de 9x9, dividido em quadrantes 
de 3x3. 
 
A matemática do jogo 
O problema geral de solucionar enigmas Sudoku em tabuleiros n2 x n2 de blocos n 
x n é conhecido como NP-completo. Isto dá algumas indicações de porque o Sudoku é 
difícil de resolver. Contudo, em tabuleiros de tamanhos finitos o problema é finito e 
pode ser solucionado através de um autômato finito probabilístico que conhece toda a 
árvore do jogo. Solucionar enigmas Sudoku ( assim como qualquer outro problema NP-
difícil ) pode ser expresso como um problema de preenchimento gráfico de cores. O 
objetivo do enigma em sua forma padrão é construir gráfico apropriado de nove 
16 
 
colorações, informando parcialmente essas nove colorações. O gráfico em questão tem 81 
vértices, uma interpolação em cada célula da grade. Os vértices podem ser rotulados com 
os pares ordenados (x,y), onde x e y são números inteiros entre 1 e 9. Neste caso, dois 
vértices distintos rotulados por (x,y) e (x',y') são conectados por uma borda se, e somente 
se,        )3/'3/3/'3/('' yyxxyyxx  
O enigma é então completado designando-se um número inteiro entre 1 e 9 para 
cada interpolação, de tal maneira que os vértices que são unidos através de uma borda 
não tenham nenhum número inteiro igual designado neles. Uma grade de solução válida 
para o Sudoku é também um quadrado latino. Há significativamente menos soluções de 
grades de Sudoku válidas do que os quadrados latinos, porque o Sudoku impõe restrições 
de região adicionais. Apesar disso, o número de solução de Sudoku para uma grade 
padrão de 9×9 foram calculados em 2005 por Bertram Felgenhauer como sendo 
6.670.903.752.021.072.936.960. Este número é igual a 9!x722x27x27.704.267.971, o último 
fator é um número primo. A derivação deste resultado foi simplificada consideravelmente 
por análises fornecidas por Frazer Jarvis e o número foi confirmado independentemente 
por Ed Russell. Russell e Jarvis também demonstraram de que quando as simetrias são 
levadas em conta, havia 5.472.730.538 soluções. O número de soluções válidas para a 
variação do Sudoku de uma grade 16×16 é desconhecido. 
Exemplo de um jogo sudoku: 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
2- Quadrado mágico 
 
Quadrado Mágico é uma matriz quadrada de lado ( ou ordem ) n, em que a soma 
dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum 
destes números se repete. 
Sua origem não é bem definida, mas há registros de sua existência em épocas 
anteriores a nossa era na China e na Índia. O quadrado de lado 3 foi encontrado pela 
primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de 
Tiana ( I Século ) por Marcellin Berthelot. 
Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso 
em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a esses o 
poder de atrair o influxo astral para proteção de seus detentores. 
 
Classificações 
 
Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial 
devido a suas singularidades. São eles: 
 Imperfeito ou Defeituoso 
O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um 
quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não; 
18 
 
Exemplo de um quadrado imperfeito: 
Nesse quadrado nota-se que a soma das linhas e das colunas são todas diferentes, mas a 
das diagonais são iguais a 34 
 
 1 2 3 4 
5 6 7 8 
9 10 11 12 
13 14 15 16 
 
 Hipermágico 
O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por 
exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um 
outro quadrado mágico; 
Exemplo de um quadrado hipermágico: 
Nesses dois quadrados apenas foi permutada duas colunas e ele continua com a soma das 
linhas, colunas e diagonais iguais a 15 
4 9 2 
3 5 7 
8 1 6 
 
2 9 4 
7 5 3 
19 
 
6 1 8 
 
 Diabólico 
É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito 
complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá- lo. 
Exemplo de um quadrado diabólico: 
Um quadrado mágico famoso é o Quadrado de Dürer 
O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto 
superior direito da gravura Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht 
Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui 
se apresenta a disposição dos números no quadrado: 
 












114154
12769
811105
132316
 
 
Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as 
seguintes particularidades: 
Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 
formando 1514, data da confecção da obra. 
Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 ( a 4ª letra é D ) e 
20 
 
1 ( a 1ª letra é A ), de “Dürer, Albrecht”. 
 A soma dos números de qualquer das linhas e colunas é sempre 34 
 A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34 
 A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34 
 A soma dos 4 números que ficam nas 4 casas centrais é 34 
 A soma dos 2 númeroscentrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de 
baixo é 34 
 A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna 
esquerda é 34 
 A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em 
cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34 
 A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em 
cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. ( 
ver abaixo estas 2 últimas somas ) 
Temos 3 + 5 + 12 + 14 = 34; e 2 + 8 + 9 + 15 = 34 












114)15(4
1276)9(
)8(11105
13)2(316
 
Curiosidade: O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown "O símbolo 
perdido". 
 
Na Astrologia 
 
21 
 
Eis a relação entre as casas e os planetas: 
 Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno; 
 Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter; 
 Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte; 
 Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol; 
 Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus; 
 Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio; 
 Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua; 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
3- Resolução de imagens: os pixels 
O registro de uma foto no papel ou em uma tela de computador é obtido com 
base na reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades 
tem apenas uma cor e é denominada pixel ( picture element ). O conjunto dos pixels dá 
a quem vê a impressão de algo contínuo, muito embora a ampliação da foto mostre 
claramente a descontinuidade da gradação de cores, como se pode observar na figura a 
seguir. 
 
