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A Matemática e Raciocínio Lógico > ALGARISMOS Observações: 1) Quem escreve desde um número A até um número B, escreve ao todo (B – A + 1). Exemplo1: De 41 a 100 quantos número temos? Solução: 100 – 41 + 1 = 59 + 1 = 60 Também podemos trabalhar com o sucessivo: O sucessivo de 100 é 101 Então: 101 – 41 = 60 Exemplo2: De 345 a 789 incluídos esses números, quantos inteiros e consecutivos existem? Solução: 789 – 345 + 1 = 444 + 1 = 445 Com o sucessivo de 789 é 790 → 790 – 345 = 445 Isso ocorre com os números incluídos, mas se forem com os excluídos, a resolução passa a ser assim: Do maior número subtraímos o sucessor do menor Exemplo1: De 132 a 186 excluídos esses, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem. Sucessivo do menor 133 → 186 – 133 = 53 Exemplo2: Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 251 excluídos esses. Solução: Sucessivo do menor 21 → 251 – 21 = 230 Excluídos e incluídos: Basta subtrair do número maior o menor Exemplo: Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 excluído e 527 incluído. Solução : 527 – 243 = 284 01) De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes como unidade e 10 vezes como centena. 02) De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes como unidade e 100 vezes como dezena e 100 vezes como centena. 03) De 1 a 10n qualquer algarismo aparece ; 10 n -1 como unidade, 10 n-1 com dezena e 10 n-1 como centena. 04) Quantidade de algarismos: Q(x) = n(x + 1) - 10n – 10 9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Quantos algarismos são necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175. Solução: O sucessor de 175 é 176. Q(x) = 3x – 108 (0-1-2-3-4-5 seis números que serão retirados) Q(x) = 3 x 176 – 108 → Q(x) = 528 – 108 → Q (x) = 420 420 – 6 = 207 algarismos Resposta .: 207 algarismos 02) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. Solução: O sucessor de 934 é 935 de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = + 180 189 algarismos 935 – 100 = 835 → 835 x 3 = 2505 → 2505 + 189 = 2694 algarismos Resposta.: 2694 algarismos 2) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 7 a 32.427, inclusive. Solução: O sucessor de 32.427 é 32.428. de 7 a 10 = 1 x 3 = 3 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2700 de 1000 a 10.000 = 4 x 9.000 = + 36.000 38.883 32.428 – 10.000 = 22.428 → 22.428 x 5 = 112.140 → 112.428 + 38.883 = 151.023 Resposta.: 151.023 algarismos 03) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 5 algarismos. Solução: Na = n x 9 x 10 n-1 Na = 5 x 9 x 10 5-1 = 5 x 9 x 10 4 = 5 x 9 x 10000 = 450.000 algarismos 04) Calcular o número algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos. Solução: Na = 7 x 9 x 10 7-1 = 63 x 10 6 = 63 x 1000000 = 63.000.000 algarismos 05) Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algarismos foram necessários. Solução. O sucessor de 126 é 127 páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 127 – 100 = 27 → 27 x 3 = 81 algarismos → 81 + 189 = 270 algarismos Resposta.: 270 algarismos 06) Em um teatro há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários Para enumerá-las. Solução. O sucessor de 150 é 151 poltronas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 151 – 100 = 51 → 51 x 3 = 153 → 153 + 189 = 342 algarismos Resposta.; 342 algarismos 08) Em um cinema há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão necessários Para enumerá-las. Solução. O sucessor de 130 é 131 cadeiras algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 131 – 100 = 31 → 31 x 3 = 93 algarismos → 93 + 189 = 282 algarismos Resposta .: 282 algarismos 09) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enu- merá-las? Solução. O sucessor de 2.593 é 2.594. páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2700 999 2889 2.594 – 1000 = 1.594→ 1.594 x 4 = 6.376 algarismos → 6.376 + 2.889 = 9.265 Resposta .: 9.265 algarismos 10) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro. Solução. Para o número de páginas Não precisamos do sucessivo. Páginas De 1 a 10 = 1 x 9 = 9 De 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 270 – 189 = 81 → 81 ÷ 3 = 27 páginas → 27 + 99 = 126 páginas Resposta .: 126 paginas. 11) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. Solução páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 570 – 189 = 381 algarismos → 381 ÷ 3 = 127 páginas → 127 + 99 = 226 páginas Resposta.: 226 páginas 12) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 3.421 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. Solução páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2700 999 2889 3.421 – 2889 = 532 algarismos → 532 ÷ 3 = 133 páginas → 133 + 999 = 1.132 Resposta.: 1.132 páginas 13) Calcular o número necessário de algarismos para se escrever todos os números naturais de 1 a 88. Solução O sucessor de 88 é 89 de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 89 –10 = 79 → 79 x 2 = 158 algarismos → 158 + 9 = 167 algarismos Resposta.: 167 algarismos 14) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números naturais de 30 a 176. Solução. O sucessor de 176 é 177 100 – 30 = 70 → 70 x 2 = 140 algarismos 176 – 100 = 76 → 76 x 3 = + 228 algarismos 368 algarismos Resposta .: 368 algarismos 15) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 a 91. Solução . O sucessor de 91 é 92 92 – 30 = 62 → 62 x 2 = 124 algarismos Resposta.; 124 algarismos 16) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. Solução. O Sucessor de 934 é 935 de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 189 935 – 100 = 835 algarismos → 835 x 3 = 2.505 algarismos → 2.505 + 189 = 2.694 Resposta.: 2.694 algarismos 17)Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive. Solução O Sucessor de 175 é 176. de 5 a 10 = 5, 7 e 9 → 3 ÷ 3 = 1 176 – 100 = 76 → 76 ÷ 2 = 38 números ímpares 100 – 10 = 90 → 90 ÷ 2 = 45 números ímpares 3 x 1 = 3 45 x 2 = 90 38 x 3 = 114 207 Resposta .: 207 algarismos 18) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las. Solução.O sucessor de 2.593 é 2.594 páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2.700 999 2.889 2.594 – 1000 = 1.594 algarismos → 1.594 x 4 = 6.376 algarismos 6.376 + 2.889 = 9.265 algarismos Resposta .: 9.265 algarismos 19) Um tipógrafo gastou 630 tipos de um algarismo para numerar as páginas de um livro. Quantas páginas tem esse livro? páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = + 180 99 189 630 – 189 = 441 algarismos → 441 ÷3 = 147 páginas → 147 + 99 = 246 páginas Resposta.: 246 páginas 20) Quantos algarismos utilizamos para escrever todos os números naturais entre o maior de três algarismo e o menor de dois algarismos inclusive. Solução. Maior de três algarismos → 999 Menor de dois algarismos → 10 O sucessor de 999 é 1000 → 1.000 – 100 = 900 algarismos → 900 x 3 = 2.700 100 – 10 = 90 algarismos → 90 x 2 = 180 algarismos + 180 Resposta.: 2.880 algarismos 2.880 21) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais dos inteiros sem separar os algarismos.Determinar o algarismo que ocupa o 1200o lugar. Solução. de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 189 1200 – 189 = 1.011 → 1.011 ÷ 3 = 337 → 337 + 99 = 436 Resposta .: 6 22) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais sem separar os algarismos, qual será o algarismo que ocupa o 3.456o lugar. Solução 3.456 – 189 = 3.267 → 3.267 ÷ 3 = 1.089 → 1.089 + 99 = 1.188 Resposta.: 8 23) Escrevendo todos os números (012345678910111213...) utilizamos 2.890 algarismos, o último algarismo que foi escrito é. Solução. Q (x) = 4x – 1106 2.890 = 4x – 1106 → 4x – 1106 = 2.890→ 4x = 2.890 + 1106 → 4x = 3.996 X = 3.996 → x = 999 4 Resposta.: 9 24) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais sem separar os algarismos determine o algarismo que ocupa o 985o lugar. Solução. 985 – 189 = 796 → 796 ÷ 3 = 265, sobra resto 1→ 265 + 99 = 364 Resposta.; Como o resto foi um, o algarismo é o primeiro da esquerda para a direita, no caso 3 25) Escrevendo-se a série natural dos números inteiros sem separar os algarismos, obtém-se 12345678791011121314... Determine o algarismo que ocupa o 1.173o. Solução. 1.173 – 189 = 984 → 984 ÷ 3 = 328→ 328 + 99 = 427 Resposta .; 7 26) Escrevendo-se a série dos números inteiros sem separar os algarismos . Determinar o algarismo que ocupa 1200o lugar. Solução 1200 – 189 = 1.011 → 1.011 ÷ 3 = 337 → 337 + 99 = 436 27) Escrevendo-se a sucessão dos números, sem separar os algarismos, calcule o algarismo que ocupa 1.536o lugar. Solução. 1.536 – 189 = 1.347 → 1.347 ÷ 3 = 449 → 449 + 99 = 548 Resposta . 8 28) Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os algarismos, determine o algarismo que ocupa o 2.342o lugar. Solução. 2.342 – 189 = 2153 → 2.153 ÷ 3 = 717, mas tem resto 2 717 + 99 = 816, mas como o resto é 2 , toma-se o segundo algarismo da direita para à esquerda. Resposta . : 1 29) Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na sucessão dos números de 1 a 100.000 Solução. 100.000 tem 5 zeros Nv = n x 10 n-1 → Nv = 5 x 10 5-1 = 5 x 10 4 = 5 x 10.000 = 50.000 vezes Resposta.: 50.000 vezes 30) Determinar o número de vezes que o algarismo 7 ocupa a posição das dezenas na sucessão dos números de 1 a 10.000. Solução Dezenas = 101 Centenas = 105 A = 105 = 105-1 = 104 = 10.000 10 Resposta .: 10.000 31) Escrevendo-se de 1 até 537, determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8. Solução. 537 = 5 x 100 + 3 x 10 +7 Nv = 5 (2 x 102-1) + 3 ( 1 x 101-1) = 5 x 2 x 10 + 3 x 1 x 1 = 5 x 20 + 3 = 103 31)Quando se escreve dos números naturais de 1 a 1.000, quantas vezes aparece o algarismo 2 como algarismo das unidades? Solução: Nv = 10 n-1 → n = número de zeros, então, n = 3 Nv = 10 3-1 = 10 2 100 Resposta .: 100 vezes Obs. Pode ser qualquer algarismo das unidades Observação algarismos De 1 a 10 = 1 x 9 = 9 De 10 a 100 = 2 x 90 = 180 De 100 a 1.000 = 3 x 900 = 2.700 De 1.000 a 10.000 = 4 x 9000 = 36.000 De 10.000 a 100.000 = 5 x 90.000 = 450.000 De e 100.000 a 1.000.000 = 6 x 900.000 = 5.400.000 </DIV>
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