QUESTÕES RESOLVIDAS DE MATEMÁTICA DAS BANCAS CESPE E CEBRASPE

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
CESPE/CEBRASPE 
 
APROVADO PD 
2023 
2 
MÓDULO 
 
 
1. (2021 CESPE / CEBRASPE SEDUC-AL) Acerca das funções reais, julgue 
o item a seguir. 
A função ƒ( x ) = 2| x + 3| − 5 é uma função par. 
Certo 
Errado 
RESOLUÇÃO: 
A função ƒ(x) = 2| x + 3| - 5 não é uma função par, pois não satisfaz a 
propriedade de simetria em relação ao eixo y (ou seja, ao eixo das 
ordenadas), que caracteriza as funções pares. 
Para verificar se uma função é par, é necessário verificar se a seguinte 
condição é satisfeita para todo x no domínio da função: 
ƒ(-x) = ƒ(x) 
No caso da função dada, temos: 
ƒ(-x) = 2| -x + 3| - 5 = 2|3 - x| - 5 
ƒ(x) = 2| x + 3| - 5 
Para que a função seja par, precisamos ter ƒ(-x) = ƒ(x) para todo x no 
domínio. No entanto, isso não ocorre para a função dada, pois ƒ(-x) é 
diferente de ƒ(x) para alguns valores de x. 
Por exemplo, quando x = 2, temos: 
ƒ(-2) = 2|3 - (-2)| - 5 = 9 
ƒ(2) = 2|2 + 3| - 5 = 5 
RESPOSTA: Errado. 
 
2. (2021 CESPE / CEBRASPE SEDUC-AL) Julgue o item a seguir, relativo à 
trigonometria do triângulo retângulo. 
Considere que um avião, após a decolagem, suba em linha reta a uma 
velocidade de 4 km/min, de modo que o ângulo da subida com o solo seja igual 
a 15°. Sabendo-se que sen(15°) = 0,13, é correto concluir dessa situação 
hipotética que, permanecendo o avião nessa trajetória, a altura em relação ao 
solo que ele atingirá, 10 minutos após a decolagem, será inferior a 6 km. 
Certo 
Errado 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver esse problema utilizando trigonometria do triângulo 
retângulo. O ângulo de subida do avião com o solo é de 15°, então podemos 
 
 
considerar o triângulo retângulo formado pela altura que o avião alcançará, 
a distância horizontal percorrida e a reta que representa a trajetória do 
avião. 
Seja h a altura em relação ao solo que o avião atinge após 10 minutos (ou 
seja, após percorrer uma distância horizontal de d = 4 km/min x 10 min = 40 
km). Podemos usar a definição de seno do ângulo de 15° para encontrar o 
valor de h: 
sen(15°) = h/d 
h = d x sen(15°) = 40 km x 0,13 ≈ 5,2 km 
Portanto, a altura que o avião atinge após 10 minutos de voo é de 
aproximadamente 5,2 km. Como esse valor é inferior a 6 km, a afirmação 
do item está correta. 
RESPOSTA: Certo. 
 
3. (2021 CESPE / CEBRASPE SEDUC-AL) Cada um do próximo item 
apresenta uma situação hipotética a ser julgada, acerca de problemas 
matemáticos envolvendo situações em uma escola. 
No primeiro andar de uma escola, todas as 10 salas de aula possuem as portas 
do mesmo lado e em sequência. Três alunos distraídos, mexendo em seus 
celulares, estão indo em direção a suas respectivas salas de aula, porém, como 
estão distraídos, eles podem entrar em qualquer uma das salas, de forma 
independente. Nessa situação hipotética, a probabilidade de os três alunos 
entrarem exatamente na mesma sala é de 1%. 
Certo 
Errado 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver esse problema utilizando o conceito de probabilidade. 
Como os alunos estão distraídos e podem entrar em qualquer uma das 10 
salas de forma independente, podemos considerar que cada aluno tem 10 
possibilidades de escolha para a sala que vai entrar. 
Assim, o número total de possibilidades para os três alunos é dado pelo 
produto do número de possibilidades de cada um deles, ou seja: 
Número total de possibilidades = 10 x 10 x 10 = 1000 
Para que os três alunos entrem exatamente na mesma sala, eles precisam 
escolher a mesma sala entre as 10 disponíveis. Portanto, o número de 
possibilidades favoráveis é igual a 10 (pois há 10 salas possíveis). 
 
 
A probabilidade de que os três alunos entrem exatamente na mesma sala 
é dada pela razão entre o número de possibilidades favoráveis e o número 
total de possibilidades: 
Probabilidade = número de possibilidades favoráveis / número total de 
possibilidades = 10/1000 = 0,01 = 1%. 
RESPOSTA: Certo. 
 
4. (2021 CESPE / CEBRASPE SEDUC-AL) Acerca das operações com 
números reais e suas propriedades, julgue o item a seguir. 
O número 12,07777... tem infinitos algarismos, portanto é um número irracional. 
Certo 
Errado 
RESOLUÇÃO: 
O número 12,07777... é um número decimal que possui uma parte inteira 
igual a 12 e uma parte decimal formada por uma sequência de algarismos 
0 e 7 que se repetem infinitamente. Podemos escrever esse número na 
forma de fração como: 
12,07777... = 12 + 0,07777... = 12 + 7/10 + 7/100 + 7/1000 + ... 
Podemos observar que a parte decimal é uma série geométrica com razão 
1/10 e primeiro termo 7/10. A soma de uma série geométrica infinita com 
razão r e primeiro termo a é dada por: 
S = a/(1 - r) 
Aplicando essa fórmula para a série em questão, temos: 
S = (7/10)/(1 - 1/10) = (7/10)/(9/10) = 7/9 
Portanto, podemos escrever o número 12,07777... como a fração irreduzível 
1207/99. Como essa fração não pode ser simplificada, podemos concluir 
que 12,07777... é um número racional, e não irracional como afirmado no 
item. 
RESPOSTA: Errado. 
 
5. (2021 CESPE / CEBRASPE SEDUC-AL) Com relação a matrizes e 
sistemas lineares, julgue o item a seguir. 
Considere que A seja uma matriz quadrada de dimensão 2, que I 2 seja a matriz 
identidade, também de dimensão 2, e que x ∈ ℝ. Nesse caso, o determinante da 
matriz det ( A − xI 2 ) = x2 − tr( A ) x + det ( A ). 
Certo 
 
 
Errado 
RESOLUÇÃO: 
Podemos usar a regra de Laplace para calcular o determinante da matriz A 
- xI2, onde I2 é a matriz identidade de ordem 2: 
det(A - xI2) = | a11 - x a12 | | a21 a22 - x | 
Onde aij é o elemento da matriz A na linha i e coluna j. 
Aplicando a expansão por cofatores na primeira linha, temos: 
det(A - xI2) = (a11 - x) | a22 - x | - a12 | a21 | | a22 | 
Que pode ser simplificado como: 
det(A - xI2) = (a11 - x)(a22 - x) - a12a21 
O que é equivalente a: 
det(A - xI2) = x^2 - (a11 + a22)x + (a11a22 - a12a21) 
Comparando com a fórmula dada no item, temos: 
x^2 - tr(A)x + det(A) 
Onde tr(A) é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A, que 
é igual a a11 + a22. 
Portanto, a fórmula dada no item está correta. 
RESPOSTA: Certo.