Não há dimensão fixa para um pixel, mas é possível inferir que, em uma mesma 
área, quanto menor for um pixel, maior poderá ser a quantidade deles, implicando em 
uma foto de melhor qualidade ou de maior resolução. 
23 
 
 
Um pixel não precisa representar obrigatoriamente um pequeno quadrado. As 
imagens mostram maneiras alternativas de se reconstruir uma imagem usando: um 
conjunto de pixels, pontos, linhas e filtragem, respectivamente. 
4- Computação gráfica: rotação, escala e translação 
 
As imagens em uma tela de computador são na verdade formados por pequenos 
pontos ( pixels ) que são elementos de uma matriz. Uma imagem de resolução 800x600 
tem 800x600=480000 pixels em 800 colunas e 600 linhas. Quando um programa gráfico 
altera a posição da imagem, na verdade está mudando a posição dos pixels que a 
formam. Isso tudo é feito por operações de matrizes, e em computação gráfica é o que 
se chama de transformação geométrica. 
Basicamente, as transformações geométricas no plano são três: rotação, escala e 
translação. 
 Rotação: Uma rotação de  graus de um ponto (x,y), no sentido anti-horário e 
em torno da origem, é feita a partir da multiplicação da matriz 
R= 




 


cos
cos
sen
sen
 pela matriz P= 





y
x
, gerando uma matriz P'= 





'
'
y
x
, com a nova 
posição (x',y') dos pontos após a rotação: P'=PR. 
 Escala: Uma mudança de escala de um ponto (x,y) em relação à origem, usando 
um fator multiplicativo Sx para a coordenada x e um fator Sy para a coordenada 
24 
 
y, é feita usando-se a matriz E= 





Sy
Sx
0
0
 e a matriz P= 





y
x
 de forma que P'=EP. 
 Translação: Já uma translação de um ponto (x,y) de Tx unidades para a direita na 
coordenada x e Ty unidades para cima na coordenada y é feita pela soma da 
matriz T= 





Ty
Tx
 com a matriz P= 





y
x
, gerando uma matriz P'= 





'
'
y
x
, com a nova 
posição (x',y') dos pontos após a translação: P'=T+P. 
 
 
5- Computação gráfica: composição de transformações geométricas 
 
Uma operação de translação no plano, em princípio não é uma operação de 
multiplicação de matrizes, o que dificulta a composição de transformações geométricas. 
Para facilitar a composição das transformações geométricas ( rotação, escala e translação ) 
tornando todas essas operações de multiplicações de matrizes, é necessário usar 
coordenadas homogêneas, em que um ponto (x,y) do plano é descrito pela matriz










1
y
x
. 
Usando-se coordenadas homogêneas, as matrizes R de rotação, E de escala e T de 
translação são respectivamente, 
R=









 
100
0cos
0cos


sen
sen
, E=










100
00
00
Sy
Sx
 e T=










100
10
01
Ty
Tx
. 
Na composição de transformações geométricas usando-se coordenadas homogêneas, 
basta multiplicar o ponto original pela sequencia inversa das transformações que afetarão 
25 
 
o(s) ponto(s). Por exemplo, para rotacionar, escalar e transladar um ponto P, nessa ordem 
obtém-se o ponto P' fazendo as seguintes multiplicações: P'=TERP. 
 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
De acordo com o que foi relatado neste trabalho temos várias aplicações que 
podem interessar aos alunos e deixar as aulas de matemática um pouco mais atrativa, e 
como não fugimos a regra temos toda a teoria tratada com rigor. 
Sabe-se que os alunos da atualidade estão rodeados por tecnologias e que é difícil 
competir com tão poucas armas então foi pensando nisso que foi desenvolvido este 
trabalho para as aulas terem um atrativo que chame a atenção dos alunos. 
Outra consideração importante a se fazer é que podemos aplicar essa estrutura de 
aula a outros conteúdos, não só as matrizes, isso só requer que o professor pesquise um 
pouco mais e elabore um pouco mais sua aula. 
Para finalizar notamos que não dá para fugir totalmente das aulas expositivas mas, 
dá para incrementá- las usando poucos recursos que podem trazer um benefício a mais aos 
alunos. 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BAUMGART, J K. História da álgebra, tradução: Hygino H. Domingues, São Paulo: 
Atual, 1992 
BOYER, Carl B. História da matemática, 2ª ed, tradução: Elza F. Gomide, São Paulo: 
Edgar Blücher, 1996 
Caderno do aluno: matemática, ensino médio - 2ª série, volume 2 
DANTE, Luiz R. Matemática: contexto e aplicações , vol único, São Paulo: Editora 
Ática, 2007 
EVES, H. Introdução à história da matemática, tradução: Hygino H. Domingues, 
Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004 
IEZZI, G. Matemática: Ciência e aplicações, vol 2 - 4. ed - São Paulo: Atual, 2006 
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, vol 4: sequências, 
matrizes, determinantes, sistemas. – 7. Ed – São Paulo: Atual, 2004 
27 
 
<http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html> ( acessado em 7/11/12 ) 
( Guilherme Massa, 2006 )<http://www.abril.com.br/noticia/diversao/no_168200.shtml> ( 
acessado em 7/11/12 ) 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Sudoku> ( acessado em 7/11/12 ) 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gico> ( acessado em 7/11/12 ) 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pixel> ( acessado em 7/11/12 ) 
 
http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html
http://www.abril.com.br/noticia/diversao/no_168200.shtml
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sudoku
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gicohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Pixel